21.3 实际问题与一元二次方程（检测卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第1章《一元二次方程》】 21.3 实际问题与一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难） 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•从江县校级一模）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024春•怀宁县期末）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2024•八步区三模）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为，宽为的挂图，设边框的宽为，如果风景画的面积是，下列方程符合题意的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•红塔区三模）某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡56张，设该班有人，根据题意可列方程得　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2023秋•成都期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•安徽模拟）某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2024•彝良县二模）某校举行春季篮球赛，每两个班级之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，求参加比赛的班级数量．根据题意，设有个班参加比赛，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2024•平城区三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是　　 A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 9．（2分）（2024春•钢城区期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024•枣庄一模）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为米，则可列方程为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•淮北三模）某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 　　． 12．（2分）（2024•重庆模拟）春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约25.6万人，设这两周参观人数的平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 13．（2分）（2024•沙坪坝区校级三模）电视剧《与凤行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 　　． 14．（2分）（2024•津市市一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则的值为 　　． 15．（2分）（2024•赣州二模）元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为 　　． 16．（2分）（2023秋•祁阳市期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 　　． 17．（2分）（2024•桃江县一模）喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，据测算，喷灌时每亩用水量是滴灌时每亩用水量的1.5倍．今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了，则　　． 18．（2分）（2024•两江新区校级模拟）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为，则的值为 　　． 19．（2分）（2022秋•邻水县期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　　． 20． （2分）（2017秋•闵行区校级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空） 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•新城区校级开学）如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 22．（6分）（2024•城关区校级模拟）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． （1）　　，　　，　　，　　（用含的代数式表示）； （2）为多少时，四边形的面积为； （3）为多少时，点和点的距离为． 23．（8分）（2024春•栖霞市期末）2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 24．（8分）（2024春•道外区期末）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 25．（8分）（2024春•南岗区校级月考）如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 26．（8分）（2023秋•宜州区期末）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元个，经市场预测，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 27．（8分）（2023秋•宜都市校级月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积等于？ 28．（8分）（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价（元箱）与销售量（箱有如表关系： 每箱售价（元 68 67 66 65 40 每天销量（箱 40 45 50 55 180 已知与之间的函数关系是一次函数． （1）求与的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第1章《一元二次方程》】 21.3 实际问题与一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•从江县校级一模）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用比赛的总场数七年级班级数（七年级班级数，即可得出关于的一元二次方程． 【规范解答】解：依题意得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 2．（2分）（2024春•怀宁县期末）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【规范解答】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加， 由题意，得：； 故选：． 【考点评析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 3．（2分）（2024•八步区三模）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为，宽为的挂图，设边框的宽为，如果风景画的面积是，下列方程符合题意的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长个边框的宽度）（整个挂图的宽个边框的宽度）风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可． 【规范解答】解：依题意，设边框的宽为， ， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键． 4．（2分）（2024•红塔区三模）某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡56张，设该班有人，根据题意可列方程得　　 A． B． C． D． 【思路点拨】若这个小组有人，则每人需送出张，根据全组共送出贺卡56张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：若这个小组有人，则每人需送出张， 依题意得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2分）（2023秋•成都期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】用增长后的量增长前的量增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程． 【规范解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为， 则可列方程为， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 6．（2分）（2024•安徽模拟）某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设该公司2023年利润增长率为，则该公司2023年利润增长率为，根据该公司2023年的利润为6600万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】解：设该公司2023年利润增长率为，则该公司2023年利润增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即该公司2023年利润增长率为， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2分）（2024•彝良县二模）某校举行春季篮球赛，每两个班级之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，求参加比赛的班级数量．根据题意，设有个班参加比赛，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设有个班参赛，根据每两个班级之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，可列出方程． 【规范解答】解：设有个队参赛，则． 故选：． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 8．（2分）（2024•平城区三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是　　 A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【思路点拨】由题意即可得出结论． 【规范解答】解：由题意可知，数学思想方法是数形结合思想， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的几何解法是解题的关键． 9．（2分）（2024春•钢城区期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可． 【规范解答】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16， 设最小数为，则最大数为， 根据题意得出：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 10．（2分）（2024•枣庄一模）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为米，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积长宽，列方程即可． 【规范解答】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为米． 根据题意可得：． 故选：． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•淮北三模）某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 　　． 【思路点拨】设年平均增长率是，利用该乡镇2023年旅游总收入该乡镇2021年旅游总收入年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：设年平均增长率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2分）（2024•重庆模拟）春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约25.6万人，设这两周参观人数的平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 【思路点拨】根据今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约25.6万人，列出一元二次方程即可． 【规范解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2分）（2024•沙坪坝区校级三模）电视剧《与凤行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 　　． 【思路点拨】利用第三天播放量第一天网上播放量增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：依题意得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2分）（2024•津市市一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则的值为 　5　． 【思路点拨】由已知可得无盖纸盒的长为，宽为，而制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，故，即可解得答案． 【规范解答】解：根据题意知：无盖纸盒的长为，宽为， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：的值为； 故答案为：5． 【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 15．（2分）（2024•赣州二模）元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为 　　． 【思路点拨】设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【规范解答】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键． 16．（2分）（2023秋•祁阳市期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 　　． 【思路点拨】设进馆人次的月平均增长率是，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】解：设进馆人次的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 进馆人次的月平均增长率为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 17．（2分）（2024•桃江县一模）喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，据测算，喷灌时每亩用水量是滴灌时每亩用水量的1.5倍．今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了，则　25　． 【思路点拨】设去年滴灌方式每亩用水量为吨，则喷灌方式每亩用水量为吨，根据用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，可列出方程求出，再由“今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了”可列出方程，即可求出的值． 【规范解答】解：设去年滴灌方式每亩用水量为吨，则喷灌方式每亩用水量为吨，根据题意得： ， 解得， ， 今年试验田的面积均为亩， 今年喷灌方式每亩用水量为吨， 根据题意列方程得：， 解得：（舍或． 故答案为：25． 【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 18．（2分）（2024•两江新区校级模拟）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为，则的值为 　　． 【思路点拨】利用该实验基地现有种子种数该实验基地两年前种子种数培育的种子平均每年的增长率），即可得出关于的一元二次方程，然后解方程即可． 【规范解答】解：根据题意得，． 解得，，（舍去）， 所以，培育的种子平均每年的增长率为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（2分）（2022秋•邻水县期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　． 【思路点拨】设小长方形的长为 ，宽为 ，根据大长方形的周长结合图形可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论． 【规范解答】解：设小长方形的长为 ，宽为 ， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则． 所以． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂图意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 20．（2分）（2017秋•闵行区校级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　等于　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空） 【思路点拨】设甲药品成本的年平均下降率为，乙药品成本的年平均下降率为，由题意得两个一元二次方程，化简后发现两个方程右边相等，故两方程左边相等，从而可得答案． 【规范解答】解：设甲药品成本的年平均下降率为，由题意得： 化简得：① 设乙药品成本的年平均下降率为，由题意得： 化简得：② 比较①②得： 或 或（不合题意，舍去） 故答案为：等于． 【考点评析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，发现两个方程右边相等，从而得和的关系，从而避免解两个较为复杂计算的一元二次方程，是本题的简算方法． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•新城区校级开学）如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 【思路点拨】设花圃的宽为米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【规范解答】解：设花圃的宽为米，则米， ， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：的长应为6米． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系，列出方程． 22．（6分）（2024•城关区校级模拟）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． （1）　　，　　，　　，　　（用含的代数式表示）； （2）为多少时，四边形的面积为； （3）为多少时，点和点的距离为． 【思路点拨】（1）当运动时间为时，根据点，的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：（1）当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得： 答：当为5时，四边形的面积为． （3）过点作于点，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得：，． 答：当为或时，点和点的距离为． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．（8分）（2024春•栖霞市期末）2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 【思路点拨】（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件6月份的销售量该款吉祥物摆件4月份的销售量该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当该吉祥物摆件售价为60元时，月销售利润达7200元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）（2024春•道外区期末）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【思路点拨】（1）设这个降价率为，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设这个降价率为， 依题意，得：， 解得：，（舍去）． 答：这个降价率为． （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 要使顾客得到实惠， ． 答：每千克应涨价5元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（8分）（2024春•南岗区校级月考）如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 【思路点拨】设框边宽为厘米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：设框边宽为厘米． ， ，（不合题意，舍去）． 答：框边宽为2厘米． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是关键． 26．（8分）（2023秋•宜州区期末）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元个，经市场预测，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【思路点拨】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．（8分）（2023秋•宜都市校级月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积等于？ 【思路点拨】首先设后的面积等于，然后表示出、、的面积，再根据图形可得：矩形的面积减去周围多余三角形的面积的面积等于，根据等量关系列出方程，再解即可． 【规范解答】解：设后的面积等于，则、、的面积分别为、、． 根据题意，得， 即， 解得：，， 答：或后的面积等于． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 28．（8分）（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价（元箱）与销售量（箱有如表关系： 每箱售价（元 68 67 66 65 40 每天销量（箱 40 45 50 55 180 已知与之间的函数关系是一次函数． （1）求与的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求的值． 【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案； （3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案． 【规范解答】解：（1）设与之间的函数关系是：， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系是：； （2）由题意可得：， 解得：，， 顾客要得到实惠，售价低，所以舍去，所以， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； （3）在（2）的条件下，时，，由题意得到方程： ， 解得：，（舍去）， 答：的值为20． 【考点评析】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$