21.1-21.2 一元二次方程的概念和解法（知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第21章《一元二次方程》】 21.1-21.2 一元二次方程的概念和解法 （知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 5 考点讲练1：一元二次方程的定义 5 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 6 考点讲练3：一元二次方程的解 6 考点讲练4：解一元二次方程—配方法 7 考点讲练5：配方法的应用 8 考点讲练6：解一元二次方程—直接开平方法 9 考点讲练7：根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 10 考点讲练8：根据一元二次方程根的情况求参数 10 考点讲练9：公式法解一元二次方程 11 考点讲练10：因式分解法解一元二次方程 12 考点讲练11：换元法解一元二次方程 13 考点讲练12：一元二次方程的根于系数的关系 14 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 17 新知精讲梳理 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点5．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点6．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点9．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点10．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点11．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义 易错点：混淆一元二次方程与一元一次方程，忽略二次项系数不为0的条件。 注意事项：确保方程形式为ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 易错知识点02：一元二次方程的解法 配方法： 易错点：配方过程中计算错误，尤其是移项和平方的运算。 注意事项：确保配方后的方程左侧是完全平方形式。 公式法： 易错点：记错求根公式，或在计算判别式Δ时出错。 注意事项：准确记忆并使用求根公式，注意Δ的正负决定方程的解的性质。 因式分解法： 易错点：无法正确因式分解或遗漏解。 注意事项：熟练掌握因式分解技巧，确保所有解都被找到。 根的判别式Δ： 易错点：混淆Δ与方程解的关系，错误判断方程解的个数。 注意事项：Δ > 0时有两个不相等的实根；Δ = 0时有两个相等的实根；Δ < 0时无实根。 根与系数的关系（韦达定理）： 易错点：记错或混淆根与系数的关系式。 注意事项：准确记忆并使用根与系数的关系式：x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 实际问题建模： 易错点：将实际问题转化为一元二次方程时，设立方程错误或遗漏条件。 注意事项：仔细审题，确保设立的方程符合题目描述的所有条件。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【举一反三练1】．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）（五四）一元二次方程化为一般形式后，常数项为（   ） A．6 B． C．5 D．1 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【举一反三练1】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 【举一反三练2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 考点讲练4：解一元二次方程—配方法 【精讲题】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·福建厦门·开学考试）（1）计算： （2）解方程：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (2) (4) 考点讲练5：配方法的应用 【精讲题】（23-24九年级上·福建厦门·开学考试）已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（    ） A．点在点的右边 B．点在点的左边 C．点与点有可能重合 D．点与点的位置关系无法确定 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 考点讲练6：解一元二次方程—直接开平方法 【精讲题】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（22-23九年级上·四川内江·期中）解方程． (1) (2) 【举一反三练2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 考点讲练7：根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【举一反三练1】（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）求证：无论k取任何实数时，关于x的方程总有实数根． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个一元二次方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． （注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．） 考点讲练8：根据一元二次方程根的情况求参数 【精讲题】（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【举一反三练1】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ 【举一反三练2】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 考点讲练9：公式法解一元二次方程 【精讲题】（22-23九年级上·河南南阳·期末）（1）解方程 （2）无论p取何值，关于x的一元二次方程总有两个不等的实数根吗？请给出答案并说明理由． 【举一反三练1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 考点讲练10：因式分解法解一元二次方程 【精讲题】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖南永州·期中）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练2】（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）解方程： (1)（用配方法解）； (2)． 考点讲练11：换元法解一元二次方程 【精讲题】（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1) ； (2)． 【举一反三练2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 考点讲练12：一元二次方程的根于系数的关系 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两根互为倒数，求m的值， 【举一反三练1】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）（1）已知关于x的一元二次方程有实根． ①若两个根分别为、，且，求 m的值； ②将①中的m值代入方程，求方程的值． （2）按要求解方程． ①（配方法） ②（公式法） ③（提公因式法） 【举一反三练2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级下·重庆·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列方程，最适合用公式法求解的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）方程的一次项系数是 ． 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ． 8．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ． 10．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 12． （22-23九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 13．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 培优题真题汇编练 14．（2022八年级下·上海·专题练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　） A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜ 15．（20-21九年级上·福建泉州·期中）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 16．（19-20九年级上·重庆忠县·期中）若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程有解,则满足条件的所有整数a的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 17．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 18．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 20．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程有一个根为，则 ． 21．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 22．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 23．（23-24九年级上·四川广安·期末）已知a是方程一个根，则的值为 ． 24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 25．（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 26．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第21章《一元二次方程》】 21.1-21.2 一元二次方程的概念和解法 （知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 5 考点讲练1：一元二次方程的定义 5 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 8 考点讲练3：一元二次方程的解 9 考点讲练4：解一元二次方程—配方法 11 考点讲练5：配方法的应用 14 考点讲练6：解一元二次方程—直接开平方法 17 考点讲练7：根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 20 考点讲练8：根据一元二次方程根的情况求参数 21 考点讲练9：公式法解一元二次方程 24 考点讲练10：因式分解法解一元二次方程 26 考点讲练11：换元法解一元二次方程 29 考点讲练12：一元二次方程的根于系数的关系 32 中等题真题汇编练 36 培优题真题汇编练 43 新知精讲梳理 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点5．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点6．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点9．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点10．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点11．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义 易错点：混淆一元二次方程与一元一次方程，忽略二次项系数不为0的条件。 注意事项：确保方程形式为ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 易错知识点02：一元二次方程的解法 配方法： 易错点：配方过程中计算错误，尤其是移项和平方的运算。 注意事项：确保配方后的方程左侧是完全平方形式。 公式法： 易错点：记错求根公式，或在计算判别式Δ时出错。 注意事项：准确记忆并使用求根公式，注意Δ的正负决定方程的解的性质。 因式分解法： 易错点：无法正确因式分解或遗漏解。 注意事项：熟练掌握因式分解技巧，确保所有解都被找到。 根的判别式Δ： 易错点：混淆Δ与方程解的关系，错误判断方程解的个数。 注意事项：Δ > 0时有两个不相等的实根；Δ = 0时有两个相等的实根；Δ < 0时无实根。 根与系数的关系（韦达定理）： 易错点：记错或混淆根与系数的关系式。 注意事项：准确记忆并使用根与系数的关系式：x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 实际问题建模： 易错点：将实际问题转化为一元二次方程时，设立方程错误或遗漏条件。 注意事项：仔细审题，确保设立的方程符合题目描述的所有条件。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可． 【规范解答】解：根据一元二次方程的定义可知：， 故一定是一元二次方程的是， 故选D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【规范解答】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1) (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 【举一反三练1】．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）（五四）一元二次方程化为一般形式后，常数项为（   ） A．6 B． C．5 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的一般形式，把原方程化为：，其中是常数项，从而可得答案． 【规范解答】解：， ， ， 该方程常数项为， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为． 先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ∵原方程化为一般形式后为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【规范解答】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 【举一反三练1】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程是凤凰方程，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 即， 解得：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】，． 【难度】0.65 【思路点拨】根据解的定义得，然后根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项运算化简，最后整体代入求值即可． 【规范解答】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 原式， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，代数式化简求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 考点讲练4：解一元二次方程—配方法 【精讲题】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可． 【规范解答】解：， 移项得，， 配方得，， 得，， ∴，， ∴， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24九年级上·福建厦门·开学考试）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程-配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式和二次根式的乘法法则计算各项，再进行加减运算即可； （2）直接利用配方法求解即可． 【规范解答】（1）解： （2） 移项： 配方： ， ， 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项后再配方即可求解； （2）移项后再配方即可求解； （3）直接配方即可求解； （4）移项后再配方即可求解； 解题的关键是掌握：解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将常数项移到方程的另一边，再将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【规范解答】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （3）， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （4）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 考点讲练5：配方法的应用 【精讲题】（23-24九年级上·福建厦门·开学考试）已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（    ） A．点在点的右边 B．点在点的左边 C．点与点有可能重合 D．点与点的位置关系无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，配方法的应用；熟练掌握配方法的应用是解题的关键；根据题意，点，点，两点纵坐标相等，得是平行于轴的一条直线，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，再由作差法得到，这个式子正负情况，从而得到答案． 【规范解答】解：点，点，两点纵坐标相等， 是平行于轴的一条直线， ， 点在点的右边， 故选：A． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)山羊活动范围面积的最大值是平方米． 【难度】0.65 【思路点拨】（）根据得到，整理即可得到答案； （）根据列出代数式即可； （）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案； 此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：， ∴， ∴； （3）解： ， 又因为，， ∴， ∴， ∴山羊活动范围面积的最大值是平方米． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【规范解答】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 考点讲练6：解一元二次方程—直接开平方法 【精讲题】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 【规范解答】解： ， ， 时, 解得 ； 时，解得 或 (舍)； 时， 解得 或(舍)； 时，方程无解； 综上所述：方程的解为：或 或 故选C． 【举一反三练1】（22-23九年级上·四川内江·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和配方法是解答本题的关键． （1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）方程整理后，利用配方法求解即可． 【规范解答】（1）解：整理，得， ， 即或， 即，； （2）解：方程化为， 移项，得， 配方，得， ， 解得， 即或， 即，． 【举一反三练2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 考点讲练7：根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 【精讲题】（2024九年级上·全国·专题练习）问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 根据根的判别式求得，于是得到结论． 【规范解答】解：原方程可化为， ， ∴原方程无实数根， 故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解， 故选：C． 【举一反三练1】（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）求证：无论k取任何实数时，关于x的方程总有实数根． 【答案】见解析 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查方程的根的情况，正确理解题意分情况解答是解题的关键． 由k是二次项的系数，分及两种情况分别确定方程的根的情况即可得到结论． 【规范解答】证明：当时，方程为，解得； 当，方程为一元二次方程， ，原方程有实数根． 综上所述，无论k取任何实数时，关于x的方程总有实数根． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个一元二次方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． （注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．） 【答案】选择③；选择④ 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0.方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解，选择条件时要先判断方程是否成立，再求解即可． 【规范解答】解：选①时，， ，方程有两个相等的实数根， 故①不符合题意； 选②时，， ，方程没有实数根， 故②不符合题意； 选择③时，， ， ， ； 选择④时，， ， 考点讲练8：根据一元二次方程根的情况求参数 【精讲题】（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式．利用一元二次方程的根的定义可得，再由，可得到关于m的方程，求出m的值，再利用根的判别式，可求出m的取值范围，即可求解． 【规范解答】解：∵p是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴． 【举一反三练1】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ 【答案】(1)是直角三角形； (2)当点出发或时，四边形的面积为． 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解； （2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解． 【规范解答】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根， △， ， 是直角三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积， 或5， 当点出发或时，四边形的面积为． 【举一反三练2】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【规范解答】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 考点讲练9：公式法解一元二次方程 【精讲题】（22-23九年级上·河南南阳·期末）（1）解方程 （2）无论p取何值，关于x的一元二次方程总有两个不等的实数根吗？请给出答案并说明理由． 【答案】（1），；（2）方程总有两个不相等的实数根，理由见解析． 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）根据公式法即可求出答案． （2）根据根的判别式即可求出答案． 【规范解答】解．解（1），，， ， 则，， （2）方程总有两个不相等的实数根． 理由如下： 原方程整理得： 方程总有两个不相等的实数根． 【举一反三练1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【难度】0.65 【思路点拨】（）利用公式法解答即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的方法和解分式方程的步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：方程两边同时乘以得，， 解得， 检验：把代入得，， ∴是原方程的解． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【规范解答】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 考点讲练10：因式分解法解一元二次方程 【精讲题】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【规范解答】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖南永州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【难度】0.65 【思路点拨】（）利用因式分解法求解即可； （）整理成一般式，利用公式法求解即可； 本题考查了一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， ， ， 或， ∴，； （2）， ， ，，， ∴， ∴， ∴，． 【举一反三练2】（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）解方程： (1)（用配方法解）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用配方法解一元二次方程即可； （2）移项后，直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得：，． 考点讲练11：换元法解一元二次方程 【精讲题】（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案． 【规范解答】解：令； 则原方程为； 解得：或； ∵； ∴； ∴； 故答案为：． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴． ∴原方程的解是． 【举一反三练2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【规范解答】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 考点讲练12：一元二次方程的根于系数的关系 【精讲题】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两根互为倒数，求m的值， 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）先由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：由题意得， ， 无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是原方程的两根， ， 原方程的两根互为倒数， ， 解得：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）（1）已知关于x的一元二次方程有实根． ①若两个根分别为、，且，求 m的值； ②将①中的m值代入方程，求方程的值． （2）按要求解方程． ①（配方法） ②（公式法） ③（提公因式法） 【答案】（1）①；②；（2）①；②；③ 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）①先根据根的情况得到，求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得到，代入，即可求解；②根据题意得到原方程为，利用根与系数的关系得到，求解即可； （2）①利用配方法求解方程即可；②利用公式法求解方程即可；③利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】解：（1）①关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 由题意，得， ， ， 整理，得， 解得（，故舍去）， ② 关于的一元二次方程变成了， 得， 又， 代入得， （2）① ； ② ； ③ 或 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由（1）中的取值范围即可确定的值． 【规范解答】（1）解：该方程有两个实数根， ， ， ； （2）解：，， ， ， 即， ， ，， ， ． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级下·重庆·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查根的判别式，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当时，方程化为，解得：，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，则：， ∴； 故选B． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列方程，最适合用公式法求解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可． 【规范解答】解：A、适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意； B、即适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意； C、适合用公式法求解，故本选项符合题意； D、即，适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【难度】0.85 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键．根据题意得到且即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.85 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，以及一元二次方程的定义，把代入一元二次方程，求出k值，然后再根据一元二次方程的定义选择合适的k值即可． 【规范解答】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】4046 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【规范解答】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：4046． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）方程的一次项系数是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【思路点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项系数；叫做一次项系数；叫做常数项．首先把方程化成一般形式，然后再确定一次项系数． 【规范解答】解：， ， ， 一次项系数是2， 故答案为：2． 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义求解即可． 【规范解答】解：根据一元二次方程的定义可得：，解得：． 故答案是：． 8．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值． 【规范解答】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ，即， 解得：． 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及判别式，解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握的两个实数根和满足是解题的关键．将，转化为，由题意知，代入求解，再结合判别式即可读求出结果． 【规范解答】解：根据题意得：， ， ， ， ， 解得：或， ∵即， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可． 【规范解答】解：，是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， 解得：或， 当时方程为，则， 当时方程为，则， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【难度】0.85 【思路点拨】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【规范解答】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 12．（22-23九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】一般形式为，二次项系数是1，一次项系数是，常数项是4 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义．通过移项合并转化为一元二次方程的一般形式后再进行解答． 【规范解答】解： ， 所以一般形式为， 所以二次项系数是1，一次项系数是，常数项是4． 13．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【难度】0.85 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 培优题真题汇编练 14．（2022八年级下·上海·专题练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　） A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜ 【答案】C 【难度】0.4 【思路点拨】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围． 【规范解答】解：将代入方程得， ∴x≠0， ∴原方程可化为， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键． 15．（20-21九年级上·福建泉州·期中）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【难度】0.4 【思路点拨】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【规范解答】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 16．（19-20九年级上·重庆忠县·期中）若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程有解,则满足条件的所有整数a的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【思路点拨】先解分式方程，求得a的值，再由方程有解得a的取值范围，则可求得a的值，可求得答案． 【规范解答】解分式方程可得x=4-，x≠2， ∵a使得关于x的分式方程有正整数解， ∴a的值为0、2、6， 方程， 当a=0时，方程有实数解，满足条件， 当a≠0时，则有△≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0， ∴满足条件的a的值为-2，0、2、6，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键． 17．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【规范解答】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 18．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【规范解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不满足，舍去）， 经检验，是原方程的解， 所以方程的根的情况是有一个实数根， 故选：C． 20．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】5 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程代入进行求解即可． 【规范解答】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴把代入方程得：， 解得：或， ∵，即， ∴， 故答案为：5． 21．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式与根的关系是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，，且， ∴且． 22．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．把代入方程，求出，把化成，代入求出即可． 【规范解答】解：把代入方程得：， ， ， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·四川广安·期末）已知a是方程一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【规范解答】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案． 【规范解答】解：∵x是一元二次方程的实数根， ∴． ， ∴代数式的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键． 25．（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 或， ，． （2）解： ，． 26．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【难度】0.65 【思路点拨】（1）根据已知和根与系数的关系得：，解得：，，因为关于的一元二次方程的两实数根，则，列式可得：，所以； （2）分类讨论：①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得的值，并根据三角形三边关系取舍；②当时，即方程有两个相等实根，，则△，，同理根据三角形三边关系舍去． 此题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）时，方程有两个不相等的实数根；（2）时，方程有两个相等的实数根；（3）时，方程没有实数根；（4）；（5）． 【规范解答】（1）解：由根与系数关系得：， 依题意得：， ， ， ， 解得：，， 由得：， ， ； （2）解：分两种情况： ①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； ②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去， ∴这个三角形的周长为17． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$