第四单元简易方程（一）（讲义）-2024-2025学年五年级数学上册沪教版

第四单元简易方程（一） 思维导图+知识梳理+专项练习 思 维 导 图 知 识 梳 理 1、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 省略乘号时，数字要写在字母的前面。 2、a×a可以写作a·a或a2 ，读作a的平方 （注意区分：2a=a+a） 1×a或a×1都简写成a. 3、用含有字母的式子表示时，要进行化简。 含有字母的式子求值时，也要先化简。 3、方程：含有未知数的等式称为方程（①必须是等式②必须有未知数）。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数； 解方程式一个计算过程。） 4、解方程的数量关系： 一个加数=和-另一个加数 被减数=差+减数 减数=被减数-差 一个因数=积÷另一个因数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 5、列方程解答应用题：注意格式，找准等量关系。 专 项 练 习 一、选择题 1．已知△＋△＋○＝19，△＋○＋○＝26，那么○＝（    ）。 A．15 B．4 C．11 D．45 2．利用如图所示发现，（a＋b）2＝a2＋2ab＋（    ），括号里应该填（    ）。 A．a2 B．ab C．2ab D．b2 3．动物园里有猴子22只，猴子的只数是老虎只数的5倍还少3只。设老虎有x只，下面哪个方程是正确的？（    ） A．5x＝22－3 B．5x＋3＝22 C．3x－5＝22 D．5x－3＝22 4．下列说法正确的是（    ）。 A．解方程时可以不写解 B．等式就是方程 C．方程也是等式 D．方程的解是解方程的过程 5．甲、乙两个数的平均数是a，丙是a＋4，丁是a＋6，这四个数的平均数用含有字母的式子表示是（       ）。 A．a＋2.5 B．a＋4 C．a＋5 D．a＋6 二、填空题 6．有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的合起来是13亩，麦地的一半和菜地的合起来是12亩，那么菜地有( )亩. 7．三个连续自然数的和是3m。这三个连续的自然数分别是( )、( )、( )。 8．甲、乙两数的和是205.03，如果甲数的小数点向左移动两位后与乙数相等，那么甲数是( )，乙数是( )， 9．一根电线，每次剪去a米，剪了3次，还剩下b米，这根电线全长( )米。 10．☆×71＋☆＜500，☆表示的自然数中最大的是( )。 11．每千克苹果元，每千克梨元，买5千克苹果和4千克梨一共要( )元。 12．如果，，，那么等于( )。 13．下面的图形是由两个长方形组成的，它的面积是( )平方厘米． 14．m是一个偶数，那么它与相邻的两个偶数之和是( )。 15．在括号里填入相同的数使等式成立。 3.6×( )－( )×2.8＝12          ( )×1.5＋3.5×( )＝65 三、判断题 16．因为，，所以。( ) 17．等式的性质是解方程的依据。( ) 18．都是方程. ( ) 19．钢笔单价a元，比铅笔单价贵b元，元表示买3支铅笔的总价。( ) 20．甲、乙、丙三人用相同的钱数去买体育用品，甲买了3个足球，乙买了4个篮球，丙买了1个足球、1个篮球、2个排球。如果足球每个是4x元，那么排球每个是2.5x元。( ) 四、计算题 21．化简下面的式子。 b＋b＋a＋a＝    m×5×n＝    3a－2b＋2a＝ 3×b×4＝    7a×5＝    30x－20x＝ 22．解方程。 4x÷3＝24           3（76－2x）＝36              16x＋6.7－3x＝45.7 五、解答题 23．王老师为学校购买体育器材，买16副乒乓球拍和12个篮球共付了800元，每副乒乓球拍是27.50元。那么每个篮球是多少元？ 24．工程队修一条公路,计划每天修84米,实际用15天就完工了,比原计划节约了5天,实际每天比计划多修了多少米? 25．学校原来准备买2套办公桌，单价为480元，后来决定用这些钱改买7把椅子，钱不够，又付了90元，问椅子的单价是多少元？ 26．学校体育节前，丁老师带了200元钱到体育用品商店去买长绳，他想买80根，但还缺少40元。每根长绳需要多少元？ 27．大瓶饮料的容量是2.5升，正好是小瓶饮料容量的5倍少250毫升。小瓶饮料的容量是多少毫升？（列方程解应用题） 28．妈妈去超市购物，买了2条毛巾，需16.8元，照这样计算，妈妈带50元钱去买5条这样的毛巾，还可以找回多少元？ 29．小丁丁练习跳远，前3次平均每次跳了4.1米，他又跳了2次，5次平均跳了3.9米，最后2次平均每次跳多少米？ 30．小明在去少年游乐宫的路上，上坡用了6分钟，平均每分钟走a米；下坡用了5分钟，平均每分钟走b米． （1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米． （2）当a=20米，b=30米时，小军一共走了多少米？ 31．在科技月中，三、四年级同学共收集废电池897节，四年级同学搜集的是三年级同学收集的2倍，求三、四年级同学各收集废电池多少节？（用两种方法解答） 32．甲、乙两地相距150千米，客、货两车同时分别从两地相对开出，客车每小时行a千米，货车每小时行b千米，经过几小时两车相遇?(用含有字母的式子表示．) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由△＋○＋○＝26，得出△＝26－2○，由△＋△＋○＝19，得出2△＋○＝19，用等量代换把△＝26－2○代入2△＋○＝19即可求得○的值。 【详解】因为△＋○＋○＝26，所以△＝26－2○ △＋△＋○＝19 2△＋○＝19 2×（26－2○）＋○＝19 2×26－2×2○＋○＝19 52－3○＝19 3○＝52－19 3○＝33 ○＝11 故答案为：C 【点睛】灵活运用等量代换化简原式是解答此题的关键。 2．D 【分析】根据图可知大正方形的边长是（a＋b），而大正方形的面积等于2个小长方形和2个小正方形的面积和，由此利用长方形和正方形的面积公式分别表示出大正方形的面积与2个小长方形和2个小正方形的面积，进而解答。 【详解】这个图形中的最大的正方形可以看成是以（a＋b）为边长的正方形， 它的面积等于（a＋b）2； 这个最大的正方形的面积还可以看成是四个四边形的面积之和， 这四个四边形有两个正方形和两个长方形， 他们分别的面积为a×a＝a2，b×b＝b2，a×b＝ab、a×b＝ab， a2＋b2＋ab＋ab＝a2＋2ab＋b2 故答案为：D 【点睛】本题主要是利用长方形和正方形的面积公式推导出结果即可。 3．D 【分析】设老虎有x只，老虎的只数×5－3＝猴子的只数，据此列方程即可。 【详解】由分析可知，设老虎有x只，列方程为：5x－3＝22。 故选择：D 【点睛】此题考查列方程解决实际问题，找出等量关系是解题关键。 4．C 【分析】含有未知数的等式叫做方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程中未知数的值的过程，即求方程的解的过程叫做解方程。 【详解】A．解方程时要写“解”，选项说法错误； B．等式不一定是方程，选项说法错误； C．方程一定是等式，选项说法正确； D．方程的解是求出的未知数的值，选项说法错误。 故答案为：C 【点睛】关键是理解方程的意义，理解方程的解和解方程的含义。 5．A 【详解】甲、乙两数的和：a×2＝2a （2a＋a＋4＋a＋6）÷4 ＝（4a＋10）÷4 ＝a＋2.5 故答案为：A 6．18 【解析】略 7． m－1 m m＋1 【分析】用和÷3即可找到中间数。 【详解】3m÷3=m，前一个数是m-1，后一个数是m+1 【点睛】本题考查了自然数的认识，要理解什么是连续自然数。 8． 203 2.03 【分析】根据题意，小数点向左移动两位，表示缩小到原来的，缩小后甲数等于乙数，原来的甲数就是乙数的100倍，设乙数是x，那么甲数为100x，甲数＋乙数＝205.03，列方程：100x＋x＝205.03，解方程，即可求出甲数和乙数。 【详解】解：设乙数是x，则甲数是100x。 100x＋x＝205.03 101x＝205.03 101x÷101＝205.03÷101 x＝2.03 甲数：2.03×100＝203 甲、乙两数的和是205.03，如果甲数的小数点向左移动两位后与乙数相等，那么甲数是203，乙数是2.03。 【点睛】解答本题的关键是分清小数点移动引起原数的变化的规律，然后在根据甲乙两数的等量关系进行列式解答即可． 9．3a＋b 【分析】根据题意可知，每次剪去a米，剪了3次，那么剪去了3a米，然后加上剩余的b米就是这根电线的全长。 【详解】一根电线，每次剪去a米，剪了3次，还剩下b米，这根电线全长3a＋b米。 【点睛】这道题考查的是用字母表示数的知识，理解数量关系是解题的关键。 10．6 【分析】☆×71＋☆＝72☆，72☆＜500，☆表示的是自然数，用500÷72＝6……68，据此解答。 【详解】☆×71＋☆＜500，72☆＜500，500÷72＝6……68， ☆表示的自然数中最大的是6。 【点睛】此题考查的是用字母或符号表示数。 11． 【分析】每千克苹果a元，买5千克多少元，用a×5元，梨每千克b元，买4千克多少元，用b×4元，买苹果和梨一共多少元，就用买苹果的钱数＋买梨的钱数，即：5a＋4b，即可解答。 【详解】a×5＋b×4＝5a＋4b（元） 【点睛】本题考查用字母表数，要化成最简式子。 12．20 【分析】将230、260、190相加，得到的和相当于是4个（A+B+C）的和，先求出（A+B+C），再求出B的值。 【详解】 【点睛】本题考查的是等式的加减，若，，那么，等号的左边相加等于等号的右边相加。 13．ax＋3x 【解析】略 14．3m 【分析】因为相邻的偶数之间相差2，所以和m相邻的两个偶数分别是m－2，m＋2，把m－2，m，m＋2这三个数相加即可。 【详解】和m相邻的两个数分别是：m－2，m＋2 m－2＋m＋m＋2 ＝m＋m＋m＋2－2 ＝3m 【点睛】解答此题的关键是，相邻的偶数相差2，把未知的数用字母正确的表示出来，再结合所求的问题，即可得出答案。 15． 15 15 13 13 【分析】括号里面都是相同的数，所以都可以运用乘法分配律进行化简，然后再计算。 【详解】（1）3.6×（   ）－（   ）×2.8＝12 则：（3.6－2.8）×（   ）＝12 0.8×（   ）＝12 0.8×（   ）÷0.8＝12÷0.8 （   ）＝15 （2）（   ）×1.5＋3.5×（   ）＝65 则：（1.5＋3.5）×（   ）＝65 5×（   ）＝65 5×（   ）÷5＝65÷5 （   ）＝13 【点睛】本题考查了乘法分配律的灵活运用，以及解方程方法的运用。 16．√ 【分析】由题意可知，a＝3.77÷6.5＝0.58；b＝37700÷650＝58，由此可知，由此解答即可。 【详解】因为，，所以，原题说法正确； 故答案为：√。 【点睛】解答本题的关键是求出a和b，再来判断它们之间的关系。 17．√ 【分析】方程也是等式，可以根据等式的性质解方程。应用等式的性质1，可以解形如的方程；应用等式的性质2，可以解形如、和的方程。即等式的性质是解方程的依据。 【详解】等式的性质是解方程的依据。比如：解方程。 解：（根据等式的性质1） （根据等式的性质2） 所以，原题说法正确。 故答案为：√ 18．× 【解析】略 19．× 【分析】已知钢笔单价a元，比铅笔单价贵b元，则铅笔的单价就是（a－b）元，那么3支铅笔的价格就是3（a－b）元。 【详解】结合用字母表示数的知识以及题意可得： 3×（a－b）＝3（a－b）元，这与原题元不符，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】考查了学生对于用字母表示数量关系的掌握，不要混淆两者之间的贵、贱的关系；要能够确定这里是铅笔的单价较低。 20．√ 【分析】甲、乙、丙三人用相同的钱数去买体育用品，钱的总数一样，题干中给出若足球每个为4x元，则总价为：（元），利用总价和乙买的篮球数求出篮球价格，再利用丙买的球数和球的总价得出排球价格。 【详解】若足球每个为4x元，则总价为：（元）； 乙买了4个篮球，则每个篮球价格为：（元）； 丙买了1个足球、1个篮球、2个排球，即一个排球的价格为： （元） 故本题正确。 【点睛】本题主要考查的是简易方程的实际运用，解题的关键是利用足球的单价求出总钱数，进而求出排球价格。 21．2b＋2a；5mn；5a－2b； 12b；35a；10x 【分析】根据用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前，据此计算化简即可。 【详解】b＋b＋a＋a ＝（b＋b）＋（a＋a） ＝2b＋2a m×5×n ＝5m×n ＝5mn 3a－2b＋2a ＝3a＋2a－2b ＝5a－2b 3×b×4 ＝3×4×b ＝12×b ＝12b 7a×5 ＝7×5×a ＝35×a ＝35a 30x－20x ＝（30－20）x ＝10x 22．18；32；3 【分析】（1）根据等式的基本性质，将等号左右两边同时乘3，再同时除以4即可解答； （2）根据等式的基本性质，将等号左右两边同时除以3，再同时加上2x，接着同时减去12，最后同时除以2即可解答； （3）先计算16x－3x，原式变为13x＋6.7＝45.7，接着根据等式的基本性质，将等号左右两边同时减去6.7，再同时除以13即可解答。 【详解】4x÷3＝24 解：4x＝24×3 x＝72÷4 x＝18 3（76－2x）＝36 解：76－2x＝36÷3 76＝12＋2x 2x＝76－12 x＝64÷2 x＝32 16x＋6.7－3x＝45.7 解：13x＋6.7＝45.7 13x＝45.7－6.7 13x＝39 x＝3 【点睛】解方程时，先把相同的项合并在一起，即把含有x的项放在等号的左边，把常数项放在等号的右边，然后等号两边同时除以x前面的系数，即可解得x的值。 23．30元 【分析】设每个篮球是x元，再根据买16副乒乓球拍的钱＋12个篮球花的钱＝800元，列出方程解答即可。 【详解】解：设每个篮球是x元。 16×27.5＋12x＝800 12x＝360 x＝30 答：每个篮球是30元。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到等量关系式。 24．28千米 【详解】解：设实际每天比计划多修了x米,则有 （84+x）×15 =84×（15+5） 解得x=28（米） 即实际每天比计划多修了28米. 25．150元 【分析】根据题意可知，“1套办公桌的价钱×套数＋90＝1把椅子的价钱×把数”，据此解答即可。 【详解】解：设椅子的单价是x元； 7x＝90＋2×480 7x＝1050 x＝150； 答：椅子的单价是150元。 【点睛】明确题目中存在的数量关系是解答本题的关键。 26．3元 【分析】设每根长绳需要x元，再根据80根跳绳的钱＝200元＋40元，列出方程解答即可。 【详解】解：设每根长绳需要x元。 80x＝200＋40 80x＝240 x＝3 答：每根长绳需要3元。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到等量关系式。 27．600毫升 【分析】由题意可列等量关系：小瓶饮料的容量×5－250＝大瓶饮料的容量。据此解答即可。 【详解】解：设小瓶饮料的容量是x毫升。 2.5升＝2500毫升 5x－250＝2500 5x＝3000 x＝600 答：小瓶饮料的容量是600毫升。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 28．8元 【分析】设找回x元，再根据5条毛巾的价格＋找回的钱＝50元，列出方程解答即可。 【详解】解：设找回x元。 16.8÷2×5＋x＝50 42＋x＝50 x＝8 答：还可以找回8元。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到等量关系式。 29．3.6米 【分析】根据平均数×次数＝总数，先分别算出前3次跳的总米数和5次跳的总米数，再用5次跳的总米数减去3次跳的总米数除以2就是最后两次平均跳的米数，列式解答即可。 【详解】（5×3.9－3×4.1）÷2 ＝（19.5－12.3）÷2 ＝7.2÷2 ＝3.6（米） 答：最后2次平均每次跳3.6米。 【点睛】此题主要是考察平均数、次数、总数三者之间关系的灵活运用。 30．解：（1）a×6+b×5 =6a+5b（米）． 答：一共走了6a+5b米． （2）当a=20，b=30时， 6a+5b =6×20+5×30 =270（米）． 答：小军一共走了270米． 【详解】（1）用每分钟走的路程×时间分别计算出上下坡走的路程，再相加即可； （2）将数值代入（1）算式计算即可． 31．三年级299节；四年级598节 【分析】可以把三年级的数量看成1份，四年级的数量看成2份，按照和倍问题求解；或者考虑设三年级的数量为未知数，列方程求解。 【详解】方法一： 方法二： 解：设三年级的数量是x节，则四年级的数量是2x节； 答：三年级同学收集废电池299节；四年级同学收集废电池598节。 【点睛】对于基础的和倍问题，可以套用公式直接求解，方程也是解决和差倍问题的一个重要手段。 32．150÷（a+b） 【解析】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$