21.3 实际问题与一元二次方程（知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第21章《一元二次方程》】 21.3 实际问题与一元二次方程 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：传播问题 5 考点讲练2：增长率问题 6 考点讲练3：与图形有关的问题 7 考点讲练4：数字问题 9 考点讲练5：营销问题 10 考点讲练6：动态几何问题 12 考点讲练7：工程问题 13 考点讲练8：行程问题 15 考点讲练9：图表信息题 16 考点讲练10：其他问题 18 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 22 新知精讲梳理 应用1：传播问题 传播问题通常涉及某种疾病、信息或病毒在人群中的传播。这类问题往往通过一元二次方程来建模，以了解传播的速度和范围。例如，题目可能给出经过几轮传播后感染的总人数，然后求解每轮传播中平均每个人传染的人数。解决这类问题时，需要建立模型 应用2：增长率问题 增长率问题涉及量的增长，如生产、销售、人口等。这类问题通常使用增长率公式 a(1+x)n = b，其中 (a) 是初始量，(x) 是增长率，(n) 是增长次数，(b) 是增长后的量。通过解这个方程，可以找出增长率 (x) 或增长后的量 (b)。例如，某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都是 (x)， 则该厂三月分产钢 (50(1+x)²) 吨。 应用3：与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 应用4： 数字问题 数字问题涉及数字的排列、组合和性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来找出符合特定条件的数字。例如，有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，且这个两位数的平方等于1300减去这个两位数本身。 应用5：营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 应用6：动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 应用7：工程问题 工程问题涉及工程项目的进度、成本、效率等。这类问题可能需要利用一元二次方程来建模，以求解最优的工程进度安排或成本控制策略。例如，某工程队需要完成一段道路建设，每天完成的工程量与天数的关系可能符合一元二次方程。 应用8：行程问题 行程问题涉及物体的运动速度、时间、距离等。这类问题通常需要利用速度、时间和距离的关系来建立一元二次方程。例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先以一定速度行驶一段时间后减速行驶，通过总时间和总距离的关系可以建立一元二次方程来求解。 应用9：图表信息题 图表信息题涉及从图表中提取数据并建立数学模型。这类问题可能需要先根据图表中的数据建立一元二次方程，然后求解方程以获取更多信息。例如，从某地区人口增长趋势图中提取数据，建立一元二次方程来预测未来人口数量。 应用10： 其他问题 除了上述几类问题外，还有一些其他问题也可能涉及一元二次方程的实际应用。例如，物理学中的某些问题（如抛体运动）、经济学中的某些模型（如供需关系）等都可能通过一元二次方程来描述和求解。 高频易错知识点拨 易错知识点01：传播问题 混淆增长率与增长量：在传播问题中，如病毒传播、信息传播等，学生容易混淆增长率与增长量的概念。增长率是变化的比率，而增长量是增长的绝对数量。 忽视初始条件：在建立方程时，学生可能忽视初始的传播量或基数，导致方程设置错误。 易错知识点02： 增长率问题 错误理解增长率公式：增长率公式通常为：m=（n2-n1）÷n1×100%，其中 n1 是原始数量，n2是增长后的数量，(m) 是增长率。学生容易在计算时忽略分母n1或错误地将其替换为其他值。 时间间隔问题：在涉及多年增长率的问题中，学生可能未正确考虑时间间隔对最终数量的影响。 易错知识点03： 与图形有关的问题 图形性质理解不透彻：在解决与图形（如三角形、四边形、圆等）有关的问题时，学生可能对图形的性质理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的几何约束：如三角形的三边关系、四边形的对角线性质等，这些几何约束在建立方程时必须考虑。 易错知识点04：数字问题 数字提取不准确：在处理涉及大量数字的问题时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数字。 忽略数字的实际意义：数字往往代表实际物体或情境中的数量，学生需要准确理解其含义才能建立正确的方程。 易错知识点05：营销问题 混淆成本与售价：在营销问题中，学生容易混淆产品的成本和售价，导致利润计算错误。 未考虑折扣和优惠：如果问题中涉及折扣或优惠活动，学生可能未正确考虑这些因素对最终售价和利润的影响。 易错知识点06：动态几何问题 动态变化理解不足：动态几何问题涉及图形的动态变化（如旋转、平移、翻折等），学生可能对这些变化的理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的连续性和变化性：在动态几何问题中，图形的形状和大小可能随时间的推移而发生变化，学生需要充分考虑这种连续性和变化性。 易错知识点07：工程问题 工作量与效率关系不清：在工程问题中，学生可能未正确理解工作量、工作时间和工作效率之间的关系，导致方程设置错误。 忽视多阶段工程：如果工程问题涉及多个阶段或多种工种协作，学生可能未充分考虑这些因素对总工作量和时间的影响。 易错知识点08：行程问题 速度、时间和距离关系混淆：行程问题中速度、时间和距离之间的关系是解题的关键，学生容易混淆这些概念或错误地应用它们。 忽视相对运动：在涉及相对运动的行程问题中（如两车相向而行、同向而行等），学生可能未正确考虑相对速度对行程时间的影响。 易错知识点09： 图表信息题 数据提取错误：从图表中提取数据时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数据。 图表理解不透彻：不同类型的图表（如折线图、柱状图、饼图等）具有不同的信息呈现方式，学生需要准确理解图表的含义才能提取有用信息并建立正确的方程。 易错知识点10：其他问题 除了上述具体问题外，还有一些普遍性的易错点需要注意： 方程设立不准确：在将实际问题转化为数学问题时，学生可能未准确设立方程或设立的方程不符合题意。 解方程方法不当：在解方程时，学生可能未根据方程的特点选择合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等），导致计算过程复杂或结果错误。 未进行验证：在得出解后，学生应验证解是否符合原问题的实际情况和约束条件，但部分学生可能忽视了这一步。 考点讲练1：传播问题 【精讲题】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024九年级上·全国·专题练习）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【举一反三2】（23-24八年级下·重庆·期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 考点讲练2：增长率问题 【精讲题】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）2022年9月30日至10月9日，世界乒乓球团体竞标赛正在成都举行，本次大赛共有66支队伍参赛，本次赛事的口号为“乒世界，品成都”，赛事的举办点燃了全体市民参与乒乓球运动的热情． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知7月共销售乒乓球拍500副，每月的月销售增长率相同，9月共销售720副，求该增长率？ (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售20副，每副盈利40元，在每副降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10副．如果每天要盈利1440元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【举一反三1】（2024九年级上·江苏·专题练习）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【举一反三2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 考点讲练3：与图形有关的问题 【精讲题】（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？ 【举一反三1】（22-23九年级上·四川内江·期中）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【举一反三2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 考点讲练4：数字问题 【精讲题】（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【举一反三1】（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 【举一反三2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 考点讲练5：营销问题 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【举一反三1】（24-25九年级上·重庆·开学考试）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值． 【举一反三2】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保护不变．现有一个经销商，按市场价收购了这种活螃蟹放养在塘内，此时市场价为元．据测算此后每千克的活螃蟹市场价每天可上升元，但是，放养一天各种费用支出元，且平均每天还有的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是元． (1)设天后每千克活蟹的市场价为元，请写出关于的函数关系式； (2)如果经销商将这批蟹出售后能获利元，那么他应放养多少天后再一次性售出？ 考点讲练6：动态几何问题 【精讲题】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【举一反三1】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【举一反三2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 考点讲练7：工程问题 【精讲题】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【举一反三1】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【举一反三2】（2022·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 考点讲练8：行程问题 【精讲题】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【举一反三1】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【举一反三2】（19-20九年级上·河南郑州·期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 考点讲练9：图表信息题 【精讲题】（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【举一反三1】（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【举一反三2】（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 考点讲练10：其他问题 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（   ） A．38人 B．39人 C．40人 D．41人 【举一反三2】（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 中等题真题汇编练 1．（2024·贵州遵义·二模）《九章算术》中记载一个数学问题，其大意为：有一个长方形的门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框高为x尺，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 ． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是 ． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元． 9．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2022年该学校用于购买图书的费用为10000元，2024年用于购买图书的费用增加到14400元，求该校这两年购买图书的费用的年平均增长率． 10． （23-24九年级上·甘肃平凉·期末）央广网年月日消息，贵州省宣布最后的个贫困县脱贫．其中某县某果农年的年收入为万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，年年收入增加到万元，求平均每年年收入的增长率． 11．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 12．（22-23九年级上·江苏徐州·开学考试）淮北市富强文体平价店以每件元的价格购进件某体育用品，第一个月以单价元销售，售出了件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，第二个月结束后，批发商将对剩余的体育用品一次性清仓销售，清仓时单价为元，设第二个月单价降低x元． (1)填表：（不需化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 销售量（件） (2) 如果该店希望通过销售这批体育用品获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 培优题真题汇编练 13．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 16．（23-24八年级下·浙江温州·期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书．据统计该阅览室2021年图书借阅总量是7500本，2023年图书借阅总量是10800本．设该社区阅览室的图书借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·四川成都·期末）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 18．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 20．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 21．（2024·辽宁阜新·一模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），当四边形是轴对称图形时，则的值为 ． 22．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加个． (1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． (2)在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，直接写出每个台灯的售价． 23．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 24．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第21章《一元二次方程》】 21.3 实际问题与一元二次方程 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：传播问题 4 考点讲练2：增长率问题 7 考点讲练3：与图形有关的问题 10 考点讲练4：数字问题 13 考点讲练5：营销问题 17 考点讲练6：动态几何问题 20 考点讲练7：工程问题 24 考点讲练8：行程问题 27 考点讲练9：图表信息题 30 考点讲练10：其他问题 33 中等题真题汇编练 34 培优题真题汇编练 42 新知精讲梳理 应用1：传播问题 传播问题通常涉及某种疾病、信息或病毒在人群中的传播。这类问题往往通过一元二次方程来建模，以了解传播的速度和范围。例如，题目可能给出经过几轮传播后感染的总人数，然后求解每轮传播中平均每个人传染的人数。解决这类问题时，需要建立模型 应用2：增长率问题 增长率问题涉及量的增长，如生产、销售、人口等。这类问题通常使用增长率公式 a(1+x)n = b，其中 (a) 是初始量，(x) 是增长率，(n) 是增长次数，(b) 是增长后的量。通过解这个方程，可以找出增长率 (x) 或增长后的量 (b)。例如，某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都是 (x)， 则该厂三月分产钢 (50(1+x)²) 吨。 应用3：与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 应用4： 数字问题 数字问题涉及数字的排列、组合和性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来找出符合特定条件的数字。例如，有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，且这个两位数的平方等于1300减去这个两位数本身。 应用5：营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 应用6：动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 应用7：工程问题 工程问题涉及工程项目的进度、成本、效率等。这类问题可能需要利用一元二次方程来建模，以求解最优的工程进度安排或成本控制策略。例如，某工程队需要完成一段道路建设，每天完成的工程量与天数的关系可能符合一元二次方程。 应用8：行程问题 行程问题涉及物体的运动速度、时间、距离等。这类问题通常需要利用速度、时间和距离的关系来建立一元二次方程。例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先以一定速度行驶一段时间后减速行驶，通过总时间和总距离的关系可以建立一元二次方程来求解。 应用9：图表信息题 图表信息题涉及从图表中提取数据并建立数学模型。这类问题可能需要先根据图表中的数据建立一元二次方程，然后求解方程以获取更多信息。例如，从某地区人口增长趋势图中提取数据，建立一元二次方程来预测未来人口数量。 应用10： 其他问题 除了上述几类问题外，还有一些其他问题也可能涉及一元二次方程的实际应用。例如，物理学中的某些问题（如抛体运动）、经济学中的某些模型（如供需关系）等都可能通过一元二次方程来描述和求解。 高频易错知识点拨 易错知识点01：传播问题 混淆增长率与增长量：在传播问题中，如病毒传播、信息传播等，学生容易混淆增长率与增长量的概念。增长率是变化的比率，而增长量是增长的绝对数量。 忽视初始条件：在建立方程时，学生可能忽视初始的传播量或基数，导致方程设置错误。 易错知识点02： 增长率问题 错误理解增长率公式：增长率公式通常为：m=（n2-n1）÷n1×100%，其中 n1 是原始数量，n2是增长后的数量，(m) 是增长率。学生容易在计算时忽略分母n1或错误地将其替换为其他值。 时间间隔问题：在涉及多年增长率的问题中，学生可能未正确考虑时间间隔对最终数量的影响。 易错知识点03： 与图形有关的问题 图形性质理解不透彻：在解决与图形（如三角形、四边形、圆等）有关的问题时，学生可能对图形的性质理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的几何约束：如三角形的三边关系、四边形的对角线性质等，这些几何约束在建立方程时必须考虑。 易错知识点04：数字问题 数字提取不准确：在处理涉及大量数字的问题时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数字。 忽略数字的实际意义：数字往往代表实际物体或情境中的数量，学生需要准确理解其含义才能建立正确的方程。 易错知识点05：营销问题 混淆成本与售价：在营销问题中，学生容易混淆产品的成本和售价，导致利润计算错误。 未考虑折扣和优惠：如果问题中涉及折扣或优惠活动，学生可能未正确考虑这些因素对最终售价和利润的影响。 易错知识点06：动态几何问题 动态变化理解不足：动态几何问题涉及图形的动态变化（如旋转、平移、翻折等），学生可能对这些变化的理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的连续性和变化性：在动态几何问题中，图形的形状和大小可能随时间的推移而发生变化，学生需要充分考虑这种连续性和变化性。 易错知识点07：工程问题 工作量与效率关系不清：在工程问题中，学生可能未正确理解工作量、工作时间和工作效率之间的关系，导致方程设置错误。 忽视多阶段工程：如果工程问题涉及多个阶段或多种工种协作，学生可能未充分考虑这些因素对总工作量和时间的影响。 易错知识点08：行程问题 速度、时间和距离关系混淆：行程问题中速度、时间和距离之间的关系是解题的关键，学生容易混淆这些概念或错误地应用它们。 忽视相对运动：在涉及相对运动的行程问题中（如两车相向而行、同向而行等），学生可能未正确考虑相对速度对行程时间的影响。 易错知识点09： 图表信息题 数据提取错误：从图表中提取数据时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数据。 图表理解不透彻：不同类型的图表（如折线图、柱状图、饼图等）具有不同的信息呈现方式，学生需要准确理解图表的含义才能提取有用信息并建立正确的方程。 易错知识点10：其他问题 除了上述具体问题外，还有一些普遍性的易错点需要注意： 方程设立不准确：在将实际问题转化为数学问题时，学生可能未准确设立方程或设立的方程不符合题意。 解方程方法不当：在解方程时，学生可能未根据方程的特点选择合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等），导致计算过程复杂或结果错误。 未进行验证：在得出解后，学生应验证解是否符合原问题的实际情况和约束条件，但部分学生可能忽视了这一步。 考点讲练1：传播问题 【精讲题】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【规范解答】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 【举一反三1】（2024九年级上·全国·专题练习）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有81人患了甲型流感”列出方程求解即可． 【规范解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 【举一反三2】（23-24八年级下·重庆·期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【规范解答】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 考点讲练2：增长率问题 【精讲题】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）2022年9月30日至10月9日，世界乒乓球团体竞标赛正在成都举行，本次大赛共有66支队伍参赛，本次赛事的口号为“乒世界，品成都”，赛事的举办点燃了全体市民参与乒乓球运动的热情． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知7月共销售乒乓球拍500副，每月的月销售增长率相同，9月共销售720副，求该增长率？ (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售20副，每副盈利40元，在每副降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10副．如果每天要盈利1440元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【答案】(1)该增长率为 (2)每副乒乓球拍应降价4元 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为x，利用9月销售量7月销售量 （增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：该增长率为； （2）解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：，即， 解得：或（舍去）， 答：每副乒乓球拍应降价4元． 【举一反三1】（2024九年级上·江苏·专题练习）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 【举一反三2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 考点讲练3：与图形有关的问题 【精讲题】（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？ 【答案】(1) (2)当为9米时，鸡舍的面积为90平方米 (3)不能 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）设米时，则米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可； （2）根据题意得：求得x的值，然后代入验证即可； （3）根据题意得，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设米时，则米，鸡舍面积为S平方米， 根据题意得，； ∵， ∴， ∴x的取值范围为． （2）解：根据题意得：，解得， 当时，（不合题意舍去）， 当时，． 答：当为9米时，鸡舍的面积为90平方米． （3）解：根据题意得：，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴鸡舍面积不能达到100平方米． 【举一反三1】（22-23九年级上·四川内江·期中）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【答案】(1)①裁去的正方形边长为；②有，裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为 (2)裁去的左侧正方形的边长为 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可； ②根据题意表示出侧面积，然后配方根据平方的非负性求解即可； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可． 【规范解答】（1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的正方形边长为； ②侧面积为长方体盒子总面积减去底面积， 即 配方得 ， 即最大值为200，此时 答：裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的左侧正方形的边长为． 【举一反三2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)养殖园的面积不能达到，理由见解析 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案； （2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到． 【规范解答】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： ∵隔离网的总长为30m， 设， ∴， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴养殖园的面积不能达到． 考点讲练4：数字问题 【精讲题】（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 【举一反三1】（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 【答案】(1) (2)这四个正整数为，，， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解； （1）令，则原方程为：，结合可得答案； （2）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【规范解答】（1）解：令， ∴化为：， 解得：或， ∵， ∴， ∴； （2）解：设最小的数为，则， ∴， 设，则， 解得：，， ∵是正整数， ∴， 解得：，(舍去)， ∴这四个正整数为，，，． 【举一反三2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【思路点拨】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【规范解答】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 考点讲练5：营销问题 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)800元 (2)55元 (3)该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）根据总利润销售量单个的销售利润列式求解即可； （2）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程求解即可； （3）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可． 【规范解答】（1）解：元， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元； （2）解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； （3）解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 【举一反三1】（24-25九年级上·重庆·开学考试）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值． 【答案】(1)100支 (2)2 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支，利用总利润每支玫瑰的销售利润购进玫瑰的支数每支郁金香的销售利润购进郁金香的支数，结合总利润不低于1500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （2）利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为100． 答：花店最多购进玫瑰100支； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：的值为2． 【举一反三2】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保护不变．现有一个经销商，按市场价收购了这种活螃蟹放养在塘内，此时市场价为元．据测算此后每千克的活螃蟹市场价每天可上升元，但是，放养一天各种费用支出元，且平均每天还有的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是元． (1)设天后每千克活蟹的市场价为元，请写出关于的函数关系式； (2)如果经销商将这批蟹出售后能获利元，那么他应放养多少天后再一次性售出？ 【答案】(1) (2)天 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了列一次函数及一元二次方程的应用，正确找出数量关系是解题的关键． （1）根据市场价与天数间的关系列式即可； （2）根据售后利润等于所有售价减去管理费用，再减购买成本列一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意得：每千克的活螃蟹市场价每天可上升元， ∴． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：他应放养天后再一次性售出． 考点讲练6：动态几何问题 【精讲题】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【规范解答】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 【举一反三1】（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形 【难度】0.65 【思路点拨】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了． （1）由题意，根据运动的时间为，表示出，根据四边形的面积是可列方程，解方程即可解答； （2）过于，则，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目． （3）过于，由勾股定理得：，，，分为三种情况：①时，②时，③时，分别求解即可； 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：作于，则， 由勾股定理得， 解得：(舍)． （3）解：作于， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， ， 分为三种情况：①时，即， 解得：(舍)， ②时，即， 解得：或， ∵时，，此时舍去； ③时，， 解得：或， 当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【举一反三2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【难度】0.65 【思路点拨】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 考点讲练7：工程问题 【精讲题】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【举一反三1】（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【难度】0.65 【思路点拨】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【举一反三2】（2022·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【难度】0.65 【思路点拨】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【考点评析】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 考点讲练8：行程问题 【精讲题】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 【举一反三1】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【举一反三2】（19-20九年级上·河南郑州·期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步． 【难度】0.85 【思路点拨】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【规范解答】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）； 故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）； （2）根据题意得， 解得（舍去），. 则的值为0.1. （3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000， 500÷（24000−23000）＝0.5（m）． 答：王老师这500米的平均步长为0.5米． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 考点讲练9：图表信息题 【精讲题】（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【难度】0.85 【思路点拨】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三1】（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【难度】0.85 【思路点拨】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【举一反三2】（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【难度】0.85 【思路点拨】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【规范解答】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 考点讲练10：其他问题 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【规范解答】解：依题意得：． 故选：A． 【举一反三1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（   ） A．38人 B．39人 C．40人 D．41人 【答案】C 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这次参加聚会的同学有人，利用握手的总次数这次参加聚会的同学人数（这次参加聚会的同学人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：设这次参加聚会的同学有人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 这次参加聚会的同学有40人． 故选：C． 【举一反三2】（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【规范解答】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 中等题真题汇编练 1．（2024·贵州遵义·二模）《九章算术》中记载一个数学问题，其大意为：有一个长方形的门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框高为x尺，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门框高为x尺， ∴门宽为尺． 根据题意得：． 故选：B． 2．（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解； 【规范解答】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为，宽为， 则， 故选：A 3．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【规范解答】解：由题意得：． 故选：A． 4．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【规范解答】解：把增长率记作x，由题意，得： ； 故选D． 5．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【规范解答】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【思路点拨】设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 【规范解答】解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得， 解得，． ∵降价的百分率不可能大于1， ∴不符合题意，舍去． 符合题目要求的是． 即：平均每次下调的百分率是． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元． 【答案】13或15 【难度】0.85 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，每月的销售量件，根据每月的利润等于每件的销售利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程求解即可． 【规范解答】解：设每件涨价x元，每件的销售利润为：元， 每月的销售量为：件， 根据题意有：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴售价为：13元或15元， 故答案为：13或15． 9．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2022年该学校用于购买图书的费用为10000元，2024年用于购买图书的费用增加到14400元，求该校这两年购买图书的费用的年平均增长率． 【答案】 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可． 【规范解答】解：设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为， 则， 解得：，（舍去）， 答：该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为． 10．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）央广网年月日消息，贵州省宣布最后的个贫困县脱贫．其中某县某果农年的年收入为万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，年年收入增加到万元，求平均每年年收入的增长率． 【答案】平均每年年收入的增长率为． 【难度】0.85 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每年年收入的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设平均每年年收入的增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：平均每年年收入的增长率为． 11．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】(1)降价5元，平均每天的销售数量为件 (2)每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件，降价5元， ∴平均每天可多售出（件）， ∴若降价5元，平均每天的销售数量为（件）． （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵商店每天销售利润为6000元， ∴， 解得：，， 答：每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元． 12．（22-23九年级上·江苏徐州·开学考试）淮北市富强文体平价店以每件元的价格购进件某体育用品，第一个月以单价元销售，售出了件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，第二个月结束后，批发商将对剩余的体育用品一次性清仓销售，清仓时单价为元，设第二个月单价降低x元． (1)填表：（不需化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 销售量（件） (2)如果该店希望通过销售这批体育用品获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【答案】(1)，， (2)70元 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用；用列表格的方法得到第2个月的单价和销售量以及清仓时的销售量是解决本题的突破点；得到总利润的等量关系是解决本题的关键． （1）第二个月的单价第一个月的单价﹣降低的价格，销售量降低的单价；清仓时的销售量为：第一个月的销售量第二个月的销售量； （2）等量关系为：总售价﹣总进价＝9000.把相关数值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 销售量（件） 故答案为：，， （2） ， 解得：， 当时，. 答：第二个月的单价应是元． 培优题真题汇编练 13．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可． 【规范解答】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：； 故选D． 14．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用——平均降低率问题，熟练掌握是解决问题的关键，其中a是起始量，b是终止量，x是平均降低率，n是降低次数． 根据“2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，”可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】根据题意得：， 即 故选：C． 15．（21-22九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 【答案】C 【难度】0.4 【思路点拨】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解 【规范解答】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积， 由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（ ）米， 根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800． 故选C． 【考点评析】本题考查列方程，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程． 16．（23-24八年级下·浙江温州·期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书．据统计该阅览室2021年图书借阅总量是7500本，2023年图书借阅总量是10800本．设该社区阅览室的图书借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据增长率问题的数量关系列出表示经过两次增长以后图书馆有书的本数的代数式是关键． 经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书本，即可列方程求解 【规范解答】解：根据题意，得， 故选：B． 17．（22-23九年级上·四川成都·期末）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】先求出原矩形的周长和面积分别为6和2，设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，根据题意得，进而可得，根据即可求出k的范围． 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，利用求k的范围解题的关键． 【规范解答】解：原矩形的周长为， 面积为． 设它的“k倍”矩形长为x，宽为y， 则， 由①得， 将③代入②得， ∴， 由得， ， 解得，或（舍去）． ∴k的最小值为， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 【答案】9或12 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论 【规范解答】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：， ∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米； 故答案为：9或12． 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【答案】3或 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【规范解答】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 20．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或 【难度】0.4 【思路点拨】本题考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出； ②若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出； ③若，则，可将时间求出． 【规范解答】解：过点作于，则四边形为矩形． 由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，，由得，解得； ②若，在中，，由得，即， 此时，， 所以此方程无解，． ③若，则，， 综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 故答案为：或． 21．（2024·辽宁阜新·一模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），当四边形是轴对称图形时，则的值为 ． 【答案】或 【难度】0.4 【思路点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质证明得到，同理可得，则四边形是平行四边形，再证明，可得；进而分四边形为矩形、菱形分别求解即可． 【规范解答】解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当时，点在上，    同理可得，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当四边形是矩形时，， ， 解得： 当四边形是菱形时，， ， 解得舍去； 当时，如图所示，    同理可证明，四边形是平行四边形， ， ， 当四边形是矩形时，， ， 解得：， 当四边形是菱形时，， ， ， 方程无解，舍去； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是或． 故答案为：或． 22．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加个． (1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． (2)在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，直接写出每个台灯的售价． 【答案】(1)每个台灯的售价为元； (2)每个台灯的售价为元． 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设每个台灯的售价为x元．利用每个利润乘以销量等于总利润列方程，解方程并分析即可得到答案； （2）设每个台灯的售价为a元．利用每个利润乘以销量等于总利润列方程，解方程并分析即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设每个台灯的售价为x元． 根据题意，得 ， 解得，． 当时，； 当时，； ∴x只能取， 答：每个台灯的售价为元； （2）设每个台灯的售价为a元． 根据题意，得， 解得，． 当时，； 当时，； ∴a只能取， 答：每个台灯的售价为元． 23．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 (2)每件恤衫的销售价应该定为元 (3)不能，理由见解析 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； （2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； （3）解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 24．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见解析；②2或 (2) 【难度】0.4 【思路点拨】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【规范解答】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$