专题03 整式及其加减（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

专题03整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】已知在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为（ ） A．3 B． C． D． 【融会贯通】 1．在数轴上有四个互不相等的有理数，，，，若，且在，之间，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．有理数表示的点在数轴上如图所示．化简： ． 3．已知有理数，，在数轴上对应的点如图所示，请化简：．    类型二、代数式中的算法程序 【解惑】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为18，我们发现第1次输出的结果为9，第2次输出的结果为12，……则第2023次输出的结果为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【融会贯通】 1．如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2023次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 2．根据图中的程序，当输入时，输出结果 ． 3．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 类型三、代数式中的整体代入 【解惑】已知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知 ，则代数式的值为 ． 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，则______． 类型四、代数式中的数字规律 【解惑】观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ． 3．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 探索以上等式的规律，解决下列问题： (1) ； (2)完成第n个等式的填空：； (3)利用上述结论，计算． 类型五、代数式中的图形规律 【解惑】无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（    ） A．60 B．45 C．77 D．50 2．疫情期间，隔壁社区搭建如图1所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，则串起来搭建6顶帐篷需要 根钢管，有171根钢管可以串起来搭建 顶帐篷，如果想串起来搭建顶帐篷，需要 根钢管． 3．探究题． 用棋子摆成的“T”字形图如图所示： (1)填写下表： 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 … (2)写出第n个“T”字形图案中棋子的个数（用含n的代数式表示）； (3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？ (4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．（提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？） 类型六、代数式中的行列排序 【解惑】观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【融会贯通】 1．将正偶数按如表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 … … … 28 26 若2024在第行第列，则、分别是（    ） A．253，4 B．253，5 C．252，3 D．252，4 2．如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，小芳在探索杨辉三角每一行中所有数字之和的规律时，将第1行的数字之和记为，第2行的数字之和记为，第3行的数字之和记为，…，第n行的数字之和记为．根据每一行的规律，图中a的值为 ；则 ．（用含n的式子表示）． 3．观察下面三行数： ；① ；② ；③ (1)第①行第8个数为_______；第②行第8个数为_______；第③行第8个数为_______； (2)第三行中是否存在连续的三个数的和为，若存在，求出这三个数，若不存在，说明理由？ 类型七、整式的加减应用 【解惑】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【融会贯通】 1．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵，∴321是“和数”；∵，∴321是“谐数”；∴321是“和谐数”． (1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； (2)已知（，，且、均为正整数）是一个“和数”，请求出所有的值． 2．如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中1，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，面积分别为． (1)若，，，求长方形的面积； (2)若长方形的周长为18，长方形的周长为15，能求出中的哪些值？ (3)若，， ，求（结果用含，，的代数式表示）． 3．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 类型八、代数式中的销售收费问题 【解惑】某市对出租车运价进行调整，下表是调价前与调价后运价的收费标准的对照表： 调价前 调价后 车起步价 车行程在2千米以内（含2千米）收7元 车行程在1千米以内（含1千米）收3元 车行程1~1.5千米（含1.5千米）收4元 车行程1.5~2.0千米（含2.0千米）收5元 车千米价 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.6元 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.5元 根据上表提供的信息，解决如下问题： (1)如果某乘客乘出租车行驶了20千米的路程，那么调价前和调价后应付费多少元？调价后的收费标准对顾客是否有利？ (2)按调价后的收费标准收费，如果乘出租车行驶的路程为千米，应付费为元，请写出乘坐出租车的付费情况； (3)某人乘坐出租车到千米远的某地办事，去时从原地一次乘车到目的地；回时，分千米、千米两次乘车回到原地．按调价后的收费标准，去时与回时乘车方式的付费相比较，哪一种更省钱？请说明理由． 【融会贯通】 1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，衡阳市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民9月份用水，则应交水费元； (2)若该户居民10月份用水，则应交水费多少元？ (3)若该户居民11、12两个月共用水，设11月份用水：，，求出该户居民11、12两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并化简）． 2．为了节约用水，某市调整居民用水方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水费收费4元．小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费： (1)若小红家10月用水15吨，水费______元． (2)若小红家11月用水x吨（），请用含x的代数式表示本月的水费． (3)若小红家11月用水35吨，求11月的水费是多少钱？ 3．徐州某商业区停车场24小时营业．24小时内小型车收费上限为60元其收费方式如下表所示： 停车时间段 2小时内收费（含2小时） 超过2小时后收费 7：30-19：30 2元/半小时 3元/半小时 最高不超过45元/次·车位 19：30-次日7：30 1元/半小时 最高不超过15元/次·车 不足半小时，按半小时收费；跨时段停车按上述标准分时段累计收费． 小李自驾一辆小型车去该商业区，需将车停在该停车场． (1)若停车2小时，则应付停车费______元； (2)若在7：30-19：30之间停车小时，请计算应付停车费多少元； (3)小李在10：30进场停车，停了小时后离场，为整数．若小李驾车离场时间介于当日的19：30~24：00间，则小李此次停车的费用为多少元？ 【一览众山小】 1．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照下图排列的规律，第10行第6个数是（    ） A．100 B．102 C．104 D．106 2．三个连续偶数，设中间一个为，则这三个数的和是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，化简 ． 4．已知，，，．若， ． 5．试比较与的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（为正整数），从分析、、、这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论： (1)在横线上填写“”、“”、“”号： ____________，____________，____________，____________，____________ (2)从上面的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是： 当____________时，____________； 当____________时，____________； (3)根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：____________． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 7．某超市进行商品促销活动，一次性买够一定重量的猪肉就会有优惠，原价为元/千克的猪肉按照如下活动进行售卖： 一次性购买数量（千克） 优惠金额 不超过千克的部分 按原价优惠 超过千克，但不超过千克的部分 按原价优惠 超过千克的部分 先按原价优惠，再优惠元 (1)某餐馆打算一次性购买猪肉千克，若在促销期间购买，则该餐馆会比按原价购买节省多少钱？ (2)若某顾客打算一次性购买猪肉千克，请用含的代数式表示促销期间这个顾客的花费； (3)促销期间，某校食堂准备购买千克猪肉，采购员计划了两种购买方案： 方案一：一次性购买猪肉千克； 方案二：分两次购买，每次购买猪肉千克；试判断哪种方案更加划算？并计算出按照两种方案购买相差的金额． 8．特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】已知在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，涉及数轴定义与性质、去绝对值、整式运算等知识，根据在数轴上对应的点的图示，得到的大小，进而确定，去绝对值后利用整式加减运算法则求解即可得到答案，利用数轴比较的大小是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上， ，且， ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．在数轴上有四个互不相等的有理数，，，，若，且在，之间，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义．由，根据d在a、c之间，得出，然后化简绝对值即可． 【详解】解：， ， d在a、c之间， ， ， 故选：D． 2．有理数表示的点在数轴上如图所示．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减，根据数轴得出，，，，去掉绝对值符号，再合并即可． 【详解】从数轴可知：，，， ， 故答案为：． 3．已知有理数，，在数轴上对应的点如图所示，请化简：．    【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先判断绝对值里面式子的正负，再去绝对值符号，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可知，，，，， ∴，，， ． 类型二、代数式中的算法程序 【解惑】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为18，我们发现第1次输出的结果为9，第2次输出的结果为12，……则第2023次输出的结果为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题考查在程序流程图中有理数的计算，解题的关键是发现其中的规律，利用规律进行解答．计算出第1次，第2次，第3次，第4次，第5次，…，输出的结果，根据计算结果得出规律即可求解． 【详解】解：输入18，则第1次输出的是：； 第2次输出的数是； 第3次输出的数是：； 第4次输出的数是：； 第5次输出的数是：； 第6次输出的数是：； 如此循环，从第3次开始，偶数次输出的是3，奇数次输出的是6． 故第2023次输出6． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2023次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图以及有理数的运算，根据题中已知条件进行计算，找到输出数据的变化规律即可得到结果，解题的关键根据输出的结果找出规律． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 由此可知，从第2次输出开始，输出结果按“5、1”的顺序循环出现的， ∴， 即输出的结果为1， 故选：C． 2．根据图中的程序，当输入时，输出结果 ． 【答案】； 【分析】本题考查流程图有关计算，根据数字代入求解即可得到答案； 【详解】解：输入时， ， 故答案为：． 3．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 【答案】最后输出的结果y是 【分析】此题考查了有理数的混合运算和代数式的值，根据题意得到代数式为，依次进行计算，直到结果符合要求，输出为止． 【详解】解：根据题意，得， 输入时，， 当时，， 当时，， ∴最后输出的结果y是． 类型三、代数式中的整体代入 【解惑】已知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】已知等式变形后，代入所求式子，再次变形再次带入计算即可求出值． 【详解】 故答案为C 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，将进行正确的恒等变形是解题的关键．观察题中的两个代数式和，可以发现，，因此可整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 2．已知 ，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是求解代数式的值，本题由条件可得，把化为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：6 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，则______． 【答案】(1)2025； (2)11； (3)16． 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）把已知等式代入原式计算即可得到结果； （2）原式变形后，把代入计算即可求出值； （3）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2025； （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：11； （3）解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：16 类型四、代数式中的数字规律 【解惑】观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 故选：． 【分析】分别归纳出该组数字分子、分母的规律． 此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 【融会贯通】 1．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别对各式子进行分析得到，代数式的符号，分母，分子的变化规律，写出公式即可． 【详解】解：由四个代数式可知，符号变化，； 分母，； 分子1，5，9，13，，； 所以为． 故选D． 【点睛】本题是规律题，逐一找到各部分的变化规律是解题的关键． 2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．分子可看成1，3，5，7，9…，分母可看成6，9，12，15，18…．进而得一般公式即可． 【详解】解：这列数可化为：…， 分子为连续奇数，分母为均为3的倍数， 故第k个数是． 故答案为：． 3．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 探索以上等式的规律，解决下列问题： (1) ； (2)完成第n个等式的填空：； (3)利用上述结论，计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律探究，有理数的混合运算； （1）根据题目中的规律,写出答案即可； （2）根据题目中的规律，推论答案即可 （3）利用规律通式，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2）由题意可得，， 故答案为：； （3） ． 类型五、代数式中的图形规律 【解惑】无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的， 所以当n无穷大时，的值最接近． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（    ） A．60 B．45 C．77 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个）， 所以，第⑥个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）． 故选：A． 2．疫情期间，隔壁社区搭建如图1所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，则串起来搭建6顶帐篷需要 根钢管，有171根钢管可以串起来搭建 顶帐篷，如果想串起来搭建顶帐篷，需要 根钢管． 【答案】 72 15 6 【分析】本题考查图形中的数字规律，由题中搭建帐篷的钢管数，找到规律即可得到答案，读懂题意，准确找出规律是解决问题的关键． 【详解】解：搭建1顶帐篷用钢管数为17根； 搭建2顶帐篷用钢管数为（根）； 搭建3顶帐篷用钢管数为（根）； 以此类推，搭建6顶帐篷用钢管数为（根）； 搭建顶帐篷用钢管数为（根）； 故答案为：72，15，6． 3．探究题． 用棋子摆成的“T”字形图如图所示： (1)填写下表： 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 … (2)写出第n个“T”字形图案中棋子的个数（用含n的代数式表示）； (3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？ (4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．（提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？） 【答案】(1)见解析 (2) (3)62个 (4)670个 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，求代数式的值： （1）每个图案中棋子个数比前一个图案多3个，由此可解； （2）根据（1）中发现的规律列代数式； （3）将代入（2）中结论即可求解； （4）第1个图案与第20个图案共有67个棋子；第2个图案与第19个图案共有67个棋子；以此类推，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 11 14 … 32 （2）解：第1个图形中棋子个数为5，， 第2个图形中棋子个数为8，， 第3个图形中棋子个数为11，， …… 因此第n个“T”字形图案中棋子的个数为：． （3）解：当时，， 即第20个“T”字形图案共有棋子62个； （4）解：第1个图案与第20个图案中共有棋子：（个）， 第2个图案与第19个图案中共有棋子：（个）， 第3个图案与第18个图案中共有棋子：（个）， …… 以此类推，前20个图案中共有10组，每组67个， 故前20个“T“字形图形案中棋子的总数为：（个）． 类型六、代数式中的行列排序 【解惑】观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案. 【详解】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第行，第n列， ∴在第行，第列， ∴， 故选：C. 【融会贯通】 1．将正偶数按如表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 … … … 28 26 若2024在第行第列，则、分别是（    ） A．253，4 B．253，5 C．252，3 D．252，4 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探索，根据表格找出规律是解题关键．根据题意得到每一行是4个偶数，奇数行从左往右排，偶数行从右往左排，然后用2024除以2得到2024是第1012个偶数，再用1012÷4得253，于是可判断2024在第几行第几列． 【详解】解：因为，所以2024是第1012个偶数． 因为，所以第1012个偶数是第253行最大的一个． 由表格可知奇数行从左往右排，所以第1012个偶数在第5列， 所以2024应在第253行第5列． 故选B． 2．如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，小芳在探索杨辉三角每一行中所有数字之和的规律时，将第1行的数字之和记为，第2行的数字之和记为，第3行的数字之和记为，…，第n行的数字之和记为．根据每一行的规律，图中a的值为 ；则 ．（用含n的式子表示）． 【答案】 10 【分析】此题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律． 根据图形可得，a的值为a上面两个数字之和，即可求出a的值；根据题意，总结出，，即可解答． 【详解】解：由图可知，， 根据题意可得：， ， ， ， …… ∴，， ∴， 故答案为：10，． 3．观察下面三行数： ；① ；② ；③ (1)第①行第8个数为_______；第②行第8个数为_______；第③行第8个数为_______； (2)第三行中是否存在连续的三个数的和为，若存在，求出这三个数，若不存在，说明理由？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是根据所给的数字总结出存在的规律并灵活运用． （1）根据所给的数字的规律进行求解即可； （2）对所给的数字进行分析，即可得出规律，根据题意列出相应的式子进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：第①行第8个数是； 第②行第8个数是； 第③行第8个数是， 故答案为∶； （2）(3)存在， 由题意得∶ ， 第①行第个数是， 第②行第个数是， 第③行第个数是， 解得∶， 故这三个数为∶． 类型七、整式的加减应用 【解惑】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【融会贯通】 1．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵，∴321是“和数”；∵，∴321是“谐数”；∴321是“和谐数”． (1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； (2)已知（，，且、均为正整数）是一个“和数”，请求出所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)734或770 【分析】本题考查数字类问题，熟练掌握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键． （1）设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，根据“谐数”的概念得，由及必然一奇一偶可得答案； （2）将a变形为，根据“和数”的定义得出，再根据m，n的取值范围得出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，其中，且x，y，z为整数， 由题意知：， ， 的奇偶性相同， 必定一奇一偶， 必为偶数， 任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （2）解：， ， ， ， ， a为“和数”， ，即， ，，且、均为正整数， 或， ， 或， a的值为734或770． 2．如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中1，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，面积分别为． (1)若，，，求长方形的面积； (2)若长方形的周长为18，长方形的周长为15，能求出中的哪些值？ (3)若，， ，求（结果用含，，的代数式表示）． 【答案】(1)长方形的面积为24； (2)能求出的值； (3)． 【分析】本题考查根据长方形和正方形的边长，表示周长和面积，解题的关键是代数式的变换和代入．根据三个边长，，的正方形，分别表示四个长方形的长和宽，进而表示出四个长方形的周长和面积，进而作答． （1）根据题意分别列出长方形的长和长方形的宽，将，，代入即可求出； （2）用含，，的式子表示出长方形的周长和长方形的周长，得出，，代入即可； （3）由题意得出，，，将其代入即可． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， 将，，代入得 面积为： ， ∴长方形的面积为24； （2）长方形的周长为18， 即， ①， 同理，长方形的周长为15， 即， ②， 得， 如图，， ， ， ， ∴能求出的值； （3）， ， ， ， ， ． 3．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)制作一个这种窗户需要的材料费是元 (3)去甲家工厂采购更省钱． 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱+窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费+运输费+人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲家工厂采购更省钱． 类型八、代数式中的销售收费问题 【解惑】某市对出租车运价进行调整，下表是调价前与调价后运价的收费标准的对照表： 调价前 调价后 车起步价 车行程在2千米以内（含2千米）收7元 车行程在1千米以内（含1千米）收3元 车行程1~1.5千米（含1.5千米）收4元 车行程1.5~2.0千米（含2.0千米）收5元 车千米价 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.6元 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.5元 根据上表提供的信息，解决如下问题： (1)如果某乘客乘出租车行驶了20千米的路程，那么调价前和调价后应付费多少元？调价后的收费标准对顾客是否有利？ (2)按调价后的收费标准收费，如果乘出租车行驶的路程为千米，应付费为元，请写出乘坐出租车的付费情况； (3)某人乘坐出租车到千米远的某地办事，去时从原地一次乘车到目的地；回时，分千米、千米两次乘车回到原地．按调价后的收费标准，去时与回时乘车方式的付费相比较，哪一种更省钱？请说明理由． 【答案】(1)调价前35.8元，调价后32元，调价后对顾客有利 (2)当时，；当时，；当时，；当时，． (3)去时乘车方式更省钱，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式： （1）分别根据调价前和调价后的收费标准计算，即可求解； （2）分四段根据调价后的收费标准计算，即可求解； （3）分别求出去时，回时应付的费用，再比较，即可求解． 【详解】（1）解：调价前（元）， 调价后（元）， 所以调价后对顾客有利． （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，． （3）解：去时乘车方式更省钱，理由如下： 去时应付费：， 回时应付费：， 所以， 即 因此去时乘车方式更省钱． 【融会贯通】 1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，衡阳市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民9月份用水，则应交水费元； (2)若该户居民10月份用水，则应交水费多少元？ (3)若该户居民11、12两个月共用水，设11月份用水：，，求出该户居民11、12两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并化简）． 【答案】(1)应交水费6元； (2)应交水费68元 (3)该户居民11、12两个月共交水费元 【分析】本题考查列代数式． （1）该户居民9月份用水，则按第一档缴费； （2）该户居民10月份用水，则按第三档缴费； （3）先判断12月份用水，然后根据各段的缴费列代数式． 【详解】（1）解：该户居民9月份用水，应缴水费（元）； 答：应交水费6元； （2）解：该户居民10月份用水， 由表格可得，则应交水费：元， 答：应交水费68元； （3）解：由题意可得，11月份用水：，，12月份用水， 该户居民11、12两个月共交水费： 元． 答：该户居民11、12两个月共交水费元． 2．为了节约用水，某市调整居民用水方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水费收费4元．小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费： (1)若小红家10月用水15吨，水费______元． (2)若小红家11月用水x吨（），请用含x的代数式表示本月的水费． (3)若小红家11月用水35吨，求11月的水费是多少钱？ 【答案】(1)45 (2)元 (3)120元 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意、列出相应的代数式是解题的关键. （1）根据总价=单价×数量可得每月用水15吨时的水费； （2）本月的水费为每月用水20吨的水费加上每月用水超过20吨的水费，依此可用含有x的代数式表示本月的水费； （3）把代入（2）的代数式计算即可求解． 【详解】（1）元； 故答案为：45； （2）元； （3）当时，（元） 所以11月的水费是120元． 3．徐州某商业区停车场24小时营业．24小时内小型车收费上限为60元其收费方式如下表所示： 停车时间段 2小时内收费（含2小时） 超过2小时后收费 7：30-19：30 2元/半小时 3元/半小时 最高不超过45元/次·车位 19：30-次日7：30 1元/半小时 最高不超过15元/次·车 不足半小时，按半小时收费；跨时段停车按上述标准分时段累计收费． 小李自驾一辆小型车去该商业区，需将车停在该停车场． (1)若停车2小时，则应付停车费______元； (2)若在7：30-19：30之间停车小时，请计算应付停车费多少元； (3)小李在10：30进场停车，停了小时后离场，为整数．若小李驾车离场时间介于当日的19：30~24：00间，则小李此次停车的费用为多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，停车费为元，当时，停车费为元，当时，停车费为元，当时，停车费为元． 【分析】本题考查的是分段收费的含义，有理数的混合运算的实际应用，列代数式，求解代数式的值；理解题意是解题的关键． （1）停车2小时，按照半小时2元收费即可； （2）在7：30-19：30之间停车小时，其中2小时按照半小时2元收费，2个半小时按照半小时3元收费，再求和即可； （3）先表示小李此次的停车费为小李此次停车的费用为：元，结合，再取整数计算即可． 【详解】（1）解：停车2小时，则应付停车费（元）； （2）在7：30-19：30之间停车小时，收费为： （元）； （3）小李在10：30进场停车，到19：30，停车9小时，小李驾车离场时间介于当日的19：30~24：00间，此时停车小时， ∵， ∴小李此次停车的费用为：元， ∵， ∴当时，停车费为元， 当时，停车费为元， 当时，停车费为元， 当时，停车费为元． 【一览众山小】 1．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照下图排列的规律，第10行第6个数是（    ） A．100 B．102 C．104 D．106 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探究，观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第10行第6个数即可 【详解】解：由数阵可知，第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，⋯⋯第10行有10个偶数， 10行共有（个）偶数， ∴第10行第6个数是， 故选：B 2．三个连续偶数，设中间一个为，则这三个数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减和列代数式．根据题意可得另外两个奇数分别为与，然后求和即可． 【详解】解：由题意得，另外两个奇数分别为与， 则这三个数的和． 故选：A． 3．已知，，，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据题意求出，得到，，，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， ，，， 则原式． 故答案为：． 4．已知，，，．若， ． 【答案】109 【分析】本题主要考查数字规律，找到规律是解题的关键．根据题意找到规律即可得到答案． 【详解】解：通过题意可得：， ， ， 故答案为：． 5．试比较与的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（为正整数），从分析、、、这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论： (1)在横线上填写“”、“”、“”号： ____________，____________，____________，____________，____________ (2)从上面的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是： 当____________时，____________； 当____________时，____________； (3)根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：____________． 【答案】(1)），，，， (2)2，；2， (3) 【分析】本题考查了数字类规律变化，掌握乘方运算是解题的关键． （）根据乘方的定义分别算出左右两数的值，再比较即可求解； （）根据（）中的结果进行猜想即可； （）根据（）中猜想得出的结论即可判断求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，，，，； （2）解：由从上面的结果可得，当时，； 当时，； 故答案为：，； （3）解：∵当时，， ∴， 故答案为：． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 7．某超市进行商品促销活动，一次性买够一定重量的猪肉就会有优惠，原价为元/千克的猪肉按照如下活动进行售卖： 一次性购买数量（千克） 优惠金额 不超过千克的部分 按原价优惠 超过千克，但不超过千克的部分 按原价优惠 超过千克的部分 先按原价优惠，再优惠元 (1)某餐馆打算一次性购买猪肉千克，若在促销期间购买，则该餐馆会比按原价购买节省多少钱？ (2)若某顾客打算一次性购买猪肉千克，请用含的代数式表示促销期间这个顾客的花费； (3)促销期间，某校食堂准备购买千克猪肉，采购员计划了两种购买方案： 方案一：一次性购买猪肉千克； 方案二：分两次购买，每次购买猪肉千克；试判断哪种方案更加划算？并计算出按照两种方案购买相差的金额． 【答案】(1)元 (2) (3)方案一；元 【分析】本题考查代数式的应用，根据题意列出代数式是解题的关键； （1）根据题意，计算优惠价格即可求解； （2）分情况讨论即可求解； （3）分别计算方案一和方案二购买金额，进行比较即可求解； 【详解】（1）解：， 则节省金额为：（元）； （2）解：当时，顾客的花费为：（元）， 当，顾客的花费为：（元）， 当时，顾客花费为：， 综上所述，促销期间顾客的花费为：， （3）解：方案一花费：（元）， 方案二花费：（元）， ， 方案一划算，相差：（元）； 8．特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)，0，2 (3) 【分析】本题考查了根据绝对值的含义化简分式： （1）将数值代入进去即可求得结果； （2）根据关系式分三种情况即可求得结果； （3）根据一般化研究可得到结果； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 若，则当时，，当时，， ∴若，则， 故答案为：1，，； （2）解：∵，， ∴，，， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 综上的值为，0，2； （3）解：由（1）可得若，则当时，，当时，， ∵，，，……，，这2024个数中有个正数， ∴有个负数， ∴， 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$