22.3 实际问题与一元二次方程（知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第22章《二次函数》】 22.3 实际问题与二次函数 （知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：图形问题 3 考点讲练2：图形运动问题 5 考点讲练3：拱桥问题 7 考点讲练4：销售问题 8 考点讲练5：投球问题 10 考点讲练6：喷水问题 11 考点讲练7：增长率问题 14 考点讲练8：其他问题（实际问题与二次函数） 15 考点讲练9：线段周长问题（二次函数综合） 17 考点讲练10：面积问题（二次函数综合） 20 考点讲练11：角度问题（二次函数综合） 22 考点讲练12：特殊三角形问题（二次函数综合） 25 考点讲练13：特殊四边形问题（二次函数综合） 28 考点讲练14：相似三角形问题（二次函数综合） 31 中等题真题汇编练 33 培优题真题汇编练 36 新知精讲梳理 知识点01：二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点02：根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点03：二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 高频易错知识点拨 易错知识点01：问题建模的准确性 学生可能难以准确地将实际问题转化为二次函数模型。这通常涉及到识别问题中的变量、确定变量之间的关系以及建立正确的函数表达式。例如，在求解最大面积、最小成本或最优路径等问题时，学生需要明确哪些量是变化的（自变量），哪些量是这些变化量导致的结果（因变量），并据此建立二次函数关系。 易错知识点02：二次函数性质的运用 在解决实际问题时，学生可能不能灵活运用二次函数的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。这些性质对于确定函数的最大值、最小值或解的范围至关重要。例如，在求解最大利润或最小成本时，学生需要找到二次函数的顶点坐标，因为顶点坐标对应着函数的最大值或最小值。 易错知识点03：解题步骤的规范性 学生在解题过程中可能缺乏规范性，导致答案不完整或错误。这包括未明确写出解题步骤、未进行必要的单位换算、未对解进行合理性检验等。例如，在求解实际问题时，学生需要明确写出每一步的推理过程，包括如何建立函数模型、如何求解函数以及如何根据解得出实际问题的答案。 易错知识点04：实际问题的理解深度 学生可能对实际问题的理解不够深入，导致无法准确建立函数模型或得出合理的结论。这要求学生在解题前仔细分析问题背景，理解问题中的各个要素及其相互关系。例如，在求解抛物线形状物体的最大高度或射程时，学生需要理解抛物线的物理意义以及影响其形状和位置的因素。 易错知识点05：二次函数与一元二次方程的联系 虽然第3节主要讨论实际问题与二次函数的关系，但学生在解题过程中可能会遇到需要求解一元二次方程的情况。此时，学生需要明确一元二次方程与二次函数之间的联系，并熟练掌握求解一元二次方程的方法。例如，在求解某些实际问题时，可能需要先通过二次函数找到可能的解（即一元二次方程的根），然后进一步验证这些解是否满足实际问题的条件。 易错知识点06：注意细节和陷阱 实际问题中往往隐藏着一些细节和陷阱，如单位不一致、数据范围限制等。学生在解题时需要特别注意这些细节和陷阱，以免因疏忽而导致错误。例如，在求解最大利润问题时，学生需要注意成本、售价和销量之间的单位是否一致；在求解抛物线形状物体的最大高度时，学生需要注意物体的实际运动范围是否受到限制等。 考点讲练1：图形问题 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，用长的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（  ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三练2】（2024九年级上·全国·专题练习）要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 考点讲练2：图形运动问题 【精讲题】（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度运动，动点Q从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当 秒时，三角形的面积最大． （2）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为 ． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 【举一反三练2】（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 考点讲练3：拱桥问题 【精讲题】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 【举一反三练1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，求到桥拱顶的距离．    【举一反三练2】（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 考点讲练4：销售问题 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值； (3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润． 【举一反三练1】（22-23九年级上·山东济宁·期中）成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 【举一反三练2】（22-23九年级上·广西南宁·开学考试）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高3元，则每天少卖6套． (1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 考点讲练5：投球问题 【精讲题】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表． 飞行水平距离 0 8 12 20 24 飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8 探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题： ①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离； ②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围． 【举一反三练2】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校足球队在一次训练中，一球员从高米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； (3)球员射门时，若满足，球都越过球门，求的最小值及的最大值． 考点讲练6：喷水问题 【精讲题】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【举一反三练2】（2024九年级上·全国·专题练习）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 考点讲练7：增长率问题 【精讲题】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【举一反三练1】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【举一反三练2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 考点讲练8：其他问题（实际问题与二次函数） 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：s）之间的关系式，测得如下表所示数据： 滚动时间 0 0.5 1 1.5 2 滚动距离 0 3 (1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式； (2)在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠． ①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？ ②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？ 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南周口·期末）春节前夕，阳光超市从厂家购进某种礼盒，已知该款礼盒每个成本价为40元．物价部门规定：该款礼盒的销售单价不得低于成本价，且不高于70元．经市场调查发现，该款礼盒每天的销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒销售单价为55元时，每天可卖出150个；当该款礼盒销售单价为65元时，每天可卖出50个． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围． (2)若该超市每天想获得2000元的利润，销售单价应定为多少元？ (3)若该超市想达到每天不低于200个的销售量，则该款礼盒销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 考点讲练9：线段周长问题（二次函数综合） 【精讲题】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【举一反三练1】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、． (1)求的值及该抛物线对应的函数关系式； (2)求证：①；②是的中点； (3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：    (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； (3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值． 考点讲练10：面积问题（二次函数综合） 【精讲题】（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)直接写出不等式的解集为______； (3)求的面积． 【举一反三练1】（22-23九年级上·广西贺州·期中）抛物线与x轴的交点为，，并且与y轴交于点C，解答下列问题： (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)求三角形的面积． (3)在抛物线上是否存在一点P，使，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标． 【举一反三练2】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点讲练11：角度问题（二次函数综合） 【精讲题】（2024·山东东营·模拟预测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设四边形的面积为，求的最大值． (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标 【举一反三练1】（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【举一反三练2】（2023·四川绵阳·一模）已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 考点讲练12：特殊三角形问题（二次函数综合） 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【举一反三练1】．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 【举一反三练2】（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 考点讲练13：特殊四边形问题（二次函数综合） 【精讲题】（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． (1)直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ (4)若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【举一反三练2】（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式以及两点的坐标． (2)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 考点讲练14：相似三角形问题（二次函数综合） 【精讲题】（2022·四川成都·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 【举一反三练1】（22-23九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 【举一反三练2】（22-23九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，为等腰直角三角形，且． (1)求抛物线的解析式； (2)将向上平移一个单位得到，点M、N为抛物线上的两个动点，O为坐标原点，且，连接点M、N，过点O作于点E，求点E到y轴距离的最大值； (3)如图，若点F的坐标为，直线l分别交线段，（不含端点）于G、H两点．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则是定值吗？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 5．（22-23九年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为 米． 6．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒． 7．（2023·吉林长春·模拟预测）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是 ．      8．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元． 9．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下： 售价（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量（盒） 54 50 46 38 30 (1)分析表格中数据的变化规律，求日销售量与售价之间的关系式； (2)根据以上信息，售价定为多少时，小莹妈妈在销售该种花卉中每天能够获得最大利润？ 10．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 12．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 培优题真题汇编练 1．（2023·北京·一模）已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（   ） A． B． C．D． 3．（2024·安徽·一模）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（    ）    A．   B．   B． C．  D．   4．（23-24九年级下·天津河东·阶段练习）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（21-22九年级上·山东聊城·期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为 ． 6．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）正三角形的边长为1，D是边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作边的垂线，交于点G，用x表示线段的长度，的面积y是x的函数，则该函数的表达式是 （要求写出自变量x的取值范围） 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为 米． 8．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 9．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 11．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 12．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： 当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． (1)求，值； (2)动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，求的关于的函数表达式； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第22章《二次函数》】 22.3 实际问题与二次函数 （知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：图形问题 3 考点讲练2：图形运动问题 6 考点讲练3：拱桥问题 13 考点讲练4：销售问题 17 考点讲练5：投球问题 21 考点讲练6：喷水问题 24 考点讲练7：增长率问题 29 考点讲练8：其他问题（实际问题与二次函数） 32 考点讲练9：线段周长问题（二次函数综合） 36 考点讲练10：面积问题（二次函数综合） 45 考点讲练11：角度问题（二次函数综合） 51 考点讲练12：特殊三角形问题（二次函数综合） 61 考点讲练13：特殊四边形问题（二次函数综合） 69 考点讲练14：相似三角形问题（二次函数综合） 80 中等题真题汇编练 89 培优题真题汇编练 98 新知精讲梳理 知识点01：二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点02：根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点03：二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 高频易错知识点拨 易错知识点01：问题建模的准确性 学生可能难以准确地将实际问题转化为二次函数模型。这通常涉及到识别问题中的变量、确定变量之间的关系以及建立正确的函数表达式。例如，在求解最大面积、最小成本或最优路径等问题时，学生需要明确哪些量是变化的（自变量），哪些量是这些变化量导致的结果（因变量），并据此建立二次函数关系。 易错知识点02：二次函数性质的运用 在解决实际问题时，学生可能不能灵活运用二次函数的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。这些性质对于确定函数的最大值、最小值或解的范围至关重要。例如，在求解最大利润或最小成本时，学生需要找到二次函数的顶点坐标，因为顶点坐标对应着函数的最大值或最小值。 易错知识点03：解题步骤的规范性 学生在解题过程中可能缺乏规范性，导致答案不完整或错误。这包括未明确写出解题步骤、未进行必要的单位换算、未对解进行合理性检验等。例如，在求解实际问题时，学生需要明确写出每一步的推理过程，包括如何建立函数模型、如何求解函数以及如何根据解得出实际问题的答案。 易错知识点04：实际问题的理解深度 学生可能对实际问题的理解不够深入，导致无法准确建立函数模型或得出合理的结论。这要求学生在解题前仔细分析问题背景，理解问题中的各个要素及其相互关系。例如，在求解抛物线形状物体的最大高度或射程时，学生需要理解抛物线的物理意义以及影响其形状和位置的因素。 易错知识点05：二次函数与一元二次方程的联系 虽然第3节主要讨论实际问题与二次函数的关系，但学生在解题过程中可能会遇到需要求解一元二次方程的情况。此时，学生需要明确一元二次方程与二次函数之间的联系，并熟练掌握求解一元二次方程的方法。例如，在求解某些实际问题时，可能需要先通过二次函数找到可能的解（即一元二次方程的根），然后进一步验证这些解是否满足实际问题的条件。 易错知识点06：注意细节和陷阱 实际问题中往往隐藏着一些细节和陷阱，如单位不一致、数据范围限制等。学生在解题时需要特别注意这些细节和陷阱，以免因疏忽而导致错误。例如，在求解最大利润问题时，学生需要注意成本、售价和销量之间的单位是否一致；在求解抛物线形状物体的最大高度时，学生需要注意物体的实际运动范围是否受到限制等。 考点讲练1：图形问题 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，用长的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用．解决问题的关键是熟练掌握矩形和圆的周长公式和面积公式，求二次函数的最大值．窗户由半圆和矩形两部分组成，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；根据二次函数的性质可求出面积的最大值． 【规范解答】解：设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S， 则窗框总长， ∴， ∴， ∵， ∴S有最大值，为． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③. 【规范解答】解：设边长为，则边长为， 当时，， 解得 ∵的长不能超过， ∴， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得： 解得或 ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误； 设矩形菜园的面积为，　　 根据题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确； ∴正确的有１个， 故选：B． 【举一反三练2】（2024九年级上·全国·专题练习）要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 【答案】(1) (2) 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、用代数式表示式 【思路点拨】本题考查了列代数式，二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出关系式． （1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与x的函数关系式即可． 【规范解答】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． 考点讲练2：图形运动问题 【精讲题】（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度运动，动点Q从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当 秒时，三角形的面积最大． （2）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为 ． 【答案】 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，勾股定理，三角形面积的计算，三角形中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键； （1）根据题意得到，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的顶点坐标公式即可得到结论； （2）线段的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长． 【规范解答】解：（1），， ， ， 当时，三角形的面积最大； （2）线段的中点所经过的路程是线段的长，如图所示： 当在处，在处时，的中点为的中点，当点运动秒时，、停止运动， 的中点为，到达，到达， 过点作交于点， 此时， 此时在点位置上 ， 是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ； 即线段的中点所经过的路程长为． 故答案为：，． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 【答案】(1) (2)或秒 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数的应用，本题的关键是求出重合部分的面积与的函数关系式． （1）可分三种情况进行讨论：①当在内部时，②当，都在外部时，③当在内部时，根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式； （2）根据函数式即可求出当为时，的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵等腰直角三角形的直角边都为4，即 ∴，， ∵且分别是直角边、的中点． ∴，， 当在上时，为等腰直角三角形，则 此时，； 当在上时，， 当在上时，， ①如图1，当时，，过点作，则为等腰直角三角形，则，且， ∴， 由平移可知，则重叠部分为平行四边形， 则； ②如图2，当时，如图、、 、是等腰直角三角形， ∵，则，， ∴，， ∴，， 则 即； ③如图3，当时， ，，， 类比①可知，； 综上所述，； （2）∵ ∴当时，重叠部分面积随增大而增大； 当时，重叠部分面积随增大而减小； 当时，；当时，； 综上所述，当与重叠部分面积为平方厘米时， 移动的时间为或秒． 【举一反三练2】（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时， (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、图形运动问题(实际问题与二次函数)、几何问题(一次函数的实际应用) 【思路点拨】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键． （1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可； （2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可． 【规范解答】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=， 当时，作于点，如图所示， 在中，，， 在中，，。 故答案为：或； （2）点F运动的路程就是线段的长，即， 当时，，即； 当时，作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 综上可得，求y关于x的函数解析式为：； （3）当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， 当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或． 考点讲练3：拱桥问题 【精讲题】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键． 利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． 【规范解答】解：设解析式为， 将抛物线上点， 带入抛物线解析式中得， 解得， 解析式为． 选项A中，，，水面宽度为故选项A错误，不符合题意； 选项B中，解析式为，故选项B错误，不符合题意； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确，符合题意； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为米，减少为原来的．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，求到桥拱顶的距离．    【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 以为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知、可得的解析式，从而求出的值，即可求解． 【规范解答】解：根据题意建立坐标系如下：    设抛物线解析式为：， 由题意知：，， ， 把，代入，得 ， 解得：， ， 当时，， 即 ， 答：到桥拱顶的距离为． 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)能，说明见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可求得； （3）根据题意可以求得当时的y的值然后与3.4比较，即可解答本题． 【规范解答】（1）解：根据题意，得点，，． 设抛物线的解析式为． 把点代入，得． 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：在中，令，得． 解得，． ， 在距离地面高处，隧道的宽度是． （3）解：这辆货运卡车能通过该隧道． ． 将代入，得． ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 考点讲练4：销售问题 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值； (3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润． 【答案】(1) (2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元 (3)厂家每天获得的最大利润为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可； （2）设厂家每天获得的利润为y元，则，根据每天的产量不大于市场需求量时，求出x的取值解答即可； （3）根据每天的产量大于市场需求量时，求出x的取值解答即可． 【规范解答】（1）设q与x的函数关系式为，由题意，得 ∴ ∴q与x的函数关系式为； （2）当每天的产量不大于市场需求量时，得， 即， 解不等式得， ∵， ∴； 设厂家每天获得的利润为y元， ∵，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时， ， 答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元； （3）当每天的产量大于市场需求时，， ∴， 解不等式得， ∴， 设厂家每天获得的利润为y元， ， ， ， ，， ∵，对称轴为， ∴当时， ， ∵， ∴厂家每天获得的最大利润为元． 【举一反三练1】（22-23九年级上·山东济宁·期中）成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 【答案】(1)销售单价应定为40元 (2)当销售单价应定为元，销售总利润最大 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出方程求解即可； （2）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵商场决定尽快减少库存， ∴， ∴， 答：销售单价应定为40元； （2）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴， ∴当销售单价应定为元，销售总利润最大． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广西南宁·开学考试）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高3元，则每天少卖6套． (1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意得到，抛物线开口向下，W有最大值，求出答案即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， ， 与x之间的函数关系式：； （2）解：根据题意，得， ， ， ， 抛物线开口向下，W有最大值， 当时，， 答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 考点讲练5：投球问题 【精讲题】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 【答案】/8米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【规范解答】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表． 飞行水平距离 0 8 12 20 24 飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8 探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题： ①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离； ②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围． 【答案】(1)； (2)①火箭落到地面时飞行的水平距离为40m；②发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①令二次函数代入函数解析式即可求解； ②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度，然后代入两个端点即可求解． 【规范解答】（1）解：由表中数据可知，与成二次函数关系， ∴设，且过三点， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：①当时，， 解得，（舍去），， 所以，火箭落到地面时飞行的水平距离为； ②∵， ∴ 设发射平台相对于安全线的高度为，则飞行高度为， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， ∴，即发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于． 【举一反三练2】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校足球队在一次训练中，一球员从高米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； (3)球员射门时，若满足，球都越过球门，求的最小值及的最大值． 【答案】(1) (2)足球能射入球门，理由见解析 (3)的最小值，的最大值 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式中进行求解即可； （2）求出时y的值，判断即可； （3）分别求出时x的值即可知其越过球门时自变量的取值范围，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：设抛物线函数解析式 将代入中得：，解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． （3）解： 当时， 解得：，， ∴当满足时，一定能满足球越过球门， ∴的最小值，的最大值． 考点讲练6：喷水问题 【精讲题】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【规范解答】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)7米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，进而计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为，进而令，则，求出x的值即可判断得解． 【规范解答】（1）由题意得，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴． ∴水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式为． （2）由题意，∵抛物线为， ∴令，则． ∴或（不合题意，舍去）． ∴花盆需至少离喷水装置为7米处，才不会被喷出的水流击中． 【举一反三练2】（2024九年级上·全国·专题练习）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)之间的距离为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，利用待定系数法求出表达式，令，则，根据，，即可得到答案； （3）根据题意，由待定系数法得到灭火过程中与始终满足，由要扑灭距地面高度范围内的火苗，代值求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ，解得， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为； （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 由题意可知该抛物线过点， ， 解得， ， 令，则， ， ， ， 即之间的距离为； （3）解：由题意可知灭火过程中与始终满足， 将代入后可得， ， ， 当抛物线过点时，，解得； 当抛物线过点时，，解得； ． 考点讲练7：增长率问题 【精讲题】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)、销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、增长率问题(一元二次方程的应用) 【思路点拨】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【规范解答】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 【举一反三练1】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三练2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、增长率问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 考点讲练8：其他问题（实际问题与二次函数） 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，求出的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可． 【规范解答】解：如图，∵对应的两条抛物线关于轴对称，， ∴， ∵轴，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：， ∴右轮廓所在抛物线的解析式为； 故选B． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：s）之间的关系式，测得如下表所示数据： 滚动时间 0 0.5 1 1.5 2 滚动距离 0 3 (1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式； (2)在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠． ①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？ ②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？ 【答案】(1) (2)①②5 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法，二次函数性质是解题的关键． （1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①设第1颗钢珠出发时间为 后，则第2颗钢珠出发时间为，则，求解即可； ②把代入求得t值，从而可求得当时，，则可得t的整数解，即可求解． 【规范解答】（1）解：设s与t满足的二次函数关系为：， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：①设第1颗钢珠出发时间为 后，则第2颗钢珠出发时间为，则 解得：， ∴当斜面足够长时，第1颗钢珠出发后会和第2颗钢珠相距3米． ②当米时，则， 解得：(负数已舍)， ∴当时， ∴， ∴t的整数解为0，1，2，3，4 ∵在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠 ∴若斜面长13米，则斜面上同时最多有5颗小钢珠． 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南周口·期末）春节前夕，阳光超市从厂家购进某种礼盒，已知该款礼盒每个成本价为40元．物价部门规定：该款礼盒的销售单价不得低于成本价，且不高于70元．经市场调查发现，该款礼盒每天的销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒销售单价为55元时，每天可卖出150个；当该款礼盒销售单价为65元时，每天可卖出50个． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围． (2)若该超市每天想获得2000元的利润，销售单价应定为多少元？ (3)若该超市想达到每天不低于200个的销售量，则该款礼盒销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该超市每天想获得2000元的利润，销售单价应定或元 (3)该款礼盒销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的运用，二次函数的实际应用，一元一次不等式应用，解题的关键是根据题意找出等量关系或不等关系列式求解． （1）根据该款礼盒每天的销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．设与之间的函数解析式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）设利润为，根据“该超市每天想获得2000元的利润”，以及利润（销售单价每个成本价）销售量，建立方程求解，即可解题； （3）根据“该超市想达到每天不低于200个的销售量，”得到的取值范围，再根据，结合二次函数的最值，即可解题． 【规范解答】（1）解：设与之间的函数解析式为， 由题可得：，解得：， 与之间的函数解析式为， 该款礼盒的销售单价不得低于成本价，且不高于70元， 的取值范围为， 与之间的函数解析式为； （2）解：设利润为， 利润（销售单价每个成本价）销售量， ， 要每天获利元，则， 整理得， 解得：，， 答：该超市每天想获得2000元的利润，销售单价应定或元； （3）解：该超市想达到每天不低于200个的销售量， ， 解得， ， ， ， ， 时，有最大值为， 该款礼盒销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 考点讲练9：线段周长问题（二次函数综合） 【精讲题】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)的坐标为：或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可； （4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可． 【规范解答】（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， 故答案为：． （3）过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴点． （4）存在，理由如下： ∵点，对称轴， ∴点， ∴， 设点， 设直线与轴交于点， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点； 延长交直线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形； 当， ∴， 解得：， ∴点或； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【考点评析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法． 【举一反三练1】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、． (1)求的值及该抛物线对应的函数关系式； (2)求证：①；②是的中点； (3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的解析式为； (2)①证明见解析，②证明见解析； (3)存在，点的横坐标m为或，理由见解析． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）将B点代入直线解析式得出m的值，然后得出点B的坐标，设，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①首先求得E点坐标，然后求得，进而得证； ②分别求得，，进而得到，D是的中点； （3）若，则P点必在线段的垂直平分线上即直线上，可求出直线的解析式，联立抛物线即可求出P点的坐标． 【规范解答】（1）解：将代入得． 设，将、代入得， ， 抛物线的解析式为． （2）证明：①当时，， ． ， ． ， ， ． ②，， ， 是的中点． （3）存在．由（2）知直线是线段的垂直平分线，所以直线与抛物线的交点即为所求点． 设直线对应的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线对应的函数关系式为， ， 代入得，， 解得：，． 即点的横坐标为或． 【考点评析】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、点的坐标与线段长度的转化，综合性较强，解答本题的关键是注意各知识点的融会贯通以及数形结合的数学思想方法的运用． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：    (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； (3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)小球能飞过这棵树，理由见解析 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）根据题意可设抛物线的表达式为，再将代入，求出a的值，从而即可求出抛物线的表达式； （2）将代入，可求出B点坐标，从而可求出树的顶端的坐标为．再将代入，求出此时点M的坐标，再比较和即可得解； （3）联立，并求解，即可求出x的取值范围．过点M作轴于点F，交于点E．设，则，即得出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴可设抛物线的表达式为． 由题意可知该抛物线过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得：， ∴． ∵树高为4， ∴树的顶端的坐标为． 将代入，得：， ∴此时， ∴， ∴小球M能飞过这棵树； （3）联立， 解得：，． ∴． 如图，过点M作轴于点F，交于点E．    设，则， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度是米． 【考点评析】本题考查二次函数的应用，涉及两函数图象交点的求解方法，利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，难度适中．利用数形结合与方程的思想是解题的关键． 考点讲练10：面积问题（二次函数综合） 【精讲题】（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)直接写出不等式的解集为______； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式； (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、面积问题(二次函数综合) 【思路点拨】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，令，求得的值，即可求得点的坐标； （2）根据图象，结合抛物线与轴的交点即可求解； （3）利用面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：，代入，得， 解得， 抛物线的解析式； 当时，则， 解得，， ； （2）解：抛物线开口向下，与轴的交点为，， 由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：； （3）解：，，， ，， ． 【考点评析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、求得交点坐标，数形结合是解题的关键． 【举一反三练1】（22-23九年级上·广西贺州·期中）抛物线与x轴的交点为，，并且与y轴交于点C，解答下列问题： (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)求三角形的面积． (3)在抛物线上是否存在一点P，使，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题主要考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，关键是要会利用待定系数法求出抛物线解析式． （1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）根据，，坐标求三角形面积即可； （3）根据，求出点的纵坐标，再把点纵坐标代入解析式求出即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，抛物线过点，， 把点和代入抛物线的解析式，得：， 解得， 抛物线对应的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， 令，则， ， ； （3）解：存在， ， ， 的纵坐标是2和， 令，则， 解得，， ； 当时，， 解得， 点P的坐标为或， 综上所述，点坐标为或或． 【举一反三练2】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积有最大值32，此时 (3)存在，M点坐标为或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【规范解答】（1）解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 考点讲练11：角度问题（二次函数综合） 【精讲题】（2024·山东东营·模拟预测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设四边形的面积为，求的最大值． (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标 【答案】(1) (2) (3)直线的解析式为；点的坐标为 【知识点】角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，二次函数与几何图形，解题的关键是掌握相关的知识． （1）将，代入，即可求解； （2）连接，过点作于点，为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据，点在轴上，可得，最后根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）根据题意可推出，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：将，代入，得： ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，抛物线的解析式为， 设点， 为第四象限内抛物线上一点， ， 轴，点在上， ， ， ，点在轴上， ， ， ， ，， 当时，有最大值，； （3）解：如图， 令，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 又， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 联立，得， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 【举一反三练1】（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式； （2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可； （3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可． 【规范解答】（1）将点，代入， 得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2）当时，， ∴点， 当时，有， 解得：，， ∴点， ∴抛物线的对称轴为：直线 设直线的关系式为，把点B坐标代入， 得：，解得，， ∴直线的关系式为， 由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M， 当时，， ∴时，最小； （3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∵，, ∴，解得 ， ∴, 设直线的解析式为 ， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ， 联立直线与抛物线解析式得 ， 解得或 ， ∴； ②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N， 同理得. 综上，存在，点Q的坐标为或 【考点评析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键. 【举一反三练2】（2023·四川绵阳·一模）已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解； (2)由题意得：，再表示△PMN周长为即可求解； (3)当点H在点P的右侧时，得到，求出点 N的坐标，联立抛物线和的表达式即可求解；当点在点P的左侧时，利用轴求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴设抛物线的表达式为：， 把点的坐标代入，得， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由点的坐标知， ， 则， 设直线的表达式为：， 把点代入，得 ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则周长 ， ∵， ∴当时，周长的最大，最大值为，此时点 ； （3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，    延长交x轴于点N， ∵，则 ， 设点， 由得： ， 解得：， 则点 ， 由点的坐标得，直线的表达式为： 联立抛物线和的表达式得： ， 解得： (舍去) 或， 即点H的横坐标为：； 当点在点P的左侧时，如上图， ∵， 则轴， 则点横坐标为：， 综上，点H的横坐标为：或． 【考点评析】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． 考点讲练12：特殊三角形问题（二次函数综合） 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)点的横坐标为； (3)的值为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点，点的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点的坐标，设直线的解析式为，把，的坐标代入，得出直线的解析式为； （2）由是以为腰的等腰直角三角形，得出轴，即点的纵坐标为3，把代入，得或2，由轴，得出点的横坐标为； （3）由抛物线的解析式可得出，由直线的解析式可得，由以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，可得，由方程，即可得无解． 【规范解答】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得 所以抛物线的解析式为， 令，解得，，得点的坐标， 设直线的解析式为，把，的坐标代入， 得， 解得 所以直线的解析式为； （2）解：是以为腰的等腰直角三角形， 轴，即点的纵坐标为3， 把代入，得或2， 轴， 点的横坐标为； （3）解：抛物线的解析式为，的横坐标为 ， 直线的解析式为． ， 以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形， ， ，化简得，无解， 或，化简得， 解得， 当以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，的值为． 【举一反三练1】．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【思路点拨】本题考查矩形的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线解析式，再将抛物线解析式化成顶点式，即可求解； （2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式和三点共线，求解即可； （3）分情况分别画出图形求解即可． 【规范解答】（1）解：把和代入，得 ，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：， ∵， ∴顶点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴, 当是以为底的等腰三角形时， 则， 又∵点C在抛物线对称轴上， ∴点A、点B关于直线对称， ∴， ∵点A的横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点都在直线上， ∴三点共线， ∴的面积即为的面积， ∴的面积为； （3）解：①当时，则，，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ②当时时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ③当时时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ④当时有时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ⑤当时有时，则-，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ⑥当时有时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； 综上，当或时，抛物线与矩形有3个交点． 【举一反三练2】（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或或； (3)，． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【规范解答】（1）解：在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在， 理由：， ∴抛物线对称轴为直线， ，且， ， ∵点P在对称轴上， ∴可设， ， 当时，则有， 解得，此时P点坐标为或； 当PC=CD时，则有， 解得（与D重合，舍去）或， 此时P点坐标为， 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或； （3）当时，即， 解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点E是线段上的一个动点， ∴可设，则， ， ， ∴当时，S△CBF有最大值，最大值为， 此时， ， ∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为． 【考点评析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 考点讲练13：特殊四边形问题（二次函数综合） 【精讲题】（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． (1)直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ (4)若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 【答案】(1)，， (2) (3)的面积为的倍时，点的坐标为或 (4)要使为平行四边形，点的坐标为：，或，或，或， 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、图形问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）令，且，可求出，，根据的面积为，可求出，由此即可求解； （2）点在抛物线上，可求出点的坐标，根据，点的纵坐标为，代入二次函数即可求解； （3）根据题意可得的面积为为，设，结合图形面积可得∴，由此即可求解； （4）设，根据平行四边形的性质，中点坐标的计算，分类讨论：点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，该种情况不符合题意；图形结合分析，即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于两点（在左边）， ∴令，且，则， 解得，，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：点在抛物线上， ∴，即， ∵点在第三象限的抛物线上， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得，，， ∴； （3）解：∵的面积为，的面积为的倍， ∴的面积为为， ∵抛物线上一点， ∴设， ∴， ∴， 当时，整理得，， ∵，方程无实数根， ∴舍去； 当时，整理得，， 解得，，， ∴或， ∴的面积为的倍时，点的坐标为或； （4）解：已知，， ∴，且， ∴， ∵抛物线上有点， ∴设， 第一种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 设， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， ∴，； 第二种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 当时，，，则点与点重合，点与点重合， ∴不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意； 第三种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 同理，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 第四种情况，如图所示，点在轴上， ∵点在抛物线上，若，则重合， ∴该种情况不符合题意； 综上所示，要使为平行四边形，点的坐标为：，或，或，或，． 【考点评析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法去二次函数解析式，几何图形面积的计算方法，平面直角坐标系中角度的关系，平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式； （2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标． 【规范解答】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点C坐标， 将代入一次函数得：， ∴点B坐标， 将点B、C代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线． （2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况： 由（1）可得，点，，， ， 当时，，解得（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，，解得或0（0舍去）， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为； 综合上述，存在，点M的坐标为或或． 【考点评析】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题． 【举一反三练2】（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式以及两点的坐标． (2)若点位于第四象限，过点作，求的最大值． (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为，， (2)最大值为 (3)以点为顶点的四边形是平行四边形，或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）根据抛物线与轴交于点，代入求值即可求解； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作的延长线于点，连接，根据结合图形的面积计算公式可用含的式子表示，根据等面积法，二次函数的最值的计算方法即可求解的值； （3）根据平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法，图形结合，分类讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴把代入得，，解得，， ∴抛物线对应的函数表达式为， 令，即，解得，，， ∴点，． （2）解：已知点，， ∴设直线的表达式为， ∴，解得，， ∴直线的表达式为， 如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作的延长线于点，连接，    ∵点的横坐标为，点在抛物线的图象上， ∴点， ∵与交于点，且点与点的横坐标都是， ∴，且，， ， 已知，，四边形是矩形， ∴在中，，，， ∵，，， ∴，即， ∵， ， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：已知抛物线， ∴对称轴为， ∵是抛物线对称轴上一点， ∴设点的坐标为， 已知，，，， ①如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，连接，与交于点，    ∴的中点的坐标得横坐标为，纵坐标为，即， ∴的中点坐标即， ∴，解得，； ②如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，连接，与交于点，    同理，的中点的横坐标为，解得，； ③如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，连接，与交于点，    同理，的中点的横坐标为，解得，； 综上所述，以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【考点评析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 考点讲练14：相似三角形问题（二次函数综合） 【精讲题】（2022·四川成都·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【规范解答】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三练1】（22-23九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【思路点拨】（1）先确定点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先求直线和的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明，根据相似三角形对应边成比例建立方程求解即可； （3）分两种情况：或，根据对应边成比例建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则， ， 抛物线经过，两点， 将的坐标代入解析式可得 ， 解得， 抛物线解析式为：； （2）解：令抛物线，可得或， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入直线，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 设P点坐标为（,）， 设直线的解析式为：， 将， ）代入解析式中，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与直线 ， 解得， 如图过点P作轴于点H，作轴于点G ， 又 ， 解得：或， 经检验，，都是方程的根， 当时，； 当时， 故点P的坐标为（，），（，）； （3）解：设P点坐标为， ， ，， ， 轴， ， 又, ， ， ①当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ； ②当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ． 【考点评析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【举一反三练2】（22-23九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，为等腰直角三角形，且． (1)求抛物线的解析式； (2)将向上平移一个单位得到，点M、N为抛物线上的两个动点，O为坐标原点，且，连接点M、N，过点O作于点E，求点E到y轴距离的最大值； (3)如图，若点F的坐标为，直线l分别交线段，（不含端点）于G、H两点．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则是定值吗？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，，理由见解析 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、图形问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）根据已知条件得到点，，，根据待定系数法即可求解； （2）将向上平移一个单位得到，设的直线解析式为，设点坐标为，，，，联立方程组，整理得，由根与系数的关系可得，过点作轴交于，过点作轴交于点，证明，可得，能够确定直线经过定点，则点在以为圆心，直径为1的圆上运动，所以点到轴距离的最大值为； （3）分别求出直线的表达式为①，直线的表达式为②，设直线的表达式为，联立方程组，由，可得，则直线的表达式为③，联立①③并解得，联立②③可得，，可求． 【规范解答】（1）解：， 点， 抛物线，对称轴为， ， 为等腰直角三角形，为顶点， ， ，， 将代入得， ， ， 抛物线； （2）解：将向上平移一个单位得到， 抛物线， 设的直线解析式为， 直线与轴的交点为， 设点坐标为，，，， 联立方程组， 整理得， ， 过点作轴交于，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线经过定点， ， 点在以为圆心，直径为1的圆上运动， 点到轴距离的最大值为； （3）解：是定值，理由如下： 的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的表达式为①， 同理可得，直线的表达式为②， 设直线的表达式为， 联立方程组， 整理得：， 直线与抛物线只有一个公共点， 故， 解得， 直线的表达式为③， 联立①③并解得， 联立②③可得，， 为常数． 【考点评析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，先根据侧面积公式列函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【规范解答】解：依题意设侧面积为； ∴， ∵， ∴有最大值，当时，面积最大， 故选：B 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【规范解答】解：由题意，得：； 故选A． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【规范解答】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【规范解答】解：由题意得，， ∵， ∴当时，s最大． ∴后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为， 故选：D． 5．（22-23九年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为 米． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，熟练地将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．建立适当的坐标系，先求出抛物线解析式，再把水面下降时的值代入解析式求出的值即可． 【规范解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为， 水面离拱顶时，水面宽， 点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线解析式为， 当水面下降，即时，， 解得：，， 此时水面宽度为米， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒． 【答案】30 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，令，求出t的值，两个t值作差即可得出答案． 【规范解答】解：依题意，得：， 解得：，， ∴整个过程中能体会到失重感觉的时间为（秒）． 故答案为：30． 7．（2023·吉林长春·模拟预测）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是 ．      【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的应用．根据题意建立直角坐标系，将抛物线设成顶点式，用待定系数法即可求出第一象限内的抛物线解析式，再令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可． 【规范解答】解：以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米， 根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入抛物线解析式得： ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； 令得， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； 故答案为：． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解． 本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 【规范解答】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：， 设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是： ， ∵， ∴当利润最大时，可得：， ∴此时每个售价为：（元）， 故答案为：，，． 9．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下： 售价（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量（盒） 54 50 46 38 30 (1)分析表格中数据的变化规律，求日销售量与售价之间的关系式； (2)根据以上信息，售价定为多少时，小莹妈妈在销售该种花卉中每天能够获得最大利润？ 【答案】(1) (2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）先判断日销售量与售价之间成一次函数，然后用用待定系数法求解即可； （2）设每天获得的利润为w元，列出二次函数解析式，再由二次函数性质可得答案． 【规范解答】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；设， 把，代入得：， 解得：， ∴； （2）解：设每天获得的利润为w元， 由题意得， ， ∴当时，w取最大值450， ∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润． 10．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】根据题意得到，利用角的直角三角形的性质得到，根据，，则，证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求出，，根据即可解答． 【规范解答】解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，，，， ，， ． 即． 【考点评析】本题主要考查了二次函数，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【规范解答】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 培优题真题汇编练 1．（2023·北京·一模）已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了正方形的判定与性质，几何问题与二次函数，设在正方形的边长为a，首先可证得四边形、都是矩形，四边形、都是正方形，可求得，，再由，即可求得则y与x之间的函数关系，据此即可判定． 【规范解答】解：设在正方形的边长为a， 四边形是正方形， ，，，， 过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N， 四边形、都是矩形， 四边形、都是正方形， ， ， ， 该函数的图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象和二次函数图象性质，分当时和时两种情况分析即可， 解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【规范解答】解：如图，当时，过点作于， ∵和均为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 当时，，且抛物线的开口向上， 如图所示：时，过点作于，   同理得，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上， 故选：． 3．（2024·安徽·一模）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：过作于，当时，点在上，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【考点评析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 4．（23-24九年级下·天津河东·阶段练习）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意，找出等量关系列出函数解析式和方程是解题的关键．设的边长为，则边的边长为，根据列出方程，再求解根据x的取值范围判断即可①；根据矩形的面积为192，列方程求解即可判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列方程，再根据二次函数的性质求函数最值即可判断③． 【规范解答】解：设的边长为，则边的边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过， ∴，故①错误； ∵当菜园面积为时，， 整理得，， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 设矩形的菜园面积为， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确； 故选：C． 5．（21-22九年级上·山东聊城·期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】米/ 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【规范解答】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 故答案为：米． 6．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）正三角形的边长为1，D是边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作边的垂线，交于点G，用x表示线段的长度，的面积y是x的函数，则该函数的表达式是 （要求写出自变量x的取值范围） 【答案】（） 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、图形问题(实际问题与二次函数)、求自变量的取值范围 【思路点拨】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，利用三角形面积公式列函数解析式．根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点D不与点B、C重合可列关于的一元一次不等式求出范围即可． 【规范解答】解：∵正三角形的边长为1，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点D不与点B、C重合，， ∴，即：， 故答案为：（）． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为 米． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数综合应用，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设该抛物线的表达式为，代入点的坐标求出解析式，再把点的纵坐标代入解析式，进而求得点的横坐标，即可求解，解题的关键是正确地建立平面直角坐标系． 【规范解答】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，点的坐标为，点的纵坐标为， 设抛物线形的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴米， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【规范解答】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 9．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点横坐标即可求解； 由题意可得，由得到点和点关于抛物线的对称轴对称，即点距也是，，进而得到，由勾股定理即可求出的长； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【规范解答】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴落点到拦网的距离为， 故答案为：； 由题意可得，， ∴， ∵， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴点距也是， 设轴交于点，连接， ∵轴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【思路点拨】（1）用待定系数法可得； （2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案； （3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答． 本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【规范解答】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： ， 解得， ； （2）解：根据题意得：， ， 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ ∴ 11．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【答案】米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】此题主要考查的是待定系数法求解析式以及二次函数的对称性，求出二次函数的解析式是解决问题的关键； 设出大孔抛物线的解析式的一般形式，代入点的坐标求得函数解析式，再由点的纵坐标代入即可解答． 【规范解答】解：设大孔对应的抛物线解析式为：，依题意得，， ， 解得：， 即， 当时，， 解得：， ，， 即此时大孔的水面宽度为米 12．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： 当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； 【答案】①② 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【思路点拨】①根据勾股定理求出，并表示，根据平行的性质得，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案； ②先求出当D、E、F在同一条直线上时t的值，再作，接着证明，表示，，然后根据矩形的性质表示线段的长，再根据列出关系式； 【规范解答】解：当时，点E在边上，厘米，厘米， ∵矩形中，厘米，厘米， ∴ ∴（厘米）， ∴厘米， ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴当时，； ②当D、E、F在同一条直线上时，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即 解得：，（负值舍去）． ∵， ∴当时，如图3，过点F作于G，交于H， 则， ∴， ∴， ∴，即， ∴厘米，厘米． ∵四边形是矩形， ∴厘米，厘米， ∴厘米，厘米，厘米， ∴， ∴y关于t的函数关系式为； 【考点评析】本题矩形的性质，考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． (1)求，值； (2)动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，求的关于的函数表达式； 【答案】(1)， (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数的图象和性质，待定系数法，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）首先根据一次函数的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法解题即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，交于点，设，则，，从而求出，然后表示出化简即可． 【规范解答】（1）解：把代入中， 得， ∴， 把代入中， 得， ∴， 把，代入中， 即， 解得． （2）解：由上可得抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点，交于点， 设，则，， ∴， ∵，， ∴的面积为为， ∴的关于的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$