第二章实数基础考点讲练2024-2025学年 北师大版 数学八年级上册

第二章 实数 目录 【知识清单】 2 【考点一】平方根与算术平方根 7 【考点二】立方根 11 【考点三】无理数的概念 14 【考点四】无理数在数轴的表示 18 【考点五】估算及比较大小 21 【考点六】二次根式相关概念 25 【考点七】二次根式乘除运算 29 【考点八】二次根式加减 34 【考点九】实数基本运算 36 【考点十】实数化简求值 48 【考点十一】二次根式的化简 57 【考点十二】的应用 61 【考点十三】和的应用 63 【考点十四】,0和的综合应用 66 【知识清单】 1. 算术平方根 （1）定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． （4）拓展 算术平方根具有双重非负性． ①被开方数a是非负数，即a≥0； ②算术平方根本身是非负数，即≥0． 2. 估算 （1）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比． 如：估算的大小，可以取与13最接近的两个完全平方数9和16．因为9<13<16，所以<<，即3<<4． （2）知识拓展：用夹逼法按照精确度估计a（a≥0）的近似值 ①确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n（m<n）之间，则的整数部分是m． ②确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0．1，并求其平方，采用与①类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位再用四舍五入法确定百分位的值） 3. 立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 4. 开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． （3） 开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 5. 无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0.121121112…等． （2）判断方法： 6. 实数的概念和分类 （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按正负分类： 7. 实数与数轴 （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 8. 比较实数大小常用的方法 （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而确定两个无理数的大小． （4）比较被开方数：若a>b>0，则，． （5）倒数法：设a>0，b>0，若，则a<b． 9. 二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 10. 二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 11. 二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 12. 二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 推广：①． ②， （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 13. 二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： ． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （2）二次根式除法法则的逆用 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 14. 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 15. 同类二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式称作同类二次根式． 【考点归纳】 【考点一】平方根与算术平方根 1．4的平方根是 　　． 【答案】． 【解答】解：，， 的平方根为， 故答案为：． 2．如果一个数的平方根是和，则的值为　4　，这个数为　 　． 【解答】解：一个数的平方根是和， ， 解得， 把代入， 故这个数为49， 故答案为4，49． 3．的平方根是 　　． 【解答】解：，5的平方根是， 故答案为：． 4．若一个正数的两个平方根分别为与，则的值是　2　． 【解答】解：一个正数的两个平方根分别为与， 有，解得． 故答案为：2． 5．化简：　4　． 【解答】解：， 故答案为：4． 6．的算术平方根是 　3　． 【解答】解：， 的算术平方根是3． 故答案为：3． 7．　4　． 【解答】解：原式， 故答案为：4． 8．若，则　16　． 【解答】解：两边平方，得：． 故答案为：16． 9．下列说法中，正确的是　　 A．任意数的算术平方根都是正数 B．只有正数才有算术平方根 C．因为3的平方根是9，所以9的平方根是3 D．是1的平方根 【解答】解：、正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故选项错误； 、0也有算术平方根，是0，故选项错误； 、应为3是9的平方根，所以9的平方根是，故选项错误； 、是1的平方根，故选项正确． 故选：． 10．下列说法正确的是　　 A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】 【解答】解：负数没有平方根，则，均不符合题意； 平方根等于本身的数是0，则不符合题意； 0的平方根与算术平方根都是0，则符合题意； 故选：． 11．解方程：． 【解答】解：开平方得：， ，． 12．求下列各式中的的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）或； （3）或； （4）或． 【解答】解：（1）移项得，， 两边都除以9得，， 由平方根的定义得，； （2）， 移项得，， 合并同类项得，， 由平方根的定义得，， 即或； （3）移项得，， 两边都除以3得，， 由平方根的定义得，， 即或； （4）两边都乘以2得，， 由平方根的定义得，， 即或． 13．（1）解方程． （2）已知的平方根是，的算术平方根是4． ①求、的值； ②求的平方根． 【答案】（1），； （2）①，；②． 【解答】解：（1）， 整理得， 开平方得， ，； （2）①的平方根是，的算术平方根是4， ，， 解得，； ②，， ， 的平方根为． 14．已知的算术平方根是3，，求的算术平方根． 【答案】3． 【解答】解：的算术平方根是3， ， 解得：， ， ， 解得：， ， 的算术平方根是3． 15．已知一个正数的两个平方根是和． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 【解答】解：（1）和是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即： 解得． 则这个正数是． （2），则它的平方根是． 【考点二】立方根 1. 下列说法正确的是　　 A．是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 【答案】 【解答】解：、3是27的立方根，故本选项错误； 、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确； 、25的平方根是，故本选项错误； 、27的立方根为3，故本选项错误； 故选：． 2. 下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，错误； 、，正确； 、，错误； 、，错误， 故选：． 3. 的平方根是　　． 【解答】解：，4的平方根为， 故答案为：． 4. 已知，求的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：， ， 故答案为：． 5. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【解答】解：（1）， ， ， 或； （2）， ， ， ． 6. 求下列式子中的值． （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【解答】解：（1）， ， ， 或； （2）， ， ， ， ． 7. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或7；（2）． 【解答】解：（1）， ， 解得或7； （2）， ， ， 解得． 8. 已知的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【解答】解：（1）的算术平方根是3， ， 解得：； 又的立方根是2， ， 即， 解得：， ，； （2）由（1），， ， 的平方根是． 9. 已知的平方根为，4是的立方根． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），； （2）． 【解答】解：（1）的平方根为，4是的立方根， ，， 解得：，； （2）将，代入中得： ， 的算术平方根， 的算术平方根． 【考点三】无理数的概念 1. 在，3.14，，，，，中是无理数的个数有 　3　个． 【答案】3． 【解答】解：， 在，3.14，，，，，中， 无理数有：，共有3个． 故答案为：3． 2. 下列各数：3.146，，0.010010001，，．其中，无理数有　1　个． 【解答】解：是无理数， 故答案为：1 3. 下列实数：，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加中无理数的个数有　3　个． 【解答】解：，， 无理数有：，，共3个． 故答案为：3． 4. 在实数，，，，，，与1之间依次增加一个中，无理数的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【解答】解：，，，都是有理数， 而，，与1之间依次增加一个都是无限不循环小数，因此是无理数， 所以无理数的个数有3个， 故选：． 5. 下列实数，，，，，，（每相邻两个4之间一个中，无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：是分数，属于有理数； ，，，是整数，属于有理数； （每相邻两个4之间一个是循环小数，属于有理数； 故在实数，，，，，，（每相邻两个4之间一个中，无理数有，，共2个． 故选：． 6. 下列说法中，正确的是　　 A．数轴上的点表示的都是有理数 B．无理数不能比较大小 C．无理数没有倒数及相反数 D．实数与数轴上的点是一一对应的 【解答】解：、数轴上的点表示的不一定是有理数，有的是无理数，故选项错误； 、无理数可以比较大小，故选项错误； 、无理数有倒数及相反数，故选项错误； 、实数与数轴上的点是一一对应的，故选项正确． 故选：． 7. 分析下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个，④平方根与立方根相同的数是0和1，其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，故①不符合题意； 当时，的平方根是0，故②符合题意； 任何实数的立方根有且只有一个，故③不符合题意； 平方根是本身的数是0，立方根是本身的数是0，1，， 平方根与立方根相同的数是0， 故④符合题意； 故选：． 8. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②平方最小的实数是0；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故该选项符合题意； ②平方最小的实数是0，故该选项符合题意； ③负数有立方根，故该选项不符合题意； ④16的平方根是士4，用式子表示是，故该选项不符合题意； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，故该选项符合题意； 所以正确的有①②⑤共3个， 故选：． 9. 下列说法：①2的平方根是；②的立方根是；③没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应．其中错误的有　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】 【解答】解：①2的平方根是，正确； ②的立方根是，故本选项错误； ③有立方根，故本选项错误； ④实数和数轴上的点一一对应，正确． 其中错误的有②③； 故选：． 10. 下列说法错误的是　　 A．无理数的相反数还是无理数 B．无限小数都是无理数 C．整数、分数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【解答】解：、无理数与它的相反数只是符号不同，但都还是无理数，故本选项正确； 、无限不循环小数叫做无理数；故本选项错误； 、有理数包括整数和分数；故本选项正确； 、实数与数轴上的点是一一对应关系；故本选项正确； 故选：． 11. 分析下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：依次分析可得： ①实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴上的点的关系，正确； ②时，，平方根为0，故错误； ③任何实数的立方根有且只有一个，正确； ④平方根与立方根相同的数是0，而1的平方根是，而立方根是1，不正确． ①③正确， 故选：． 【考点四】无理数在数轴的表示 1. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【解答】解：由勾股定理，得 ， ， 点的坐标是， 故选：． 2. 如图，点表示的实数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，， ， ， 点在数轴上表示的实数是． 故选：． 3. 如图，数轴上、两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设点所表示的数为， 数轴上、两点表示的数分别为1和， ， 根据题意，得 ， 解得． 故选：． 4. 如图，数轴上点表示的实数为 　　． 【解答】解：由勾股定理得， 圆弧半径为， 则点表示的实数为． 故答案为：． 5. 如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是　　． 【解答】解：数轴上表示2，的对应点分别为、， ， 点是的中点， ， 点表示的数为． 6. 如图，矩形位于数轴上，为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为，则点表示的数为 　　． 【答案】． 【解答】解：为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为， ， 点表示的数为：， 故答案为：． 7. 已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 　　． 【答案】． 【解答】解：点表示的数是，线段， 点表示的数是， 点是的中点， 线段， 点表示的数是：， 故答案为：． 8. 如图，在数轴上点表示的实数为 　　． 【答案】． 【解答】解：，， ， 点表示的数为， 故答案为：． 【考点五】估算及比较大小 1. 估算： 　5　（结果精确到 【答案】5． 【解答】解：， ， ， 故答案为：5． 2. 写出一个比大且比小的整数 　2或3　． 【解答】解：， ， ， ， 比大且比小的整数是2或3． 3. 大于的最小正整数是 　4　． 【解答】解：， 即， 大于的最小正整数是4， 故答案为：4． 4. 满足的整数有 　4　个． 【答案】4． 【解答】解：，， 满足的整数有，0，1，2共4个， 故答案为：4． 5. 比较大小：　　． 【解答】解：因为， 所以． 故填空答案：． 6. 比较大小：　　． 【答案】． 【解答】解： ， 故答案为：． 7. 比较大小：　　．（填“”、“ ”或“” 【答案】． 【解答】详解：，， ， ． 故答案为：． 8. 比较大小： 　　． 【答案】． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9. 比较大小：　　．（填“”、“ ”或“” 【答案】． 【解答】解：，， 又，， ． 故答案为：． 10. 比较大小：　　1．（用“”，“ ”，“ ”填空） 【解答】解：， ． 故答案为：． 11. 比较大小：　　． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 12. 比较大小：3 　　； 　　． 【答案】，． 【解答】解：因为，， ， 所以； 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：，． 13. 若为的整数部分，为的小数部分，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：， ． ，． ． 故答案为：3． 14. 已知：的整数部分为，小数部分为，则　　． 【答案】． 【解答】解：， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 15. 已知的小数部分为，的小数部分为，则　1　． 【解答】解：， ， ， ，， ，， ． 故答案为1． 16. 已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为　　． 【解答】解：由题意可得：， ，， 则，而9的平方根为． 故答案为：． 17. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为　　． 【解答】解：， ． ，． ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/28 9:45:53； 【考点六】二次根式相关概念 1．下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，不是二次根式； 、当时，不是二次根式； 、，是二次根式； 、根指数是3，不是二次根式． 故选：． 2．下列各式是二次根式的是　　 A ． B ． C ． D ． 【解答】解：、，故无意义， 故选项错误； 、是三次根式， 故选项错误； 、正确； 、当时，无意义， 故选项错误 ． 故选：． 3．下列式子中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，，， 只有为最简二次根式． 故选：． 4．下列二次根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 、，被开方数中含有能开得尽方的因数4，故本选项不符合题意． 、符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意． 、被开方数中含有分母，故本选项不符合题意． 故选：． 5．下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 、是最简二次根式； 、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：． 6．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：，是最简二次根式，共2个． 故选：． 7．以下二次根式：①；②；③；④中， 与是同类二次根式的是　　 A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 【解答】解：，，，， 与是同类二次根式的是①和④， 故选：． 8．下列二次根式中，可以与合并的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，被开方数是5，不能与合并，故本选项不符合题意； 、，被开方数是2，能与合并，故本选项符合题意； 、被开方数是3，不能与合并，故本选项不符合题意； 、，被开方数是5，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：． 9．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：和最简二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故选：． 10．解答下列各题： （1）已知的平方根为，的立方根为2，求的平方根． （2）如果最简二次根式与是同类二次根式，且，求，的值． 【答案】（1）； （2），． 【解答】解：（1）的平方根为， ， 解得， 又的立方根为2， ， ， ， ， 的平方根为， 即的平方根为； （2）最简二次根式与同类二次根式， ， 解得， 当时，，即， ，， 解得，， 答：，． 【考点七】二次根式乘除运算 1. 化简：． 【解答】解：原式． 2. 成立的条件是：　a≥0，b＞0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵有意义， ∴a≥0，b＞0． 故答案为：a≥0，b＞0． 3. 能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2 【答案】C 【解答】解：由题意可得，，解之得x＞2． 故选：C． 4. 化简下列各式： （1） （2） （3） （4）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5. 计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 6. 计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 7. 计算：． 【答案】1． 【解答】解：原式 ． 8. 计算（1）　5　， （2）　　， （3）　　． 【答案】（1）5； （2）10； （3）18． 【解答】解：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：10； （3）， 故答案为：18． 9. 计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 10. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 11. 计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 12. 【解答】解：原式 ． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2）． 【解答】解：（1） ． （2） ． 14. 计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 15. 计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【考点八】二次根式加减 1. 计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 2. 计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 3. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 4. 计算：． 【解答】解：原式 ． 5. 计算：． 【解答】解：原式 ． 6. 计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 7. 计算． 【答案】． 【解答】解： 8. （1）计算：； （2）已知最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】（1）； （2）2． 【解答】解：（1）原式 ； （2）由题意得，， 解得， 的值是2． 9. 计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 10. 计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 【考点九】实数基本运算 1. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）6； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 2. 计算： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）0；（2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 3. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）0； （3）或； （4）． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）， ， ， 或； （4） ． 4. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 5. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 6. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 7. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 8. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 9. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 10. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0.42； （2）1． 【解答】解：（1） ； （2） ． 11. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 13. 计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）解方程． 【答案】（1）； （2）； （3）7； （4），． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）， ， ， 所以，． 14. 计算： （1） （2） （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16. 计算题： ①； ②； ③． 【答案】①； ②4； ③． 【解答】解：①原式 ； ②原式 ； ③原式 ． 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）； ； （2） ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 19. 计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 20. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）5． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/28 10:12:17；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【考点十】实数化简求值 1．已知，则　11　． 【解答】解：， ． 故答案为：11． 2．若实数，则代数式的值为　3　． 【解答】解：， 原式， 故答案为：3． 3．若，则代数式的值为 　3　． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 ， 故答案为：3． 4．若，则代数式的值为 　0　． 【答案】0． 【解答】解：， 当时， 原式 ， 故答案为：0． 5．若两不等实数，满足，，则　2　． 【答案】2． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 6．已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【解答】解：，， ， ， （1） ； （2） ． 7．已知，，求的值． 【解答】解：原式 ． 8．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）7． 【解答】解：（1）， ， ； （2）由（1）知，，， ． 9．已知． （1）求的值； （2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】（1）31； （2）． 【解答】解：， ，， （1）当，时， ； （2）的小数部分为，的小数部分为， ，， ． 10．已知，； （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】（1）35； （2）． 【解答】解：，， （1） ； （2）的小数部分是，的小数部分是， ，， ． 11．已知，． 求：（1）的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）24． 【解答】解：（1）， ， ， ， 原式 ， 即的值为 （2）原式 ， 即的值为24． 12．（1）已知，，求的值； （2），求的值． 【解答】解：（1）当，时， 原式 ； （2）当时， 原式 ． 13．已知：，求： （1）的值； （2）； （3）若为整数部分，为小数部分，求的值． 【答案】． 【解答】解：（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ， 即， 为整数部分， ， ， 即， 为小数部分， ， ． 14．已知，．求： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）20． 【解答】解：（1）当，时， 原式 ； （2）当，时， 原式 ． 15．已知：，．求值： （1）； （2）． 【解答】解：， ， （1） ； （2） ． 16．已知，，试求，的值． 【解答】解：，， ； ． 【考点十一】二次根式的化简 1. 若，化简二次根式　　． 【答案】． 【解答】解：， ， 故答案为：． 2. 当时，化简的结果是 　　． 【解答】解：， ． 故答案为：． 3. 计算的结果是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：， 故答案为：2． 4. 当时，代数式的值是　1　． 【解答】解：， ， 故答案为：1． 5. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：　2　． 【答案】2． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：， ， 则原式 ． 故答案为：2． 6. 若a﹣4，则a与4的大小关系是 　a≥4　． 【答案】a≥4． 【解答】解：由题意可知：4﹣a≤0， ∴a≥4， 故答案为：a≥4． 7. 实数，，在数轴上的位置如图，化简　　． 【答案】． 【解答】解：根据题意得，， 所以原式 ． 故答案为：． 8. 把中根号外面的因式移到根号内的结果是　　． 【解答】解：原式， 故答案为： 9. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　2　． 【解答】解：由图象可得， ，， ， 故答案为：2． 10. 已知，则化简二次根式　　． 【解答】解：二次根式， ， ， ， ． 故答案为． 11. 化简的结果是　1　． 【答案】1． 【解答】解：要使有意义，则， 解得，， 则， 故答案为：1． 12. 已知，，则代数式的值为 　　． 【答案】． 【解答】解： ， ，， ，， 原式， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：，， ，， 原式， 故答案为：． 14. 已知，，则的值为　　． 【答案】． 【解答】解： ， ，， ，， 原式， 故答案为：． 【考点十二】的应用 1．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥1　． 【答案】x≥1． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得x≥1， 故答案为：x≥1． 2．使有意义的x的取值范围是　x≥5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：若x﹣5≥0，原根式有意义， ∴x≥5， 故答案为x≥5． 3．使代数式有意义的x的取值范围是 　x≥3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，得 x﹣3≥0， 解得，x≥3； 故答案为：x≥3． 4．如果有意义，那么x的取值范围是 　x≤3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知：3﹣x≥0， x≤3， 故答案为：x≤3． 5．代数式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥﹣1且x≠0 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1且x≠0 【答案】A 【解答】解：根据题意，得 ， 解得：x≥﹣1且x≠0． 故选：A． 6．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x＜﹣3 D．x＜3 【答案】D 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：0且3﹣x≠0， 解得：x＜3． 故选：D． 7．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：﹣x≥0， 解得x≤0． 8．已知实数a满足，则代数式a﹣20052的值为　2006　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵有意义， ∴a﹣2006≥0， ∴原式＝a﹣2005a，即2005， ∴a﹣2006＝20052， ∴a﹣20052＝2006． 故答案为：2006． 9．已知|2019﹣a|a，求a﹣20192的值是　2020　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知：a≥2020， ∴2019﹣a＜0， ∴a﹣2019a， ∴2019， ∴a﹣2020＝20192， ∴a﹣20192＝2020， 故答案为：2020 10．若|2019﹣a|，则a﹣20192＝　2020　． 【答案】2020． 【解答】解：∵有意义， ∴a﹣2020≥0， 解得：a≥2020， 则|2019﹣a|＝a﹣2019， 故|2019﹣a|a可化简为： a﹣2019a， 则2019， 解得：a＝20192+2020， ∴a﹣20192＝20192+2020﹣20192＝2020． 故答案为：2020． 11．已知实数a满足|2020﹣a|＝a，则a﹣20202＝　2021　． 【答案】2021． 【解答】解：要使有意义，则a﹣2021≥0， 解得，a≥2021， ∴a﹣2020＝a， ∴2020， ∴a＝20202+2021， ∴a﹣20202＝2021， 故答案为：2021． 【考点十三】和的应用 1. 若，则的值为 　8　． 【解答】解：由题意得，，， ， ， ． 故答案为：8． 2. 若实数，满足，则的平方根是 　　． 【解答】解：和有意义，则， 故， 则， 的平方根是：． 故答案为：． 3. 已知，为实数，且，则　　． 【解答】解：由题可知，要使有意义， 则，， 解得． 则， 故． 故答案为：． 4. 已知，则的立方根为 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：，， 解得：， 则， 解得：， 的立方根为， 的立方根为， 故答案为：． 5. 如果，那么　　． 【答案】． 【解答】解：， ， 解得， ， ． 故答案为：． 6. 若，为两个有理数，且，则的值为　　 A． B．3 C．3或5 D．5 【解答】解：与有意义，且分式有意义， ，解得， ， ． 故选：． 7. 已知：，则　　． 【解答】解：由题意知，． 解得， 则． 所以． 故答案为：． 8. 已知，均为实数，，则的值为 　8　． 【答案】8． 【解答】解：， ，， ． 故答案为：8． 9. 已知，则的算术平方根为　2　． 【解答】解：由题意得，且， 解得且， ， ， ， 的算术平方根是2． 故答案为：2． 【考点十四】,0和的综合应用 1. 若，为实数，且与互为相反数，则的平方根为 　　． 【解答】解：与互为相反数， ， ，， 解得，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 2. 已知，则的平方根是　　． 【解答】解：根据题意得，且， 解得：，， 则，则平方根是：． 故答案为：． 3. 若，则　12　． 【解答】解：，，， ，， ，； 因此． 故答案为12． 4. 若，则　　． 【答案】． 【解答】解：， ，， ，， 则． 故答案为：． 5. 已知，满足，则　1　． 【答案】1． 【解答】解：， ， ，， ，， 解得，， ． 故答案为：1． 6. 已知实数，满足，则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：， ， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 7. 若，为实数，且满足，则　2　． 【答案】2． 【解答】解：，，， ，， 解得，， 则， 故答案为：2． 8. 已知． （1）求，的值． （2）求的算术平方根． 【解答】解：（1）根据题意，得，， 解得：，； （2）， 的算术平方根为． 9. 已知、、满足． （1）求、、的值； （2）判断以、、为边的三角形的形状． 【解答】解：（1）根据题意得：，，， 解得：，，； （2）， ， 以、、为边的三角形是直角三角形． 10. 已知，，满足，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根． 【解答】解：， ， ，，， 解得：，，， 则． 所以的算术平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 目录 【知识清单】 2 【考点一】平方根与算术平方根 7 【考点二】立方根 9 【考点三】无理数的概念 11 【考点四】无理数在数轴的表示 12 【考点五】估算及比较大小 13 【考点六】二次根式相关概念 14 【考点七】二次根式乘除运算 15 【考点八】二次根式加减 18 【考点九】实数基本运算 20 【考点十一】二次根式的化简 31 【考点十二】的应用 32 【考点十三】和的应用 33 【考点十四】,0和的综合应用 33 【知识清单】 1. 算术平方根 （1）定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． （4）拓展 算术平方根具有双重非负性． ①被开方数a是非负数，即a≥0； ②算术平方根本身是非负数，即≥0． 2. 估算 （1）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比． 如：估算的大小，可以取与13最接近的两个完全平方数9和16．因为9<13<16，所以<<，即3<<4． （2）知识拓展：用夹逼法按照精确度估计a（a≥0）的近似值 ①确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n（m<n）之间，则的整数部分是m． ②确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0．1，并求其平方，采用与①类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位再用四舍五入法确定百分位的值） 3. 立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 4. 开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． （3） 开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 5. 无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0.121121112…等． （2）判断方法： 6. 实数的概念和分类 （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按正负分类： 7. 实数与数轴 （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 8. 比较实数大小常用的方法 （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而确定两个无理数的大小． （4）比较被开方数：若a>b>0，则，． （5）倒数法：设a>0，b>0，若，则a<b． 9. 二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 10. 二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 11. 二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 12. 二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 推广：①． ②， （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 13. 二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： ． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （2）二次根式除法法则的逆用 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 14. 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 15. 同类二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式称作同类二次根式． 【考点归纳】 【考点一】平方根与算术平方根 1．4的平方根是 　　． 2．如果一个数的平方根是和，则的值为　 　，这个数为　 　． 3．的平方根是 　 　． 4．若一个正数的两个平方根分别为与，则的值是　 　． 5．化简：　　． 6．的算术平方根是 　　． 7．　　． 8．若，则　　． 9．下列说法中，正确的是　　 A．任意数的算术平方根都是正数 B．只有正数才有算术平方根 C．因为3的平方根是9，所以9的平方根是3 D．是1的平方根 10．下列说法正确的是　　 A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 11．解方程：． 12．求下列各式中的的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（1）解方程． （2）已知的平方根是，的算术平方根是4． ①求、的值； ②求的平方根． 14．已知的算术平方根是3，，求的算术平方根． 15．已知一个正数的两个平方根是和． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 【考点二】立方根 1. 下列说法正确的是　　 A．是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 2. 下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 3. 的平方根是　　． 4. 已知，求的值是 　　． 5. 解方程： （1） ； （2）． 6. 求下列式子中的值． （1） ； （2）． 7. 解方程： （1） ； （2）． 8. 已知的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根． 9. 已知的平方根为，4是的立方根． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【考点三】无理数的概念 1. 在，3.14，，，，，中是无理数的个数有 　　个． 2. 下列各数：3.146，，0.010010001，，．其中，无理数有　　个． 3. 下列实数：，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加中无理数的个数有　　个． 4. 在实数，，，，，，与1之间依次增加一个中，无理数的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 5. 下列实数，，，，，，（每相邻两个4之间一个中，无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 下列说法中，正确的是　　 A．数轴上的点表示的都是有理数 B．无理数不能比较大小 C．无理数没有倒数及相反数 D．实数与数轴上的点是一一对应的 7. 分析下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个，④平方根与立方根相同的数是0和1，其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②平方最小的实数是0；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 下列说法：①2的平方根是；②的立方根是；③没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应．其中错误的有　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 10. 下列说法错误的是　　 A．无理数的相反数还是无理数 B．无限小数都是无理数 C．整数、分数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 11. 分析下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点四】无理数在数轴的表示 1. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为　　 A． B． C．2 D． 2. 如图，点表示的实数是　　 A． B． C． D． 3. 如图，数轴上、两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是　　 A． B． C． D． 4. 如图，数轴上点表示的实数为 　　． 5. 如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是　 　． 6. 如图，矩形位于数轴上，为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为，则点表示的数为 　　． 7. 已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 　　． 8. 如图，在数轴上点表示的实数为 　　． 【考点五】估算及比较大小 1. 估算： 　　（结果精确到 2. 写出一个比大且比小的整数 　　． 3. 大于的最小正整数是 　　． 4. 满足的整数有 　　个． 5. 比较大小：　　． 6. 比较大小：　　． 7. 比较大小：　　．（填“”、“ ”或“” 8. 比较大小： 　　． 9. 比较大小：　　．（填“”、“ ”或“” 10. 比较大小：　 　1．（用“”，“ ”，“ ”填空） 11. 比较大小：　　． 12. 比较大小：3 　　； 　　． 13. 若为的整数部分，为的小数部分，则　　． 14. 已知：的整数部分为，小数部分为，则　　． 15. 已知的小数部分为，的小数部分为，则　 　． 16. 已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为　 　． 17. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为　　． 【考点六】二次根式相关概念 1．下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的是　　 A ． B ． C ． D ． 3．下列式子中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 4．下列二次根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 5．下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 6．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．以下二次根式：①；②；③；④中， 与是同类二次根式的是　　 A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 8．下列二次根式中，可以与合并的是　　 A． B． C． D． 9．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为　　 A． B． C． D． 10．解答下列各题： （1）已知的平方根为，的立方根为2，求的平方根． （2）如果最简二次根式与是同类二次根式，且，求，的值． 【考点七】二次根式乘除运算 1. 化简：． 2. 成立的条件是：　 　． 3. 能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2 4. 化简下列各式： （1） （2） （2） （4）． 5. 计算：． 6. 计算：． 7. 计算：． 8. 计算（1）　　， （2）　　， （3）　　． 9. 计算：． 10. 计算： （1） ； （2）． 11. 计算：． 12. 13. 计算： （1） ； （2）． 14. 计算：． 15. 计算：． 【考点八】二次根式加减 1. 计算：． 2. 计算：． 3. 计算： （1） ； （2）． 4. 计算：． 5. 计算：． 6. 计算：． 7. 计算． 8. （1）计算：； （2） 已知最简二次根式与可以合并，求的值． 9. 计算：． 10. 计算：． 【考点九】实数基本运算 1. （1）计算：． （2）计算：． 2. 计算： （1） 计算：； （2）计算：． 3. 计算： （1）； （2）； （2） ； （4）． 4. 计算： （1） ； （2）． 5. （1）计算：； （2）计算：． 6. 计算： （1） ； （2）． 7. 计算： （1） ； （2）． 8. 计算： （1） ； （2）． 9. 计算： （1） ； （2）． 10. 计算： （1） ； （2）． 11. 计算： （1） ； （2）． 12. 计算： （1） ； （2）． 13. 计算或化简： （1）； （2）； （2） ； （4）解方程． 14. 计算： （1） （2） （3） ； （4）． 15. 计算： （1） ； （2）． 16. 计算题： ①； ②； ③． 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 计算： （1） ； （2）． 19. 计算：． 20. 计算： （1）； （2）； （3）． 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点十】实数化简求值 1．已知，则　　． 2．若实数，则代数式的值为　　． 3．若，则代数式的值为 　　． 4．若，则代数式的值为 　　． 5．若两不等实数，满足，，则　　． 6．已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 7．已知，，求的值． 8．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 9．已知． （1）求的值； （2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值． 10．已知，； （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 11．已知，． 求：（1）的值； （2）求的值． 12．（1）已知，，求的值； （2），求的值． 13．已知：，求： （1）的值； （2）； （3）若为整数部分，为小数部分，求的值． 14．已知，．求： （1）； （2）． 15．已知：，．求值： （1）； （2）． 16．已知，，试求，的值． 【考点十一】二次根式的化简 1. 若，化简二次根式　　． 2. 当时，化简的结果是 　　． 3. 计算的结果是 　　． 4. 当时，代数式的值是　 　． 5. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：　　． 6. 若，则与4的大小关系是 　　． 7. 实数，，在数轴上的位置如图，化简　　． 8. 把中根号外面的因式移到根号内的结果是　 　． 9. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　　． 10. 已知，则化简二次根式　　． 11. 化简的结果是　　． 12. 已知，，则代数式的值为 　　． 13. 已知，，则的值为 　　． 14. 已知，，则的值为　　． 【考点十二】的应用 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 2. 使有意义的的取值范围是　　． 3. 使代数式有意义的的取值范围是 　　． 4. 如果有意义，那么的取值范围是 　　． 5. 代数式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥﹣1且x≠0 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1且x≠0 6. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 7. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　． 8. 已知实数满足，则代数式的值为　　． 9. 已知，求的值是　　． 10. 若，则　　． 11. 已知实数满足，则　　． 【考点十三】和的应用 1. 若，则的值为 　　． 2. 若实数，满足，则的平方根是 　　． 3. 已知，为实数，且，则　　． 4. 已知，则的立方根为 　　． 5. 如果，那么　　． 6. 若，为两个有理数，且，则的值为　　 A． B．3 C．3或5 D．5 7. 已知：，则　　． 8. 已知，均为实数，，则的值为 　　． 9. 已知，则的算术平方根为　　． 【考点十四】,0和的综合应用 1. 若，为实数，且与互为相反数，则的平方根为 　　． 2. 已知，则的平方根是　　． 3. 若，则　　． 4. 若，则　　． 5. 已知，满足，则　　． 6. 已知实数，满足，则的值为 　　． 7. 若，为实数，且满足，则　　． 8. 已知． （1）求，的值． （2）求的算术平方根． 9. 已知、、满足． （1）求、、的值； （2）判断以、、为边的三角形的形状． 10. 已知，，满足，求的算术平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$