第一章勾股定理基础考点讲练2024-2025学年 北师大版八年级数学上册

第1章 勾股定理 目录 【知识清单】 2 【考点一】认识勾股定理 4 【考点二】利用勾股定理求值 4 【考点三】勾股定理的应用 6 【考点四】勾股定理的证明 8 【考点五】勾股定理的逆定理 11 【考点六】勾股数 11 【考点七】利用勾股定理逆定理证明直角 12 【考点八】单勾股方程 14 【考点九】双勾股方程 16 【考点十】勾股定理与最值 17 【知识清单】 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 4．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 5．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． 勾股数的求法： （1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 【考点归纳】 【考点一】认识勾股定理 1．在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，则（　　） A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2 2．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法正确的有（　　）个． ①若∠C＝90°，则a2+b2＝c2； ②若∠B＝90°，则a2+c2＝b2； ③若∠A＝90°，则b2+c2＝a2； ④总有a2+b2＝c2． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝8，S3＝17，则S2＝　 　． 【考点二】利用勾股定理求值 1. 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°． （1）已知a＝3，b＝4，求c； （2）已知c＝13，a＝5，求b； （3）已知a：b＝3：4，c＝10，求b． 2. 一个直角三角形的两边长是3和4，那么第三边的长是 　 　． 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4． （1）若∠A＝30°，则BC＝　 　，AC＝　 　； （2）若∠A＝45°，则BC＝　 　，AC＝　 　． 4. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝　 　． 5. 在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，那么边BC上的中线AD＝　 　． 6. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是 　 　． 7. 在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝　 　． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CM⊥AB于点M． （1）若AC＝6，BC＝8，则CM的长度为多少？ （2）若AM＝3，BM＝6，则CM的长度为多少？ 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，AC＝6，BC＝8，求S△ABD． 【考点三】勾股定理的应用 1. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”（如图中的实线）．其实他们仅仅少走了 　 　m，却踩伤了花草． 2. 如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了 　 　cm． 3. 如图所示，校园内有两棵树相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 　 　米． 4. 如图，一段楼梯高BC是6m，斜边AC长10m，在楼梯上铺地毯，地毯至少长 　 　m． 5. 如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m． （1）这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 6. 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　 　m． 7. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝12，BC＝4，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为 　 　． 8. 如图，在平静的湖面上有一支红莲BA，高出水面的部分AC为0.5米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为2米，则湖水深CB为多少？ 【考点四】勾股定理的证明 1. [问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． [定理表述] 请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容； [尝试证明] 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理． 2. 下图是中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》中记载的赵爽弦图，是由四个全等的直角三角形拼成的图形．我国古代数学家用它来证明勾股定理，请根据该图提供的信息证明勾股定理． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 　 　． 5. 如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③；④．其中说法正确的有　 　．（只填序号） 6. 如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是 　 　． 7. 如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【考点五】勾股定理的逆定理 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2、3、4 B． C．30，50，60 D．6，10，8 2. 已知|a﹣6|（c﹣10）2＝0，则以a，b，c为三边长的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3. 在△ABC中，，BC＝2，，则AC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【考点六】勾股数 1. 31．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，4 B．5，6，7 C． D．5，12，13 2. 下列各组数中，为勾股数的是 　 　（填序号）． ①3，4，5；②1，，；③5，12，13；④，，；⑤5，6，8． 3. 下列各组数中，勾股数是（　　） A．32，42，52 B．1，， C．0.6，0.8，1 D．5，12，13 4. 若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（　　） A．3a，4b，5c B．a2，b2，c2 C．3a，3b，3c D．a+3，b+3，c+3 5. 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示： a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？ （3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数　 　． 【考点七】利用勾股定理逆定理证明直角 1. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积． 2. 如图在四边形ABCD中，AD＝1，AB＝BC＝2，DC＝3，AD⊥AB，求S四边形ABCD． 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6． （1）求证：∠CDB＝90°； （2）求AC的长． 4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝5，AD． （1）求∠BAD的度数； （2）AE⊥CD于E，求AE之长． 5. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，求四边形ABCD的面积． 6. 如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由． 7. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD，求四边形ABCD的面积． 8. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长． 【考点八】单勾股方程 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为 　 　． 3. 如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，BC＝8，AB＝4．求DF的长． 4. 如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4，求FD的长． 【考点九】双勾股方程 1. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？ 2. 如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求S△ABC． 3. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB＝9cm，AC＝7cm，BC＝8cm，求DE的长． 【考点十】勾股定理与最值 1. 如图，有一个圆柱，它的高等于8cm，底面上圆的半径等于cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 2. 如图，有一个圆柱，它的高为8cm，底面半径等于2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，蚂蚁想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，求蚂蚁在圆柱外表面上爬行的最短路程．（π取值约为3） 3. 如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面上向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少？ 4. 如图所示，一只蜘蛛在一个长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上与顶点A相对的B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从顶点A爬到顶点B处，有无数条路线．其中的最短路线是多少？ 5. 如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值． 6. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少． 7. 如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知AD＝6米，AB＝5米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 　 　米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理 目录 【知识清单】 2 【考点一】认识勾股定理 4 【考点二】利用勾股定理求值 5 【考点三】勾股定理的应用 9 【考点四】勾股定理的证明 13 【考点五】勾股定理的逆定理 18 【考点六】勾股数 19 【考点七】利用勾股定理逆定理证明直角 21 【考点八】单勾股方程 27 【考点九】双勾股方程 30 【考点十】勾股定理与最值 32 【知识清单】 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 4．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 5．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． 勾股数的求法： （1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 【考点归纳】 【考点一】认识勾股定理 1．在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，则（　　） A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2 【答案】D 【解答】解：∵在△ABC中，若∠B+∠C＝90°， ∴∠A＝90°， ∴BC2＝AB2+AC2， 故选：D． 2．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法正确的有（　　）个． ①若∠C＝90°，则a2+b2＝c2； ②若∠B＝90°，则a2+c2＝b2； ③若∠A＝90°，则b2+c2＝a2； ④总有a2+b2＝c2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边， ∴若∠C＝90°，则a2+b2＝c2；若∠B＝90°，则a2+c2＝b2；若∠A＝90°，则b2+c2＝a2； 故①②③正确； 只有当∠C＝90°时才有a2+b2＝c2， 故④错误， 故选：C． 3．如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝8，S3＝17，则S2＝　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC为直角三角形， ∴AB2＝AC2+BC2， ∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝8，S3＝17， ∴S3＝S1+S2， 则S2＝S3﹣S1＝17﹣8＝9， 故答案为：9． 【考点二】利用勾股定理求值 1. 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°． （1）已知a＝3，b＝4，求c； （2）已知c＝13，a＝5，求b； （3）已知a：b＝3：4，c＝10，求b． 【答案】（1）5；（2）12；（3）8． 【解答】解：（1）因为∠C＝90°，a＝3，b＝4， 所以c2＝a2+b2＝32+42＝25， 所以c＝5． （2）因为∠C＝90°，c＝13，a＝5， 所以b2＝c2﹣a2＝132﹣52＝144， 所以b＝12． （3）因为∠C＝90°，a：b＝3：4， 所以ba． 因为∠C＝90°，c＝10，ba， 所以a2+（a）2＝102， 解得a＝6（负值舍去）， 所以b＝8． 2. 一个直角三角形的两边长是3和4，那么第三边的长是 　5或　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5； （2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为 ． 故答案为：5或． 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4． （1）若∠A＝30°，则BC＝　2　，AC＝　2　； （2）若∠A＝45°，则BC＝　2　，AC＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠A＝30°， ∴BCAB＝2， ∴ACBC＝2； 故答案为：2，2． （2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠A＝45°， ∴BC＝ACAB＝2； 故答案为：2，2． 4. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝　16　． 【答案】16． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于D， ∵AB＝AC＝8，∠A＝30°， ∴BDAB＝4， ∴S△ABCAC•BD8×4＝16． 故答案为：16． 5. 在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，那么边BC上的中线AD＝　12　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD是BC上的中线，AB＝AC＝13，BC＝10， ∴BD＝CDBC＝5， ∵52+122＝132，故是直角三角形． ∴AD12， 故答案为12． 6. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是 　19　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝5， ∴正方形的面积是5×5＝25， ∵△AEB的面积是AE×BE3×4＝6， ∴阴影部分的面积是25﹣6＝19， 故答案为：19． 7. 在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝　18　． 【答案】18． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2， ∵c＝3， ∴a2+b2+c2＝2×32＝18． 故答案为：18． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CM⊥AB于点M． （1）若AC＝6，BC＝8，则CM的长度为多少？ （2）若AM＝3，BM＝6，则CM的长度为多少？ 【答案】（1）； （2）CM． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴． ∴Rt△ABC的面积AC•BCAB•CM， ∴6×8＝10CM， ∴； （2）设CM＝x， 在Rt△AMC中，． 在Rt△BMC中，BC． 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AC2． 故列得方程：x2+32+x2+62＝92， 解得． 故CM． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，AC＝6，BC＝8，求S△ABD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离． 又∵∠C＝90°，AD平分∠CAB， ∴DE＝DC， 在△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB＝10，设CD＝x， 则DE＝CD＝x，BD＝8﹣x． 在Rt△ACD与Rt△AED中，∵， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝6，∴BE＝4， 在Rt△BED中，∵DE2+EB2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴S△ABD．AB•DE15． 【考点三】勾股定理的应用 1. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”（如图中的实线）．其实他们仅仅少走了 　4　m，却踩伤了花草． 【答案】4． 【解答】解：由勾股定理得：“路”长13（m）， ∴少走的路程为：5+12﹣13＝4（m）， 故答案为：4． 2. 如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了 　4　cm． 【答案】4． 【解答】解：由题意得：△ADB为等腰三角形，CD⊥AB， ∵C为AB中点， ∴cm， ∴cm， ∴橡皮筋被拉长了：AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20cm﹣16cm＝4cm； 故答案为：4． 3. 如图所示，校园内有两棵树相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 　10　米． 【答案】10． 【解答】解：两棵树高度相差为AE＝13﹣7＝6m，之间的距离为BD＝CE＝8m， 即直角三角形的两直角边， 故斜边长AC10m， 即小鸟至少要飞10m． 故答案为：10． 4. 如图，一段楼梯高BC是6m，斜边AC长10m，在楼梯上铺地毯，地毯至少长 　14　m． 【答案】14． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m， ∴， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）． 故答案为：14． 5. 如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m． （1）这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这架梯子的顶端距离地面有24m高； （2）梯子的底端在水平方向滑动了8m． 【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC＝25m，AO＝7m， 所以． 答：这架梯子的顶端距离地面有24m高． （2）因为OD＝CO﹣4＝20（m）， 在Rt△EOD中，ED＝AC＝25m， 所以OE15（m）． 所以AE＝EO﹣AO＝8（m）． 答：梯子的底端在水平方向滑动了8m． 6. 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　2.5　m． 【答案】2.5． 【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形， ∴CE＝BF＝1m， ∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m）， 设绳索AD的长为x m， 则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣0.5）2+1.52＝x2， 解得：x＝2.5（m）， 即绳索AD的长是2.5m， 故答案为：2.5． 7. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝12，BC＝4，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为 　x2+42＝（12﹣x）2　． 【答案】x2+42＝（12﹣x）2． 【解答】解：设AC＝x， ∵AC+AB＝12， ∴AB＝12﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，即x2+42＝（12﹣x）2． 故答案为：x2+42＝（12﹣x）2． 8. 如图，在平静的湖面上有一支红莲BA，高出水面的部分AC为0.5米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为2米，则湖水深CB为多少？ 【答案】湖水深BC为米． 【解答】解：设BC为h米， 在Rt△BCD中，BC＝h，，DC＝2， 由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2， 即， 解得：， ∴湖水深BC为米． 【考点四】勾股定理的证明 1. [问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． [定理表述] 请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容； [尝试证明] 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理． 【答案】见试题解答内容 【解答】定理表述： 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE， 2， 又∵S四边形ABCD， ∴2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 2. 下图是中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》中记载的赵爽弦图，是由四个全等的直角三角形拼成的图形．我国古代数学家用它来证明勾股定理，请根据该图提供的信息证明勾股定理． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABE、△BCF、△CDG、△ADH是全等的四个直角三角形， ∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAH+∠BAE＝∠DAH+∠ADH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∵∠AHD＝∠CGD＝∠BFC＝∠AEB＝90°， ∴∠EHG＝90°， ∵GH＝HE＝EF＝FG＝b﹣a， ∴四边形EFGH是正方形， ∴大正方形的面积是c×c＝c2， 大正方形的面积也可以是：4ab+（b﹣a）2＝2ab+a2﹣2ab+b2＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2， 即在直角三角形中，两直角边（a、b）的平方和等于斜边（c）的平方． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∵c2ab（a+b）（a+b）， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵4c2＝（a+b）2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵4（b﹣a）2＝c2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4， ∴4ab+（a﹣b）2＝25， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b＝3， 故答案为：3 5. 如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③；④．其中说法正确的有　①③④　．（只填序号） 【答案】①③④． 【解答】解：①大正方形的面积是10，则其边长是，显然，利用勾股定理可得x2+y2＝10，故选项①正确； ③小正方形的面积是2，则其边长是，根据图可发现yx，即③x﹣y，故选项③正确； ②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4xy+2＝10，化简得②xy＝4，故选项②错误； ④，则x+2y＝4，故此选项正确． 故答案为：①③④． 6. 如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是 　33　． 【答案】33． 【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b， ∴，即， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+16＝33． 故答案为：33． 7. 如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5， ∴x2+y2＝斜边2＝大正方形的面积＝25， 故①正确； ∵小正方形的边长为1， ∴x﹣y＝1， 故②正确； ∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积， ∴1+2xy＝25， ∴xy＝12， 故③正确； ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25+24＝49，x，y＞0， ∴x+y＝7， 故④不正确． 综上可得①②③正确． 故选：A． 【考点五】勾股定理的逆定理 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2、3、4 B． C．30，50，60 D．6，10，8 【答案】D 【解答】解：A．∵22+32≠42， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵（）2+（）2≠（）2， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵302+502≠602， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵62+82＝102， ∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 已知|a﹣6|（c﹣10）2＝0，则以a，b，c为三边长的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：∵|a﹣6|（c﹣10）2＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， ∴a＝6，b＝8，c＝10， ∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形， 故选：B． 3. 在△ABC中，，BC＝2，，则AC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 根据直角三角形的面积公式得： ∴AC边上的高为： ，故选：C． 【考点六】勾股数 1. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，4 B．5，6，7 C． D．5，12，13 【答案】D 【解答】解：A、32+42≠42，故不是勾股数，故选项不符合题意； B、52+62≠72，故不是勾股数，故选项不符合题意； C、这三个数都不是正整数，故不是勾股数，故选项不符合题意； D、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数中，为勾股数的是 　①③　（填序号）． ①3，4，5；②1，，；③5，12，13；④，，；⑤5，6，8． 【答案】①③． 【解答】解：∵勾股数必须是正整数， ∴②④不符合题意； ①32+42＝52，因此①符合题意； ③52+122＝169＝132，因此③符合题意； ⑤52+62＝61≠82，因此⑤不符合题意． 故答案为：①③． 3. 下列各组数中，勾股数是（　　） A．32，42，52 B．1，， C．0.6，0.8，1 D．5，12，13 【答案】D 【解答】解：A、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； C、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； D、52+122＝132，是勾股数，符合题意； 故选：D． 4. 若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（　　） A．3a，4b，5c B．a2，b2，c2 C．3a，3b，3c D．a+3，b+3，c+3 【答案】C 【解答】解：正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：a2+b2＝c2， A．（3a）2＝9a2，（4b）2＝16b2，（5c）2＝25c2， ∵9a2+16b2≠25c2， ∴3a，4b，5c不一定是勾股数，故A错误； B．（a2）＝a4，（b2）＝b4，（c2）＝c4， ∵a4+b4≠c4， ∴a2，b2，c2不一定是勾股数，故B错误； C．（3a）2＝9a2，（3b）2＝9b2，（3c）2＝9c2， ∵9a2+9b2＝9c2， ∴3a，3b，3c一定是勾股数，故C正确； D．（a+3）2＝a2+6a+9，（b+3）2＝b2+6b+9，（c+3）2＝c2+6c+9， ∵（a+3）2+（b+3）2≠（c+3）2， ∴a+3，b+3，c+3不一定是一组勾股数，故D错误． 故选：C． 5. 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示： a＝　n2﹣1　，b＝　2n　，c＝　n2+1　． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？ （3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数　（11，60，61）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1． 故答案为：n2﹣1，2n，n2+1； （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． （3）观察可知：第五组勾股数为：（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【考点七】利用勾股定理逆定理证明直角 1. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC， ∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC＝5， ∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13， ∴DC2+AC2＝122+52＝169，AD2＝132＝169， ∴DC2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，AD为斜边， ∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC5×123×4＝24． 答：此木板的面积为24． 2. 如图在四边形ABCD中，AD＝1，AB＝BC＝2，DC＝3，AD⊥AB，求S四边形ABCD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BD， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， 由勾股定理得：BD， ∵在△DBC中，BC＝2，DB，DC＝3， ∴BD2+BC2＝DC2， ∴∠DBC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△DAB+S△DBC2＝1． 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6． （1）求证：∠CDB＝90°； （2）求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC＝10，CD＝8，BD＝6， ∴BD2+DC2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形， ∴∠CDB＝90°； （2）∵AB＝AC， ∴设AC＝x，则AD＝x﹣6， ∴x2＝（x﹣6）2+82， 解得：x， 故AB＝AC． 4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝5，AD． （1）求∠BAD的度数； （2）AE⊥CD于E，求AE之长． 【答案】（1）∠BAD的度数为135°； （2）AE的长为． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴ACAB＝2，∠BCA＝∠BAC＝45°， ∵CD＝5，AD， ∴AC2+AD2＝（2）2+（）2＝25，CD2＝52＝25， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°， ∴∠BAD的度数为135°； （2）∵AE⊥CD， ∴△ACD的面积AE•CDAC•AD， ∴AE•CD＝AC•AD， ∴5AE＝2 ∴AE， ∴AE的长为． 5. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，求四边形ABCD的面积． 【答案】． 【解答】解：连结AC， 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC2＝AB2+BC2＝22+22＝8， ∵CD＝3，DA＝1， ∴CD2﹣DA2＝32﹣12＝8＝AC2， ∴DA⊥AC， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD． 答：四边形ABCD的面积为． 6. 如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AD∥NM， ∴∠NBA＝∠BAD＝30°， ∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的． 7. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD，求四边形ABCD的面积． 【答案】四边形ABCD的面积为． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵CD＝5，AD， ∴AC2+CD2＝52+52＝50，AD2＝（5）2＝50， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 AB•BCAC•CD 3×45×5 ＝6 ， ∴四边形ABCD的面积为． 8. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴EC2﹣EA2＝AC2， ∴EC2＝EA2+AC2， ∴∠A＝90°； （2）∵D是BC的中点，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵∠A＝90°，AC＝6， ∴AB， ∵EB＝EC， ∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14． 【考点八】单勾股方程 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 【答案】． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC6， 连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， ∴AE． 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BE， ∵D为AB的中点，过D做ED⊥AB交AC于E点， ∴AE＝BE， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△ECB中，CE2+BC2＝BE2， 即x2＝62+（8﹣x）2， 解得：x， 即AE， 故答案为：． 3. 如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，BC＝8，AB＝4．求DF的长． 【答案】5． 【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠1＝∠2， ∵矩形ABCD的边AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴BF＝DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠A＝90°． ∴AF＝8﹣DF， 在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2， ∴42+（8﹣DF）2＝DF2， 解得DF＝5． 4. 如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4，求FD的长． 【答案】4． 【解答】解：在矩形ABCD中， CD＝AB＝6，AD＝BC＝4， ∠A＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE＝2， 由折叠的性质可得， EG＝AE，BG＝AB＝6，∠ECF＝∠A＝90°， ∴ED＝EG， 在Rt△EGF和Rt△EDF中， ， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）， ∴FD＝FG， 设FD＝a，则GF＝a，FC＝CD﹣FD＝6﹣a， ∴BF＝BG+FG＝6+a， 在Rt△BCF中， BC2+CF2＝BF2， 即（4）2+（6﹣a）2＝（6+a）2， 解得a＝4， 即FD＝4， 故答案为：4． 【考点九】双勾股方程 1. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝102+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：102+x2＝152+（25﹣x）2， 解得：x＝15km．（6分） 所以，E应建在距A点15km处． 2. 如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求S△ABC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D； 设AD＝λ，CD＝μ；由勾股定理得： ， 由②﹣①得：8μ＝40， ∴μ＝5，代入②并解得λ＝12， ∴24． 3. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB＝9cm，AC＝7cm，BC＝8cm，求DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 即AD2＝92﹣（4+DE）2 在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2即AD2＝72﹣（4﹣DE）2 ∴81﹣（4+DE）2＝49﹣（4﹣DE）2 ∴（4+DE）2﹣（4﹣DE）2＝32 ∴8•2DE＝32 ∴DE＝2cm． 【考点十】勾股定理与最值 1. 如图，有一个圆柱，它的高等于8cm，底面上圆的半径等于cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是10cm． 【解答】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长， 由题意得：AC＝8cm，BC2•π＝6（cm）． 由勾股定理得：AB10（cm）， 答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是10cm． 2. 如图，有一个圆柱，它的高为8cm，底面半径等于2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，蚂蚁想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，求蚂蚁在圆柱外表面上爬行的最短路程．（π取值约为3） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：将此圆柱展成平面图得： ∵有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π≈3）， ∴AC＝8cm，BCBB′4π＝6（cm）， ∴AB10（cm）． 答：它需要爬行的最短路程为10cm． 3. 如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面上向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图1所示， AB10cm； 如图2所示， ABcm． ∵10， ∴它从A处爬到B处的最短路线长为10cm． 答：它从A处爬到B处的最短路线长为10cm． 4. 如图所示，一只蜘蛛在一个长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上与顶点A相对的B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从顶点A爬到顶点B处，有无数条路线．其中的最短路线是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：平面展开后，连接AB，则AB长就是蜘蛛爬行的最短距离， 分为三种情况： ①如图1，由勾股定理得到：AB， ②如图2由勾股定理得到：AB， ③如图3，由勾股定理得到：AB． 因为， 所以，蜘蛛爬行的最短距离为． 5. 如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD， 则AC垂直平分QD， ∴PQ＝PD，CQ＝CDBC＝1，∠DCP＝∠QCP， ∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC， ∴∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴BD2＝BC2+CD2＝5， ∴BD， ∴△PBQ周长的最小值＝BQ+BP+PQ＝BQ+BD＝1． 答：△PBQ周长的最小值为1． 6. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E⊥AC，垂足为E． 由轴对称的性质可知：PB＝PB′，DB′＝DB． ∴PA+PB＝AP+PB′． 由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短． 在Rt△AEB′中，AB′1000． 7. 如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知AD＝6米，AB＝5米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 　　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB﹣1+3个正方形的宽， ∴长为5﹣1+3×1＝7米；宽为6米． 于是最短路径为：米． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$