第22章《二次函数》章节复习讲义（知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第22章《二次函数》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 5 考点讲练1：二次函数的定义 7 考点讲练2：二次函数的图象 7 考点讲练3：二次函数的性质 9 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 11 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 12 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 13 考点讲练7：二次函数的最值 15 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 16 考点讲练9：二次函数的三种形式 17 考点讲练10：抛物线与x轴的交点 18 考点讲练11：图象法求一元二次方程的近似根 19 考点讲练12：根据实际问题列二次函数关系式 20 考点讲练13：二次函数的应用 22 考点讲练14：二次函数综合题 23 中等题真题汇编练 25 培优题真题汇编练 30 导图指引 新知精讲梳理 知识点01：二次函数的定义 一般地，如果 是常数，，那么叫做的二次函数. 细节剖析： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的 . 知识点02：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) ( ) 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口 ；当时，开口 ；相等，抛物线的 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴 ；③(即、异号)时，对称轴在轴 . 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于 ；③，与轴交于 . 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的 ，通常选择 . 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用 ： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 细节剖析： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法： 这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点03：二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有 ； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有 ； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程 . 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个 实数解 方程有 实数解 方程 实数解 细节剖析： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个 实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个 实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程 . 知识点04：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的 ； 　　(2)把实际问题中的一些 联系起来； 　　(3)用待定系数法求出 ； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去 细节剖析： 常见的问题：求最大(小)值(如 等)、 的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 高频易错知识点拨 易错知识点01：二次函数的定义与性质 定义的理解 易错点：学生可能忽略二次函数中a≠0的条件，错误地认为所有形如 y = ax² + bx + c的式子都是二次函数。 解析：强调a≠0是二次函数定义的关键，因为当a=0时，函数退化为一次函数。 二次项系数a的作用 易错点：学生可能不清楚a如何决定抛物线的开口方向和大小。 解析：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。∣a∣越大，抛物线的开口越小；∣a∣越小，开口越大。 一次项系数b和常数项c的作用 易错点：学生可能混淆b和c对函数图像的影响。 解析：b和a共同决定对称轴的位置，而c决定抛物线与y轴的交点。 易错知识点02：二次函数的图像与变换 抛物线的对称轴和顶点 易错点：学生可能忘记或不会求抛物线的对称轴和顶点坐标。 解析：对称轴为顶点坐标为 抛物线的平移和伸缩变换 易错点：学生可能不理解或混淆平移和伸缩变换对函数图像的影响。 解析：平移变换改变图像的位置，伸缩变换改变图像的形状和大小。例如， y = a(x - h)² + k y=a(x−h)²+k表示将抛物线y=ax² 向右平移h个单位，再向上平移k个单位。 易错知识点03：二次函数与一元二次方程 交点与根的关系 易错点：学生可能忘记或混淆二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 解析：强调这一关系的重要性，并教会学生如何利用这一关系求解一元二次方程的根或判断根的情况。 判别式的应用 易错点：学生在计算判别式Δ=b²−4ac时可能出错，或者忘记根据判别式的值来判断一元二次方程的根的情况。 解析：强调判别式的重要性，并教会学生如何正确计算和使用判别式。 易错知识点04：实际问题与二次函数 问题建模的准确性 易错点：学生可能难以准确地将实际问题转化为二次函数模型。 解析：强调建模过程中的关键步骤，如识别变量、确定变量之间的关系以及建立正确的函数表达式。 解题步骤的规范性 易错点：学生在解题过程中可能缺乏规范性，导致答案不完整或错误。 解析：强调解题步骤的规范性，如明确写出解题步骤、进行必要的单位换算、对解进行合理性检验等。 实际问题的理解深度 易错点：学生可能对实际问题的理解不够深入，导致无法准确建立函数模型或得出合理的结论。 解析：强调在解题前仔细分析问题背景的重要性，以及理解问题中的各个要素及其相互关系。 考点讲练1：二次函数的定义 【精讲题】（2023秋•长垣市校级月考）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x（x+1） D．y＝x（x2+3） 【举一反三1】（2023秋•英吉沙县期中）已知是二次函数，则实数　　． 【举一反三2】（2023秋•博乐市月考）已知函数． （1）当为何值时，为的二次函数？ （2）当为何值时，为的一次函数？ 考点讲练2：二次函数的图象 【精讲题】（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点． （1）求此抛物线的顶点坐标； （2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标． 【举一反三2】（2022•荆州模拟）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． 0 1 2 3 4 （1）列表，写出表中的值：． 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最 值，是 ； ②当自变量的取值范围是 时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是 ． 考点讲练3：二次函数的性质 【精讲题】（2024•德州模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【举一反三1】（2024•城厢区校级一模）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图象相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【举一反三2】（2024•夹江县模拟）如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． （1）若点在图象上，求的值； （2）已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； （3）当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 【精讲题】（2024•斗门区校级模拟）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④为实数）． 其中结论正确的为　　 A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三1】（2024•雁塔区校级模拟）已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【举一反三2】．（2024•舟山三模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．将点向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上． （1）用含的代数式表示． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 【精讲题】（2024•馆陶县二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线与是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】（2024•东莞市三模）已知． （1）化简； （2）若点是抛物线上的一点，求的值． 【举一反三2】（2024•修水县二模）已知一次函数与二次函数为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标． （2）如果两个函数图象没有交点，求的取值范围． （3）如图，当时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求的最小值； ②当轴时，求的最小值． 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 【精讲题】（2024•大庆二模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•漳州三模）已知在平面直角坐标系中，抛物线、为常数，且与轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三2】（2024•龙凤区二模）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 （1）请根据表格中的信息，写出抛物线的顶点坐标：　　； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取值范围； （4）若时，恰好有，直接写出直线的解析式． 考点讲练7：二次函数的最值 【精讲题】（2024•河北模拟）已知二次函数为常数）在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为　　 A．1或 B．或5 C．1或 D．1或3 【举一反三1】（2024•花都区模拟）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与轴的交点坐标为　　 A． B． C． D． 【举一反三2】（2024•黄石港区一模）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当为何值时，的长度等于； （2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 【精讲题】（2024•钱塘区三模）已知二次函数，，是常数，的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•上城区校级模拟）把一块含角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与轴重合，直角顶点落在轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　 ． 【举一反三2】（2024•黑龙江三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，，点在轴上，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点讲练9：二次函数的三种形式 【精讲题】（2023秋•大悟县校级月考）用配方法把二次函数写成的形式为 　　． 【举一反三1】（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当取何值时，随的增大而减少？ （4）当取何值时，，，， （5）当时，求的取值范围； （6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 考点讲练10：抛物线与x轴的交点 【精讲题】（2023秋•巧家县期末）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•呼和浩特二模）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，，，是曲线上两点，若，，则．其中，正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】（2024春•仓山区校级期末）函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）方程的两个根为　　，　　； （2）当随着的增大而减小时，自变量的取值范围为 　　； （3）当时，则的取值范围为 　　； （4）若方程有两个不相等的实数根，取值范围是 　　． 考点讲练11：图象法求一元二次方程的近似根 【精讲题】（2023秋•黔东南州期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是　　 A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 【举一反三1】（2024•泰安）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】（2024•硚口区模拟）抛物线，，是常数，经过点，其中．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根在到0之间；③当时，随的增大而增大；④分式的值小于2．其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 考点讲练12：根据实际问题列二次函数关系式 【精讲题】（2023秋•东莞市校级月考）如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为平方米，则绿地面积与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•黄浦区期末）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点、分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是 　　．（不必写定义域） 【举一反三2】（2021秋•东莞市月考）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点在线段上，从点开始沿边以1厘米秒的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以1厘米秒的速度向点移动．如果、同时分别从、出发，写出出发时间与的面积的函数关系式，求出的取值范围． 考点讲练13：二次函数的应用 【精讲题】（2024•福田区校级模拟）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•雁塔区校级一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【举一反三2】（2023秋•伊犁州期末）一名在校大学生利用“互联网”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元与销售价（元件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果每天获得104元的利润，销售单价为多少元？ 考点讲练14：二次函数综合题 【精讲题】（2024•东莞市校级二模）如图，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•安徽模拟）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为． （1）当是等腰直角三角形时，点的坐标为 　　； （2）当是直角三角形时，的值为 　　． 【举一反三2】（2024•美兰区校级一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点和点关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接、，求△的面积； （3）在对称轴右侧的抛物线上有一点，平面内是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （4）连接、，将抛物线向下平移后，点落在平面内一点处，过、两点的直线与线段交于点，当△与△相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 中等题真题汇编练 1．（2024•金乡县二模）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④； ⑤若，为方程的两个根，则且． 其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2023秋•华阴市期末）已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 3．（2024•开福区校级二模）二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•屯昌县期末）抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 5．（2024•宝应县三模）如图，菱形的边长为2，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则　　． 6．（2023秋•泰山区期末）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 　　． 7．（2024•二道区校级模拟）如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作，和构成的图形记作． 关于图形，给出如下四个结论：①图形关于轴成轴对称；②图形有最小值，且最小值为0；③当时，图形的函数值都是随着的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是 　　． 8．（2024•凉州区二模）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为 　　． 9．（2023秋•罗定市期末）为响应扬州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边用墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边 ，面积为 （如图）． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 10．（2024•丛台区校级模拟）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点和其正上方点处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求、之间的距离； （3）若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出的取值范围． 11．（2024•茅箭区校级模拟）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件与每件售价（元之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．（2024•顺河区一模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表： 0 1 2 3 3 0 0 0 3 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　　． （2）进一步探究函数图象发现： ①方程有 　　个实数根； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 　　． 培优题真题汇编练 13．（2024•武威二模）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 14．（2024•大冶市模拟）已知抛物线，，是常数，经过点，，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②若点，，均在函数图象上，则；③若方程的两根为，且，则；④．其中，正确结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2024•驻马店一模）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 16．（2024•威海模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 17．（2024•江南区校级开学）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为18米，这时水面离桥顶的高度是 　　米． 18．（2024•米东区一模）如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图象上，则；⑥．其中错误的结论是 　　（填序号）． 19．（2024•义乌市模拟）现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是 　　． ①当时，函数图象的顶点坐标为，； ②当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点，、，，则当时，函数在时一定能使成立． 20．（2023秋•义乌市月考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式 　　； （2）若点在抛物线对称轴上，点在坐标平面内，当点坐标为 　　，点坐标为 　　时，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 21．（2024•云南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为、（点在点的左侧），且． （1）求抛物线的对称轴及与的数量关系； （2）若将此抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为，当在内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出的取值范围． 22．（2024•柘城县校级模拟）在文艺汇演来临之际，九年级2班同学准备装饰教室．他们在相对的两面墙上的，两点之间拉了一根彩带，彩带自然下垂后呈抛物线形，地面上两点，分别在点，的正下方，已知米，和之间的水平距离为10米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时彩带自然下垂形状可近似看作抛物线． （1）求该抛物线的函数表达式及彩带到地面的最小距离． （2）为了使彩带的造型美观，现将图1中彩带最低点固定在灯上（灯宽度、厚度不计，图中所有点均在同一竖直平面内），且灯到和的距离相等，这样灯两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线，如图2所示．若两个新抛物线最低点之间的水平距离为4米，且灯到地面的距离为2.7米，则图2中彩带最低点比之前升高了多少米？ 23．（2024•广平县模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围． 24．（2024•新兴县一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求四边形的最大面积及此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第22章《二次函数》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 5 考点讲练1：二次函数的定义 7 考点讲练2：二次函数的图象 8 考点讲练3：二次函数的性质 12 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 16 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 19 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 24 考点讲练7：二次函数的最值 28 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 31 考点讲练9：二次函数的三种形式 35 考点讲练10：抛物线与x轴的交点 38 考点讲练11：图象法求一元二次方程的近似根 41 考点讲练12：根据实际问题列二次函数关系式 44 考点讲练13：二次函数的应用 46 考点讲练14：二次函数综合题 49 中等题真题汇编练 56 培优题真题汇编练 66 导图指引 新知精讲梳理 知识点01：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 细节剖析： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点02：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 细节剖析： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点03：二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 细节剖析： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 知识点04：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 细节剖析： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 高频易错知识点拨 易错知识点01：二次函数的定义与性质 定义的理解 易错点：学生可能忽略二次函数中a≠0的条件，错误地认为所有形如 y = ax² + bx + c的式子都是二次函数。 解析：强调a≠0是二次函数定义的关键，因为当a=0时，函数退化为一次函数。 二次项系数a的作用 易错点：学生可能不清楚a如何决定抛物线的开口方向和大小。 解析：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。∣a∣越大，抛物线的开口越小；∣a∣越小，开口越大。 一次项系数b和常数项c的作用 易错点：学生可能混淆b和c对函数图像的影响。 解析：b和a共同决定对称轴的位置，而c决定抛物线与y轴的交点。 易错知识点02：二次函数的图像与变换 抛物线的对称轴和顶点 易错点：学生可能忘记或不会求抛物线的对称轴和顶点坐标。 解析：对称轴为顶点坐标为 抛物线的平移和伸缩变换 易错点：学生可能不理解或混淆平移和伸缩变换对函数图像的影响。 解析：平移变换改变图像的位置，伸缩变换改变图像的形状和大小。例如， y = a(x - h)² + k y=a(x−h)²+k表示将抛物线y=ax² 向右平移h个单位，再向上平移k个单位。 易错知识点03：二次函数与一元二次方程 交点与根的关系 易错点：学生可能忘记或混淆二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 解析：强调这一关系的重要性，并教会学生如何利用这一关系求解一元二次方程的根或判断根的情况。 判别式的应用 易错点：学生在计算判别式Δ=b²−4ac时可能出错，或者忘记根据判别式的值来判断一元二次方程的根的情况。 解析：强调判别式的重要性，并教会学生如何正确计算和使用判别式。 易错知识点04：实际问题与二次函数 问题建模的准确性 易错点：学生可能难以准确地将实际问题转化为二次函数模型。 解析：强调建模过程中的关键步骤，如识别变量、确定变量之间的关系以及建立正确的函数表达式。 解题步骤的规范性 易错点：学生在解题过程中可能缺乏规范性，导致答案不完整或错误。 解析：强调解题步骤的规范性，如明确写出解题步骤、进行必要的单位换算、对解进行合理性检验等。 实际问题的理解深度 易错点：学生可能对实际问题的理解不够深入，导致无法准确建立函数模型或得出合理的结论。 解析：强调在解题前仔细分析问题背景的重要性，以及理解问题中的各个要素及其相互关系。 考点讲练1：二次函数的定义 【精讲题】（2023秋•长垣市校级月考）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x（x+1） D．y＝x（x2+3） 【思路点拨】根据二次函数精定义进行判定求解． 【规范解答】解：A、y＝x﹣1，自变量x的次数是1次，故它不是二次函数，此项不符合题意； B、y＝x，自变量x在分母上，它不是整式，故它不是二次函数，此项不符合题意； C、y＝2x（x+1），自变量x的次数是2次，且不在分母上，故它是二次函数，此项符合题意； D、y＝x（x2+3），自变量x的次数是3次，故它不是二次函数，此项不符合题意． 故选：C． 【考点评析】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解形如y＝ax2+bx+ca≠0的函数，叫做二次函数． 【举一反三1】（2023秋•英吉沙县期中）已知是二次函数，则实数　　． 【思路点拨】根据二次函数的定义得到且，即可得到的值． 【规范解答】解：是二次函数， 且， 解得， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•博乐市月考）已知函数． （1）当为何值时，为的二次函数？ （2）当为何值时，为的一次函数？ 【思路点拨】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当时，是的一次函数；当且时，是的一次函数；当且时，是的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得且， 解得， 即当为2时，是的二次函数； （2）当时，即时，是的一次函数； 当且时，是的一次函数，解得； 当且时，是的一次函数，解得； 即当为或或时，是的一次函数． 【考点评析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 考点讲练2：二次函数的图象 【精讲题】（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【规范解答】解：、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【举一反三1】（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点． （1）求此抛物线的顶点坐标； （2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标． 【思路点拨】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解． （2）设点的坐标为，由对称可得点的坐标为：，将其代入抛物线的解析式即可求解． 【规范解答】解：（1）将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 此抛物线的顶点坐标为：． （2）设点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为：， 又点在抛物线上， ， 解得：，， 又点不与点重合， ， 点的坐标为：． 【考点评析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标的规律是解题的关键． 【举一反三2】（2022•荆州模拟）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． 0 1 2 3 4 （1）列表，写出表中的值：． 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最 值，是 ； ②当自变量的取值范围是 时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是 ． 【思路点拨】（1）把对应的的值代入即可求出值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象； （2）观察图象即可判断； （3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的的范围即可． 【规范解答】解：（1）当时，； ， 补全函数图象，如图所示． 故答案为：． （2）①观察图象可知，当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：小，； ②观察图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 故答案为：； （3）不等式表现在图象上面即函数的图象比函数的图象低， 因此观察图象，即可得到的解集为：或． 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质，函数与不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 考点讲练3：二次函数的性质 【精讲题】（2024•德州模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【规范解答】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 【举一反三1】（2024•城厢区校级一模）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图象相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【思路点拨】根据脾气无线的对称性求解． 【规范解答】解：设， 则：，，， 的横坐标为：，的横坐标为：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象和性质，理解脾气微信的对称性是解题的关键． 【举一反三2】（2024•夹江县模拟）如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． （1）若点在图象上，求的值； （2）已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； （3）当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 【思路点拨】（1）将点代入，即可得的值； （2）设直线解析式为，当直线与图象有三个不同的交点时，，令，设，，，，，，根据求出，代入即可得点坐标； （3）先求出的取值范围为，然后分3种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【规范解答】解：（1）， 点在图象上， 把点代入，得． （2）， 图象的顶点坐标为， 当时，函数， 图象与轴的交点为， 设直线解析式为， 作出如图象，当直线与图象有三个不同的交点时，， 在函数中，令，整理得， 设，，，，，， ， ， 即直线解析式为， 当时，解得（负舍）， 所以，点的坐标为． （3）， 令，则， 解得，（舍去）． 令，代入解析式为， 解得， 代入解析式为，解得， 的取值范围为， 中总存在使得， 二次函数在上的最大值大于2即可， 的对称轴为直线， 分如下情况讨论： ①当时，如图所示， 此时当时，函数有最大值，即， 解得． ②当时，如图所示， 此时当时，函数有最大值，即， 无解，舍去． ③当时，如图所示， 此时当时，函数有最大值，即， 解得． 综上所述，实数的取值范围是或． 【考点评析】本题二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、定义新函数问题等，解题关键是掌握二次函数的图象与性质，通过数形结合的方法求解． 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 【精讲题】（2024•斗门区校级模拟）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④为实数）． 其中结论正确的为　　 A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①，由与的关系及时可判断②，利用，根据时，时可判断③，由时取最小值可判断④． 【规范解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线 ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故①正确． 时，，故②不正确． ， 且，， ，故③不正确． 时，为最小值， ，故④正确． 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【举一反三1】（2024•雁塔区校级模拟）已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，随的增大而增大，得出，从而得出答案． 【规范解答】解：二次函数， 图象开口向上，顶点为，对称轴为直线， 二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，随的增大而增大， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三2】．（2024•舟山三模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．将点向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上． （1）用含的代数式表示． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【思路点拨】（1）求得的坐标，进一步求得的坐标，由点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上，得到，解得； （2）求得对称轴，根据抛物线的对称性可知二次函数过定点和，当时，一次函数的函数值恰好也是，即可得到二次函数与一次函数必定交于一个定点； （3）①当时二次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，两函数必定交于一个定点为，结合图象可得，时，均符合题意；②当时，由题意当时，，解得，当二次函数与线段只有一个交点时，由 得，由△，解得，即可得出的取值范围是或或． 【规范解答】解：（1）令，则， ， 将点向左平移4个单位，得到点， 点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上． ，即； （2）方法一： 二次函数必过定点， 又二次函数的对称轴是直线， 二次函数也过定点， 当时，一次函数的函数值恰好也是， 二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为； 方法二： 由 得，化简得 解得， 二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为； （3）①当时， 二次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点， 又两函数必定交于一个定点为， 由图象可得，时，均符合题意； ②当时， 由图象可得，当时，，或者二次函数与线段只有一个交点时，符合题意． 当时，，解得， 当二次函数与线段只有一个交点时， 由 得，由△，解得， 综上所述，的取值范围是或或． 【考点评析】本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 【精讲题】（2024•馆陶县二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线与是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】先找出符合题意的整点共计10个，再依次以轴上整点个数分类讨论，判断轴右侧在区域内的整点个数即可． 【规范解答】解：， 顶点在轴上，其余部分均在轴上方， 而， 对称轴为直线， 则在轴上方且与抛物线围成的整点有，，，，，，，，，共10个， 当封闭区域在轴上只有整点时，抛物线与轴交于，如图： 此时， ， 则时，， 只有一个整点； 当封闭区域在轴上只有整点，时，抛物线与轴交于，如图： 此时， ， 则时，， 只有2个整点； 当封闭区域在轴上只有整点，，时，抛物线与轴交于，如图： 此时， ， 则时，， 就必定包括这个整点， 不能为3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象与性质，图象的平移，运用数形结合思想是解题的关键． 【举一反三1】（2024•东莞市三模）已知． （1）化简； （2）若点是抛物线上的一点，求的值． 【思路点拨】（1）利用分式混合运算的法则化简即可； （2）把点代入，得，即可求得． 【规范解答】解：（1） ． （2）点是抛物线上的一点， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键． 【举一反三2】（2024•修水县二模）已知一次函数与二次函数为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标． （2）如果两个函数图象没有交点，求的取值范围． （3）如图，当时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求的最小值； ②当轴时，求的最小值． 【思路点拨】（1）当时，一次函数为，二次函数为，联立解析式，解方程，即可求解． （2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解； （3）当时，一次函数为，二次函数为， ①设，，，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②设，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：（1）解：（1）当时，一次函数为，二次函数为， 联立方程组 解得或 交点坐标为或； （2）由 得． 两个函数图象没有交点， ， 得． （3）当时，一次函数为，二次函数为， ①轴， 设，，， ． 当时，． ②设． 轴， ． ． ． 当时，． 【考点评析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 【精讲题】（2024•大庆二模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况： ①直线经过点（即左边的对折点），可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； ②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式△，根据这一条件可确定的取值． 【规范解答】解：令，则， 解得或1， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， △， 即． 由①②知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为； 故选：． 【考点评析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 【举一反三1】（2024•漳州三模）已知在平面直角坐标系中，抛物线、为常数，且与轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】求得抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离判断即可． 【规范解答】解：抛物线、为常数，且与轴交点的纵坐标大于2， ， 将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线， ， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，均在抛物线上，且， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三2】（2024•龙凤区二模）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 （1）请根据表格中的信息，写出抛物线的顶点坐标：　　； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取值范围； （4）若时，恰好有，直接写出直线的解析式． 【思路点拨】（1）因为表中的数据关于对称，所以得顶点坐标为； （2）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式； （3）利用已知得出的解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到的取值范围； （4）根据题意，可以构造函数，令，求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意，根据表格数据可得对称轴是直线， 顶点坐标为． 故答案为：． （2）由题意，顶点为， 抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为． （3）由题意，抛物线为， 又将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；， 抛物线为． 如图， 联列，可得． 当△时，． 联列，可得． 当△时，． 又直线与两抛物线，共有两个公共点， ． （4）又当时，有． 可以构造函数， 令， 即， ， 整理得，， 解得，，，（不合题意，舍去）． ，， ． 【考点评析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换、待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数和一次函数的相关性质是解题的关键． 考点讲练7：二次函数的最值 【精讲题】（2024•河北模拟）已知二次函数为常数）在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为　　 A．1或 B．或5 C．1或 D．1或3 【思路点拨】当时，二次函数在上单调递增，进而得出时，取得最小值5，进而求出的值；当，二次函数在上单调递减，进而得出时，取得最小值5，进而求出的值． 【规范解答】解：的值不可能在1到3之间， 当时， 当时，取得最小值5， ， 或（不合题意，舍去）， 当， 当时，取得最小值5， ， 或（不合题意，舍去）， 故选：． 【考点评析】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键． 【举一反三1】（2024•花都区模拟）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与轴的交点坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由于已知顶点坐标，则可设解析式为，再把点代入求出即可得到抛物线解析式，然后把代入，即可确定与轴的交点坐标． 【规范解答】解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为，可设解析式为， 代入点，得． 所以该二次函数的解析式为， 把代入，得， 其与轴的交点坐标为， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【举一反三2】（2024•黄石港区一模）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当为何值时，的长度等于； （2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 【思路点拨】（1）利用的代数式分别表示出线段，，，利用勾股定理在中列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到关于的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【规范解答】解：（1）由题意得：，， ， ． 在中， ， ， 解得：或， 答：当为0秒或2秒时，的长度等于． （2）由（1）知：，， 当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动， ， ． ， 关于的函数解析式为； ， ， 当秒时，有最大值，最大值为． 、出发秒时，有最大值，这个最大面积为． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的极值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用的代数式分别表示出线段，，的长度是解题的关键． 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 【精讲题】（2024•钱塘区三模）已知二次函数，，是常数，的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点，得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得，然后由判别式△求出的值，从而得出结论． 【规范解答】解：由已知可知，当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立，即， △，即， 解得：， 此时， 故抛物线的表达式为：． 故选：． 【考点评析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用二次函数与轴的位置关系和不等式的性质解答． 【举一反三1】（2024•上城区校级模拟）把一块含角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与轴重合，直角顶点落在轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　或或或　． 【思路点拨】设，，，分点在轴负半轴，点在轴正半轴，直角顶点在轴正半轴和直角顶点在轴负半轴四种情况讨论即可． 【规范解答】解：①设，，，点在轴负半轴， 当直角顶点在轴正半轴时，如图所示： ，， ，， ，， ， ，，， 设抛物线解析式为， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得， 抛物线解析式为； 当点在轴负半轴时，此时的抛物线与关于轴对称， 抛物线解析式为； ②设，，，点在轴正半轴， 当直角顶点在轴正半轴时，如图所示： 同①得，，，， 设抛物线解析式为， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得， 抛物线解析式为； 当点在轴负半轴时，此时的抛物线与关于轴对称， 抛物线解析式为； 综上抛物线解析式为或或或， 故答案为：或或或． 【考点评析】本题考查了定点系数法求函数解析式和含30度角的三角形，关键是分情况讨论，求出，，坐标． 【举一反三2】（2024•黑龙江三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，，点在轴上，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）先利用一次函数解析式确定，再把点坐标代入得，接着利用对称轴方程求出，从而得到抛物线解析式为； （2）与直线相交于点，如图，先确定，再解方程组得到，设，接着利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【规范解答】解：（1）当时，， ， 把代入得， 抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）存在． 与直线相交于点，如图， 当时，， ， 解方程组， 解得或， ， 设， ， ， 解得或， 点坐标为或． 【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 考点讲练9：二次函数的三种形式 【精讲题】（2023秋•大悟县校级月考）用配方法把二次函数写成的形式为 　　． 【思路点拨】先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数的三种形式，关键是将二次函数表达式化为顶点式． 26．（2023秋•汕尾期末）将二次函数配方成的形式． 【思路点拨】根据配方法整理即可得解． 【规范解答】解：， 所以， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 【举一反三1】（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当取何值时，随的增大而减少？ （4）当取何值时，，，， （5）当时，求的取值范围； （6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【思路点拨】（1）直接利用配方法得出函数顶点式即可； （2）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象； （3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案； （4）利用函数图象得出答案即可； （5）利用以及是求出函数值进而得出答案； （6）利用函数图象得出三角形面积即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）当，则， 解得：，， 故图象与轴交点坐标为：，， 当，， 故图象与轴交点坐标为：， 如图所示： ； （3）当时，随的增大而减少； （4）当或3时，， 当或时，， 当时；； （5）当时， 时，，时，， 故的取值范围是：； （6）如图所示： 函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：． 【考点评析】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求法，正确画出函数图象是解题关键． 考点讲练10：抛物线与x轴的交点 【精讲题】（2023秋•巧家县期末）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【规范解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 方程的根为，， 即方程的另一个根为． 故选：． 【考点评析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；△决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 【举一反三1】（2024•呼和浩特二模）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，，，是曲线上两点，若，，则．其中，正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】把，代入，左边，右边，可判断①；将代入并计算即可判断②；计算抛物线对称轴并根据可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性可判断④． 【规范解答】解：把，代入， 左边，右边， 该函数图象过定点， 故①正确； 当时，， ， 函数图象与轴无交点，故②正确； 抛物线的对称轴为：， ， ， 当时，，对称轴在轴左侧， 当时，，对称轴在轴右侧， 故③错误； ， ， ，， ，在对称轴左侧，，在对称轴右侧， ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，， 此时，， ， ， ， 故④正确， 故选：． 【考点评析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征． 【举一反三2】（2024春•仓山区校级期末）函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）方程的两个根为　　，　　； （2）当随着的增大而减小时，自变量的取值范围为 　　； （3）当时，则的取值范围为 　　； （4）若方程有两个不相等的实数根，取值范围是 　　． 【思路点拨】正确结合抛物线与轴交点逐一分析即可． 【规范解答】（1）方程的两个根为，； 故答案为：，5； （2）当随着的增大而减小时，自变量的取值范围为； 故答案为：； （3）当时，则的取值范围为； 故答案为：； （4）若方程有两个不相等的实数根，取值范围是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了抛物线与轴交点，解题关键是正确结合图象分析． 考点讲练11：图象法求一元二次方程的近似根 【精讲题】（2023秋•黔东南州期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是　　 A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 【思路点拨】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：二次函数过．，，，对称轴为直线，故错误，不合题意； 由表格可得，当时，随的值增大而减小， 该函数开口向下，故选项错误，不符合题意； 图象过点，， ，即， 该函数图象与轴的交点在轴的上方，故错误，不合题意； 由表中数据可知：在与之间， 故对应的的值在与0之间， 故对应的的值在2与3之间，即，故正确，符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 【举一反三1】（2024•泰安）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【规范解答】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间， 与轴的另一个交点在，0之间， 方程一定有一个根在和0之间，故②错误； 抛物线与直线有两个交点， 方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； 抛物线与轴的另一个交点在，0之间， ， 图象与轴交点的纵坐标是2， ， ， ．故④错误． 故选：． 【考点评析】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【举一反三2】（2024•硚口区模拟）抛物线，，是常数，经过点，其中．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根在到0之间；③当时，随的增大而增大；④分式的值小于2．其中正确的结论是 　①②④　（填写序号）． 【思路点拨】将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，即可判断③；将时，，即，裂项变形即可判断④． 【规范解答】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ，故结论①正确； ②令，则，两根之和，，两根之积，， 、均小于0， 当时，，，抛物线开口向下， 抛物线有1个根在到0之间，即有1个根在到0之间，②正确； ③，， ， ， ， ，结论③错误； ④当时，，即， ， ， ， ， ，④正确． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 考点讲练12：根据实际问题列二次函数关系式 【精讲题】（2023秋•东莞市校级月考）如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为平方米，则绿地面积与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为米，宽为米的矩形的面积，以此即可求解． 【规范解答】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动， 则空白部分为矩形，长为米，宽为米， 绿地面积与之间的函数表达式为． 故选：． 【考点评析】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 【举一反三1】（2023秋•黄浦区期末）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点、分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是 　　．（不必写定义域） 【思路点拨】根据图中的几何关系先把表示出来，再利用矩形面积公式得到与的表达式． 【规范解答】解：是等腰直角三角形，四边形是矩形， 、是等腰直角三角形， 厘米，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质． 【举一反三2】（2021秋•东莞市月考）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点在线段上，从点开始沿边以1厘米秒的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以1厘米秒的速度向点移动．如果、同时分别从、出发，写出出发时间与的面积的函数关系式，求出的取值范围． 【思路点拨】的面积，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可． 【规范解答】解：，， ， ． 【考点评析】解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑． 考点讲练13：二次函数的应用 【精讲题】（2024•福田区校级模拟）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可． 【规范解答】解：米， 当时，， 当水位上升5米时，， 把代入抛物线表达式得：， 解得， 此时水面宽， 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 【举一反三1】（2024•雁塔区校级一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【思路点拨】（1）根据题意可得，，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【规范解答】解：（1）由题意得，，， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线解析式为； （2）船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． 抛物线解析式为， 抛物线顶点坐标为， 当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， 如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•伊犁州期末）一名在校大学生利用“互联网”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元与销售价（元件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果每天获得104元的利润，销售单价为多少元？ 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天销售利润每件的销售利润销售量得出函数解析式，再配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可； （3）根据每天获得104元的利润列出关于的一元二次方程，解之即可得出答案． 【规范解答】解：（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知 ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144； （3）根据题意知，， 或（舍去）， 答：销售单价为14元． 【考点评析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质． 考点讲练14：二次函数综合题 【精讲题】（2024•东莞市校级二模）如图，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形，必须满足，即可求出． 【规范解答】解：令，得：． ． 令，得：， ， ，，，， ，． 要使平行四边形是矩形，必须满足， ． ， ． ，应满足关系式． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 【举一反三1】（2024•安徽模拟）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为． （1）当是等腰直角三角形时，点的坐标为 　　； （2）当是直角三角形时，的值为 　　． 【思路点拨】（1）设函数的对称轴与轴的交点为，根据题意可得，由此求点坐标即可； （2）先证明，可得，求出的值，再用待定系数法求函数的解析式即可． 【规范解答】解：（1），， ，， ， 设函数的对称轴与轴的交点为， 是等腰直角三角形， ， 点坐标为， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， 点在轴的负半轴上， ， 将点，代入中， ， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【举一反三2】（2024•美兰区校级一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点和点关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接、，求△的面积； （3）在对称轴右侧的抛物线上有一点，平面内是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （4）连接、，将抛物线向下平移后，点落在平面内一点处，过、两点的直线与线段交于点，当△与△相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 【思路点拨】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果； （2）可推出△是直角三角形，进一步得出结果； （3）只需△是等腰三角形，分为当时，点是点关于抛物线的对称轴的对称点；当时，此时在的垂直平分线上，可求得的解析式，进一步得出结果； （4）分为当点在轴的上方和在轴上两种情形：当点在轴上方时，作于，作于，根据△△得出，可求得的长，进而得出的长，可求得△是等腰直角三角形，进而求得和，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；当点在轴上时，进一步得出结果． 【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为：， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ； （3）当四边形是菱形时，此时， 由对称性可得， ， ， 如图1， 当四边形是菱形，， 作， ， ，， 的中点坐标为：，， 由（1）知：， ， ，， 的解析式为：， ， 的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ， ， ， 综上所述：或； （4）如图2， 当点在轴上方时， 作于，作于， ， △△， ， ，，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 平移后的抛物线的解析式为：， 当点在轴时，点和点重合， 此时△与△全等， 抛物线的解析式为：， 综上所述：当△与△相似时，平移后抛物线的解析式为：或． 【考点评析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论 中等题真题汇编练 1．（2024•金乡县二模）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④； ⑤若，为方程的两个根，则且． 其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【规范解答】解：由抛物线与轴交于点，其对称轴为直线可得， ，，即，与轴的另一个交点为，， 抛物线开口向下，，， 抛物线与轴交于正半轴，因此， 所以，，因此①正确； 由，而， 所以，又， 因此，所以②正确； 抛物线的对称轴为，，因此当时，随的增大而增大，所以③不正确； 由于抛物线的顶点在第二象限，所以，因此，故④正确； 抛物线与轴的交点为，，， 因此当时，相应的的值应在的左侧和的右侧， 因此，，所以⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故选：． 2．（2023秋•华阴市期末）已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【规范解答】解：二次函数为常数，且的图象上有三点，，， 对称轴． 设点的对称点为，， 所以． 解得， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 对称轴的右侧随的增大而增减小． ， 所以． 故选：． 3．（2024•开福区校级二模）二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【规范解答】解：抛物线解析式为， 二次函数图象的顶点坐标是． 故选：． 4．（2023秋•屯昌县期末）抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【规范解答】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 5．（2024•宝应县三模）如图，菱形的边长为2，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则　　． 【规范解答】解：过点作轴交轴于点， 菱形的边长为2， ， ， ， ，， ， ，， 把，代入， ． 故答案为：． 6．（2023秋•泰山区期末）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 　　． 【规范解答】解：如图，当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故答案为：． 7．（2024•二道区校级模拟）如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作，和构成的图形记作． 关于图形，给出如下四个结论：①图形关于轴成轴对称；②图形有最小值，且最小值为0；③当时，图形的函数值都是随着的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是 　①②④　． 【规范解答】解：①由图形可知，图形关于轴成轴对称，故正确； ②图形有最小值，且最小值为0，故正确； ③当时，图形的函数值先随着的增大而减小，当函数值为0后，再随的增大而增大，故③错误； ④当时，图形恰好经过，，，，共5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故④正确， 所以，①②④是正确的结论． 故答案为：①②④． 8．（2024•凉州区二模）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为 　6　． 【规范解答】解：长为4，是半圆的直径， 点坐标为，点坐标为， 将点坐标代入抛物线的解析式为， 得，， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 点坐标为， ， ， ， 故答案为：6． 9．（2023秋•罗定市期末）为响应扬州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边用墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边 ，面积为 （如图）． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【规范解答】解：（1）根据题意得：， ， ， 与之间的函数关系式为； （2）由（1）知， 化成顶点式：， 因为开口向下，值越靠近对称轴，值最大，且， 当时，有最大值，且为， 此时，符合题意． 10．（2024•丛台区校级模拟）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点和其正上方点处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求、之间的距离； （3）若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出的取值范围． 【规范解答】解：（1）由题意可知：第一次灭火时水流最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：， ， 答：消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为：； （2）两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 由题意可知该抛物线过点， ， 解得：， ， 令，则， ， ， ， 答：、之间的距离为； （3）由题意可知：灭火过程中与始终满足， 将代入后可得， ， ， 当抛物线过点时，， 解得：； 当抛物线过点时，， 解得：； ； 答：当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，求的取值范围是． 11．（2024•茅箭区校级模拟）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件与每件售价（元之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【规范解答】解：（1）设每天的销售量（件与每件售价（元函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； （3）根据故意得： ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 12．（2024•顺河区一模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表： 0 1 2 3 3 0 0 0 3 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　其图象关于轴对称（答案不唯一）　． （2）进一步探究函数图象发现： ①方程有 　　个实数根； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 　　． 【规范解答】解：（1）画出函数图象如图： 由图象可得一条性质是：其图象关于轴对称， 故答案为：其图象关于轴对称（答案不唯一）； （2）①方程有3个实数根； 故答案为：3； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是． 故答案为：． 培优题真题汇编练 13．（2024•武威二模）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【规范解答】解：①由抛物线的开口方向向下， 则，故①正确； ②抛物线的顶点为， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ③抛物线经过点， ，即，故③错误； ④抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，即④正确； ⑤， ， ，则⑤正确 故选：． 14．（2024•大冶市模拟）已知抛物线，，是常数，经过点，，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②若点，，均在函数图象上，则；③若方程的两根为，且，则；④．其中，正确结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【规范解答】解：①对称轴为直线， ， ， 将，代入，得， ， ．．， 时，， ， ，①错， ②， 抛物线开口响上， 距对称轴越近，函数值越小， ，，， ，②错， ③由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为，， 抛物线解析式为， 方程的解可看作函数与函数的交点的横坐标， 在轴以下， ，应在，与点，之间，则，③对， ④由①得， 当，④对． 故选：． 15．（2024•驻马店一模）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【规范解答】解：由一次函数的图象可得：，， 所以，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线．正确， 故选：． 16．（2024•威海模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【规范解答】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立方程， 当△时，抛物线与直线有两个交点， 即， 解得， 此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入得， 把代入得， ， 解得， 满足题意． 故选：． 17．（2024•江南区校级开学）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为18米，这时水面离桥顶的高度是 　13.5　米． 【规范解答】解：由，由题知， 当时，， 即水面离桥顶的高度是13.5米， 故答案为：13.5． 18．（2024•米东区一模）如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图象上，则；⑥．其中错误的结论是 　①⑤　（填序号）． 【规范解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴是直线， ，即， ， 经过点， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， △，故②正确； 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，， ，故③正确； 抛物线的对称轴是直线， 直线和直线与对称轴距离相等，则和时的函数值相等，故④正确； 抛物线的对称轴是直线，且开口向下， 离对称轴越近，函数值越大， ，故⑤错误； 当时，， ， ，故⑥正确； 故答案为：①⑤． 19．（2024•义乌市模拟）现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是 　①②③　． ①当时，函数图象的顶点坐标为，； ②当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点，、，，则当时，函数在时一定能使成立． 【规范解答】解：①当时，， 顶点坐标为，， 故①正确； ②当时，由得：△， ， ，， ， 函数图象截轴所得的线段长度大于， 故②正确； ③当时，， 当时，的值与无关， 此时，， 当，；当时，， 函数图象总经过两个定点，，， 故③正确； ④时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下， 故时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即成立， 故④错误． 故答案为：①②③． 20．（2023秋•义乌市月考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式 　　； （2）若点在抛物线对称轴上，点在坐标平面内，当点坐标为 　　，点坐标为 　　时，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 【规范解答】解：（1）当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； 故答案为：； （2）点在抛物线对称轴上， 设， 以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ， ，， ． 故当点坐标为，点坐标为时，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 21．（2024•云南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为、（点在点的左侧），且． （1）求抛物线的对称轴及与的数量关系； （2）若将此抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为，当在内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出的取值范围． 【规范解答】解：（1）， 抛物线的对称轴为直线， ， 点的坐标为， 把代入得： ， ； （2）由（1）得：抛物线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， 此时线段上的整数点有三个：，，， 顶点坐标为， 在内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的取值范围为或． 22．（2024•柘城县校级模拟）在文艺汇演来临之际，九年级2班同学准备装饰教室．他们在相对的两面墙上的，两点之间拉了一根彩带，彩带自然下垂后呈抛物线形，地面上两点，分别在点，的正下方，已知米，和之间的水平距离为10米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时彩带自然下垂形状可近似看作抛物线． （1）求该抛物线的函数表达式及彩带到地面的最小距离． （2）为了使彩带的造型美观，现将图1中彩带最低点固定在灯上（灯宽度、厚度不计，图中所有点均在同一竖直平面内），且灯到和的距离相等，这样灯两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线，如图2所示．若两个新抛物线最低点之间的水平距离为4米，且灯到地面的距离为2.7米，则图2中彩带最低点比之前升高了多少米？ 【规范解答】解：（1）由题意，可知抛物线的对称轴为直线，且过点， ，且． ． 抛物线的函数表达式为． 当 时，， 彩带到地面的最小距离为2.25米． （2）由题意，两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米， 左边的新抛物线的对称轴为直线． 设左边的新抛物线的函数表达式为， 由题意，可知，． 把，代入 中， ． ． （米． 答：图2中彩带最低点比之前升高了0.21米． 23．（2024•广平县模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围． 【规范解答】解：（1）如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为； （3）， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 24．（2024•新兴县一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求四边形的最大面积及此时点的坐标． 【规范解答】解：（1）将、点坐标代入函数解析式，得 ， 解得 抛物线的解析式， （2）如图： 由勾股定理，， ， ，， 时，设， ， 解得 ， 综上所述：，，； （3）当时，，，即，． 的解析式为，设点横坐标为，，即， ， ， ， ， 当时，， ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$