第21章《一元二次方程》章节复习讲义（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第21章《一元二次方程》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：一元二次方程的定义 5 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 6 考点讲练3：一元二次方程的解 7 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 7 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 8 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 9 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 9 考点讲练8：换元法解一元二次方程 10 考点讲练9：根的判别式 11 考点讲练10：根与系数的关系 12 考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 13 考点讲练12：一元二次方程的应用 14 考点讲练13：配方法的应用 15 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 19 导图指引 新知精讲梳理 知识点1：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只 ，并且未知数的 的 ，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使 叫做一元二次方程的解，也叫做 细节剖析： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是 ，否则一定 一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的 ，看是否具备另两个条件：①一个 ；②未知数的最高次数为 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点2：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程 2．基本解法 细节剖析： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用 知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有 的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有 的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程 实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 细节剖析： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点4：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是 审题； 　　二是把握问题中的 　　三是 的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清 等)； 　　　设 (设 ，有时会用 )； 　　　列 (根据题目中的 ， )； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 细节剖析： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为 ，然后由数学问题的解决而获得对 的解决. 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义与识别 定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。 识别错误：在将方程化为一般形式（ax² + bx + c = 0）时，容易忽略某些项或合并错误，导致方程形式不正确。 应对策略： 强调一元二次方程的定义和三个条件，通过实例练习帮助学生准确识别。 在化简和整理方程时，要特别注意各项的符号和系数，确保方程的一般形式正确。 易错知识点02：一元二次方程的解法 配方法使用不当：在配方过程中，容易出现常数项移动错误、二次项系数未化为1或配方不完全等问题。 公式法计算失误：在使用求根公式时，容易在计算判别式（b²-4ac）或代入公式时出错。 因式分解法不熟练：对于可以通过因式分解法求解的方程，学生可能无法准确找到公因式或进行十字相乘法分解。 应对策略： 加强配方法、公式法和因式分解法的练习，特别是配方法中的常数项移动、二次项系数化为1和配方完成等步骤。 在使用公式法时，要仔细计算判别式并正确代入公式求解。 对于因式分解法，要熟练掌握提取公因式、公式法和十字相乘法等技巧，并通过大量练习提高解题速度和准确性。 易错知识点03：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 记忆混淆：学生容易混淆根与系数的关系公式（x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a）中的符号和系数。 应用不当：在利用根与系数的关系解决问题时，容易忽略方程的实际情况（如方程是否有实数根）或计算错误。 应对策略： 通过实例讲解和练习帮助学生准确记忆和理解根与系数的关系公式。 在应用根与系数的关系时，要特别注意方程的实际情况和计算过程的准确性。 易错知识点04：一元二次方程的实际应用 题意理解不清：在解决实际问题时，学生容易对题目中的条件理解不清或忽略某些关键信息。 模型建立错误：无法根据题意正确建立一元二次方程模型或建立的模型不符合实际情况。 应对策略： 加强审题训练，帮助学生准确理解题目中的条件和要求。 通过实例讲解和练习帮助学生掌握如何根据题意建立一元二次方程模型，并注意模型的合理性和实际情况的符合性。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（2024春•南关区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024春•桐乡市月考）　　时，关于的方程是一元二次方程． 【举一反三2】（2023春•北仑区校级期中）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数” 、、，其中，，为正整数），请直接写出，，所满足的关系式 　　；判断241 　　“喜鹊数”（填“是”或“不是” ，并写出一个“喜鹊数”　　； （2）利用（1）中“喜鹊数” 中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求与满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有的值． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（2023秋•庄浪县期末）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D． 【举一反三1】（2023秋•顺德区校级月考）把方程化为一元二次方程的一般形式得 　　． 【举一反三2】（2023秋•惠来县期中）根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： （1）将二次三项式分解因式； （2）解一元二次方程； （3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解．如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（2024春•东营区校级月考）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是　　 A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【举一反三1】（2024•南充模拟）设是关于的方程的一个实数根，若，则　　． 【举一反三2】（2024•广东三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 【精讲题】（2023秋•醴陵市期末）方程：的解是　　 A． B． C．， D． 【举一反三1】．（2023秋•武胜县期末）若方程的解是，则方程的解是　，　． 【举一反三2】（2023秋•台江区校级月考）解下列方桯： （1） ； （2）． 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 【精讲题】（2023秋•宿迁期末）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024春•广饶县期末）用配方法解方程时，下列配方错误的是　　 A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【举一反三2】（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．第一步 二次项系数化为1，得．第二步 配方，得．第三步 因此．第四步 由此得或．第五步 解得，．第六步 （1）王明的解题过程从第 　 　步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 【精讲题】（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有 　 　 个． 【举一反三1】（2023秋•新会区期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较大的数，如：，． （1）方程，的解为 　，　 ； （2）方程，的解为 　　． 【举一反三2】（2024•绿园区校级开学）解方程： （1） ； （2）． 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 【精讲题】（2024•兴庆区校级一模）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•南关区校级开学）解下列方程： （1） ； （2）． 【举一反三2】（2024•凉州区二模）按要求解下列方程： （1） （因式分解法）； （2）（公式法）． 考点讲练8：换元法解一元二次方程 【精讲题】（2024•城关区校级一模）已知、实数且满足，则的值为　　． 【举一反三1】（2023秋•川汇区校级月考）【阅读理解】为了解方程，我们可以将看作一个整体，设那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，， 当时，，，， 综上，原方程的解为，，，． 【方法分析】填空：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了 　 　的目的，体现数学的 　　思想； 【小试牛刀】请利用以上方法解方程：； 【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是5760，求这四个偶数中最小的偶数． 【举一反三2】（2023秋•平桥区校级月考）阅读材料，解答问题． 为解方程，我们将视为一个整体，然后设，则，原方程化为（※），解得，．当时，，所以，所以；当时，，这不成立．所以原方程的解为，．解答问题： （1）填空：由原方程得到方程（※）的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想； （2）解方程：． 考点讲练9：根的判别式 【精讲题】（2024•卧龙区校级二模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【举一反三1】（2024春•南岗区校级月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【举一反三2】（2024•富顺县一模）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 考点讲练10：根与系数的关系 【精讲题】（2023春•定远县期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 【举一反三1】（2024春•海门区校级期中）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【举一反三2】（2024•雁塔区校级开学）已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 【精讲题】（2024•南岗区校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•江北区校级模拟）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为　　 A． B． C． D． 【举一反三2】（2024•武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为　　 A． B． C． D． 考点讲练12：一元二次方程的应用 【精讲题】（2023秋•东西湖区期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则　　 A．， B．， C．， D．， 【举一反三1】（2024春•怀宁县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元每天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【举一反三2】（2024春•新会区校级期末）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． （2）根据你所列的方程求出的值． 考点讲练13：配方法的应用 【精讲题】（2024•两江新区模拟）对于整式、、，在每个式子整体前添加“”或“”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为，例如，下列相关说法正确的个数是　　 ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作的化简结果为为常数），则或； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为，则的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三1】（2023春•邗江区期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值． 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求、的值； （3）若，，求的值． 【举一反三2】（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； （2）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题： （3）已知，则　　； （4）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： （5）已知实数、满足，求的最值． 中等题真题汇编练 1．（2024春•莒县校级期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 2．（2024•大洼区校级二模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 3．（2023秋•福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•仓山区校级期末）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是　　 A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．无法确定 5．（2023秋•仁寿县期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则　　秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 6．（2024•杭锦后旗校级开学）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　　． 7．（2024•平原县模拟）方程的解为：　　． 8．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 　　． 9．（2023秋•宿迁期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为 　　． 10．（2024春•滨江区校级期末）若为方程的一个根，则代数式的值为 　　． 11．（2024•历城区校级开学）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 　　； 12．（2024•南关区校级开学）关于的一元二次方程没有实数根是常数），则的取值范围是 　　． 13．（2024•朝阳区校级开学）解一元二次方程： （1）； （2）． 14．（2024•朝阳区校级开学）如图，要利用一面墙（墙长为建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 15．（2024•扶沟县一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 培优题真题汇编练 16．（2024•东昌府区校级模拟）关于的一元二次方程的两个根为，，且，则 的值为　　 A．1 B． C．3 D． 17．（2024•郸城县模拟）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 18．（2024•庆云县模拟）若，是方程的两个根，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 19．（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 20．（2024•朝阳区校级模拟）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 　　． 21．（2024•山东）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 22．（2024•滨州三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 　　． 23．（2023春•定远县期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 24．（2024春•秦都区校级月考）如图，周长为的矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积． 25．（2024春•泰州期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，设这种纪念品每套上涨元． （1）平均每天的销售量为 　　套（用含的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 26．（2024•泰山区校级模拟）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？ 27．（2023秋•头屯河区期末）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 28．（2024春•怀宁县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元每天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 　　 　　 　　 （2） 若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 29．（2023秋•单县期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下： 活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第21章《一元二次方程》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：一元二次方程的定义 6 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 8 考点讲练3：一元二次方程的解 9 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 11 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 12 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 15 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 17 考点讲练8：换元法解一元二次方程 19 考点讲练9：根的判别式 22 考点讲练10：根与系数的关系 24 考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 28 考点讲练12：一元二次方程的应用 29 考点讲练13：配方法的应用 32 中等题真题汇编练 37 培优题真题汇编练 44 导图指引 新知精讲梳理 知识点1：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 细节剖析： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点2：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 细节剖析： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 细节剖析： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点4：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 细节剖析： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义与识别 定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。 识别错误：在将方程化为一般形式（ax² + bx + c = 0）时，容易忽略某些项或合并错误，导致方程形式不正确。 应对策略： 强调一元二次方程的定义和三个条件，通过实例练习帮助学生准确识别。 在化简和整理方程时，要特别注意各项的符号和系数，确保方程的一般形式正确。 易错知识点02：一元二次方程的解法 配方法使用不当：在配方过程中，容易出现常数项移动错误、二次项系数未化为1或配方不完全等问题。 公式法计算失误：在使用求根公式时，容易在计算判别式（b²-4ac）或代入公式时出错。 因式分解法不熟练：对于可以通过因式分解法求解的方程，学生可能无法准确找到公因式或进行十字相乘法分解。 应对策略： 加强配方法、公式法和因式分解法的练习，特别是配方法中的常数项移动、二次项系数化为1和配方完成等步骤。 在使用公式法时，要仔细计算判别式并正确代入公式求解。 对于因式分解法，要熟练掌握提取公因式、公式法和十字相乘法等技巧，并通过大量练习提高解题速度和准确性。 易错知识点03：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 记忆混淆：学生容易混淆根与系数的关系公式（x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a）中的符号和系数。 应用不当：在利用根与系数的关系解决问题时，容易忽略方程的实际情况（如方程是否有实数根）或计算错误。 应对策略： 通过实例讲解和练习帮助学生准确记忆和理解根与系数的关系公式。 在应用根与系数的关系时，要特别注意方程的实际情况和计算过程的准确性。 易错知识点04：一元二次方程的实际应用 题意理解不清：在解决实际问题时，学生容易对题目中的条件理解不清或忽略某些关键信息。 模型建立错误：无法根据题意正确建立一元二次方程模型或建立的模型不符合实际情况。 应对策略： 加强审题训练，帮助学生准确理解题目中的条件和要求。 通过实例讲解和练习帮助学生掌握如何根据题意建立一元二次方程模型，并注意模型的合理性和实际情况的符合性。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（2024春•南关区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【规范解答】解：．，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； ．，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是分式方程，故本选项不符合题意； ．不是整式方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【举一反三1】（2024春•桐乡市月考）　1　时，关于的方程是一元二次方程． 【思路点拨】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，判断即可确定出的值． 【规范解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故答案为：1． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 【举一反三2】（2023春•北仑区校级期中）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数” 、、，其中，，为正整数），请直接写出，，所满足的关系式 　　；判断241 　　“喜鹊数”（填“是”或“不是” ，并写出一个“喜鹊数”　　； （2）利用（1）中“喜鹊数” 中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求与满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有的值． 【思路点拨】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出与互为倒数，又，得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【规范解答】解：（1）是喜鹊数， ，即； ，，， 不是喜鹊数； 各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， 十位上的数字的平方最小为4， ，， 最小的“喜鹊数”是121． 故答案为：；不是；121． （2）是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为：． （3），， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有的值为121，242，363，484． 故答案为：121，242，363，484． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（2023秋•庄浪县期末）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D． 【思路点拨】根据一元二次方程的定义和题意列出满足的条件求解即可． 【规范解答】解：由题意，， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 【举一反三1】（2023秋•顺德区校级月考）把方程化为一元二次方程的一般形式得 　　． 【思路点拨】把方程化为形式即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【举一反三2】（2023秋•惠来县期中）根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： （1）将二次三项式分解因式； （2）解一元二次方程； （3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解．如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 【思路点拨】（1）利用十字相乘法进行分解； （2）把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可； （3）把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可． 【规范解答】解： ； （2）． 利用十字相乘法，得 ． 或． ，． （3）． 利用十字相乘法，得 ． 或． ，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（2024春•东营区校级月考）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是　　 A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【思路点拨】根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可． 【规范解答】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程定义是关键． 【举一反三1】（2024•南充模拟）设是关于的方程的一个实数根，若，则　　． 【思路点拨】由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程；再根据判别式，则可求得的取值范围． 【规范解答】解：是方程的一个实数根， ， 即． ， ， 即， 解得或， 又由关于的一元二次方程有实数根， △，即， 解得， ． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 【举一反三2】（2024•广东三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 【思路点拨】（1）求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可； （2）判断出方程的解是1，可得结论． 【规范解答】解：（1）， 由①得，， 由②得，， ； （2）由题意，是的一个解， ， ． 【考点评析】本题考查二次方程的解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握不等式组的解法． 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 【精讲题】（2023秋•醴陵市期末）方程：的解是　　 A． B． C．， D． 【思路点拨】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求25的平方根． 【规范解答】解：移项得，，．故选：． 【考点评析】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 【举一反三1】．（2023秋•武胜县期末）若方程的解是，则方程的解是　，　． 【思路点拨】由题意可知，即可得出，然后利用直接开平方法解方程即可． 【规范解答】解：方程的解是， ， 方程中，， ， ，， 故答案为：，． 【考点评析】此题主要考查了直接开平方法法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•台江区校级月考）解下列方桯： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， 则，即， ，； （2），，， △， 则， ，． 【考点评析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 【精讲题】（2023秋•宿迁期末）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•广饶县期末）用配方法解方程时，下列配方错误的是　　 A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【思路点拨】将各项中的方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【规范解答】解：、， 移项得：， 配方得：，即，本选项正确； 、， 移项得：， 配方得：，即，本选项错误； 、， 移项得：， 配方得：，即，本选项错误； 、， 方程化简得：， 配方得：，即，本选项错误， 故选：． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解． 【举一反三2】（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．第一步 二次项系数化为1，得．第二步 配方，得．第三步 因此．第四步 由此得或．第五步 解得，．第六步 （1）王明的解题过程从第 　二　步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 【思路点拨】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【规范解答】解：（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 【考点评析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 【精讲题】（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有 　0　个． 【思路点拨】求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式和二次函数的性质即可判断． 【规范解答】解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， 这个点的对应方程为， ， 当有最小值，当有最大值， ，即△， 线段上任意点的对应方程都没有实数根， 故答案为：0 【考点评析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 【举一反三1】（2023秋•新会区期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较大的数，如：，． （1）方程，的解为 　，　； （2）方程，的解为 　　． 【思路点拨】（1）由题意得出，再解一元二次方程即可得到答案； （2）分两种情况：当时，即时，，；当时，即时，，，分别解一元二次方程即可得到答案． 【规范解答】解：（1），， ， ， 解得：，， 方程，的解为，， 故答案为：，； （2）当时，即时，，， 即， 解得：，不符合题意； 当时，即时，，， 即， 解得：，， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，新定义下的实数的运算，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【举一反三2】（2024•绿园区校级开学）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解即可； （2）先求出的值，再代入公式求出即可． 【规范解答】解：（1）方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是； （2）， ， ， ，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能熟记公式是（2）的关键． 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 【精讲题】（2024•兴庆区校级一模）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用配方法把方程变形，结合图形解答． 【规范解答】解： 正方形面积（阴影部分）， 故选：． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程的一般步骤是解题的关键． 【举一反三1】（2024•南关区校级开学）解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程． （2）利用因式分解法解方程． 【规范解答】解：（1）， ， ， 则或， 解得：，． （2）， ， ， 则或， 解得：，． 【考点评析】此题主要考查了因式分解法解方程，正确掌握因式分解法是解题关键． 【举一反三2】（2024•凉州区二模）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【思路点拨】（1）移项后，用提取公因式法分解因式求解； （2）先求出，再根据求根公式求解． 【规范解答】解：（1）原方程可变形为． ， 或， ； （2）， 这里， ， ， 即． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法． 考点讲练8：换元法解一元二次方程 【精讲题】（2024•城关区校级一模）已知、实数且满足，则的值为　4　． 【思路点拨】设．由原方程得到求得的值即可． 【规范解答】解：设．由原方程得到． 整理，得． 所以或（舍去）． 即的值为4． 故答案为：4． 【考点评析】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【举一反三1】（2023秋•川汇区校级月考）【阅读理解】为了解方程，我们可以将看作一个整体，设那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，， 当时，，，， 综上，原方程的解为，，，． 【方法分析】填空：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了 　降次　的目的，体现数学的 　　思想； 【小试牛刀】请利用以上方法解方程：； 【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是5760，求这四个偶数中最小的偶数． 【思路点拨】【方法分析】题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； 【小试牛刀】令，得，用因式分解法解方程求出的值，再求出的值； 【拓展应用】设最小的偶数为，则其他四个偶数一次为，，，列方程求解即可． 【规范解答】解：【方法分析】将设为，利用了换元法达到了降次的目的，体现了整体与划归的数学思想， 故答案是：降次，整体与划归； 【小试牛刀】令，则， 解得，， 当时，， 解得，， 当时，，， 综上：方程的解是，，； 【拓展应用】设最小的偶数为，则其他四个偶数一次为，，， ， 设，则， 解得或， 当时，，即， △， 无实数根， 当时，，即， ，， 最小的偶数为或6． 【考点评析】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 【举一反三2】（2023秋•平桥区校级月考）阅读材料，解答问题． 为解方程，我们将视为一个整体，然后设，则，原方程化为（※），解得，．当时，，所以，所以；当时，，这不成立．所以原方程的解为，．解答问题： （1）填空：由原方程得到方程（※）的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想； （2）解方程：． 【思路点拨】（1）由原方程得到方程（※）的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化得数学思想； （2）令，则，原方程可化为：．据此即可求解． 【规范解答】（1）由原方程得到方程（※）的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化得数学思想 故答案为：换元，转化； （2）令，则， 原方程可化为：， ， 解得：，， 当时，， ； 当时，，不成立， 原方程的解为：，． 【考点评析】本题考查了利用换元法将高次方程转化为一元二次方程求解．注意计算的准确性． 考点讲练9：根的判别式 【精讲题】（2024•卧龙区校级二模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【思路点拨】先求出△的值，再判断出其符号即可． 【规范解答】解：△， 方程有两个不等实根． 故选：． 【考点评析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键． 【举一反三1】（2024春•南岗区校级月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据方程有两个不等的实数根，故△，得不等式解答即可． 【规范解答】解：由已知得△，即， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型． 【举一反三2】（2024•富顺县一模）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 【思路点拨】（1）用表示方程里的，直接得结论； （2）先把方程变形，再利用根的判别式，计算出的取值范围； （3）变形方程整理，即得的值． 【规范解答】解：（1）用表示方程里的， 可得． （2）用表示方程里的， 得． 整理，得 变形后的方程有两个不相等的实数根， △ ， ． （3）． （方程的变形方程为， 整理，得， 即 由于方程的变形方程为， 所以． 【考点评析】本题考查了换元法、根的判别式、不等式的解法．题目难度不大，掌握根的判别式是关键． 考点讲练10：根与系数的关系 【精讲题】（2023春•定远县期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【规范解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，， ， ， ， ． 若时，则，， 即，则，， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 【考点评析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 【举一反三1】（2024春•海门区校级期中）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【思路点拨】（1）当时，四边形是菱形，即方程的两个实数根相等，根据根的判别式为0可得关于的方程，解之可得的值，再还原方程，求解可得； （2）根据根与系数的关系可得，解之可得的长，继而得出周长； （3）由根与系数的关系可得，，代入到，解之可得． 【规范解答】解：（1）当时，四边形是菱形，即方程的两个实数根相等， ， 解得：， 此时方程为， 解得：， 这时菱形的边长为； （2）根据题意知，， 解得：， 平行四边形的周长是； （3）方程的两个实数根分别为，， ，， 代入到，可得， 解得：． 【考点评析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，理解题意得出相应的方程是解题的关键． 【举一反三2】（2024•雁塔区校级开学）已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【思路点拨】（1）求出△，可知△，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：△ ， ， △， 该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的两个实数根为，， ，， ． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 【精讲题】（2024•南岗区校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 【规范解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 即． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 【举一反三1】（2024•江北区校级模拟）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三2】（2024•武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得 ． 【规范解答】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为： ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 考点讲练12：一元二次方程的应用 【精讲题】（2023秋•东西湖区期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则　　 A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可得出结论． 【规范解答】解：如图， 由题意得：，， ，， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•怀宁县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元每天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【思路点拨】（1）住满为60间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费每间房实际定价入住量，每间房实际定价，列出方程． 【规范解答】解：（1）增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， 入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是． 故答案为：；；； （2）依题意得：， 整理，得 ， 解得，． 当时，有游客居住的客房数量是：（间． 当时，有游客居住的客房数量是：（间． 所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元． 答：每间客房的定价应为300元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【举一反三2】（2024春•新会区校级期末）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． （2）根据你所列的方程求出的值． 【思路点拨】（1）设金色纸边的宽度为分米，那么挂画的长可表示为分米，挂画的宽可表示为分米，根据挂画的面积为80平方分米，列方程即可； （2）求解（1）所列的方程． 【规范解答】解：（1）设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长为分米，挂画的宽为分米， 由题意得； （2）整理方程得：， 解得：，（不合题意舍去）． 答：金色纸边的宽度为1分米， 故答案为：，，． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 考点讲练13：配方法的应用 【精讲题】（2024•两江新区模拟）对于整式、、，在每个式子整体前添加“”或“”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为，例如，下列相关说法正确的个数是　　 ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作的化简结果为为常数），则或； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为，则的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】①根据题意，找出一种“和绝对”操作使操作后化简结果为常数，即①正确； ②为常数），凑“和绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式，求得的取值范围，可判定②； ③每一个整式添“”或“”所以每一个整式有两种变化情况，共3个整式，就有，分别计算可判定③． 【规范解答】解：①使操作后化简的结果为常数，即使的系数为0， 有， 符合题意，①正确； ②为常数）， ， ， ：当，时，， ：当，时，， 不符合题意，②错误； ③每一个整式添“”或“”，所以每一个整式有两种变化情况，共3个整式，就有（种， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， 综上，的最大值为． ③正确． 故选：． 【考点评析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和整式的加减，考核了学生对绝对值和去括号法则的灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键． 【举一反三1】（2023春•邗江区期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值． 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求、的值； （3）若，，求的值． 【思路点拨】（1）首先把利用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得、代入求得数值； （2）、（3）仿照例题和（1）的解法，利用配方法计算即可． 【规范解答】解：（1） ，， ，， ； （2） ， ，； （3）， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤和完全平方公式是解题的关键． 【举一反三2】（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； （2）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题： （3）已知，则　　； （4）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： （5）已知实数、满足，求的最值． 【思路点拨】解决问题： （1）把10拆成两个两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； 探究问题： （3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （4）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； 拓展结论： （5）等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【规范解答】解：解决问题： （1）根据题意得：； 故答案为：； （2）根据题意得： ，； ； 探究问题： （3）已知等式变形得：， 即， ，， ，， 得：， 则 故答案为：； （4）当，为“完美数”，理由如下： ， ， ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； 拓展结论： （5）， ，即， ， ， 当时，最大，最大值为：6． 【考点评析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 中等题真题汇编练 1．（2024春•莒县校级期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 【思路点拨】分情况①当，即时，②当，即时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到△，解不等式即可． 【规范解答】解：①当，即时，原方程化为，解得：， 即符合题意； ②当，即时， 关于的方程有实数根， △， 且， 综上所述：的取值范围是． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键． 2．（2024•大洼区校级二模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 【思路点拨】根据根的判别式即可求解． 【规范解答】解：关于的一元二次方程， △， ， ， 方程有两个不相等的实根， 故选：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根的判别式判定方程的根是解题的关键． 3．（2023秋•福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【规范解答】解：由题意得，． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数队数（队数，进而得出方程是解题关键． 4．（2024春•仓山区校级期末）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是　　 A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．无法确定 【思路点拨】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果． 【规范解答】解：，变形为， △， 原方程无实数根． 故选：． 【考点评析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 5．（2023秋•仁寿县期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则　　秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【思路点拨】设秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】解：设秒后，的面积等于4， 由题意得：，，则， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2024•杭锦后旗校级开学）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这个式子是一元二次方程的条件是，即可求得的范围． 【规范解答】解：由一元二次方程的定义可知，即． 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 7．（2024•平原县模拟）方程的解为：　，　． 【思路点拨】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解． 【规范解答】解：移项得：， 即， 于是得：或． 则方程的解为：，． 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键． 8．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 　　． 【思路点拨】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式为，接着利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程，从而可得到满足条件的的值． 【规范解答】解：根据题意得， 整理得， ， 或， 所以，． 当时，，舍去， 所以的值为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了数轴． 9．（2023秋•宿迁期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为 　2　． 【思路点拨】把代入方程计算，检验即可求出的值． 【规范解答】解：把代入方程得：，， 可得或， 解得：或， 当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则的值为2． 故答案为：2． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 10．（2024春•滨江区校级期末）若为方程的一个根，则代数式的值为 　　． 【思路点拨】先根据一元二次方程根的定义得到，则，然后利用整体代入的方法计算． 【规范解答】解：为方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（2024•历城区校级开学）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 　1　； 【思路点拨】剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，列出一元二次方程，解之取其较小值即可． 【规范解答】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即小路宽的值为1， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2024•南关区校级开学）关于的一元二次方程没有实数根是常数），则的取值范围是 　　． 【思路点拨】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【规范解答】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 13．（2024•朝阳区校级开学）解一元二次方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据公式法可以解答此方程； （2）根据公式法可以解答此方程． 【规范解答】解：（1）， ，，， △， 该方程有两个不相等的实数根， ， ，； （2） 化简，得：， ，，， △， 该方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【考点评析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用公式法解方程． 14．（2024•朝阳区校级开学）如图，要利用一面墙（墙长为建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 【思路点拨】设的长度为，则的长度为米；然后根据矩形的面积公式列出方程． 【规范解答】解：设的长度为，则的长度为米． 根据题意得， 解得，． 则或． ， 舍去． 即，． 答：羊圈的边长的长度是20米． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 15．（2024•扶沟县一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【思路点拨】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，利用6月份的销售量月份的销售量该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 培优题真题汇编练 16．（2024•东昌府区校级模拟）关于的一元二次方程的两个根为，，且，则 的值为　　 A．1 B． C．3 D． 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则求出两根及值，代入计算即可得到答案． 【规范解答】解：的两根为，， ．， ， ，， ， ． ． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，． 17．（2024•郸城县模拟）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【思路点拨】分两种情形：，，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：若关于的方程有实数根， 当时， ， ， 当时，方程有实数根． 综上所述，． 故选：． 【考点评析】本题考查根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 18．（2024•庆云县模拟）若，是方程的两个根，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想即可解决问题． 【规范解答】解：因为，是方程的两个根， 所以，， 所以． 故选：． 【考点评析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19．（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【规范解答】解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 【考点评析】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 20．（2024•朝阳区校级模拟）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 　　． 【思路点拨】根据关于的方程有两个不相等的实数根，则△，据此即可得出结果． 【规范解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， 即， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是跟的判别式，利用一元二次方程跟的情况求实数的取值范围是解题的关键． 21．（2024•山东）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，解之即可得出结论． 【规范解答】解：关于的方程有两个相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 22．（2024•滨州三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 　5　． 【思路点拨】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【规范解答】解：设菱形的两条对角线长分别为、， 菱形的面积两条对角线积的一半， 即． 由题意得，， 菱形的边长 ． 故答案为：5． 【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 23．（2023春•定远县期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【规范解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，， ， ， ， ． 若时，则，， 即，则，， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 【考点评析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 24．（2024春•秦都区校级月考）如图，周长为的矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积． 【思路点拨】设矩形的长是 ，则宽是，根据把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，即可列方程求得的值，进而求得宽，则面积即可求解． 【规范解答】解：设矩形的长是 ，则宽是，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 则， 原矩形的面积为：， 答：原矩形的面积是． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是关键． 25．（2024春•泰州期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，设这种纪念品每套上涨元． （1）平均每天的销售量为 　　套（用含的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【思路点拨】（1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】解：（1）由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（2024•泰山区校级模拟）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？ 【思路点拨】（1）根据题意列出方程解答即可； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为10125元，列出方程解答即可． 【规范解答】解；（1）根据道路的宽为米，根据题意得， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米． （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为10125元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 27．（2023秋•头屯河区期末）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【思路点拨】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润求出即可． 【规范解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 28．（2024春•怀宁县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元每天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【思路点拨】（1）住满为60间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费每间房实际定价入住量，每间房实际定价，列出方程． 【规范解答】解：（1）增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， 入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是． 故答案为：；；； （2）依题意得：， 整理，得 ， 解得，． 当时，有游客居住的客房数量是：（间． 当时，有游客居住的客房数量是：（间． 所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元． 答：每间客房的定价应为300元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 29．（2023秋•单县期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下： 活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【思路点拨】判断得到这次春游活动的人数超过24人，设人数为名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【规范解答】解：人的费用为2880元元， 参加这次春游活动的人数超过24人， 设该班参加这次春游活动的人数为名． 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 时，，不合题意，舍去； 时，． 答：该班共有40人参加这次春游活动． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键，解题时候一定注意首先判断人数是否超过24人，难度不大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$