22.2 二次函数与一元二次方程（知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第22章《二次函数》】 22.2 二次函数与一元二次方程 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 5 考点讲练1：求抛物线与x轴的交点坐标 6 考点讲练2：求抛物线与y轴的交点坐标 8 考点讲练3：已知二次函数的函数值求自变量的值 9 考点讲练4：图像法确定一元二次方程的近似根 10 考点讲练5：图像法解一元二次不等式 12 考点讲练6：利用不等式求自变量或函数值的范围 13 考点讲练7：根据交点确定不等式的解集 15 考点讲练8：抛物线与x轴的交点问题 16 考点讲练9：根据二次函数图像确定相应方程根的情况 17 考点讲练10：求x轴与抛物线的截线长 18 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 24 新知精讲梳理 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【要点提示】 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【要点提示】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【要点提示】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 知识点03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点04：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【要点提示】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 高频易错知识点拨 易错知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1. 交点与根的关系 易错点：学生可能容易忘记或混淆二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。在解题时，需要明确这一点，并据此判断方程的根的情况或利用根来求解函数图像上的点。 2. 判别式的应用 易错点：在计算判别式Δ=b²−4ac时，学生可能会因为粗心而算错，或者忘记根据判别式的值来判断一元二次方程的根的情况（即两个不相等的实根、两个相等的实根或没有实根）。此外，还需要注意判别式与二次函数图像开口方向及顶点位置的关系。 易错知识点02：利用二次函数图像解一元二次方程 1. 图像法求解 易错点：在利用图像法求解一元二次方程时，学生可能会因为画图不准确或观察不仔细而得出错误的解。因此，在画图时，需要确保图像的准确性，并仔细观察图像与x轴的交点情况。 2. 求解特定条件下的方程 易错点：在求解满足特定条件（如方程在某一区间内有解）的一元二次方程时，学生可能会忽略这些条件，或者不知道如何将这些条件转化为对二次函数图像的限制。因此，在解题时，需要仔细审题，明确题目中的条件，并将其转化为对二次函数图像的限制。 易错知识点03：一元二次方程的根与二次函数的系数关系 1. 根与系数的关系（韦达定理） 易错点：学生可能会忘记或混淆韦达定理的内容，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根 x1和x2满足x1+x2=−ab和x1⋅x2==ac ​。在解题时，需要熟练掌握并灵活运用这一定理。 2. 系数对根的影响 易错点：学生可能不清楚二次函数（或一元二次方程）的系数如何影响其根的性质（如根的正负、大小关系等）。因此，在解题时，需要理解并掌握系数对根的影响规律。 易错知识点04：综合应用与解题技巧 1. 灵活运用知识点 易错点：在解决综合问题时，学生可能会因为知识点掌握不牢固或运用不灵活而陷入困境。因此，在解题时，需要灵活运用所学的知识点和解题技巧，将复杂问题分解为简单问题逐步解决。 2. 注意细节和陷阱 易错点：题目中可能会设置一些细节陷阱或隐含条件来考察学生的细心程度和解题能力。因此，在解题时，需要认真审题、仔细分析题目中的条件和要求，并注意避免常见的错误和陷阱。 考点讲练1：求抛物线与x轴的交点坐标 【精讲题】（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数． 求： (1)的值； (2)二次函数的图象与轴交点的坐标． 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； (2)连接，，求； (3)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 【举一反三练2】（22-23九年级上·山东临沂·期末）抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 考点讲练2：求抛物线与y轴的交点坐标 【精讲题】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 【举一反三练1】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 【举一反三练2】（2024·山西晋城·三模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 考点讲练3：已知二次函数的函数值求自变量的值 【精讲题】（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（   ） A．米 B．米 C．3米 D．6米 【举一反三练1】（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连结，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则 ． 【举一反三练2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 考点讲练4：图像法确定一元二次方程的近似根 【精讲题】（23-24九年级上·全国·课后作业）根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）阅读下面的材料： 在同一直角坐标系中，判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时，可以将问题转化为方程或方程组的解的问题． 如果两个函数的图象有交点，则它们的解析式组成的方程或方程组有解，且交点的个数等于解的个数．对于方程组来说，的解是交点的横坐标，的解是交点的纵坐标（两个函数都是关于的函数）． 根据以上材料，解决下面的问题： (1)函数与的图象如图1所示，则方程有______个实数根，分别为_______； (2)已知函数的图象如图2所示． ①若方程有三个实数根，则的值是_______； ②若方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是_______； ③若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． (3)已知抛物线与直线的图象只有一个公共点，求实数的值． 考点讲练5：图像法解一元二次不等式 【精讲题】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）已知函数的图象与的图象交于点，两点 (1)试求和的值； (2)取何值时，二次函数中的随值的增大而增大? (3)取何值时，？ (4)求抛物线顶点与两个交点构成的三角形的面积． 【举一反三练1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标； (2)根据图象回答：当取何值时，与？ (3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标． 【举一反三练2】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 考点讲练6：利用不等式求自变量或函数值的范围 【精讲题】（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 考点讲练7：根据交点确定不等式的解集 【精讲题】（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）顶点为Q． (1)求抛物线顶点Q的坐标． (2)在平面内有三点，点C是由点B向下平移4个单位得到的； ①直接写出点C的坐标； ②若抛物线（）与三角形有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围． 【举一反三练1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【举一反三练2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 考点讲练8：抛物线与x轴的交点问题 【精讲题】（2024·四川成都·模拟预测）对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是二次函数 的图象，其对称轴是直线，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 考点讲练9：根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【精讲题】（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【举一反三练1】（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 【举一反三练2】．（2024九年级下·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 考点讲练10：求x轴与抛物线的截线长 【精讲题】（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【举一反三练1】（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过M两点，与x轴交于点N．    (1)点N（ ， ）； (2)若抛物线与抛物线C关于y轴对称，求抛物线的解析式； (3)若抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为A，（点A在点的左边） ①求：的值； ②判断抛物线的顶点，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由． 【举一反三练2】（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线的顶点在轴下方的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）根据下列表格的对应值： 判断方程（，、、为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是 7．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ； 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 10．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（b、c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值． 11．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 培优题真题汇编练 12．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 13．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 15．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 17．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 18．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）函数 为常数的图象如图所示，已知顶点的纵坐标为，则有以下结论： ①时，；②；③方程 有两个相等的实数根； ④当时， ，则当，．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 20．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是 ．（填写序号） 21．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1： （1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 探究问题2： （3） 若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围． 23．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，抛物线与x轴的负半轴交于点A；过顶点D的直线交第一象限的抛物线于另一点E． (1)求点D的坐标； (2)若的面积为15，求直线的解析式； (3)如图2，将抛物线的顶点移到原点，直线与平移后的抛物线交于M，N两点，P是直线上一动点，直线，分别交抛物线于另一点G，H，连接交于点F．在点P的运动过程中，点F的位置是否发生变化?若不变，求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第22章《二次函数》】 22.2 二次函数与一元二次方程 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 5 考点讲练1：求抛物线与x轴的交点坐标 6 考点讲练2：求抛物线与y轴的交点坐标 10 考点讲练3：已知二次函数的函数值求自变量的值 13 考点讲练4：图像法确定一元二次方程的近似根 18 考点讲练5：图像法解一元二次不等式 22 考点讲练6：利用不等式求自变量或函数值的范围 27 考点讲练7：根据交点确定不等式的解集 30 考点讲练8：抛物线与x轴的交点问题 34 考点讲练9：根据二次函数图像确定相应方程根的情况 37 考点讲练10：求x轴与抛物线的截线长 42 中等题真题汇编练 47 培优题真题汇编练 57 新知精讲梳理 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【要点提示】 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【要点提示】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【要点提示】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 知识点03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点04：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【要点提示】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 高频易错知识点拨 易错知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1. 交点与根的关系 易错点：学生可能容易忘记或混淆二次函数图像与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。在解题时，需要明确这一点，并据此判断方程的根的情况或利用根来求解函数图像上的点。 2. 判别式的应用 易错点：在计算判别式Δ=b²−4ac时，学生可能会因为粗心而算错，或者忘记根据判别式的值来判断一元二次方程的根的情况（即两个不相等的实根、两个相等的实根或没有实根）。此外，还需要注意判别式与二次函数图像开口方向及顶点位置的关系。 易错知识点02：利用二次函数图像解一元二次方程 1. 图像法求解 易错点：在利用图像法求解一元二次方程时，学生可能会因为画图不准确或观察不仔细而得出错误的解。因此，在画图时，需要确保图像的准确性，并仔细观察图像与x轴的交点情况。 2. 求解特定条件下的方程 易错点：在求解满足特定条件（如方程在某一区间内有解）的一元二次方程时，学生可能会忽略这些条件，或者不知道如何将这些条件转化为对二次函数图像的限制。因此，在解题时，需要仔细审题，明确题目中的条件，并将其转化为对二次函数图像的限制。 易错知识点03：一元二次方程的根与二次函数的系数关系 1. 根与系数的关系（韦达定理） 易错点：学生可能会忘记或混淆韦达定理的内容，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根 x1和x2满足x1+x2=−ab和x1⋅x2==ac ​。在解题时，需要熟练掌握并灵活运用这一定理。 2. 系数对根的影响 易错点：学生可能不清楚二次函数（或一元二次方程）的系数如何影响其根的性质（如根的正负、大小关系等）。因此，在解题时，需要理解并掌握系数对根的影响规律。 易错知识点04：综合应用与解题技巧 1. 灵活运用知识点 易错点：在解决综合问题时，学生可能会因为知识点掌握不牢固或运用不灵活而陷入困境。因此，在解题时，需要灵活运用所学的知识点和解题技巧，将复杂问题分解为简单问题逐步解决。 2. 注意细节和陷阱 易错点：题目中可能会设置一些细节陷阱或隐含条件来考察学生的细心程度和解题能力。因此，在解题时，需要认真审题、仔细分析题目中的条件和要求，并注意避免常见的错误和陷阱。 考点讲练1：求抛物线与x轴的交点坐标 【精讲题】（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数． 求： (1)的值； (2)二次函数的图象与轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】（）利用抛物线图象与轴交点个数得出求出即可； （）根据（）中所求以及，得出的取值范围，进而利用图象与轴交点的横坐标都是整数得出的值，进而得出答案； 此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点是解题的关键． 【规范解答】（1）∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得：； （2）将代入二次函数解析式得：， ∵二次函数的图象与轴交于两点， ∴， 解得：， ∵是小于的整数， ∴， ∴或， ∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数， ∴当时，即与轴交点坐标为：，， 当时，，与轴交点坐标为，不合题意舍去， ∴二次函数与轴交点坐标为：，． 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； (2)连接，，求； (3)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)，顶点B的坐标为 (2)1 (3)C点坐标为或 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、其他问题(二次函数综合) 【思路点拨】（1）把原点坐标代入中求出c的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到B点坐标； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解； （3）设C点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到C点坐标． 【规范解答】（1）解：把代入得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点B的坐标为； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， ∴； （3）解：设C点坐标为， ∵， ∴， 即或， 解方程得： ，， ∴C点坐标为或， 方程无实数解， 综上所述，C点坐标为或． 【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【举一反三练2】（22-23九年级上·山东临沂·期末）抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 【答案】(1)，x轴的交点坐标为， (2)当或时，抛物线在x轴下方 (3)当时，y随着x的增大而增大 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． （1）把已知点的坐标代入中可求出m，从而得到抛物线解析式为，通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标； （2）利用抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围； （3）先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题． 【规范解答】（1）解：将 代入，可得， ， 令，即，解得， x轴的交点坐标为，； （2）根据的图像，如下图： 如图可知， 当或时，抛物线在x轴下方； （3）， 抛物线开口朝下， 抛物线对称轴为， 根据二次函数的性质可知， 当时，y随着x的增大而增大． 考点讲练2：求抛物线与y轴的交点坐标 【精讲题】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标 【思路点拨】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题． 【规范解答】解：，，， ， 抛物线与轴交点的个数为， 当时，， 抛物线与轴交点的个数为， 抛物线与坐标轴交点的个数为； 故答案为：3． 【举一反三练1】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、求抛物线与y轴的交点坐标、其他问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式，根据题意确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案． 【规范解答】解：二次函数的图象与y轴交于点A， ， 直线经过点A， ， ， 点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合， ， 整理得， 即，， 时，总有， 时，总有， ， 即， 解得， 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·山西晋城·三模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题考查了二次函数与x轴和y轴的交点问题、求一次函数不等式、线段问题，熟练待定系数法是解题的关键． （1）把和分别代入即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，根据题意表示出，，然后利用列方程求解即可． 【规范解答】（1）把代入，得， ， 把代入，得， 解得，， 点在点的左侧， ，． 设线段所在直线的函数表达式为； ∴ 解得 ∴线段所在直线的函数表达式为； （2）点在抛物线上， 设点的坐标为， 轴于点，交AC于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点在线段AC上方的抛物线上， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． 考点讲练3：已知二次函数的函数值求自变量的值 【精讲题】（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（   ） A．米 B．米 C．3米 D．6米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【思路点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可． 【规范解答】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为， 设二次函数的解析式为：， 由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系， ∴， 把代入可得出：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 当时， 即 解得：，（舍去）， 则此瓜农从点O沿向左最多能走． 故选：A． 【举一反三练1】（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连结，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、两直线平行内错角相等、用勾股定理解三角形 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，平行线的性质，轴对称的性质，等角对等边，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，令代入得，，则，，过作轴，为垂足，则，而轴，则，又点关于直线的对称点恰好落在线段上，则，即，故，即可求得，把点的坐标代入，即可求解，用勾股定理求出的长度是解题的关键． 【规范解答】解：令代入得，，， ∴， ∴， 过作轴，为垂足，则， ∵轴， ∴， 又点关于直线的对称点恰好落在线段上， ∴， 即， ∴， 则， ∴， 把代入得，， 解得， 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【思路点拨】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 则， 即抛物线的函数表达式为； （2）证明：设直线对应的函数表达式为， 为中点， ． 又， ，解得：， 直线对应的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：或， ， ，， ，即满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； （3）解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值， 故在（2）的条件下，，，，， 直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立上述两式得：， 解得：， 则点，， 此时的面积． 考点讲练4：图像法确定一元二次方程的近似根 【精讲题】（23-24九年级上·全国·课后作业）根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【思路点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【答案】(1)向上；；5 (2) (3) (4)或4 (5) 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法确定一元二次方程的近似根 【思路点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）由表格可见，函数的对称轴为x=1对称轴右侧，y随x的增大而增大，故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ； （2）根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小； （3）根据表格的特点及二次函数的性质即可判断； （4）根据表格可得或4时，，即可求解； （5）根据待定系数法求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格可见，函数的对称轴为，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为，根据函数的对称性m=5； 故答案为：向上；；5； （2）解：从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故； 故答案为：； （3）解：从表格看，当时，x的取值范围是：， 故答案为：； （4）解：从表格看，关于x的一元二次方程的解为：或4， 故答案为：或4； （5）解：∵二次函数经过点，，，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）阅读下面的材料： 在同一直角坐标系中，判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时，可以将问题转化为方程或方程组的解的问题． 如果两个函数的图象有交点，则它们的解析式组成的方程或方程组有解，且交点的个数等于解的个数．对于方程组来说，的解是交点的横坐标，的解是交点的纵坐标（两个函数都是关于的函数）． 根据以上材料，解决下面的问题： (1)函数与的图象如图1所示，则方程有______个实数根，分别为_______； (2)已知函数的图象如图2所示． ①若方程有三个实数根，则的值是_______； ②若方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是_______； ③若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． (3)已知抛物线与直线的图象只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1)2；，； (2)① 4 ；② ；③ 或 (3) 【难度】0.65 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、其他问题(二次函数综合) 【思路点拨】（1）观察图像，根据交点坐标即可得到答案； （2）根据图像与的交点进行分析，即可得到答案； （3）根据函数图像只有一个交点可知，联立方程只有一组解，即，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图象可知，函数与的图象有两个交点，其坐标分别为； ∴方程有2个实数根，分别为，； 故答案为：2；，； （2）解：由函数的图象可知， ①当时，直线与的图象有3个交点，故若方程有三个实数根，则的值是4；， ②当时，直线与的图象有4个交点，故若方程有4个实数根，则的取值范围是；， ③当或时，直线与的图象有2个交点，故若方程有2个实数根，则的取值范围是或；， 故答案为：① 4 ；② ；③ 或 （3）解：由题意可知：方程，即有两个相等的实数根 ∴ 解之得： 【考点评析】本题是二次函数的拓展题，主要考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，正确读懂图象信息、熟练掌握图象交点与方程解的关系、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 考点讲练5：图像法解一元二次不等式 【精讲题】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）已知函数的图象与的图象交于点，两点 (1)试求和的值； (2)取何值时，二次函数中的随值的增大而增大? (3)取何值时，？ (4)求抛物线顶点与两个交点构成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，二次函数中的随值的增大而增大 (3)当时， (4) 【难度】0.65 【知识点】图象法解一元二次不等式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将代入计算即可得出的值，从而得出，再利用待定系数法即可得出的值； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）求出点的坐标，画出函数图象，结合函数图象即可得出答案； （4）令抛物线的顶点为，过点作轴的平行线交于，求出的长度，再根据计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：，解得：； （2）解：由（1）可得， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数中的随值的增大而增大； （3）解：联立， 解得：或， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 由图象可得：当时，； （4）解：如图，令抛物线的顶点为，过点作轴的平行线交于， ∵， ∴， 在中，当时，，即， ∴， ∴． 【举一反三练1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标； (2)根据图象回答：当取何值时，与？ (3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)当时， (3)有， 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、图象法解一元二次不等式、线段周长问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）观察图象得：当时，，即可； （3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点，代入抛物线 可得方程组 ，解得：， 所以函数表达式为 ，                    当时，， 解得； 另一个交点B的坐标为； （2）解∶观察图象得：当时，； （3）解: 如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点． 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数式为， ∵抛物线对称轴为直线， 当时，， 即点． 【举一反三练2】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、图象法解一元二次不等式 【思路点拨】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． （1）用待定系数法求解即可． （2）根据二次函数图象可得出结论． （3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论． 【规范解答】（1）将和点代入二次函数得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：． （2）∵当时，的图象在的下方， ∴不等式的解集为：． （3）当时，， 解得， ∴， ∴． ∴． 考点讲练6：利用不等式求自变量或函数值的范围 【精讲题】（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 【规范解答】解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)x的取值范围是 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用不等式求自变量或函数值的范围 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质： （1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）将代入函数解析式求得函数与轴的交点，结合图象，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题知， 将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：将代入函数解析式得，， 解得，． 如图所示， 当时，抛物线在直线的下方，即， 所以x的取值范围是． 考点讲练7：根据交点确定不等式的解集 【精讲题】（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）顶点为Q． (1)求抛物线顶点Q的坐标． (2)在平面内有三点，点C是由点B向下平移4个单位得到的； ①直接写出点C的坐标； ②若抛物线（）与三角形有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据交点确定不等式的解集、由平移方式确定点的坐标 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，平移的性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． （12）由题意知，，进而可得顶点Q的坐标； （2）①由平移的性质求解即可；②由题意知，分抛物线与三角形的边相交；抛物线与三角形的边相交，两种情况作图求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，， ∴顶点Q的坐标为； （2）①解：由平移的性质可知，； ②解：由题意知，分抛物线与三角形的边相交；抛物线与三角形的边相交，两种情况求解； 当抛物线与三角形的边相交时，如图1，                   图1 由题意知，当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴； 当抛物线与三角形的边相交时，如图2，                  图2 当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴； 综上所述，． 【举一反三练1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【思路点拨】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在一次函数图象上方横坐标的取值范围即可 【规范解答】解：根据图象得二次函数与一次函数图象的交点横坐标为和， ∴当时，二次函数图象在一次函数图象上方， ∴当时，x的取值范围是， 故选：C 【举一反三练2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【思路点拨】（1）根据题意，设抛物线解析式为，解答即可； （2）根据题意，，，对称轴为，确定，确定直线与抛物线的交点坐标，然后利用数形结合思想，结合不等式，确定解集即可． 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，数形结合思想求解析式构成的不等式的解集， 熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，设抛物线解析式为， 故抛物线解析式为． （2）解：根据题意，，，对称轴为， ∴， ∴直线与抛物线的交点坐标分别为和， ∵， ∴或． 考点讲练8：抛物线与x轴的交点问题 【精讲题】（2024·四川成都·模拟预测）对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【规范解答】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个 故选：A． 【举一反三练1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是二次函数 的图象，其对称轴是直线，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，二次函数与一元二次方程横的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次根式与轴的交点，可判断①结论；由图象可知，当时，，可判断②结论；根据函数图象的开口方向、对称轴、与轴交点，可判断③和⑤结论；根据方程没有实数根可知与没有交点，可判断④结论． 【规范解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ，①结论正确； 由图象可知，当时，， ，②结论正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交点在负半轴， ，，， ， ，，③和⑤结论错误； 一元二次方程没有实数根， 没有实数根， 与没有交点， 由图象可知，，④结论正确； 正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【举一反三练2】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】（1）求出根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和二次函数图象的平移即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：， 一元二次方程没有实数解， 即：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）解：将二次函数化成顶点式，得： ， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到二次函数的图象，它的顶点坐标是， 二次函数的图象的顶点在轴上， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上， 答：把该函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上． 【考点评析】本题主要考查了二次函数和轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握根的判别式及二次函数图象的平移是解题的关键． 考点讲练9：根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【精讲题】（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与x轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 【答案】④⑥/⑥④ 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴， 由函数图象可知，抛物线的对称轴在轴的的右侧， ∴ ∵ ∴ 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以． 故③错误． 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， 所以当时的函数值小于时的函数值， 即， 所以，故④正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，且， 所以．故⑤错误． 方程的解可看成函数和直线交点的横坐标， 因为两个函数的图象有四个不同的交点， 所以方程有四个根； 又因为点A和点D，点B和点C关于直线对称， 所以，， 即，． 所以， 即方程的四个根之和为4． 故⑥正确． 故答案为：④⑥． 【举一反三练2】．（2024九年级下·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④． 【规范解答】解：∵二次函数与x轴交于， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵二次函数开口向上， ∴， 由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴当时，有， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 考点讲练10：求x轴与抛物线的截线长 【精讲题】（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求x轴与抛物线的截线长 【思路点拨】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过M两点，与x轴交于点N．    (1)点N（ ， ）； (2)若抛物线与抛物线C关于y轴对称，求抛物线的解析式； (3)若抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为A，（点A在点的左边） ①求：的值； ②判断抛物线的顶点，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由． 【答案】(1)，0 (2) (3)①5350；②不在一条直线上，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求x轴与抛物线的截线长、坐标与图形变化——轴对称 【思路点拨】（1）M、N两点关于抛物线的对称轴直线对称，利用中点坐标公式即可求解； （2）由对称可求得与x轴的两个交点坐标，与y轴的交点坐标，利用待定系数法即可求解； （3）①求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得，从而可求解； ②由抛物线的解析式，可求得各抛物线的顶点，…，的坐标；求出过两点的直线的解析式，验证点不在直线上即可； 【规范解答】（1）解：∵M、N两点关于抛物线的对称轴直线对称，且， ∴点N的横坐标为：， ∴点N的坐标为； 故答案为：，0； （2）解：∵，，且抛物线与抛物线C关于y轴对称， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，抛物线与y轴的交点为； 设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴； （3）解：①令，得， ∴，其中， ∴； ②不在一条直线上． ， 设所在直线的解析式为：， ， ∴， ∴， 把点代入， ， ∴点不在直线上． ∴顶点不在一条直线上． 【考点评析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴交点坐标，图形的对称等知识，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【举一反三练2】（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)2． 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、求x轴与抛物线的截线长 【思路点拨】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值； （2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案； （3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案． 【规范解答】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 【考点评析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线的顶点在轴下方的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况判断判别式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先看二次函数中的值，因为，故二次函数开口向下；再看二次函数的顶点在轴下方，故可得此二次函数与轴没有交点，即一元二次方程无实数解，于是可得答案． 【规范解答】解：， 二次函数开口向下， 又二次函数的顶点在轴下方， 此二次函数与轴没有交点， 一元二次方程无实数解， ， 故选：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【思路点拨】仔细看表，可发现的值和0.09最接近0，再看对应的的值即可得．本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 【规范解答】解：由表可以看出，∵当时，；当时，； ∴当取3.25与3.26之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）根据下列表格的对应值： 判断方程（，、、为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【思路点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 4．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据一元二次方程根的情况判断判别式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：二次函数的图象开口向下， ， 故选项不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故选项不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，， 当时，随的增大而增大， 故选项不符合题意； 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 故选项符合题意； 故选：． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集 【思路点拨】首先求出两函数交点的横坐标，再利用图象得出时，的取值范围．此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合是解题关键． 【规范解答】解：∵如图抛物线和直线在同一直角坐标系中 ∴将两函数关系式联立可得： ， 解得：，， 由图象可得：时，的取值范围是：． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、坐标与旋转规律问题 【思路点拨】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式． 【规范解答】解：， 配方可得， 顶点坐标为， 坐标为 由旋转得到， ，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； ， 抛物线的顶点坐标是，，． 抛物线的解析式是． 故答案为：． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ； 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】本题考查用函数图象解一元二次方程．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 【规范解答】解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．图象法求一元二次方程的解即可． 【规范解答】解：根据图像可知，二次函数解析式对称轴为， 故可得函数与轴交于， 故方程的解是，， 故答案为：，． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【难度】0.85 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【思路点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【规范解答】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 10．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（b、c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）分两种情况：当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为；当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐标为．根据题意，得出关于m的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，得出符合题意的m值即可． 【规范解答】（1）解：将点，代入，得： ， 解得：， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即二次函数图象最低点的纵坐标为， ∵点P的横坐标为m， ∴点P的纵坐标为 ∵图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6， 当P点在对称轴的右侧时，点P为最高点，点C为最低点，此时P点的纵坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； ②当P点在对称轴的左侧时，点P为最高点，为最低点，此时P点的纵坐标为， ∴， 解得：（舍去）或． ∴m的值为或． 11．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的面积的最大值为 (3)存在，P 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【思路点拨】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值； （3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：把点，点的坐标代入解析式， 得：， 解得：， 二次函数得表达式为； （2）过点作轴的平行线与交于点，    设， 设直线的函数关系式为，则 ，解得： 得直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 此时，点的坐标为，的面积的最大值为． （3）存在点，使四边形为菱形，如图，    设，交于点， 若四边形是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为． 【考点评析】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值． 培优题真题汇编练 12．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 【规范解答】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故选：D 13．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 【规范解答】解：由题意可知，当时，， ∵， ∴当时，， 即， ∴时，， ∵图象经过点， ∴当时，， 即，， 解得：，， ∵对任意实数，恒有， ∴恒成立，即， ∴，即， 解得：， 此时， ∴抛物线的表达式为， 故选：． 14．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【思路点拨】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点，令中，求解即可出结论．解题的关键是掌握求二次函数的图像与坐标轴交点的方法：①与轴的交点，令后求解；②与轴的交点，令后求解． 【规范解答】解：令二次函数中， ∴， ∴二次函数与轴的交点坐标是． 故选：D． 15．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【规范解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 17．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形变化——轴对称 【思路点拨】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标． 根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值． 【规范解答】解：抛物线的顶点为点， ， 抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧）， ，抛物线开口向上， 当时，， 整理得：， 解得， 点在点左侧， ，， ， 抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ， 经检验，是方程的解，也符合题意， 故答案为：． 18．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【思路点拨】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【规范解答】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时， ∴点的坐标是， 当时，则， ∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M， ∴ ∴对称轴； 则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴ ∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵ ∴ 则 则 ∴四边形周长的最小值为 故答案为： 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）函数 为常数的图象如图所示，已知顶点的纵坐标为，则有以下结论： ①时，；②；③方程 有两个相等的实数根； ④当时， ，则当，．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①③/③① 【难度】0.4 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围 【思路点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴正半轴相交，可判定①；由图象可知，抛物线对称轴在y轴右侧，且与y轴正半轴相交，则，，所以，则，可判定②；根据抛物线顶点P纵坐标为，得与直线只有一个交点，所以方程有两个相等实数根，可判定③；根据抛物线顶点P纵坐标为，求得，从而求得方程的解为，当时， ，，则，当时，，当时，，根据，则，，所以当时，或或，或判定④． 【规范解答】解：①当时， ， 由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴时，，故①正确； ②由图象可知，抛物线对称轴在y轴右侧，且与y轴正半轴相交， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ③∵抛物线顶点P纵坐标为， ∴与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等实数根，故③正确； ④∵抛物线顶点P纵坐标为， ∴ ∴ ∵当时， 解得：， ∵当时， ， ∴ ∴ 当时， 当时， ∵ ∴， ∴当时，或或，故④错误． 综上，正确的有①③， 故答案为：①③． 20．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断． 【规范解答】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合) 【思路点拨】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解； （2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：令， 解得或， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交于，    当时，，即， ∴， ∴； （2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下： 设， ∴，，， 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴或； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或或． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1： （1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 探究问题2： （3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；； ；（3） 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】本题考查二次函数与直线的交点问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与直线的交点问题是解题的关键． （1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则，即可求出m的取值范围； （2）联立两个函数解析式可得，即，根据两个函数图象有两个交点得到，即可求出m的取值范围．由，可得，从而问题可等价转化为：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，； （3）所求问题等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点时m的取值范围，结合函数与的图象即可解答． 【规范解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴． ∴； （2）变式：由方程组得， 即， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点， ∴． ∴． 由，可得 ∴等价转化：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，此时． 故答案为：；；． （3）由题意，令， ∴． ∴二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点． 由题意，（）． 作图如下．    ∵二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点， 结合图象，可得， ∴． 23．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值是13 (3)或 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、特殊四边形(二次函数综合) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）设交点式，再确定，然后把点坐标代入求出即可； （2）由于，则，所以，再利用点和点关于直线对称得到，所以矩形的周长，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）利用数形结合的方式来求解即可． 【规范解答】（1）解：设抛物线解析式为， 当时，， ， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （2）解：， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点和点关于直线对称， ， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值是13． （3）解：当时，即， 解得，， 当线段与该函数图象的交点在对称轴的左侧时， 则， 解得； 当线段与该函数图象的交点在对称轴的右侧时， 则， 综上所述，n的取值范围为或． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，抛物线与x轴的负半轴交于点A；过顶点D的直线交第一象限的抛物线于另一点E． (1)求点D的坐标； (2)若的面积为15，求直线的解析式； (3)如图2，将抛物线的顶点移到原点，直线与平移后的抛物线交于M，N两点，P是直线上一动点，直线，分别交抛物线于另一点G，H，连接交于点F．在点P的运动过程中，点F的位置是否发生变化?若不变，求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点F的位置不变， 【难度】0.4 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【思路点拨】（1）利用配方法求抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点的坐标，然后设点E的坐标为，求出直线的解析式，过点D作轴交于点Q，根据解方程求出点E的坐标，然后求解析式即可； （3）由题意得平移后的抛物线为：，联立直线表达式求出，设，可求，，，联立直线的表达式得：，求出，由于点在直线上，则，整理得，，联立直线的表达式，解得：，将代入，得：，因此，故点的位置不变． 【规范解答】（1）解：， ∴点D的坐标为； （2）当时，，解得，， ∴点A的坐标为， 设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点D作轴交于点Q， 当时，， ∴点Q得坐标为， ∴， 解得：或（舍去） ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：由题意得平移后的抛物线为：， 联立与， 得：， 解得：或， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 同理可求：，， 联立直线的表达式 得：， 解得：， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 联立直线的表达式， 得：， 解得：， 将代入， 得：， ∴， 故点的位置不变． 【考点评析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的平移，三角形的面积，两个一次函数图像的交点问题掌握二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$