22.2 二次函数与一元二次方程（检测卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第2章《二次函数》】 22.2 二次函数与一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.51（较难） 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•高新区校级三模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 2．（2分）（2024春•呈贡区校级期末）二次函数图象如图所示，则方程的解是　　 A． B． C．或 D．或 3．（2分）（2024•成都模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是　　 A． B．抛物线的对称轴为直线 C．时，的值随值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 4．（2分）（2023秋•东莞市期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是　　 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 5．（2分）（2023秋•巧家县期末）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•高新区校级模拟）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论，其中正确的有　　 ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2分）（2023秋•黔东南州期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是　　 A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 8．（2分）（2024•东区校级一模）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为　　 A． B．或 C．或 D． 9．（2分）（2024•禹城市模拟）对于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个交点； ②如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； ③如果当时，随的增大而减小，则； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则时的函数值为； 其中正确的说法是　　 A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．（2分）（2023秋•阜阳月考）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，且二次函数的最小值为3，则的值为　　 A． B．或 C．或 D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•罗定市期末）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点坐标是 　　． 12．（2分）（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　　． 13．（2分）（2024•玉环市模拟）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为 　　． 14．（2分）（2024•徐州模拟）如图，二次函数的图象的顶点为，该二次函数的图象与轴相交于、两点，连接，若，，则的值是 　　． 15．（2分）（2024•南关区校级四模）如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③抛物线上有点，和，，若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　　． 16．（2分）（2024•清原县三模）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，，直线绕点顺时针旋转得到．交直线上方抛物线于点，交线段于点，若，则点的坐标为 　　． 17．（2分）（2024•武汉模拟）已知抛物线，，是常数），且．下列结论：①若，则抛物线经过点； ②若抛物线的对称轴为直线，则方程一定有实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④点，，，在抛物线上，若，则当时，．其中结论正确的是 　　．（填序号） 18．（2分）（2023秋•睢宁县期末）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，作直线，将直线下方的二次函数图象沿直线向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象，若线段与组合图象有两个交点，则的取值范围　　． 19．（2分）（2024•高新区校级一模）如图，二次函数的图象交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为3的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段，，能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的横坐标为，则的取值范围是 　　． 20．（2分）（2023秋•榆树市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，设该图象上任意两点的坐标分别是，，，，其中，为时的最大值与最小值的差．若，则的取值范围是 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•云南模拟）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（6分）（2024•黑龙江三模）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与轴交于点，与轴交于，两点，请回答下列问题． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在轴上，且，求线段的长． 23．（8分）（2024•凉州区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）点为直线上方抛物线上一动点，连接，，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值． 24．（8分）（2023秋•宿迁月考）已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）写出该抛物线顶点的坐标； （3）连接、、、，则的面积：的面积　　． 25．（8分）（2024•商水县三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）已知是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），连接，，，在点运动的过程中：①求的取值范围；②若，请直接写出的值． 26．（8分）（2024•沁县二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，对称轴交直线于点，点是位于直线的右侧，轴下方的抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交于点．交直线于点． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）当时，求的面积． 27．（8分）（2024•西安模拟）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，，与轴交于点，且，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若将抛物线沿轴向左平移个单位长度，所得的新抛物线与原抛物线相交于点（在第二象限），求满足面积最大值时的的值． 28．（8分）（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第2章《二次函数》】 22.2 二次函数与一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.51（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•高新区校级三模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 解：关于的一元二次方程的一个根为2， ， 解得， 把代入中， 得， 当时，， 即， ， ， 解得或， 二次函数与轴的交点坐标为和， 故选：． 2．（2分）（2024春•呈贡区校级期末）二次函数图象如图所示，则方程的解是　　 A． B． C．或 D．或 解：抛物线与轴的交点坐标为，0 、， 当时，，， 一元二次方程的解是，， 故选：． 3．（2分）（2024•成都模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法正确的是　　 A． B．抛物线的对称轴为直线 C．时，的值随值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 解：抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， 即， ，所以选项不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，当时，随的增大而减小，所以选项符合题意，、选项不符合题意． 故选：． 4．（2分）（2023秋•东莞市期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是　　 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又一元二次方程的根为，，且， ，， 故选：． 5．（2分）（2023秋•巧家县期末）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为　　 A． B． C． D． 解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 方程的根为，， 即方程的另一个根为． 故选：． 6．（2分）（2024•高新区校级模拟）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论，其中正确的有　　 ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点 都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入 得：， 即， ，， ， 故①错误； ②，，，， 方程的两个根的积大于0， 即， ， ， ， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在点的上方或者右上方， ， ， ， 故②正确； ③， 当 时，， 抛物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ， 故③正确； ④方程可变为， 方程有两个相等的实数解， △． 把代入 得，即， ， 即， ， ， 即， ，在抛物线上， ，为方程 的两个根， ， ， ， ， ． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：． 7．（2分）（2023秋•黔东南州期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是　　 A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 解：二次函数过．，，，对称轴为直线，故错误，不合题意； 由表格可得，当时，随的值增大而减小， 该函数开口向下，故选项错误，不符合题意； 图象过点，， ，即， 该函数图象与轴的交点在轴的上方，故错误，不合题意； 由表中数据可知：在与之间， 故对应的的值在与0之间， 故对应的的值在2与3之间，即，故正确，符合题意． 故选：． 8．（2分）（2024•东区校级一模）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为　　 A． B．或 C．或 D． 解：由题意得：△， 解得：， 当时， 则时，取得最小值， 即，则（舍去）； 当时， 则时，取得最小值， 即，则； 当时， 当时，取得最小值， 即， 方程无解， 故选：． 9．（2分）（2024•禹城市模拟）对于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个交点； ②如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； ③如果当时，随的增大而减小，则； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则时的函数值为； 其中正确的说法是　　 A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 解：①△，故它的图象与轴有两个交点，正确，符合题意； ②如果将它的图象向左平移3个单位，则函数的表达式为：， 将点代入上式得：，则， 故正确，符合题意； ③抛物线的对称轴为，开口向上，如果当时，随的增大而减小，则，故错误，不符合题意； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则和时的函数值均为，故④正确，符合题意； 故选：． 10．（2分）（2023秋•阜阳月考）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，且二次函数的最小值为3，则的值为　　 A． B．或 C．或 D． 解：由题意得：△， 解得：， 当时， 则时，取得最小值， 即，则（舍去）； 当时， 则时，取得最小值， 即，则； 当时， 当时，取得最小值， 即， 方程无解， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•罗定市期末）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点坐标是 　　． 解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 12．（2分）（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　或　． 解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 13．（2分）（2024•玉环市模拟）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为 　　． 解：当时，，即； ； 当时，，即，则有； 即， 解得：，则； ， 由于对一切的值有成立，即， 则， 即， 而， ， 解得：， 则， ； 故答案为：． 14．（2分）（2024•徐州模拟）如图，二次函数的图象的顶点为，该二次函数的图象与轴相交于、两点，连接，若，，则的值是 　　． 解：过作轴于点． 由题意可知， ， ， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 15．（2分）（2024•南关区校级四模）如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③抛物线上有点，和，，若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②④　． 解：由题意，抛物线为， 又， 当时，取最小值为． ，故①正确． 抛物线交轴于点和， 又抛物线开口向上， 结合图象，当时，，故②正确． 抛物线为， 抛物线的对称轴是直线． 又，且， ，到对称轴的距离小于，到对称轴的距离． ， 故③错误． 当时，， 令，则， ，． ，． 若，则， ． ． 故④正确． 综上，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 16．（2分）（2024•清原县三模）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，，直线绕点顺时针旋转得到．交直线上方抛物线于点，交线段于点，若，则点的坐标为 　，或，　． 解：连接，作轴交直线于， ， 令，，， ， 在 中， 令，， ， 设直线为， ， 即 ， ， 过作轴于， ， ， ， 又， ，， ， （同角三角形面积比等于对应底的比）， ， 又， ， ， ， ， ， 过作轴于，轴于， 则， ， ， ， ， 又轴， 点纵坐标为 ， 设 ， 则 ， 即 ， ， ，， ． 故答案为：，或，． 17．（2分）（2024•武汉模拟）已知抛物线，，是常数），且．下列结论：①若，则抛物线经过点； ②若抛物线的对称轴为直线，则方程一定有实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④点，，，在抛物线上，若，则当时，．其中结论正确的是 　①②③　．（填序号） 解：， 对称轴为直线， ， 当 时，， 抛物线经过点， 抛物线经过点，故①正确； ， ， ， ， 原方程为． ， ． 方程一定有实数根，故②正确； ， ． ，，即抛物线开口向下，且顶点纵坐标大于1． 抛物线 与直线有两个交点，即方程 有两个不相等的实数根，故③正确； ， ． 设抛物线与轴的另一交点为，则， ． 若，当时，随的增大而减小， 当 时，； 若，则由图象知 与 的大小关系无法确定，故④错误． 故正确的有：①②③． 故答案为：①②③． 18．（2分）（2023秋•睢宁县期末）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，作直线，将直线下方的二次函数图象沿直线向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象，若线段与组合图象有两个交点，则的取值范围　或．　． 解：令，得， 令，得，解得，或3， ，，， 设直线的解析式为， 把代入得， ， ， 抛物线的顶点坐标， 将直线下方的二次函数图象沿直线向上翻折所得那小部分抛物线的顶点坐标为， 翻折所得那小部分抛物线的解析式为：， 当时，翻折图象顶点为，在线段上， 图象与线段有三个交点， ①当时，图象与已交于，两点， 翻折部分与线段无交点， 联立方程组无解， 即无实数根， 也即无实数根， △， ， ， ， 即当时，与线段有两个交点； ②当时，均有两个交点； ③当时，仅有一个交点； ④当时，无交点． 综上，线段与组合图象有两个交点，则的取值范围是：或． 故答案为：或． 19．（2分）（2024•高新区校级一模）如图，二次函数的图象交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为3的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段，，能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的横坐标为，则的取值范围是 　　． 解：（1）的图象交轴于点，，交轴于点． 点，点，点，对称轴为直线， 如图2， 线段上始终存在点，使得三条线段，，能与某个等腰三角形的三条边对应相等， ，或，或， 在直线上移动， 点的纵坐标为， 设点， 若， ， ， 点，， ，， ， 不合题意舍去； 若， ， ， 点，， ，， ， ，，能组成三角形； 若， ， ， 点， ，， ， ，，能组成三角形； 点在长为3的线段上， 线段左端点的横坐标为的取值范围为：， 线段左端点的横坐标为的取值范围为：， 故答案为：． 20．（2分）（2023秋•榆树市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，设该图象上任意两点的坐标分别是，，，，其中，为时的最大值与最小值的差．若，则的取值范围是 　　． 解：将代入抛物线表达式得：． 解得：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ，， 则、只能在对称轴的两侧， 即，， 即抛物线在处取得最小值，在顶点处取得最大值， 而时，函数，时，， 当时，则，此时，， 当时，则，此时，， 故， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•云南模拟）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）将，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）联立， ， 整理，得：， ，． ， ， ， ， 解得：，， 当时，一元二次方程为，根的判别式，此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点； 当时，一元二次方程为，根的判别式，此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点； 不存在值，使得． 22．（6分）（2024•黑龙江三模）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与轴交于点，与轴交于，两点，请回答下列问题． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在轴上，且，求线段的长． 解：（1）抛物线的顶点坐标为， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得， ，， ， ． ①当时，， ②当时，， 综上：的长为1或． 23．（8分）（2024•凉州区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）点为直线上方抛物线上一动点，连接，，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值． 解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 抛物线经过，两点， ， 解得． 抛物线的解析式为：． （2）令， ， 解得或， ． 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ． 设点的横坐标为， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 24．（8分）（2023秋•宿迁月考）已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）写出该抛物线顶点的坐标； （3）连接、、、，则的面积：的面积　　． 解：（1）抛物线的对称轴为，且抛物线经过， ， 解得：， 这条抛物线的表达式为； （2）把代入抛物线的表达式为得，， 抛物线顶点； （3）如图： ， ， ． 25．（8分）（2024•商水县三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）已知是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），连接，，，在点运动的过程中：①求的取值范围；②若，请直接写出的值． 解：（1）由题意，抛物线过，， ． ． 抛物线的解析式为． （2）①由题意，根据（1）抛物线的解析式为， 令，则或． ． 又是直线下方抛物线上的一个动点， ． 又抛物线为， 当时，取最小值为． 结合图象可得，当时， ． ②由题意，，，， ，． ． 又， ． 如图，作轴于点， 又，即 ． 或． 26．（8分）（2024•沁县二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，对称轴交直线于点，点是位于直线的右侧，轴下方的抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交于点．交直线于点． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）当时，求的面积． 解：（1）由题意，令，则． ，． ，． 又当 时，， 点的坐标为． 直线的函数表达式为． （2）由题意，， 抛物线的对称轴为直线． 将 代入，得， 点的坐标为． 点的坐标为，点的坐标为， ，． 如图，过点作轴于点，过点作 于点，延长交直线于点，则，设直线与轴交于点． ． ，轴， ． 又， ． ． ． ，． 设点的坐标为，， 点的坐标为． 将 代入中，得， ， （不合题意，舍去）． 当时，点的坐标为，点的坐标为， ． 设直线的函数表达式为， 将， 代入，得 ． ． 直线的函数表达式为． 当时，． 点的坐标为． ． ． 27．（8分）（2024•西安模拟）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，，与轴交于点，且，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若将抛物线沿轴向左平移个单位长度，所得的新抛物线与原抛物线相交于点（在第二象限），求满足面积最大值时的的值． 解：（1）由题意，， ，． 又抛物线过点、点， ． ． 该抛物线的函数表达式为． （2）由题意，设为， ． ． 直线为：． 作轴，交直线于， 设，则， ． ， ． ， 当时，的面积有最大值． 此时，． ， 抛物线沿轴向左平移个单位长度的解析式为． 把，，代入得，， 解得或（舍去）． 此时的值为1． 28．（8分）（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 解：（1）将、代入， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）当时，， 点的坐标为； 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． （3）设点的坐标为，，， ，， ， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$