22.1 二次函数的图象和性质（知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第22章《二次函数》】 22.1 二次函数的图像和性质 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：二次函数的定义 6 考点讲练2：二次函数的图象 6 考点讲练3：二次函数的性质 7 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 9 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 10 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 11 考点讲练7：二次函数的最值 12 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 13 考点讲练9：二次函数的三种形式 14 考点讲练10：二次函数综合题 14 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 21 新知精讲梳理 1 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3 的图像和性质 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 5 二次函数的图像和性质 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 6 比较函数值大小的方法 ①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较； ②性质法，利用函数的增减性比较； ③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较 7 二次函数平移的方法 平移原则上加下减，左加右减； 注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。 8 求对称轴的方法 ①已知两对称点的坐标，求对称轴； ②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标 方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝ 9 图像共存性问题的解决方法 根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。 10 抛物线的轴对称问题 ·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式 ·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c. ①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)； ②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数) 11 利用待定系数法求解析式的方法 ①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)； ②二次函数的顶点式： Y＝a(x-h)²＋k(a≠0); ③二次函数的双根式： y=a(x-x1)(x－x2) 12 根据增减性求字母的取值范围 ·表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围. ·一般步骤： 第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。 高频易错知识点拨 易错知识点01：二次函数的基本形式与性质 1. 二次函数的基本形式 二次函数的一般形式为： y = ax² + bx + c（其中a,b,c为常数，且a≠0）。 易错点：容易忽略a≠0的条件，若a = 0，则函数退化为一次函数。 2. 二次函数的开口方向与大小 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 ∣a∣的绝对值越大，抛物线的开口越小； ∣a∣的绝对值越小，开口越大。 易错点：容易混淆a的正负对开口方向的影响，以及∣a∣对开口大小的影响。 3. 顶点坐标与对称轴 顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣， 易错点：在求顶点坐标时，容易混淆公式中的正负号，以及对称轴与一次项系数b和二次项系数a的关系。 易错知识点02：二次函数图像的平移与变换 1. 平移规律 “左加右减，上加下减”：在原有函数的基础上，h值正右移，负左移；k值正上移，负下移。 易错点：容易混淆平移的方向和距离，特别是当涉及到多个平移步骤时。 2. 对称变换 关于x轴、y轴、原点、顶点或任意点对称后，抛物线的形状不变，但解析式会发生变化。 易错点：容易忘记对称变换后解析式的变化规律，或者错误地应用对称性质。 易错知识点03：二次函数与一元二次方程的关系 1. 交点问题 当二次函数 y = ax² + bx + c与x轴相交时，交点即为方程ax²+ bx + c = 0 易错点：容易忽略交点与方程根的关系，或者在求交点时混淆判别式Δ=b²−4ac的应用。 2. 判别式的应用Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点； Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。 易错点：容易在计算判别式时出错，或者错误地判断抛物线与x轴的交点情况。 易错知识点04：综合应用与解题技巧 1. 数形结合 在解决二次函数问题时，要充分利用图像与性质的结合，通过图像直观理解问题并求解。 易错点：容易忽略数形结合的重要性，或者在画图时出错导致解题错误。 2. 待定系数法 根据已知条件确定二次函数的解析式时，常采用待定系数法。 易错点：容易在选择待定系数法的形式时出错，或者在求解过程中混淆系数之间的关系。 考点讲练1：二次函数的定义 【精讲题】（2023秋•扶绥县期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024春•萨尔图区校级期末）若是关于的二次函数，则的值为 　　． 【举一反三练2】（2023秋•博乐市月考）已知函数． （1）当为何值时，为的二次函数？ （2）当为何值时，为的一次函数？ 考点讲练2：二次函数的图象 【精讲题】（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•泗阳县期末）某同学将如图所示的三条间距相同的水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条同样间距的竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么该同学选择作为轴和轴的直线分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【举一反三练2】（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点． （1）求此抛物线的顶点坐标； （2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标． 考点讲练3：二次函数的性质 【精讲题】（2024•德州模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【举一反三练1】（2024•丰台区二模）在平面直角坐标系中，，，，，，是抛物线上的三个点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求证：； （3）若对于，，都有，求的取值范围． 【举一反三练2】（2024•夹江县模拟）如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． （1）若点在图象上，求的值； （2）已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； （3）当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 【精讲题】（2024•青秀区校级开学）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②当时，随的增大而增大，③，④为任意实数）．其中结论正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练1】（2024•永善县二模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（2024•舟山三模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．将点向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上． （1）用含的代数式表示． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 【精讲题】（2024•东城区校级三模）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•兰陵县三模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点，，当点，满足时，称点，是点，的“关联点”．已知点，有下列结论：①点，都是点的“关联点”；②若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中正确结论是 　． 【举一反三练2】（2024•修水县二模）已知一次函数与二次函数为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标． （2）如果两个函数图象没有交点，求的取值范围． （3）如图，当时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求的最小值； ②当轴时，求的最小值． 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 【精讲题】（2023秋•昌平区期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•丰润区一模）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有； 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短． 下列判断正确的是 A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 【举一反三练2】（2024•鞍山模拟）已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 考点讲练7：二次函数的最值 【精讲题】（2024•河北模拟）已知二次函数为常数）在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为　　 A．1或 B．或5 C．1或 D．1或3 【举一反三练1】（2024•五华区校级三模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点为智慧点，例如：点，，，，，都是智慧点． （1）判断函数的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个智慧点，当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数的取值范围． 【举一反三练2】（2024•黄石港区一模）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当为何值时，的长度等于； （2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 【精讲题】（2024•莱芜区校级模拟）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数，是常数，且的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•上城区校级模拟）把一块含角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与轴重合，直角顶点落在轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　 【举一反三练2】（2024•孝义市模拟）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为．点在第一象限内的抛物线上，点的横坐标为6． （1）求出抛物线和直线的函数表达式； （2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，点是直线上方抛物线上一点，连接交直线于点．当时，求出点的坐标． 考点讲练9：二次函数的三种形式 【精讲题】（2023秋•西城区校级月考）把二次函数改写成顶点式为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•仁寿县期末）已知二次函数可以写成，则的取值范围是 　　． 【举一反三练2】（2019秋•凤凰县期末）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当取何值时，随的增大而减小． 考点讲练10：二次函数综合题 【精讲题】（2024•大连三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 　　． 【举一反三练1】（2024•美兰区校级一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点和点关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接、，求△的面积； （3）在对称轴右侧的抛物线上有一点，平面内是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （4）连接、，将抛物线向下平移后，点落在平面内一点处，过、两点的直线与线段交于点，当△与△相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 【举一反三练2】（2024•武都区一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，则的面积为　6　； （3）点是坐标平面内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 中等题真题汇编练 1．（2024•朝阳区校级开学）如果二次函数的最小值为0，那么的值等于　　 A．2 B．4 C． D．8 2．（2023秋•南召县期末）把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为　　 A． B． C． D． 3．（2024•梁山县校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 4．（2024•大庆二模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•新郑市期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是　　． 6．（2024•二道区校级模拟）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 0 0 有如下结论： ①抛物线的开口向上；（2）抛物线的对称轴是直线；（3）抛物线与轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 　　． 7．（2024•望江县三模）已知抛物线是常数且． （1）该抛物线的对称轴为直线　　； （2）该抛物线经过，和，两点，当，时，均有，则的取值范围为 　　． 8．（2024•朝阳区校级开学）如图，这是二次函数图象的一部分，且过点，图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中错误的结论有 　　． 9．（2024•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为 　　．（用“”表示） 10．（2024•静安区校级模拟）关于的二次函数的结论 ①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等． ②若图象过点，，点，，点，则当时，． ③若，对应的的整数值有4个，则或． ④当且时，，则． 其中错误的序号为 　　 ． 11．（2024•三门峡二模）设二次函数，是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： 0 1 2 3 1 1 （1）若，求二次函数的表达式； （2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小； （3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 12．（2024•罗平县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 13．（2024•宁明县三模）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． （1）若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ （2）折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 14．（2024•界首市校级一模）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为． ①用含有的代数式表示线段的长； ②连接，，求的面积最大时点的坐标． 15．（2024•榆次区一模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，两点的坐标； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 培优题真题汇编练 16．（2024•益阳模拟）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，，则下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 17．（2024•山西模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 18．（2024•青龙县模拟）已知，，把，合起来的图形记为，在图象上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，则上“整点”的个数是　　 A．3030 B．3031 C．2020 D．2023 19．（2024•义乌市模拟）已知关于的二次函数，在的取值范围内，若，则　　 A．函数有最大值 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 20．（2023秋•庆云县期末）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点” ，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是； 其中，正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．0 21．（2024•潮阳区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 　　． 22．（2024•天长市模拟）已知点，，，都在抛物线上，且． （1）若，则　　； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 　　． 23．（2024•二道区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与直线为常数）相交于、两点．若抛物线上有且只有一点到轴的距离与、两点到轴的距离相等，且的面积为4，则的值为　　． 24．（2024•全椒县三模）如图，为坐标原点，点是抛物线上一点，轴于点，，交轴于点． （1）若点的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 　　； （2）若线段与抛物线的交点为，则 　　． 25．（2023秋•鹤山市月考）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点、、、在轴的正半轴上，点、、、在二次函数位于第一象限的图象上，若△、△、、△都是等边三角形，则点的坐标为 　　． 26．（2023秋•伊通县校级月考）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值及此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 27．（2024•河东区一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出的取值范围． 28．（2024•绿园区校级开学）在平面直角坐标系中，抛物线，为常数）经过点，．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当抛物线在、之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标； （3）当点在矩形的内部时，求的取值范围； （4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值． 29．（2024•丽江二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式： （2）设的面积为，的面积为，当 时，求点的坐标； （3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 30．（2024•凉州区二模）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． （1）填空：　　，　　，　　； （2）在图1中，若点在轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值； （3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接、，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第22章《二次函数》】 22.1 二次函数的图像和性质 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：二次函数的定义 6 考点讲练2：二次函数的图象 7 考点讲练3：二次函数的性质 10 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 15 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 19 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 22 考点讲练7：二次函数的最值 24 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 28 考点讲练9：二次函数的三种形式 32 考点讲练10：二次函数综合题 33 中等题真题汇编练 42 培优题真题汇编练 57 新知精讲梳理 1 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3 的图像和性质 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 5 二次函数的图像和性质 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 6 比较函数值大小的方法 ①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较； ②性质法，利用函数的增减性比较； ③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较 7 二次函数平移的方法 平移原则上加下减，左加右减； 注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。 8 求对称轴的方法 ①已知两对称点的坐标，求对称轴； ②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标 方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝ 9 图像共存性问题的解决方法 根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。 10 抛物线的轴对称问题 ·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式 ·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c. ①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)； ②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数) 11 利用待定系数法求解析式的方法 ①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)； ②二次函数的顶点式： Y＝a(x-h)²＋k(a≠0); ③二次函数的双根式： y=a(x-x1)(x－x2) 12 根据增减性求字母的取值范围 ·表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围. ·一般步骤： 第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。 高频易错知识点拨 易错知识点01：二次函数的基本形式与性质 1. 二次函数的基本形式 二次函数的一般形式为： y = ax² + bx + c（其中a,b,c为常数，且a≠0）。 易错点：容易忽略a≠0的条件，若a = 0，则函数退化为一次函数。 2. 二次函数的开口方向与大小 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 ∣a∣的绝对值越大，抛物线的开口越小； ∣a∣的绝对值越小，开口越大。 易错点：容易混淆a的正负对开口方向的影响，以及∣a∣对开口大小的影响。 3. 顶点坐标与对称轴 顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣， 易错点：在求顶点坐标时，容易混淆公式中的正负号，以及对称轴与一次项系数b和二次项系数a的关系。 易错知识点02：二次函数图像的平移与变换 1. 平移规律 “左加右减，上加下减”：在原有函数的基础上，h值正右移，负左移；k值正上移，负下移。 易错点：容易混淆平移的方向和距离，特别是当涉及到多个平移步骤时。 2. 对称变换 关于x轴、y轴、原点、顶点或任意点对称后，抛物线的形状不变，但解析式会发生变化。 易错点：容易忘记对称变换后解析式的变化规律，或者错误地应用对称性质。 易错知识点03：二次函数与一元二次方程的关系 1. 交点问题 当二次函数 y = ax² + bx + c与x轴相交时，交点即为方程ax²+ bx + c = 0 易错点：容易忽略交点与方程根的关系，或者在求交点时混淆判别式Δ=b²−4ac的应用。 2. 判别式的应用Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点； Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。 易错点：容易在计算判别式时出错，或者错误地判断抛物线与x轴的交点情况。 易错知识点04：综合应用与解题技巧 1. 数形结合 在解决二次函数问题时，要充分利用图像与性质的结合，通过图像直观理解问题并求解。 易错点：容易忽略数形结合的重要性，或者在画图时出错导致解题错误。 2. 待定系数法 根据已知条件确定二次函数的解析式时，常采用待定系数法。 易错点：容易在选择待定系数法的形式时出错，或者在求解过程中混淆系数之间的关系。 考点讲练1：二次函数的定义 【精讲题】（2023秋•扶绥县期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次函数的定义判断即可． 【规范解答】解：、该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； 、时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意； 、该函数是二次函数，故本选项符合题意； 、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 【举一反三练1】（2024春•萨尔图区校级期末）若是关于的二次函数，则的值为 　　． 【思路点拨】根据二次函数的定义求解． 【规范解答】解：是关于的二次函数， 且， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 【举一反三练2】（2023秋•博乐市月考）已知函数． （1）当为何值时，为的二次函数？ （2）当为何值时，为的一次函数？ 【思路点拨】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当时，是的一次函数；当且时，是的一次函数；当且时，是的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得且， 解得， 即当为2时，是的二次函数； （2）当时，即时，是的一次函数； 当且时，是的一次函数，解得； 当且时，是的一次函数，解得； 即当为或或时，是的一次函数． 【考点评析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 考点讲练2：二次函数的图象 【精讲题】（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【规范解答】解：、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【举一反三练1】（2023秋•泗阳县期末）某同学将如图所示的三条间距相同的水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条同样间距的竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么该同学选择作为轴和轴的直线分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以写出该函数的开口方向，对称轴，顶点坐标所在的位置，与轴的交点坐标，然后即可解答本题． 【规范解答】解：二次函数， 该函数开口向下，对称轴为直线，对称轴在轴左侧，交与轴于点， 为轴，为轴， 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【举一反三练2】（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点． （1）求此抛物线的顶点坐标； （2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标． 【思路点拨】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解． （2）设点的坐标为，由对称可得点的坐标为：，将其代入抛物线的解析式即可求解． 【规范解答】解：（1）将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 此抛物线的顶点坐标为：． （2）设点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为：， 又点在抛物线上， ， 解得：，， 又点不与点重合， ， 点的坐标为：． 【考点评析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标的规律是解题的关键． 考点讲练3：二次函数的性质 【精讲题】（2024•德州模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【规范解答】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 【举一反三练1】（2024•丰台区二模）在平面直角坐标系中，，，，，，是抛物线上的三个点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求证：； （3）若对于，，都有，求的取值范围． 【思路点拨】（1）依据题意，抛物线的对称轴为：，进而可以得解； （2）依据题意，设点，关于对称轴的对称点为，，由抛物线的对称轴是直线，，从而可得，又点，在对称轴左侧，，且，再根据二次函数的性质，时，随的增大而减小，从而，结合，可得，，故当时，，再把代入函数解析式，故可得解； （3）依据题意，抛物线的对称轴是直线，，从而，在对称轴右侧．再根据分在对称轴的左侧和右侧进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解． 【规范解答】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为：． （2）证明：设点，关于对称轴的对称点为，， 抛物线的对称轴是直线，， ． 点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数的性质，时，随的增大而减小， ． ， ，． 当时，． 把代入函数解析式， ． （3）解：抛物线的对称轴是直线，， ，在对称轴右侧． ①当点在对称轴右侧时， 时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ． ②当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为，， ， ，． ． 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ，则． 综上，或． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【举一反三练2】（2024•夹江县模拟）如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． （1）若点在图象上，求的值； （2）已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； （3）当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 【思路点拨】（1）将点代入，即可得的值； （2）设直线解析式为，当直线与图象有三个不同的交点时，，令，设，，，，，，根据求出，代入即可得点坐标； （3）先求出的取值范围为，然后分3种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【规范解答】解：（1）， 点在图象上， 把点代入，得． （2）， 图象的顶点坐标为， 当时，函数， 图象与轴的交点为， 设直线解析式为， 作出如图象，当直线与图象有三个不同的交点时，， 在函数中，令，整理得， 设，，，，，， ， ， 即直线解析式为， 当时，解得（负舍）， 所以，点的坐标为． （3）， 令，则， 解得，（舍去）． 令，代入解析式为， 解得， 代入解析式为，解得， 的取值范围为， 中总存在使得， 二次函数在上的最大值大于2即可， 的对称轴为直线， 分如下情况讨论： ①当时，如图所示， 此时当时，函数有最大值，即， 解得． ②当时，如图所示， 此时当时，函数有最大值，即， 无解，舍去． ③当时，如图所示， 此时当时，函数有最大值，即， 解得． 综上所述，实数的取值范围是或． 【考点评析】本题二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、定义新函数问题等，解题关键是掌握二次函数的图象与性质，通过数形结合的方法求解． 考点讲练4：二次函数图象与系数的关系 【精讲题】（2024•青秀区校级开学）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②当时，随的增大而增大，③，④为任意实数）．其中结论正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【规范解答】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①错误； ②由图象可知，当时，随的增大而减小，故②错误； ③当时，，故③错误； ④当时，取到值最小，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故④正确， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 【举一反三练1】（2024•永善县二模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据二次函数的图象得，；根据抛物线与轴有两个交点得△，即；根据当时，得，又因为则；根据抛物线对称轴是直线得，根据当时，，即可得，则，可得；综上，即可得． 【规范解答】解：二次函数的图象开口向上， ， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， 抛物线与轴有两个交点， △， 即； 当时，， ， ， ； 抛物线对称轴是直线， ， ， 当时，， ， 则，； 综上，①②③正确， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质． 【举一反三练2】（2024•舟山三模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．将点向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上． （1）用含的代数式表示． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【思路点拨】（1）求得的坐标，进一步求得的坐标，由点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上，得到，解得； （2）求得对称轴，根据抛物线的对称性可知二次函数过定点和，当时，一次函数的函数值恰好也是，即可得到二次函数与一次函数必定交于一个定点； （3）①当时二次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，两函数必定交于一个定点为，结合图象可得，时，均符合题意；②当时，由题意当时，，解得，当二次函数与线段只有一个交点时，由 得，由△，解得，即可得出的取值范围是或或． 【规范解答】解：（1）令，则， ， 将点向左平移4个单位，得到点， 点恰好在二次函数、是常数，图象的对称轴上． ，即； （2）方法一： 二次函数必过定点， 又二次函数的对称轴是直线， 二次函数也过定点， 当时，一次函数的函数值恰好也是， 二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为； 方法二： 由 得，化简得 解得， 二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为； （3）①当时， 二次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点， 又两函数必定交于一个定点为， 由图象可得，时，均符合题意； ②当时， 由图象可得，当时，，或者二次函数与线段只有一个交点时，符合题意． 当时，，解得， 当二次函数与线段只有一个交点时， 由 得，由△，解得， 综上所述，的取值范围是或或． 【考点评析】本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 考点讲练5：二次函数图象上点的坐标特征 【精讲题】（2024•东城区校级三模）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次函数，可以得到该函数图象的对称轴为直线，再根据，，三点都在二次函数的图象上和二次函数的性质，即可判断，，的大小关系． 【规范解答】解：， 抛物线开口向下， 二次函数， 抛物线对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ，，三点都在二次函数的图象上，，，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【举一反三练1】（2024•兰陵县三模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点，，当点，满足时，称点，是点，的“关联点”．已知点，有下列结论：①点，都是点的“关联点”；②若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中正确结论是 　①②③　． 【思路点拨】根据“关联点”的定义，逐项判断即可． 【规范解答】解：①， 点是点的“关联点”， ， 点是点的“关联点”， 故①正确； ②设点的坐标为， 点是点的“关联点”， ， 点在直线上， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 故②正确； ③设抛物线上的点的坐标为， 点是点的“关联点”， ， ， ， 整理得：， 解得：或， 或， 点的坐标为或， 抛物线上存在两个点是点的“关联点”， 故③正确； 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“关联点”的定义是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•修水县二模）已知一次函数与二次函数为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标． （2）如果两个函数图象没有交点，求的取值范围． （3）如图，当时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求的最小值； ②当轴时，求的最小值． 【思路点拨】（1）当时，一次函数为，二次函数为，联立解析式，解方程，即可求解． （2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解； （3）当时，一次函数为，二次函数为， ①设，，，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②设，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：（1）解：（1）当时，一次函数为，二次函数为， 联立方程组 解得或 交点坐标为或； （2）由 得． 两个函数图象没有交点， ， 得． （3）当时，一次函数为，二次函数为， ①轴， 设，，， ． 当时，． ②设． 轴， ． ． ． 当时，． 【考点评析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 考点讲练6：二次函数图象与几何变换 【精讲题】（2023秋•昌平区期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”进行求解即可． 【规范解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为． 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键． 【举一反三练1】（2024•丰润区一模）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有； 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短． 下列判断正确的是 A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 【思路点拨】求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得对． 【规范解答】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段由长变短，故丙说得不对． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•鞍山模拟）已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 【思路点拨】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可． （2）将抛物线与轴的交点平移到原点即可解决问题． 【规范解答】解：（1）由题知， ， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）令得， ， 解得，． 又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点， 所以， 解得． 故的值为3． 【考点评析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 考点讲练7：二次函数的最值 【精讲题】（2024•河北模拟）已知二次函数为常数）在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为　　 A．1或 B．或5 C．1或 D．1或3 【思路点拨】当时，二次函数在上单调递增，进而得出时，取得最小值5，进而求出的值；当，二次函数在上单调递减，进而得出时，取得最小值5，进而求出的值． 【规范解答】解：的值不可能在1到3之间， 当时， 当时，取得最小值5， ， 或（不合题意，舍去）， 当， 当时，取得最小值5， ， 或（不合题意，舍去）， 故选：． 【考点评析】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键． 【举一反三练1】（2024•五华区校级三模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点为智慧点，例如：点，，，，，都是智慧点． （1）判断函数的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个智慧点，当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数的取值范围． 【思路点拨】（1）根据新定义列方程求解； （2）根据新定义和只有一个，列方程组求出函数解析式，再根据二次函数的性质求解． 【规范解答】解：（1）存在； 由题意，函数的图象上存在智慧点， 根据题意，解得． 故其智慧点的坐标为，． （2）由题意，二次函数的图象上有智慧点， ，即． 二次函数的图象上有且只有一个智慧点． ， 解得：，． ，， 二次函数为， 时，， ， 对称轴为直线， 当或4时，函数值为0， 若时，函数的最小值为0，最大值为， 实数的取值范围是． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•黄石港区一模）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当为何值时，的长度等于； （2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 【思路点拨】（1）利用的代数式分别表示出线段，，，利用勾股定理在中列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到关于的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【规范解答】解：（1）由题意得：，， ， ． 在中， ， ， 解得：或， 答：当为0秒或2秒时，的长度等于． （2）由（1）知：，， 当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动， ， ． ， 关于的函数解析式为； ， ， 当秒时，有最大值，最大值为． 、出发秒时，有最大值，这个最大面积为． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的极值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用的代数式分别表示出线段，，的长度是解题的关键． 考点讲练8：待定系数法求二次函数解析式 【精讲题】（2024•莱芜区校级模拟）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数，是常数，且的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立，的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案． 【规范解答】解：当时，， 整理得， 根据题意得△， 二次函数经过点， ， 整理得， ，解方程组得， ，函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图象如下： 时，时，解得或，当时，， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图象是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•上城区校级模拟）把一块含角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与轴重合，直角顶点落在轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　或或或　． 【思路点拨】设，，，分点在轴负半轴，点在轴正半轴，直角顶点在轴正半轴和直角顶点在轴负半轴四种情况讨论即可． 【规范解答】解：①设，，，点在轴负半轴， 当直角顶点在轴正半轴时，如图所示： ，， ，， ，， ， ，，， 设抛物线解析式为， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得， 抛物线解析式为； 当点在轴负半轴时，此时的抛物线与关于轴对称， 抛物线解析式为； ②设，，，点在轴正半轴， 当直角顶点在轴正半轴时，如图所示： 同①得，，，， 设抛物线解析式为， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得， 抛物线解析式为； 当点在轴负半轴时，此时的抛物线与关于轴对称， 抛物线解析式为； 综上抛物线解析式为或或或， 故答案为：或或或． 【考点评析】本题考查了定点系数法求函数解析式和含30度角的三角形，关键是分情况讨论，求出，，坐标． 【举一反三练2】（2024•孝义市模拟）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为．点在第一象限内的抛物线上，点的横坐标为6． （1）求出抛物线和直线的函数表达式； （2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，点是直线上方抛物线上一点，连接交直线于点．当时，求出点的坐标． 【思路点拨】（1）根据抛物线的顶点为，可以求出抛物线解析式，然后求出点坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （2）先根据对称性求出点坐标，再设点，，然后利用求出中点的坐标，再把坐标代入直线的解析式中，解方程求出即可． 【规范解答】解：（1）抛物线的顶点为， ， 抛物线的函数表达式为； 当时，， ， 当，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设点，， ， 点是点和点的中点， ，，即，， 点在直线上， ， 解得或（舍去）， ，． 【考点评析】本题考查待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是对这些知识的掌握和应用． 考点讲练9：二次函数的三种形式 【精讲题】（2023秋•西城区校级月考）把二次函数改写成顶点式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数解析式的三种形式：一般式：，、、为常数）；顶点式：；交点式（与轴）． 【举一反三练1】（2023秋•仁寿县期末）已知二次函数可以写成，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】将顶点式展开得到，，代入进行配方得到即可． 【规范解答】解：， ，， ， ， 故答案为：， 【考点评析】本题考查了二次函数解析式的三种形式，求出、的代数式是关键． 【举一反三练2】（2019秋•凤凰县期末）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当取何值时，随的增大而减小． 【思路点拨】（1）运用配方法把一般式化为顶点式； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． 【规范解答】解：（1）； （2）二次函数的图象的对称轴是直线，顶点坐标是； （3）抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小． 【考点评析】本题考查的是二次函数的三种形式和二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质的应用． 考点讲练10：二次函数综合题 【精讲题】（2024•大连三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 　或或　． 【思路点拨】①当与原点重合时，，此时矩形不存在；②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点；③时，矩形与图象只有两个公共点；④由②中可知，当时，矩形与图象有四个公共点；⑤当点在上时，矩形与图象有三个公共点；⑥当时，矩形与图象只有三个公共点；⑦当时，矩形与图象只有两个公共点． 【规范解答】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象有三个公共点； ③时，矩形与图象只有两个公共点，如图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象有四个公共点； ⑤如图，当点在上时，矩形与图象有三个公共点； 设直线的解析式为，把点坐标代入得，即， 点向上平移两个单位长度得到点， ， 点的纵坐标为，即， 把点坐标代入，得：， 解得：，（舍去）， ， 即点的以坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象有三个公共点， 故答案为：或或． 【考点评析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 【举一反三练1】（2024•美兰区校级一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点和点关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接、，求△的面积； （3）在对称轴右侧的抛物线上有一点，平面内是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （4）连接、，将抛物线向下平移后，点落在平面内一点处，过、两点的直线与线段交于点，当△与△相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 【思路点拨】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果； （2）可推出△是直角三角形，进一步得出结果； （3）只需△是等腰三角形，分为当时，点是点关于抛物线的对称轴的对称点；当时，此时在的垂直平分线上，可求得的解析式，进一步得出结果； （4）分为当点在轴的上方和在轴上两种情形：当点在轴上方时，作于，作于，根据△△得出，可求得的长，进而得出的长，可求得△是等腰直角三角形，进而求得和，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；当点在轴上时，进一步得出结果． 【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为：， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ； （3）当四边形是菱形时，此时， 由对称性可得， ， ， 如图1， 当四边形是菱形，， 作， ， ，， 的中点坐标为：，， 由（1）知：， ， ，， 的解析式为：， ， 的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ， ， ， 综上所述：或； （4）如图2， 当点在轴上方时， 作于，作于， ， △△， ， ，，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 平移后的抛物线的解析式为：， 当点在轴时，点和点重合， 此时△与△全等， 抛物线的解析式为：， 综上所述：当△与△相似时，平移后抛物线的解析式为：或． 【考点评析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 【举一反三练2】（2024•武都区一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，则的面积为　6　； （3）点是坐标平面内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1），则，将点的坐标代入上式并解得：，即可求解； （2）的面积，即可求解； （3）分是边、是对角线两种情况，分别求解即可． 【规范解答】解：（1），则， 将点的坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴交于点， 由点、坐标可得，直线的表达式为：， 抛物线与轴交于，则点，点的，则点，则， 的面积， 故答案为6； （3）点、的坐标分别为：、，设点，而点； ①当是边时， 点向右平移4个单位向上平移8个单位得到，同样点（B）向右平移4个单位向上平移8个单位得到点， 故，，解得：或，或， 故点或； ②当是对角线时， 由中点公式得：，， 解得：，，故点； 综上，点或或． 【考点评析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏 中等题真题汇编练 1．（2024•朝阳区校级开学）如果二次函数的最小值为0，那么的值等于　　 A．2 B．4 C． D．8 【思路点拨】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为；根据已知条件可得，据此可求出的值，进而解答． 【规范解答】解：函数解析式可转化为， 根据该图象开口向上，可知函数的最小值是， 又由已知条件可知函数的最小值是0，可得： ， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数最值的求法． 2．（2023秋•南召县期末）把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次函数图象平移特征判断即可． 【规范解答】解：将先向右平移2个单位长度得到函数的表达式为，再向上平移3个单位长度得到的函数表达式为． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 3．（2024•梁山县校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【规范解答】解：、由直线与轴的交点在轴的负半轴上可知，，错误； 、由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误； 、由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误； 、由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确， 故选：． 【考点评析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 4．（2024•大庆二模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况： ①直线经过点（即左边的对折点），可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； ②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式△，根据这一条件可确定的取值． 【规范解答】解：令，则， 解得或1， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， △， 即． 由①②知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为； 故选：． 【考点评析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 5．（2023秋•新郑市期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是　　． 【思路点拨】二次函数的解析式是、、为常数，，根据开口向上得出为正数，根据与轴的交点坐标为得出，写出一个符合的二次函数即可． 【规范解答】解：答案不唯一，如：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键． 6．（2024•二道区校级模拟）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 0 0 有如下结论： ①抛物线的开口向上；（2）抛物线的对称轴是直线；（3）抛物线与轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 　①②④　． 【思路点拨】利用交点式求出抛物线的解析式为，则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用时，可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断． 【规范解答】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， ， 抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线的对称轴是直线，所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为，所以③错误； 抛物线与轴交于点，，且抛物线开口向上， 当时，， 的解集是，所以④正确． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．也考查了待定系数法求抛物线解析式． 7．（2024•望江县三模）已知抛物线是常数且． （1）该抛物线的对称轴为直线　1　； （2）该抛物线经过，和，两点，当，时，均有，则的取值范围为 　　． 【思路点拨】（1）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （2）根据抛物线的对称性即可求解． 【规范解答】解：（1）该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：1； （2）， 抛物线开口向上， 对称轴为直线，当，时，均有， 或， 或， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（2024•朝阳区校级开学）如图，这是二次函数图象的一部分，且过点，图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中错误的结论有 　①②④　． 【思路点拨】根据函数图象与坐标轴的交点及二次函数的基本性质依次判断即可． 【规范解答】解：①由图象得，图象与轴的一个交点为，对称轴为， 另一个交点为， 方程有两个不相等的实数根，，即，正确； ②因为开口向下，故， ， ， 又， ，正确； ③由对称轴，得，， 当时，， ，即， ，故错误； ④由①得另一个交点为， 时，， 当时，，即，故正确； 故①②④正确． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 9．（2024•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为 　　．（用“”表示） 【思路点拨】求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离的大小判断即可． 【规范解答】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ，，， 点到对称轴的距离最大，到对称轴距离最短， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 10．（2024•静安区校级模拟）关于的二次函数的结论 ①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等． ②若图象过点，，点，，点，则当时，． ③若，对应的的整数值有4个，则或． ④当且时，，则． 其中错误的序号为 　①③　． 【思路点拨】先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，随的增大而增大，得出，，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出随的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出的值，即可判断④． 【规范解答】解：①二次函数， 该函数的对称轴为直线， ，， ，即，和，关于直线对称， 对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意； ②把代入得：， 解得：， 二次函数表达式为， ，该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ，， ，故②不正确，不符合题意； ③， 当时，，当时，， 当时， ， 随的增大而增大， ，对应的的整数值有4个， 四个整数解为：，，，， ，解得：， 当时， ， 随的增大而减小， ，对应的的整数值有4个， 四个整数解为：，，，， ，解得：， 综上：或，故③正确，符合题意； ④当且时，随的增大而减小， ， 当时，，解得：， ， 当时，， 解得：，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故答案为：①③． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 11．（2024•三门峡二模）设二次函数，是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： 0 1 2 3 1 1 （1）若，求二次函数的表达式； （2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小； （3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得； （2）利用二次函数的性质得出结论； （3）根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，解得． 【规范解答】解：（1）由题意得， 解得， 二次函数的表达式是； （2）， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）和时的函数值都是1， 抛物线的对称轴为直线， 是顶点，和关于对称轴对称， 若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且， ， ， 二次函数为， ， ． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出是解题的关键． 12．（2024•罗平县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将点代入中，得出，由，且与均为整数，求出的值进而即可求点的坐标． 【规范解答】解：（1）抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为； （2）点在抛物线上， ，满足，即，， ，且与均为整数， ， 或， 或， 时，；，， 综上，点的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特点，及分式的约分，利用点的坐标表示出相应线段的式子是解题的关键． 13．（2024•宁明县三模）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． （1）若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ （2）折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【思路点拨】（1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为 ，列式求解即可； （2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为 ，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解． 【规范解答】解：（1）设剪掉的小正方形的边长为 ， 无盖纸盒的底面的边长为， ，， ， ， 解得，，（舍去）， 剪掉的小正方形的边长为； （2）设剪掉的小正方形的边长为 ，无盖纸盒的侧面积为， ， 当时，有最大值，最大值为， 无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键． 14．（2024•界首市校级一模）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为． ①用含有的代数式表示线段的长； ②连接，，求的面积最大时点的坐标． 【思路点拨】（1）根据已知抛物线经过点和点代入即可求解； （2）①求出坐标及解析式，根据过点作轴的平行线交直线于点，即可用含的带上书表示出和的坐标，进而求解； ②用含的代数式表示出的面积，可得是关于的二次函数，即可求解． 【规范解答】解：（1）抛物线经过点和点，与轴交于点， ， ，即， 抛物线解析式为； （2）①由可知，对称轴为直线，点， 将点、代入直线解析式， 则，解得：， 直线解析式为：． 设， 过点作轴的平行线交直线于点， ， ； ② ， 当时，有最大值． 当时，． ，． 的面积最大时点的坐标为，． 【考点评析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 15．（2024•榆次区一模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，两点的坐标； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当点在轴下方时，证明，则，求出点，得到直线的表达式为：，进而求解；当点在轴上方时，证明轴，即可求解． 【规范解答】解：（1）将代入得： ， 当时，， 解得：，． ，； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ，．当时，有最大值， 当时，． 当线段最长时点的坐标为； （3）存在，理由： 当点在轴下方时， 设交轴于点， 由点、、得坐标知，， ， 则，即， 解得：， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点，； 当点在轴上方时， 则， 则轴， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 则点； 综上，，或． 【考点评析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、线段长度的表示方法等，分类求解是本题解题的关键． 培优题真题汇编练 16．（2024•益阳模拟）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，，则下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据，得出，再求出点坐标，即可得到点的坐标，代入函数解析式，即可判断． 【规范解答】解：， ， ， ， ，， 代入函数解析式中，得：， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据，得出，是解题的关键． 17．（2024•山西模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先确定二次函数开口向下，对称轴为直线，再根据距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【规范解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴：， 点距离对称轴：， 点距离对称轴：， 根据函数图象的性质，距离对称轴越远函数值越小， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键． 18．（2024•青龙县模拟）已知，，把，合起来的图形记为，在图象上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，则上“整点”的个数是　　 A．3030 B．3031 C．2020 D．2023 【思路点拨】化简、的解析式，再根据横、纵坐标都是整数的点称为“整点”即可解答． 【规范解答】解：， ， 横、纵坐标都是整数的点称为“整点”， 当为整数，也为整数， 是整数， ， 符合条件的共有：（个， ， 只要是整数，一定是整数， ， 符合条件的共有2020个， 上当时，，上当时，， 两点重合， “整点”数为（个， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数的取值范围正确求出自变量的数量是解题的关键． 19．（2024•义乌市模拟）已知关于的二次函数，在的取值范围内，若，则　　 A．函数有最大值 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【思路点拨】抛物线的对称轴为直线则在的取值范围内，若，则和在对称轴的两侧，则抛物线在顶点处取得最大值，即可求解． 【规范解答】解：抛物线的对称轴为直线， 则在的取值范围内，若，则和在对称轴的两侧， 则抛物线在顶点处取得最大值， 即时，， 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的性质解答． 20．（2023秋•庆云县期末）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点” ，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是； 其中，正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．0 【思路点拨】令，则，求出、的值即可判断①；令，则，求出、的两对值，再结合勾股定理求出这两点之间的距离，即可判断②；把代入，求出、的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合△求出、的值，得出，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当时，求出的值即可判断③． 【规范解答】解：①令，则， 解得，， ，即点，在直线上， 故①正确； ②令，则，解得，， 当，时；当，时 抛物线上的2个“方形点”为，， 点与之间的距离； 故②正确； ③点是二次函数的“方形点”． ， ， 二次函数的图象上有且只有一个“方形点”． （即有且只有一个根， △， ， 解得，， ， 二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时，， 解得，，， 当时，函数的最大值为，最小值为． 故③不正确， 故选：． 【考点评析】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一元二次方程根与系数的关系等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出与的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合△求出、的值，然后根据二次函数的性质解答． 21．（2024•潮阳区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 　　． 【思路点拨】先求出，，如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，然后证明当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：在中，当时，， ； 抛物线解析式为， ； 如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则， ， ， 当、、三点共线时最小，即最小，最小值为， 的最小值， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当、、三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键． 22．（2024•天长市模拟）已知点，，，都在抛物线上，且． （1）若，则　　； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】（1）判断出，关于抛物线的对称轴对称，即可得到，与联立成方程组，解方程组求得、的值，可得结论； （2）由点，在直线两侧，且可知，，由，得到，求得，由可知点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，即，进而得到，解得，即可求得，进一步求得，由题意知当时，有最大值0，则，即，从而求得． 【规范解答】解：（1）， 点，关于直线对称， ， ， 联立，得， 解得， ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，， ， ， 即， ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ，即， 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（2024•二道区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与直线为常数）相交于、两点．若抛物线上有且只有一点到轴的距离与、两点到轴的距离相等，且的面积为4，则的值为　4　． 【思路点拨】根据抛物线的对称性及图象上点的坐标特征列方程求解． 【规范解答】解：由题意得得：抛物线的顶点为，， 的面积为4， 、到的距离都为1， ，， ， 解得：， 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的坐标特征是解题的关键． 24．（2024•全椒县三模）如图，为坐标原点，点是抛物线上一点，轴于点，，交轴于点． （1）若点的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 　　； （2）若线段与抛物线的交点为，则 　　． 【思路点拨】（1）根据平行线的判定定理得到，求得，，设直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）过作交于，根据相似三角形的性质得到，设点，则点，由点的坐标得，直线的表达式为：，则直线的表达式为：，解方程组得到点，，于是得到结论． 【规范解答】解：（1）轴，轴， ， ， 点的坐标为， ，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； 故答案为：； （2）过作交于， ， ， ， 设点，则点， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：（正值已舍去）， 则点，， 则， 故答案为：． 【考点评析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 25．（2023秋•鹤山市月考）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点、、、在轴的正半轴上，点、、、在二次函数位于第一象限的图象上，若△、△、、△都是等边三角形，则点的坐标为 　，　． 【思路点拨】分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，逐步代入抛物线中，求、、的值，得出规律． 【规范解答】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，，则，，， 在正△中，，， 代入中，得，解得， ，， 在正△中，，， 代入中，得，解得， ，， 在正△中，，， 代入中，得，解得， ，， ， 由此可得的坐标为，． 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律． 26．（2023秋•伊通县校级月考）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值及此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【思路点拨】（1）把点代入，求出的值，再化为顶点式，即可作答． （2）结合二次函数的性质，以及，即可作答． 【规范解答】解：（1）抛物线经过点． 把代入， 得， ， 则， 顶点坐标为； （2）由（1）知， 开口向下，在时，， 则当时，则， 当时，则， 则当时，直接写出的取值范围． 【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． 27．（2024•河东区一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出的取值范围． 【思路点拨】（1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【规范解答】解：（1）把代入得， 抛物线解析式为， 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得， 解得， “三倍点”坐标为； （2）由（1）可知， ①当即时， ， ②当即时， ， 综上，①当时，， ②当时，． （3）由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则△，解得； 把代入得，代入得， ，解得； 把代入得，代入得， ，解得， 综上，的取值范围为：． 【考点评析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 28．（2024•绿园区校级开学）在平面直角坐标系中，抛物线，为常数）经过点，．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当抛物线在、之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标； （3）当点在矩形的内部时，求的取值范围； （4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值． 【思路点拨】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线的顶点坐标为，函数的最小值为，再根据点的纵坐标为0，结合题意得出，把代入得：，求出的值，即可得出答案； （3）分四种情况分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可； （4）求出抛物线与轴的另外一个交点为，根据点在轴下方，得出，根据解析（2）点在矩形的内部时，或，得出 ，求出抛物线对称轴为直线，得出，，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【规范解答】解：（1）抛物线经过点，， ， 解得： 抛物线的解析式为：； （2）当时，， 解得：（舍去），， ， 当时，， 解得：（舍去），， ， ，或； （3）点的横坐标为，点在抛物线上， 点的坐标为， 轴，点的坐标是， 又四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为， 当，即时，点在点的右侧，在点的上方，如图所示： 点在矩形的内部， ， 解得：， 综合可得，此时没有符合条件的存在； 当，即时，点在点的右侧，在点的下方，如图所示： 点在矩形的内部， ， 解得：， 点必须在轴左侧，即， 综合可得，； 当，即时，点在点的左侧，在点的上方，如图所示： 点在矩形的内部， ， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点在点的左侧，在点的下方，如图所示： 根据画图可知，点不可能在矩形的内部； 综上分析可知，点的取值范围是或． （4）令， 解得：，， 抛物线与轴的另外一个交点为， 点在轴下方， ， 根据解析（2）可知，点在矩形的内部时，或， ， ， 抛物线对称轴为直线 抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为： ， 当时，， 点到抛物线对称轴的距离为：， ， ， 解得：或（舍去）， 的值为． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，矩形的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 29．（2024•丽江二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式： （2）设的面积为，的面积为，当 时，求点的坐标； （3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【思路点拨】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可； （3）在轴的正半轴上取点，连接，过点作交抛物线于另一点，易证，利用已知条件可求出，，进而求出直线，直线的解析式，求两条直线的交点即可． 【规范解答】解：（1）抛物线经过，两点， ． 解得． 抛物线的解析式是； （2）设，对于抛物线．令，则， ． ， ． ，即． ． ． ． 解得，． 点的坐标是或． （3）存在，使，点的坐标是， 理由：在轴的正半轴上取点，连接，过点作交抛物线于另一点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 由， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 【考点评析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用． 30．（2024•凉州区二模）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． （1）填空：　3　，　　，　　； （2）在图1中，若点在轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值； （3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接、，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）将点，代入，可得，，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值； （2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值； （3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标． 【规范解答】解：（1）将点，代入得， ，解得， 抛物线的解析式：， ，则，解得或1， ， ， 故答案为：3，，； （2）连接， ，轴交抛物线于点， 点的纵坐标为， ，解得或4， ， 点的横坐标为， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， 的值为； （3）， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为2， 分三种情况： ①当为直角顶点时，，如图2，过作轴，过作于，过作于， ， 是等腰直角三角形，且，， ， ， ， ， ，，点的横坐标为2， ， ，解得或或 点的坐标为，或，或，或，； ②当为直角顶点时，，如图3，过作轴，过作于，过作于， 同理， ， ，，点的横坐标为2， ， ，解得或， 点的坐标为，或，； 如图5， 同理， ，， ，，点的横坐标为2， ， ，解得或， 点的坐标为，或，； ③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于， 同理， ，， ，，点的横坐标为2， ，， ， ，解得或5或3， 点的坐标为或或； 综上所述，点的坐标是，或，或，或，或，或，或或或． 【考点评析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$