第5章 二元一次方程组 考点讲练 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第四章 二元一次方程组 目录 【知识清单】 2 1．二元一次方程的概念 2 2．二元一次方程组 2 3．二元一次方程组的解 2 4．代入消元法解二元一次方程组 2 5．加减消元法解二元一次方程组 3 6．整体消元法解二元一次方程组 3 7．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 3 8．列方程（组）解应用题的注意事项 3 9．列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式 4 10．三元一次方程组的概念 4 11．三元一次方程组的解法 5 【考点一】二元一次方程（组）的概念 6 【考点二】二元一次方程（组）的解 7 【考点三】二元一次方程组基本解法 8 【考点四】整体思想解二元一次方程组 12 【考点五】二元一次方程组同解问题 16 【考点六】解三元一次方程组 18 【考点七】二元一次方程组含参问题 19 【考点八】二元一次方程组实际应用 22 （一） 行程问题 22 （二） 打折销售问题 25 （三） 分配问题 30 （四） 其他 32 【考点九】二元一次方程组与一次函数 37 【考点十】用二元一次方程组确定表达式 40 【知识清单】 1．二元一次方程的概念 （1）定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的三要素 ①含有两个未知数； ②含有未知数的项的次数都是1；③方程两边都是整式． 2．二元一次方程组 （1）定义 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组的三要素 ①方程组中共含有两个未知数； ②含有未知数的项的次数都是1； ③两个方程都是整式方程． （3）注意 组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． 3．二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （1）二元一次方程组的解，是方程组中每个方程的解． （2）二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解，或无解， 如有无数多个解，无解． 4．代入消元法解二元一次方程组 代人法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 5．加减消元法解二元一次方程组 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 6．整体消元法解二元一次方程组 根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解． 7．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； ②设：设未知数（一般求什么，就设什么）； ③找：找出应用题中的相等关系； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； ⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值； ⑥答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）． 8．列方程（组）解应用题的注意事项 （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等； （4）方程（组）的解要符合问题的实际意义． 9．列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式 （1）和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量． （2）产品配套问题：加工总量成比例． （3）速度问题：路程=速度×时间 （4）航速问题 ①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （6）增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1－减少率）=减少后的量． （7）浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量． （8）利润与打折问题：利润=售价－进价（成本价），利润率=×100%， 售价=原价×． 售价=进价×（1+利润率） （9）数字问题 设出数位上的数字，从而解决问题．要注意多位数的表示方法，如：个位上为x，十位上为y的两位数为10y+x． （10）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离． （11）追及问题：同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； 同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程． 10．三元一次方程组的概念 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （1）三元一次方程组必须具备的三个条件： 1　 方程组中一共含有三个未知数； 2　 含未知数的项的次数都是1； 3　 方程组中的每个方程都是整式方程． （2） 三元一次方程组的解：三元一次方程组的三个方程的公共解． 11．三元一次方程组的解法 （1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数． （2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次． （3） 将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解． 【考点归纳】 【考点一】二元一次方程（组）的概念 1．下列一定是关于、的二元一次方程是　　 A． B． C． D． 2．若是关于，的二元一次方程，则的值为　　 A．2 B．4 C．0 D．2或4 3．下列方程中，是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 4．方程组，，，，中，是二元一次方程组的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 6．下列方程组中是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 7．下列方程组中，二元一次方程组有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知关于、的方程是二元一次方程，则的值为　　 A． B．2 C．3 D． 9．若是关于、的二元一次方程，则的值为　　 A．1 B．3 C．0 D．1或3 【考点二】二元一次方程（组）的解 1．已知是方程的一个解，那么的值是　　 A．1 B． C． D．2 2．二元一次方程的一组解为　　 A． B． C． D． 3．已知是方程的一个解，则的值为　　 A． B． C． D． 4．是下列哪个方程的解　　 A． B． C． D． 5．关于和的二元一次方程①和②的部分解如表1，表2所示，则由①和②组成的二元一次方程组的解是 　　． 表1 1 2 3 1 表2 0 1 2 3 0 1 6．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是　　 A． B． C． D． 7．关于，的二元一次方程组的解是，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【考点三】二元一次方程组基本解法 1．解方程组：． 2．解方程组： （1）． （2）． 3．解方程组：． 4．用加减法解方程组 5．解方程组：． 6．解方程组： （1）； （2）． 7．解方程组：． 8．解方程组：． 9．解方程组 （1）； （2）． 10．解方程组： （1） （2） 11．解方程组． 12．解方程组：． 13．解下列方程组： （1）； （2）． 14．解方程组：． 15．解方程组． 16．解方程组： （1）； （2）． 17．解二元一次方程组： （1） （2） 【考点四】整体思想解二元一次方程组 1．已知二元一次方程组，则的值为 　　． 2．已知，则　　． 3．已知，满足，则　　． 4．已知方程组，则的值等于 　　． 5．已知关于，二元一次方程组的解为则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 6．已知方程组的解为，则方程组的解为 　　． 7．已知，满足，则　　． 8．如果实数，满足方程组，那么　　． 9．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：， 即，③ 把方程①代入③，得．． 把代入①，得． 原方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换法”解方程组： （2）已知，满足方程组，求的值． 10．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组． 11．先阅读，然后解方程组： （1）解方程组时，可将①代入②得：． ，从而求得．这种方法被称为“整体代入法”； （2）试用“整体代入法”解方程组：． 12．解方程组若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组． 13．阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，，原方程组的解为． （1）若方程组的解是，试求方程组的解； （2）仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 14．阅读理解： 善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他的解法如下： 解：将方程②变形为：③． 把方程①代入方程③得：， 解得 ． 把代入方程①得 ． 原方程组的解为． 小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题： （1）解方程组：； ①把方程①代入方程②，则方程②变为　 　； ②原方程组的解为　 　． （2）解方程组：． 15．先阅读，再解方程组． 解方程组时，设，，则原方程组变为，整理，得，解这个方程组，得，即．解得． 请用这种方法解下面的方程组：． 16．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为：　　． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为， 求关于，的方程组的解． 【考点五】二元一次方程组同解问题 1．若方程组与方程组同解，则　　． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则的值是 　　． 3．关于、的方程组与有相同的解，则　　． 4．已知方程组和方程组有相同的解，求的值． 5．已知方程组和有相同的解，求的值． 6．已知关于，的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求，的值； （3）若（1）中的解也是关于，的方程的解，求的值． 【考点六】解三元一次方程组 1．解方程组：． 2．解方程组：． 3．解方程组：． 4．解方程组：． 5．解方程组：． 6．解方程组：． 7．解方程组：． 8．解方程组： 9．若，，同时满足：，，，则　　． 10．若，，则的值为 　　． 11．设，则　　． 12．若，，则的值是 　　． 13．已知、、满足，则　　． 14．已知，，满足，则　　． 15．已知，则　　． 16．若，且，则　 　． 17．已知实数、、满足，，则　　． 【考点七】二元一次方程组含参问题 1．已知方程组的解，满足方程，则　　． 2．若关于，的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值是 　　． 3．若关于，的方程组的解满足，则的值为 　　． 4．若关于，的方程组的解满足，则的值为 　　． 5．已知关于，的方程组的解满足，则的值是 　　． 6．关于，的二元一次方程组的解满足，则的值是　　． 7．关于，的方程组的解满足，则　　． 8．已知方程组，王芳看错了方程①中的得到方程组的解为，李明看错了方程②中的得到方程组的解为，求原方程组的解． 9．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． （1）按照小云的方法，的值为 　　，的值为 　　； （2）请按照小辉的思路求出的值． 10．已知关于，的二元一次方程组的解与的值互为相反数，试求的值和方程组的解． 11．二元一次方程组的解，的值相等，则　 　． 12．已知关于，的二元一次方程组的解是斜边长为5的直角三角形两直角边长，则　　． 13．解关于、的方程组，并求当解满足时的的值． 14．已知，都是关于，的二元一次方程的解，且，求的值． 15．已知关于，的方程组 分别求出当为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解． 16．、为何值时，方程组 （1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解？ 【考点八】二元一次方程组实际应用 （1） 行程问题 1．小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米分，步行的速度是70米分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为、分钟，则列出的二元一次方程组是 A． B． C． D． 2．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，则下列方程组中正确的是　　 A． B． C． D． 3．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 4．甲、乙两人在一环形场地上从某点开始同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长． 5．周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达五台山，共用了；返回时，她先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到五台山的路程． 6．用二元一次方程组解决问题： 、两地相距，甲骑电动车从地出发到地，与此同时，乙骑电动车从地出发到地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 7．列方程（组解应用题 已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度． （2） 打折销售问题 1．某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有　　 A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的中性笔，则小明选择的购买方案有　　 A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3．在文体专卖店，小明买了6张卡片和4支笔，店员优惠了1元，实际收费17元；小王买了5张卡片和10支笔，店员八折优惠，实际收费28元．若卡片每张元，笔每支元，则所列二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 4．某公司去年的利润（总产值总支出）为300万元，今年总产值比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为980万元，如果去年的总产值万元，总支出万元，则下列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 5．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有 　　种． 6．某商场购进商品后加价作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙商品分别以七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款399元，这两种商品售价之和为490元，问这两种商品进价分别为多少元． 7．某星期天，八（1）班开展社会实践活动，第一小组花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到蔬菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元 2.4 2 零售价（元 3.6 2.8 （1）黄瓜和茄子各批发了多少？ （2）该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 8．请根据下表所给的三个素材，完成要求的三个任务： 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有，两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． 素材三 明德中学七八年级师生共485人前往曲阜尼山圣境游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定，两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 明德中学本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 9．《九章算术》中有记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？大意是：今有甲、乙两人持钱不知有多少．若甲得到乙所有钱的，则有50钱；若乙得到甲所有钱的，则也有50钱，问甲、乙各持钱多少？请解答此问题． 10．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去720元，求甲、乙两种电影票各买了多少张？ 11．某汽车专卖店销售、两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额96万元，本周已售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元． （1）求每辆型车和型车的售价各是多少？ （2）随着汽车限购限号政策的推行，预计下周起，两种型号的汽车价格在原有的基础上均有上涨，若型汽车价格上涨，型汽车价格上涨，则同时购买一台型车和一台型车的费用比涨价前多，求的值． 12．某县政府打算用25 000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1 800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款． （1）问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台； （2）由于国家出台“家电下乡”惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法． 13．某玩具厂在圣诞节期间准备生产、两种玩具共80万套，两种玩具的成本和售价如下表： 成本（元套） 25 28 售价（元套） 30 34 （1）若该厂所筹集资金为2180万元，且所筹资金全部用于生产，则这两种玩具各生产多少万套？ （2）设该厂生产种玩具万套，两种玩具所获得的总利润为万元，请写出与的关系式． （3）由于资金短缺，该厂所筹集的资金有限，只够生产种49万套、种31万套或者种50万套、种30万套．但根据市场调查，每套种玩具的售价将提高元，种玩具售价不变，且所生产的玩具可全部售出，该玩具厂将如何安排生产才能获得最大利润？ （3） 分配问题 1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 2．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 3．甲种防腐药水含药，乙种防腐药水含药，现用这两种防腐药水配制含药的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要千克，乙种药水需要千克，则所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 4．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，临沂市某中学举办了青少年机器人竞赛．学校为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共15个，若桌子腿数与凳子腿数的和为50条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 5．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱，名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 　　． 6．一个自行车厂有34名工人，如果每人每天能生产车架15个或生产车圈21个，已知一个车架配两个车圈，应将工人如何分配，才能使每天生产的车架和车圈恰好配套？设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，由题意可列方程组：　　． 7．一批机器零件共558个，甲先做3天后，乙再加入，两人共同再做6天刚好完成．设甲每天做个，乙每天做个． （1）列出关于，的二元一次方程． （2）用含的代数式表示，并求当时，的值是多少？ （3）若乙每天做48个，则甲每天做多少个？ 8．疫情期间，某校九年级学生按要求有序匀速通过校门口的红外线测温仪进行体温监测．早晨打开2台设备监测，10分钟后全体学生和参加疫情防控值日的20名老师全部测试完毕；中午该校九年级有一半学生回家吃午饭，于是打开1台设备对午饭后进校园的学生进行体温监测，9分钟后发现还有25个学生未监测完． （1）问该校九年级共有多少名学生？每台设备平均每分钟可以监测多少名学生？ （2）按照“分批次、错锋开学”要求，先九年级，然后八年级，最后七年级学生进校园．如果7点钟学生开始进校园，该校八年级有630名学生，且一直同时打开2台设备只对学生监测，那么七年级学生最早到达校门口时间为7点 　　分．（精确到整数分） （4） 其他 1．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为 A． B． C． D． 2．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右 列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式 表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：　　． （2）解由图2列出的方程组． 3．列方程（组解应用题 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 4．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为，，三种盲盒各一个．其中盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，盒的价值为145元，盒的价值为245元，则盒的价值为 　　元． 5．应用题：为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校将要举行趣味运动会，体育组准备购买跳绳作为奖品．已知1条短跳绳和3条长跳绳，共需要96元；2条短跳绳和1条长跳绳共需要62元． （1）求每条短跳绳和每条长跳绳各多少元； （2）商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：短跳绳“九折”优惠；长跳绳不超过10条不优惠，超出10条的部分“六折”优惠．如果买条短跳绳需要元，买条长跳绳需要元．请用含，的代数式分别表示和； （3）如果在（2）的条件下，购买同一种奖品50件，请分析买哪种奖品省钱． 6．根据以下素材，请完成任务． 养成健康饮水的习惯 素材1：健康饮水知识一 1．人体每天所需水分为毫升．如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家应养成主动饮水的习惯，把每天所需的水分安排在一天内喝完． 2．推荐喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水． 3．饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险． 素材2：健康饮水知识二 科学证明，健康饮水的适宜温度大约在．喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状．如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况． 素材3 小贴士：若接水过程中不计热量损失，温度热量可以用下列公式转化： 温水体积温水温度开水体积开水温度混合后体积混合后温度 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速． 问题解决 任务一 小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间； 任务二 如果小康同学先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康同学至少要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度？ 7．某市热带植物园的门票价格规定如下表所列、某校七年级（1）、（2）两个班学生共103人去该园参观，其中七（1）班人数不少于30人且不多于50人、经预算，若两班都以班为单位分别购票，则总共付1950元． 购票人数 人 人 100人以上 每人门票价 20元 18元 15元 （1）若两班学生合在一起作为一个团体购票，则最多可以节省门票多少元？ （2）求两班各有多少名学生？ 8．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元 （1）求、的值； （2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元． 【考点九】二元一次方程组与一次函数 1．已知直线与的交点坐标为，则关于、的方程组的解是 　　． 2．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是　　． 3．一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是 　　． 4．已知直线与直线交于点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 5．已知函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 6．如果关于，的方程组无解，那么直线不经过第　　象限． 7．已知直线与的交点为，则这个方程组的解为 　　． 8．若关于，的二元一次方程组无解，则直线与的位置关系是　　 A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 9．如图一次函数和的图象交于点，则关于，的方程组的解为　　 A． B． C． D． 10．如图，直线，的交点坐标可以看作方程组　　的解 A． B． C． D． 11．已知两直线，的位置关系如图所示，请求出以点的坐标为解的二元一次方程组． 12．已知一次函数和． （1）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （2）根据图象回答，方程组的解存在吗？ 13．若方程组有无数解，则的值是　　． 【考点十】用二元一次方程组确定表达式 1．确定一次函数的解析式，至少需要几个点的坐标或几组，的值？ 2．已知直线与的交点为，则方程组的解是 　　． 3．如图，直线，交于点，观察图象，点的坐标可以看作方程组　　的解． 4．若三点，，在同一直线上，则的值等于　　 A． B．0 C．3 D．4 5．若三点，，在同一直线上，则的值等于 　　． 6．如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，能表示这个一次函数图象的方程是　　 A． B． C． D． 7．若点、在一次函数图象上，则与的大小关系是　　． 8．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，把△绕点顺时针旋转后得到△，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 9．如图，直线与直线在第二象限交于点，直线分别交轴，轴于，两点．若，则方程组的解为　　 A． B． C． D． 10．已知与成正比例，如果当时，，求关于的函数解析式． 11．小明从家步行到学校需走的路程为2000米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行20分钟时，距离学校还有　　米． 12．若方程组无解，则图象不经过第　　象限． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 二元一次方程组 目录 【知识清单】 2 1．二元一次方程的概念 2 2．二元一次方程组 2 3．二元一次方程组的解 2 4．代入消元法解二元一次方程组 2 5．加减消元法解二元一次方程组 3 6．整体消元法解二元一次方程组 3 7．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 3 8．列方程（组）解应用题的注意事项 3 9．列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式 4 10．三元一次方程组的概念 4 11．三元一次方程组的解法 5 【考点一】二元一次方程（组）的概念 6 【考点二】二元一次方程（组）的解 9 【考点三】二元一次方程组基本解法 12 【考点四】整体思想解二元一次方程组 21 【考点五】二元一次方程组同解问题 31 【考点六】解三元一次方程组 34 【考点七】二元一次方程组含参问题 42 【考点八】二元一次方程组实际应用 48 （一） 行程问题 48 （二） 打折销售问题 50 （三） 分配问题 58 （四） 其他 61 【考点九】二元一次方程组与一次函数 68 【考点十】用二元一次方程组确定表达式 74 【知识清单】 1．二元一次方程的概念 （1）定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的三要素 ①含有两个未知数； ②含有未知数的项的次数都是1；③方程两边都是整式． 2．二元一次方程组 （1）定义 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组的三要素 ①方程组中共含有两个未知数； ②含有未知数的项的次数都是1； ③两个方程都是整式方程． （3）注意 组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． 3．二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （1）二元一次方程组的解，是方程组中每个方程的解． （2）二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解，或无解， 如有无数多个解，无解． 4．代入消元法解二元一次方程组 代人法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 5．加减消元法解二元一次方程组 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 6．整体消元法解二元一次方程组 根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解． 7．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； ②设：设未知数（一般求什么，就设什么）； ③找：找出应用题中的相等关系； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； ⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值； ⑥答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）． 8．列方程（组）解应用题的注意事项 （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等； （4）方程（组）的解要符合问题的实际意义． 9．列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式 （1）和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量． （2）产品配套问题：加工总量成比例． （3）速度问题：路程=速度×时间 （4）航速问题 ①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （6）增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1－减少率）=减少后的量． （7）浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量． （8）利润与打折问题：利润=售价－进价（成本价），利润率=×100%， 售价=原价×． 售价=进价×（1+利润率） （9）数字问题 设出数位上的数字，从而解决问题．要注意多位数的表示方法，如：个位上为x，十位上为y的两位数为10y+x． （10）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离． （11）追及问题：同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； 同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程． 10．三元一次方程组的概念 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （1）三元一次方程组必须具备的三个条件： 1　 方程组中一共含有三个未知数； 2　 含未知数的项的次数都是1； 3　 方程组中的每个方程都是整式方程． （2） 三元一次方程组的解：三元一次方程组的三个方程的公共解． 11．三元一次方程组的解法 （1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数． （2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次． （3） 将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解． 【考点归纳】 【考点一】二元一次方程（组）的概念 1．下列一定是关于、的二元一次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．方程是二元二次方程，选项不符合题意； ．方程是二元一次方程，选项符合题意； ．方程是三元一次方程，选项不符合题意； ．当，不同时为0时，方程是一元一次方程，选项不符合题意． 故选：． 2．若是关于，的二元一次方程，则的值为　　 A．2 B．4 C．0 D．2或4 【答案】 【解答】解：由题意得：，， 解得：， 故选：． 3．下列方程中，是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、该方程中只含有一个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，故不符合题意； 、该方程不是整式方程，故不符合题意； 、该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意； 、该方程中含有未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：． 4．方程组，，，，中，是二元一次方程组的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：方程组，，，，中，是二元一次方程组的有，中，共2个， 故选：． 5．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、是三元一次方程组，故选项不符合题意； 、是二元二次方程组，故选项不符合题意； 、是二元一次方程组，故选项符合题意； 、是分式方程组，故选项不符合题意； 故选：． 6．下列方程组中是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、不是整式方程，故本选项不符合题意； 、含有三个未知数，故本选项不符合题意； 、未知数的最高次数为2，故本选项不符合题意； 、是二元一次方程组，故本选项符合题意； 故选：． 7．下列方程组中，二元一次方程组有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：①、该方程组符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、该方程组中第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、该方程组符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 8．已知关于、的方程是二元一次方程，则的值为　　 A． B．2 C．3 D． 【答案】 【解答】解：关于、的方程是二元一次方程， ，， 解得，， ． 故选：． 9．若是关于、的二元一次方程，则的值为　　 A．1 B．3 C．0 D．1或3 【答案】 【解答】解：是关于、的二元一次方程， 且， 解得：． 故选：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 10:58:27；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点二】二元一次方程（组）的解 1．已知是方程的一个解，那么的值是　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【解答】解：将代入原方程得：， 解得：， 的值是2． 故选：． 2．二元一次方程的一组解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、当时，，故该选项错误； 、当时，，故该选项正确； 、当时，，故该选项错误； 、当时，，故该选项错误； 故选：． 3．已知是方程的一个解，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意，得：， 解得． 故选：． 4．是下列哪个方程的解　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、把代入方程的左边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 、把代入方程的左边，左边，右边，左边右边，所以是方程的解，故此选项符合题意； 、把代入方程的左边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 、把代入方程的左边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 5．关于和的二元一次方程①和②的部分解如表1，表2所示，则由①和②组成的二元一次方程组的解是 　　． 表1 1 2 3 1 表2 0 1 2 3 0 1 【答案】． 【解答】解：由表1和表2可得由①和②组成的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 6．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； 选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：． 7．关于，的二元一次方程组的解是，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】 【解答】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 由①，可得， 把代入②，可得， 解得， 关于、的二元一次方程组的解是， ． 故选：． 【考点三】二元一次方程组基本解法 1．解方程组：． 【解答】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 2．解方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 故方程组的解为； （2）， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 故方程组的解为． 3．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得： 所以这个方程组的解是． 4．用加减法解方程组 【答案】． 【解答】解：， ②，得③， ①③，得， 解得， 把代入②，得， ， 所以这个方程组的解是． 5．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 6．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①，得③， ②③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 方程组可化为， ②①，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 7．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， 整理得出， 把代入， 得， 解得， 把代入， 得出， ． 8．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， 整理得，， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 方程组的解为：． 9．解方程组 （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 把①代入②得，，解得， 把代入①得，， 故此方程组的解为：； （2）， ①②得，，解得； 把代入①得，， 解得， 故此方程组的解为． 10．解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， 解：①，得③， ②③，得， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （2）整理，得， ②，得③， ①③，得， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 11．解方程组． 【答案】． 【解答】解：， ①②得， 解得， 将代入①得， 解得． 原方程组的解为． 12．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以原方程组的解为． 13．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， ①代入②，可得：， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． （2）， 由①，可得③， ②③，可得， 解得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． 14．解方程组：． 【答案】此方程组的解是． 【解答】解：把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， 解得， 此方程组的解是． 15．解方程组． 【答案】． 【解答】解：①②，得， 把代入②，得， ， 原方程组的解是． 16．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为； （2）， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 17．解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以原方程组的解为； （2）原方程组可变为， ②①得， ， 解得， 把代入②得，， 解得， 所以原方程组的解为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 11:04:29；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点四】整体思想解二元一次方程组 1．已知二元一次方程组，则的值为 　3　． 【解答】解：， ②①得：， 整理得：． 故答案为：3． 2．已知，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：， ①②，可得： ， ． 故答案为：3． 3．已知，满足，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：将方程组中两个方程相加， 得， ． 故答案为：3． 4．已知方程组，则的值等于 　　． 【答案】． 【解答】解：， ①②得：，即， ①②得：， 则原式． 故答案为：． 5．已知关于，二元一次方程组的解为则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 6．已知方程组的解为，则方程组的解为 　　． 【答案】． 【解答】解：变形为， 方程组的解为， ， ． 故答案为：． 7．已知，满足，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：， ①②，得：， ． 故答案为：3． 8．如果实数，满足方程组，那么　1　． 【答案】1． 【解答】解：， ①②，得：， 则． 故答案为：1． 9．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：， 即，③ 把方程①代入③，得．． 把代入①，得． 原方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换法”解方程组： （2）已知，满足方程组，求的值． 【解答】解：（1）由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）由①得：③， 由②得：④， ③④得：， 解得：． 10．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组． 【解答】解：， 由①得③， 将③代入②得， 解得， 把代入③得． 则方程组的解为． 11．先阅读，然后解方程组： （1）解方程组时，可将①代入②得：． ，从而求得．这种方法被称为“整体代入法”； （2）试用“整体代入法”解方程组：． 【解答】解：， 由①得：③， 把③代入②得：，即， 把代入③得：． 则方程组的解为． 12．解方程组若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组． 【解答】解：设，， 方程组变形得：， 整理得：， ①②得：，即， 把代入②得：， ， 解得：． 13．阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，，原方程组的解为． （1）若方程组的解是，试求方程组的解； （2）仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）方程组的解是， ， 解得； （2）设，， 则原方程组可化为， 解得， ， 原方程组的解为． 14．阅读理解： 善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他的解法如下： 解：将方程②变形为：③． 把方程①代入方程③得：， 解得 ． 把代入方程①得 ． 原方程组的解为． 小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题： （1）解方程组：； ①把方程①代入方程②，则方程②变为　　； ②原方程组的解为　 　． （2）解方程组：． 【解答】解：（1）解方程组：； ①把方程①代入方程②，则方程②变为：； ②原方程组的解为：． （2） 将方程（2）变形为：（3）． 把方程（1）代入方程（3），可得：， 解得， 把代入方程（1），可得， 原方程组的解为． 故答案为：；． 15．先阅读，再解方程组． 解方程组时，设，，则原方程组变为，整理，得，解这个方程组，得，即．解得． 请用这种方法解下面的方程组：． 【答案】． 【解答】解：设，， 则原方程组变为：， ①得：③， ②得：④， ③④得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 则方程组的解：， 则可得到：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是：． 16．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于，的二元一次方程组，的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为：　　． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为， 求关于，的方程组的解． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， 关于，的二元一次方程组的解为， ，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 11:18:02；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点五】二元一次方程组同解问题 1．若方程组与方程组同解，则　8　． 【解答】解：解方程组， ①②得，， 解得， ①②得，， 解得． 把，代入方程组， 得， 解得，． 故． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则的值是 　5　． 【解答】解：解方程组， 得， 代入得，． 3．关于、的方程组与有相同的解，则　　． 【解答】解：两方程组有相同的解， 可将两方程组转化为： （1）， （2）， 解（1）得，代入（2）得 ， 解得． 故． 4．已知方程组和方程组有相同的解，求的值． 【答案】． 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以， 所以． 5．已知方程组和有相同的解，求的值． 【解答】解：解方程组得， 把代入第二个方程组得，解得， 则． 6．已知关于，的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求，的值； （3）若（1）中的解也是关于，的方程的解，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得； （2）将代入含有，的方程得， 解得； （3）将代入， 得， 解得：． 【考点六】解三元一次方程组 1．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①②得④， ②③得⑤， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①得，， ， 方程组的解为． 2．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， 将①代入②得：， 整理得：④， 将①代入③得：， 整理得：⑤， ⑤得：⑥， ④⑥得：， 把代入⑤得：， 解得：， 把，代入①得：， 原方程组的解为：． 3．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①③，得④ ②③，得⑤ ④、⑤联立方程组得， 解得， 把代入②得：，解得． 故原方程组的解为． 4．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①②得：④， ②③得：⑤， 由④和⑤组成方程组：， 解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 5．解方程组：． 【解答】解：， ①②，得④， ②③，得⑤， ④⑤，得， 解得， 把代入④，得， 把，代入②，得． 所以原方程组的解是． 6．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， 由②①，得：④， 由③②，得：⑤， 由⑤④，得：， 解得：， 将代入④，得：， 解得：， 将，代入①，得：， 解得：， 方程组的解为：． 7．解方程组：． 【解答】解：， ①②，得：④， ④③，得：， ， 将代入④中，得：， ， 将代入②中，得：， ． 方程组的解为． 8．解方程组： 【答案】． 【解答】解：， ③①得：， ④， ②③得：⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是． 9．若，，同时满足：，，，则　58　． 【答案】58． 【解答】解：， ①②③得，④， ④， ④①得，， ， ， ， 故答案为：58． 10．若，，则的值为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：将两个方程左右两边分别相加，得， 两边同时除以5，得． 故答案为：3． 11．设，则　10　． 【解答】解：方程两边都乘以2得：， 减去得：， 故答案为：10． 12．若，，则的值是 　0　． 【答案】0． 【解答】解：由， 解得， ． 故答案为：0． 13．已知、、满足，则　　． 【解答】解：， ①②，得， 即， ； ①②，得， 即， ， ． 故答案为：． 14．已知，，满足，则　　． 【答案】． 【解答】解：， ①②得：， ， ， ①得：③， ②得：④， ④③得：， ， ， ， 故答案为：． 15．已知，则　　． 【解答】解：已知， 由①得，由②得， 原式． 故本题答案为：． 16．若，且，则　5　． 【解答】解：，， 两式左右相加，得：， 上式左右两边同时除以5，得： ． 故答案为：5． 17．已知实数、、满足，，则　1　． 【解答】解：， ②①得：， ， ， ①②得：， ． 故答案为：1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 11:25:51；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点七】二元一次方程组含参问题 1．已知方程组的解，满足方程，则　　． 【答案】． 【解答】解：， ①②得：， 然后将代入， 解得：． 故答案为：． 2．若关于，的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值是 　3　． 【答案】3． 【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， ， ， 解得． 故答案为：3． 3．若关于，的方程组的解满足，则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：关于，的方程组的解为， 由可得， ， 解得． 故答案为：． 4．若关于，的方程组的解满足，则的值为 　6　． 【答案】6． 【解答】解：， ①②得，， ， ， ， ， 故答案为：6． 5．已知关于，的方程组的解满足，则的值是 　0　． 【答案】0． 【解答】解：， ①②得：， 又， ， ． 故答案为：0． 6．关于，的二元一次方程组的解满足，则的值是　　． 【答案】． 【解答】解：将方程组的两个方程左、右两边分别相加，得，即， 由，得， ， ． 故答案为：． 7．关于，的方程组的解满足，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：， ①②，得， ， ， ， ， 故答案为：3． 8．已知方程组，王芳看错了方程①中的得到方程组的解为，李明看错了方程②中的得到方程组的解为，求原方程组的解． 【解答】解：由题意可知： ，解得 ，解得： 解得： 9．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． （1）按照小云的方法，的值为 　5　，的值为 　　； （2）请按照小辉的思路求出的值． 【解答】解：（1）③①，得， 把代入①，得， 解得， 故答案为：5；； （2）①②，得， 即， ， ， ， 解得． 10．已知关于，的二元一次方程组的解与的值互为相反数，试求的值和方程组的解． 【解答】解：方程组， ②①得， ， 将代入②，得， 与的值互为相反数， ， ，， 原方程组的解为． 11．二元一次方程组的解，的值相等，则　2　． 【解答】解：，的值相等， ， 解得，， 则， ， 解得，， 故答案为：2． 12．已知关于，的二元一次方程组的解是斜边长为5的直角三角形两直角边长，则　1　． 【解答】解：由，解得， 由题意：， 或（舍弃） 故答案为1． 13．解关于、的方程组，并求当解满足时的的值． 【解答】解：根据题意得， 消元得， 代入③得：． 14．已知，都是关于，的二元一次方程的解，且，求的值． 【解答】解：将，代入方程， 得：，即， 又， ， 整理，得：， 解得：． 15．已知关于，的方程组 分别求出当为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解． 【解答】解：由①得，，③ 将③代入②得，，④ （1）当，即且时，方程④有唯一解，将此值代入③有因而原方程组有唯一一组解； （2）当且时，即时，方程④无解，因此原方程组无解； （3）当且时，即时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解． 16．、为何值时，方程组 （1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解？ 【解答】解：由②①得：③， （1）当，即时，方程③有唯一解； （2）当且时，即且时，方程③无解，从而原方程组也无解； （3）当且时，即且时，方程③有无数个解，从而原方程组也有无数个解． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 【考点八】二元一次方程组实际应用 （1） 行程问题 1．小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米分，步行的速度是70米分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为、分钟，则列出的二元一次方程组是 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设他骑自行车和步行的时间分别为、分钟，由题意得： ． 故选：． 2．甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，则下列方程组中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得，顺水速度，逆水速度， 根据所走的路程可列方程组为， 故选：． 3．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【解答】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 解得：， ． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 4．甲、乙两人在一环形场地上从某点开始同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长． 【答案】乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 【解答】解：设乙的速度为米分，则甲的速度为，环形场地的周长为， 由题意得， 解得：， 乙的速度为：， 甲的速度为：； 答：乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 5．周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达五台山，共用了；返回时，她先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到五台山的路程． 【答案】9千米． 【解答】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）． 答：从出发点到五台山的路程是9千米． 6．用二元一次方程组解决问题： 、两地相距，甲骑电动车从地出发到地，与此同时，乙骑电动车从地出发到地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的骑行速度为，乙的骑行速度为． 【解答】解：设甲的骑行速度为 ，乙的骑行速度为 ， 依题意得：， 解得：， 答：甲的骑行速度为，乙的骑行速度为． 7．列方程（组解应用题 已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度． 【解答】解：设船在静水中的速度为，水流速度为． ， 解得：． 答：此轮船在静水中的速度为17.5千米小时，此江水流的速度为2.5千米小时． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 11:40:28；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 （2） 打折销售问题 1．某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有　　 A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】 【解答】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或或， 共有5种购买方案． 故选：． 2．小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的中性笔，则小明选择的购买方案有　　 A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】 【解答】解：设购买2元的中性笔数量为，购买3元的中性笔数量为， 由题意可得：， 整理，得：， 因为，均为非负整数， 所以当时，． 当时，． 当时，． 当时，． 即有4种购买方案． 故选：． 3．在文体专卖店，小明买了6张卡片和4支笔，店员优惠了1元，实际收费17元；小王买了5张卡片和10支笔，店员八折优惠，实际收费28元．若卡片每张元，笔每支元，则所列二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：若卡片每张元，笔每支元，由题意得： ， 故选：． 4．某公司去年的利润（总产值总支出）为300万元，今年总产值比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为980万元，如果去年的总产值万元，总支出万元，则下列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设去年的总产值万元，总支出万元， 根据题意可列方程组：， 故选：． 5．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有 　4　种． 【答案】4． 【解答】解：设购买个羽毛球，个乒乓球， 由题可得：， 变形得：， 因为，均为正整数， 所以， 解得：， 故的取值为1，2，3，4， 故其解为：或或或， 故有4种购买方案， 故答案为：4． 6．某商场购进商品后加价作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙商品分别以七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款399元，这两种商品售价之和为490元，问这两种商品进价分别为多少元． 【解答】解：设甲商品进价为元，乙商品进价为元，依题意有 ， 解得． 答：甲商品进价为150元，乙商品进价为200元． 7．某星期天，八（1）班开展社会实践活动，第一小组花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到蔬菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元 2.4 2 零售价（元 3.6 2.8 （1）黄瓜和茄子各批发了多少？ （2）该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 【解答】解：（1）设黄瓜批发了，茄子批发了， 根据题意，得， 解得， 答：黄瓜批发了，茄子批发了． （2）（元． 答：该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元． 8．请根据下表所给的三个素材，完成要求的三个任务： 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有，两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． 素材三 明德中学七八年级师生共485人前往曲阜尼山圣境游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定，两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 明德中学本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 【答案】任务一：每辆种型号客车的租金是600元，每辆种型号客车的租金是1000元； 任务二：共有2种租车方案， 方案1：租用15辆种型号客车，2辆种型号客车； 方案2：租用4辆种型号客车，7辆种型号客车； 任务三：不存在租车费用不超过预算的租车方案，至少要追加400元的预算金额． 【解答】解：（任务一）设每辆种型号客车的租金是元，每辆种型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 所以每辆种型号客车的租金是600元，每辆种型号客车的租金是1000元， 答：每辆种型号客车的租金是600元，每辆种型号客车的租金是1000元； （任务二）设租用辆种型号客车，辆种型号客车， 根据题意得：， ， 又，均为非负整数， ， 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用15辆种型号客车，2辆种型号客车； 方案2：租用4辆种型号客车，7辆种型号客车； （任务三）选择方案1所需总租金为（元； 选择方案2所需总租金为（元． ，（元， 不存在租车费用不超过预算的租车方案，至少要追加400元的预算金额， 答：不存在租车费用不超过预算的租车方案，至少要追加400元的预算金额． 9．《九章算术》中有记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？大意是：今有甲、乙两人持钱不知有多少．若甲得到乙所有钱的，则有50钱；若乙得到甲所有钱的，则也有50钱，问甲、乙各持钱多少？请解答此问题． 【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为，， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲、乙的持钱数分别为37.5，25． 10．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去720元，求甲、乙两种电影票各买了多少张？ 【解答】解：设购买甲电影票张，乙电影票张， 由题意知：， 解得． 答：购买甲电影票24张，乙电影票16张． 11．某汽车专卖店销售、两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额96万元，本周已售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元． （1）求每辆型车和型车的售价各是多少？ （2）随着汽车限购限号政策的推行，预计下周起，两种型号的汽车价格在原有的基础上均有上涨，若型汽车价格上涨，型汽车价格上涨，则同时购买一台型车和一台型车的费用比涨价前多，求的值． 【解答】解：（1）设每辆型车和型车的售价分别是万元、万元．则 ， 解得． 答：每辆型车的售价为18万元，每辆型车的售价为26万元； （2）根据题意，得：， 解得：， 答：的值为5.5． 12．某县政府打算用25 000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1 800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款． （1）问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台； （2）由于国家出台“家电下乡”惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法． 【解答】解：（1）设原计划购买彩电台，冰箱台，根据题意得： ， 化简得：． ，均为正整数， ，， 答：原计划购买彩电8台和冰箱5台； （2）该批家电可获财政补贴为：（元 由于多买的冰箱也可获得的财政补贴，实际负担为总价的． ． 可多买两台冰箱． 答：（2）能多购买两台冰箱． 我的想法：可以拿财政补贴款3250元，再借350元，先购买两台冰箱回来，再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于归还借款，这样不会增加实际负担． 13．某玩具厂在圣诞节期间准备生产、两种玩具共80万套，两种玩具的成本和售价如下表： 成本（元套） 25 28 售价（元套） 30 34 （1）若该厂所筹集资金为2180万元，且所筹资金全部用于生产，则这两种玩具各生产多少万套？ （2）设该厂生产种玩具万套，两种玩具所获得的总利润为万元，请写出与的关系式． （3）由于资金短缺，该厂所筹集的资金有限，只够生产种49万套、种31万套或者种50万套、种30万套．但根据市场调查，每套种玩具的售价将提高元，种玩具售价不变，且所生产的玩具可全部售出，该玩具厂将如何安排生产才能获得最大利润？ 【解答】解：（1）设生产种玩具万套，种玩具万套， 根据题意得，， 解得， ， 答：生产种玩具20万套，种玩具60万套． （2）． 化简，得 ． 即与的关系式是；． （3）根据题意可得，获得的利润为：． 当时，①； 当时，②． ①②，得 ． 当时，选择生产种49万套、种31万套； 当时，选择生产种50万套、种30万套． 即当时，玩具厂将选择生产种49万套、种31万套能获得最大利润；当时，玩具厂将选择生产种50万套、种30万套能获得最大利润． （3） 分配问题 1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设该店有客房间，房客人， 根据题意得：， 故选：． 2．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： ， 故选：． 3．甲种防腐药水含药，乙种防腐药水含药，现用这两种防腐药水配制含药的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要千克，乙种药水需要千克，则所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：． 故选：． 4．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，临沂市某中学举办了青少年机器人竞赛．学校为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共15个，若桌子腿数与凳子腿数的和为50条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意可列方程组，． 故选：． 5．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱，名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 　　． 【答案】． 【解答】解：设应安排名工人生产螺柱，名工人生产螺母， 由题意可得，， 故答案为：． 6．一个自行车厂有34名工人，如果每人每天能生产车架15个或生产车圈21个，已知一个车架配两个车圈，应将工人如何分配，才能使每天生产的车架和车圈恰好配套？设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，由题意可列方程组：　　． 【答案】． 【解答】解：设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，由题意可列方程组： ， 故答案为：． 7．一批机器零件共558个，甲先做3天后，乙再加入，两人共同再做6天刚好完成．设甲每天做个，乙每天做个． （1）列出关于，的二元一次方程． （2）用含的代数式表示，并求当时，的值是多少？ （3）若乙每天做48个，则甲每天做多少个？ 【答案】（1）； （2），当时，； （3）甲每天做30个． 【解答】解：（1）依题意得：， 即． （2）， ． 当时，． （3）当时，， 解得：． 答：甲每天做30个． 8．疫情期间，某校九年级学生按要求有序匀速通过校门口的红外线测温仪进行体温监测．早晨打开2台设备监测，10分钟后全体学生和参加疫情防控值日的20名老师全部测试完毕；中午该校九年级有一半学生回家吃午饭，于是打开1台设备对午饭后进校园的学生进行体温监测，9分钟后发现还有25个学生未监测完． （1）问该校九年级共有多少名学生？每台设备平均每分钟可以监测多少名学生？ （2）按照“分批次、错锋开学”要求，先九年级，然后八年级，最后七年级学生进校园．如果7点钟学生开始进校园，该校八年级有630名学生，且一直同时打开2台设备只对学生监测，那么七年级学生最早到达校门口时间为7点 　19　分．（精确到整数分） 【答案】（1）九年级共有680名学生，一台设备平均每分钟可以监测35名学生； （2）19． 【解答】解：（1）设一台设备平均每分钟可以监测名学生，该校九年级共有名学生， 根据题意可得，， 解得． 答：该校九年级共有680名学生，一台设备平均每分钟可以监测35名学生． （2）（分， 故答案为：19． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 11:51:46；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 （4） 其他 1．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设每一个小长方形的长为，宽为， 依题意，得：． 故选：． 2．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右 列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式 表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：　　． （2）解由图2列出的方程组． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题意可得， 图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故答案为：． （2）， ②①，得：， 将代入①，得：， 原方程组的解是． 3．列方程（组解应用题 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 【解答】解：设有人，该物品价值元， 根据题意得：， 解得：． 答：有7人，该物品价值53元． 4．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为，，三种盲盒各一个．其中盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，盒的价值为145元，盒的价值为245元，则盒的价值为 　155　元． 【答案】155． 【解答】解：设1个耳机的价值为元，1个优盘的价值为元，1个音箱的价值为元，盒中耳机的数量为为正整数）个，则音箱的数量为个，优盘的数量为个， 依题意得：， 为整数， ， 方程③为④． ④②得：， 即盒的价值为155元． 故答案为：155． 5．应用题：为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校将要举行趣味运动会，体育组准备购买跳绳作为奖品．已知1条短跳绳和3条长跳绳，共需要96元；2条短跳绳和1条长跳绳共需要62元． （1）求每条短跳绳和每条长跳绳各多少元； （2）商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：短跳绳“九折”优惠；长跳绳不超过10条不优惠，超出10条的部分“六折”优惠．如果买条短跳绳需要元，买条长跳绳需要元．请用含，的代数式分别表示和； （3）如果在（2）的条件下，购买同一种奖品50件，请分析买哪种奖品省钱． 【答案】（1）每条短跳绳的售价为18元，每条长跳绳的售价为26元； （2），； （3）买短跳绳省钱． 【解答】解：（1）设每条短跳绳的售价为元，每条长跳绳的售价为元， 依题意得：， 解得：． 答：每条短跳绳的售价为18元，每条长跳绳的售价为26元． （2）依题意得：； 当时，； 当时，． ． （3）当时，； 当时，． ， 买短跳绳省钱． 6．根据以下素材，请完成任务． 养成健康饮水的习惯 素材1：健康饮水知识一 1．人体每天所需水分为毫升．如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家应养成主动饮水的习惯，把每天所需的水分安排在一天内喝完． 2．推荐喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水． 3．饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险． 素材2：健康饮水知识二 科学证明，健康饮水的适宜温度大约在．喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状．如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况． 素材3 小贴士：若接水过程中不计热量损失，温度热量可以用下列公式转化： 温水体积温水温度开水体积开水温度混合后体积混合后温度 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速． 问题解决 任务一 小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间； 任务二 如果小康同学先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康同学至少要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度？ 【答案】任务一：小健同学生接温水的时间为，接开水的时间为； 任务二：小康同学接温水的时间至少为13.55，才能达到饮用的适宜温度． 【解答】解：任务一：设小健同学分别接温水和开水的时间分别为 ， ，由愿意得： ， 解得， 答：小健同学生接温水的时间为，接开水的时间为； 任务二：设小康同学接温水为 ，由题意得： ， 解得， 答：小康同学接温水的时间至少为，才能达到饮用的适宜温度． 7．某市热带植物园的门票价格规定如下表所列、某校七年级（1）、（2）两个班学生共103人去该园参观，其中七（1）班人数不少于30人且不多于50人、经预算，若两班都以班为单位分别购票，则总共付1950元． 购票人数 人 人 100人以上 每人门票价 20元 18元 15元 （1）若两班学生合在一起作为一个团体购票，则最多可以节省门票多少元？ （2）求两班各有多少名学生？ 【解答】解：（1）最多可以节省：（元； （2）设七年级（1）班有名学生，七年级（2）班有名学生， 因为甲班人数不少于30人且不多于50人， 所以依题意，得， 解这个方程组，得， 答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有55名学生． 8．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为． 【解答】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，则长方形展厅的长是，宽为， 根据题意得：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为． 9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元 （1）求、的值； （2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得； 答：，； （2）（元． 答：当月交水费129.6元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 11:54:18；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点九】二元一次方程组与一次函数 1．已知直线与的交点坐标为，则关于、的方程组的解是 　　． 【答案】． 【解答】解：直线经过， ，解得， 交点坐标为， 方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， 关于，方程组的解是． 故答案为：． 2．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是　　． 【解答】解：从图象可看出当时，， 方程的解是， 故答案为：． 3．一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是 　　． 【答案】． 【解答】解：一次函数与正比例函数的图象交于点， 当时，， 方程的解是， 故答案为：． 4．已知直线与直线交于点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 方程的解是． 故选：． 5．已知函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：函数和的图象交于点， 关于，的二元一次方程组的解是． 故选：． 6．如果关于，的方程组无解，那么直线不经过第　一、二　象限． 【解答】解：方程组无解， 直线与平行， ， 解得， 直线经过第三、四象限，不经过第一、二象限． 故答案为一、二． 7．已知直线与的交点为，则这个方程组的解为 　　． 【答案】． 【解答】解：把代入得， 所以方程组的解为． 故答案为：． 8．若关于，的二元一次方程组无解，则直线与的位置关系是　　 A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【答案】 【解答】解：关于，的二元一次方程组无解， 直线与没有公共点， 即它们平行． 故选：． 9．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：把代入得：， 解得：， ，， 则关于，的方程组的解为． 故选：． 10．如图，直线，的交点坐标可以看作方程组　　的解 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设的解析式为， 图象经过的点，， ， 解得， 的解析式为， 可变形为， 设的解析式为， 图象经过的点，， ， 解得， 的解析式为， 可变形为， 直线、的交点坐标可以看作方程组的解． 故选：． 11．已知两直线，的位置关系如图所示，请求出以点的坐标为解的二元一次方程组． 【解答】解：设直线的解析式是，已知直线经过和，根据题意，得：， 解得； 则直线的函数解析式是； 同理得直线的函数解析式是． 则所求的方程组是； 两个函数图象的交点坐标为． 12．已知一次函数和． （1）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （2）根据图象回答，方程组的解存在吗？ 【解答】解：（1）如图： （2）根据图象得到直线与直线平行， 所以方程组无解． 13．若方程组有无数解，则的值是　4　． 【解答】解：原方程组可转化为：， 方程组有无数组解， ，， 即，， ， 故答案为：4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 12:00:30；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点十】用二元一次方程组确定表达式 1．确定一次函数的解析式，至少需要几个点的坐标或几组，的值？ 【答案】至少需要2个点的坐标或2组，的值． 【解答】解：确定一次函数的解析式，至少需要2个点的坐标或2组，的值． 2．已知直线与的交点为，则方程组的解是 　　． 【解答】解：直线与的交点为，即，满足两个解析式， 则是即方程组的解． 因此方程组的解是． 3．如图，直线，交于点，观察图象，点的坐标可以看作方程组　　的解． 【解答】解：设直线的解析式是，设直线的解析式是， 把代入得：， 直线的解析式是 把代入得：， 直线的解析式是， 是两直线的交点， 点的坐标可以看作方程组的解， 故答案为：． 4．若三点，，在同一直线上，则的值等于　　 A． B．0 C．3 D．4 【答案】 【解答】解：设经过，两点的直线解析式为， ， ， 将点代入解析式，则； 故选：． 5．若三点，，在同一直线上，则的值等于 　3　． 【解答】解：设经过，两点的直线解析式为， ， 解得， ， 将点代入解析式，则； 故答案为：3． 6．如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，能表示这个一次函数图象的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设这个一次函数的解析式为． 这条直线经过点和点， ， 解得． 故这个一次函数的解析式为， 即：． 故选：． 7．若点、在一次函数图象上，则与的大小关系是　　． 【解答】解：点、在一次函数图象上， ，， 故答案为：． 8．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，把△绕点顺时针旋转后得到△，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：当时，， 点的坐标为，； 当时，， 解得：， 点的坐标为，． 由旋转可知：，， 点的坐标为，即． 故选：． 9．如图，直线与直线在第二象限交于点，直线分别交轴，轴于，两点．若，则方程组的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由可得，，， ，， ， ， 解得， 又点在第二象限， ， 当时，， 解得， 方程组的解为． 故选：． 10．已知与成正比例，如果当时，，求关于的函数解析式． 【解答】解：根据题意，设， 将、代入，得：， 解得：， ，即． 11．小明从家步行到学校需走的路程为2000米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行20分钟时，距离学校还有　240　米． 【答案】240． 【解答】解：设线段对应的函数解析式为， ， 解得， 即线段对应的函数解析式为， 当时，， （米， 即当小明从家出发去学校步行20分钟时，距离学校还有240米， 故答案为：240． 12．若方程组无解，则图象不经过第　一　象限． 【解答】解：方程组无解， ，解得， 一次函数为， 一次函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为一． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/4 12:04:43；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 学科网（北京）股份有限公司 $$