1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量: 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式: 直线l的方向向量为a，且过点A，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．空间中平面的向量表示式： (1)平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 二、空间中直线、平面的平行 1．线线平行的向量表示： 设u1，u2分别是l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．线面平行的向量表示： 设u是l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．面面平行的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 三、空间中直线、平面的垂直 1．线线垂直的向量表示: 设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．线面垂直的向量表示: 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．面面垂直的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. （一） 直线的方向向量 理解直线方向向量的概念： (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． （3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 题型1：直线的方向向量 1-1．（2024高二下·江苏常州·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1-2．（2024高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 1-3．（2024高二·全国·课后作业）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 （    ） A． B． C． D． （二） 平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 题型2：平面的法向量 2-1．（2024高二下·江苏·课后作业）已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1， AD＝，求平面SCD的一个法向量． 2-2．（2024高二上·上海浦东新·期中）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量 ．（用坐标表示） 2-3．（湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． （三） 证明线线平行 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 题型3：利用向量证明线线平行 3-1．（2024高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 3-2．（2024高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 3-3．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． （四） 证明线面平行 利用空间向量证明线面平行的方法： (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证线与面平行. (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行. (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行. 题型4：利用向量证明线面平行 4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    4-2．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 4-3．（2024高二下·四川成都·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面. 4-5．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 4-6．（2024高二·江苏·课后作业）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    4-7．（2024高三上·河南安阳·阶段练习）在长方体中，E是的中点，，且平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． （五） 证明面面平行 1、利用空间向量证明面面平行的方法： (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明. (2)通过证明两个平面的法向量平行证明. 2、证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 题型5：利用向量证明面面平行 5-1．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 5-2．（2024高二上·山东聊城·期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 5-3．（2024高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 5-4．（2024高二·全国·课后作业）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：（1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. （六） 证明线线垂直 1、利用向量方法证明线线垂直的常用方法： (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 2、证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 题型6：利用向量证明线线垂直 6-1．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. (1)写出点，的坐标； (2)求证：. 6-2．（2024高二·全国·课后作业）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6-3．（2024高二·江苏·专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：； 6-4．（2024·四川雅安·模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A为一个顶点，D，E，F分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （七） 证明线面垂直 1、用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． ③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②求出平面的法向量． ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2、利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 题型7：利用向量证明线面垂直 7-1．（2024高二下·江苏·课后作业）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 7-2．（2024高二上·北京石景山·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求证：平面. 7-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ） A． B． C． D． 7-5．（2024·天津河东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点． (1)求证：平面． (2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 7-6．（2024高二下·四川达州·阶段练习）在直四棱柱 中，四边形为平行四边形,为的中点，. (1)求证: 面； (2)求三棱锥 的体积. （八） 证明面面垂直 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 题型8：利用向量证明面面垂直 8-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． (1)证明：平面PBD平面PBC； (2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 8-2．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 8-3．（2024高二上·安徽）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 8-4．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.    一、单选题 1．（2024高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·山西吕梁·开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·江苏常州·期中）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（    ） A． B．或 C． D． 4．（2024高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024高二下·四川绵阳·期中）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（    ） A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直 6．（2024高二下·江苏连云港·期中）已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A．1 B． C． D．8 7．（2024高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·陕西）已知平面内的两个向量= (2，3，1)，= (5，6，4)，则该平面的一个法向量为（    ） A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 9．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二下·江苏宿迁·期中）已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（　　）. A． B． C． D．l与α相交但不垂直 11．（2024高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 12．（2024高三下·北京海淀·开学考试）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（    ） A．平面 B．存在点，使平面 C．存在点，使 D． 13．（2024高二上·湖南娄底·期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 14．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．平面 D．平面 二、多选题 15．（2024高二下·江苏盐城·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（    ） A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 16．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（    ） A． B．若为线段的中点，则平面 C．点B到平面CEF的距离为 D．的最小值为48 17．（2024高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是(    ) A．当为线段的中点时，平面 B．当为线段的三等分点时，平面 C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D．不存在点，使与平面垂直 19．（2024高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（    ）    A．存在点，使得 B．过三点、、的正方体的截面面积为 C．四面体的内切球的表面积为 D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆 20．（2024高三上·福建福州·开学考试）在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（    ） A．线段中点 B．线段中点 C．线段中点 D．线段中点 21．（2024高二下·江苏盐城·期中）点P在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 22．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则 ． 23．（山东省东营市广饶县第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是    （填写正确的序号） 24．（2024高二下·江苏·阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为 ． 25．（2024高二上·吉林辽源·期末）设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，．若直线l//平面，则实数z的值为 ． 26．（2024高二下·江苏·课后作业）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为 . 27．（2024高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为 ． 28．（2024高二下·江苏南京·期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为 ． 四、解答题 29．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    30．（2024高二·全国·课后作业）在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 31．（2024高二·全国·课后作业）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 32．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 33．（2024高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．    34．（2024高二·湖南·课后作业）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 35．（2024高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    36．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 37．（2024高二下·广西·期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．    (1)当时，求三棱锥的体积； (2)当时，直线BP与平面所成角的正切值的取值范围； (3)当时，是否存在唯一个点P，使得平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由． 38．（2024高二下·江苏连云港·期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 39．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面⊥平面. 40．（2024高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且． (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 41．（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面； 42．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，． (1)求证：平面PBC； (2)在棱PC上是否存在一点G，使平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由． 43．（2024高二上·浙江·阶段练习）如图，在斜三棱柱 中，已知△ABC为正三角形，四边形是菱形，D，E分别是AC，的中点，平面⊥平面ABC. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点M，使得平面BDE？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 44．（2024高二·全国·课后作业）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 45．（2024高二·全国·课后作业）在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量: 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式: 直线l的方向向量为a，且过点A，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．空间中平面的向量表示式： (1)平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 二、空间中直线、平面的平行 1．线线平行的向量表示： 设u1，u2分别是l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．线面平行的向量表示： 设u是l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．面面平行的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 三、空间中直线、平面的垂直 1．线线垂直的向量表示: 设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．线面垂直的向量表示: 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．面面垂直的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. （一） 直线的方向向量 理解直线方向向量的概念： (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． （3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 题型1：直线的方向向量 1-1．（2024高二下·江苏常州·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 1-2．（2024高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 1-3．（2024高二·全国·课后作业）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方向向量的定义求解. 【详解】依题意，直线的一个方向向量为，其他三个均不合要求. 故选：C． （二） 平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 题型2：平面的法向量 2-1．（2024高二下·江苏·课后作业）已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1， AD＝，求平面SCD的一个法向量． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质进行求解即可. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz， ， 设平面SCD的一个法向量为， 则有， 是平面SCD的一个法向量． 2-2．（2024高二上·上海浦东新·期中）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量 ．（用坐标表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，借助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面的单位法向量作答. 【详解】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即， 在正方形中，，而，则有， 于是得，PB中点，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 与共线的单位向量为， 所以平面的单位法向量. 故答案为： 2-3．（湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案. 【详解】如图，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 ， 取，则， ∴平面的一个法向量为∶, 选项中的向量与不共线，D中向量符合题意， 故选︰D． 2-4．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据求平面的法向量，逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，即. 对A：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，A错误； 对B：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，B错误； 对C：若，则，即与共线， 故是平面的法向量，C正确； 对D：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，D错误； 故选：C. （三） 证明线线平行 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 题型3：利用向量证明线线平行 3-1．（2024高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【答案】证明见解析. 【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得. 【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 3-2．（2024高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明（1）和（2）. 【详解】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． （1）由，，， 得且， 所以且． （2），由于，显然，故． 3-3．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在． 【分析】建立空间直角坐标系， （1）求出，利用可得，再求体积即可； （2）求出坐标，可得答案； （3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ， 此时； （2）， ， ； （3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为， 设，由，得，存在．    （四） 证明线面平行 利用空间向量证明线面平行的方法： (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证线与面平行. (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行. (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行. 题型4：利用向量证明线面平行 4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】 建系，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 4-2．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 若，则，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 平面的其中一个法向量为， 所以，即， 又因为平面， 所以平面. 4-3．（2024高二下·四川成都·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，即可得到，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若直线与平面平行，则，即，即，解得. 故选：C． 4-4．（2024高一·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可证明. 【详解】因为在底面 内，，所以， 连接，因为为的中点，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为，所以， 因为底面，底面，所以， 所以以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 因为侧面PAD为等边三角形，， 所以，，，，， 因为E是PD的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ，令，得， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. 4-5．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)在上存在点使得平面，且为的中点． 【分析】（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得； （2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，，，所以， 如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，， 所以，，即. （2）若存在点使平面，则，， ，，，， 因为平面，所以存在实数、，使成立， 则，解得， 故在上存在点使平面，此时点为中点. 4-6．（2024高二·江苏·课后作业）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【答案】证明见解析 【分析】根据空间向量的线性运算得到，再根据向量共面的充要条件可证结论正确. 【详解】∵M在BD上，且，∴． 同理得． ∴． 又与不共线， ∴根据向量共面的充要条件可知，，共面． ∵不在平面内，∴平面CDE． 4-7．（2024高三上·河南安阳·阶段练习）在长方体中，E是的中点，，且平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，，求出和平面的法向量，利用即可求出答案 【详解】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 设，，， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，当时，，则， 因为平面，所以， 所以，解得， 故选：B （五） 证明面面平行 1、利用空间向量证明面面平行的方法： (1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明. (2)通过证明两个平面的法向量平行证明. 2、证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 题型5：利用向量证明面面平行 5-1．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 5-2．（2024高二上·山东聊城·期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解 【详解】因为，分别是平面的法向量，且， 所以，即，解得 故选：B 5-3．（2024高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，设点的坐标，结合面面平行的向量证明方法，即可求解. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 5-4．（2024高二·全国·课后作业）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：（1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量积即可证明； （2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明. 【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1). （1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥， 即得令z1=2，则y1=-1， 所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. （2）=(2，0，0). 设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥， 得 令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2). 因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F. 【点睛】本题考查用向量证明线面平行、以及面面平行，属基础题. （六） 证明线线垂直 1、利用向量方法证明线线垂直的常用方法： (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 2、证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 题型6：利用向量证明线线垂直 6-1．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. (1)写出点，的坐标； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标； （2）求出，证明出结论. 【详解】（1）根据空间直角坐标系可得，. （2）∵，， ∴，. 即， ∴， 故. 6-2．（2024高二·全国·课后作业）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可. 【详解】因为，则其方向向量， ，解得. 故选:B. 6-3．（2024高二·江苏·专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】根据直棱柱的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱， 所以面，又面，故， 因为，所以，则两两垂直， 故以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 故，所以， 所以，故. 6-4．（2024·四川雅安·模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A为一个顶点，D，E，F分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定的正三棱柱，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断每个图形即可作答. 【详解】令棱长均相等的直三棱柱为，令的中点为O，的中点为，， 连接，显然，而平面，则平面，而， 以点O为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 对于①，点A，D，F分别与点P，O，重合，点E为棱中点，则， ，有，因此，图①满足； 对于②，点A与点P重合，点D，E，F分别棱的中点， 有，， ，与不垂直，图②不满足； 对于③，点A，D，E分别与点P，，O重合，点F为棱的中点， 有，， ，与不垂直，图③不满足； 对于④，点A，F分别与点N，重合，点D，E分别棱的中点， 有，， ，因此，图④满足， 所以满足直线的图形个数是2. 故选：B （七） 证明线面垂直 1、用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． ③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示． ②求出平面的法向量． ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2、利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 题型7：利用向量证明线面垂直 7-1．（2024高二下·江苏·课后作业）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 【答案】证明见解析 【分析】建系，利用空间向量证明线面垂直. 【详解】如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC， 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， 平面ABC，则， ，平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1， 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点， 以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD， BA1∩BD＝B，平面， 所以AB1⊥平面A1BD. 7-2．（2024高二上·北京石景山·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得与共线，由向量的坐标表示可得答案. 【详解】若，则， 即，解得，且，即. 故选：C. 7-3．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由面面垂直的性质定理及正方形的性质推得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，，由此利用空间向量垂直的坐标表示即可得证； （2）结合（1）中结论得到，，，从而利用空间向量垂直的坐标表示证得，，由此利用线面垂直的判定定理证得平面. 【详解】（1）因为面面，面面，，面， 所以面，又面，所以， 又因为在正方形中，，所以两两垂直， 以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为M为EC的中点，所以， 故，， 所以，故即. （2）由（1）得，，， 所以，则即， 又，故即， 又，平面， 所以平面. 7-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则有，,由平面,可得,从而有,代入计算即可得答案. 【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则 , 所以， 由,可得， 所以, 平面, 所以, 所以, 即， 解得， 当为线段上靠近的四等分点时，平面. 故选:. 7-5．（2024·天津河东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点． (1)求证：平面． (2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）连结交于点，可知.然后根据线面平行的判定定理，即可得出平面； （2）先证明平面．以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设，求出点的坐标，然后得到.求出平面的法向量，根据得出的值，根据数乘向量的模，即可得出答案. 【详解】（1） 如图1，连结交于点. 因为是正方形，所以是的中点， 又是的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）存在，理由如下： 因为平面，平面，所以． 因为为正方形，所以． 又，平面，平面， 所以平面． 以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以为轴， 建立空间直角坐标系，如图2， 则，，，，，， 所以. 令， 则, 所以，所以. 因为，， 设是平面的一个法向量， 则，所以， 取，则是平面的一个法向量. 因为平面，所以， 所以有，解得，所以. 因为， 所以. 7-6．（2024高二下·四川达州·阶段练习）在直四棱柱 中，四边形为平行四边形,为的中点，. (1)求证: 面； (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)三棱锥 的体积为. 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，结合线面垂直判定定理证明平面； 方法二：证明和，再根据线面垂直判定定理证明平面； （2）先求的面积和，结合锥体体积公式可求三棱锥 的体积. 【详解】（1）方法一：四边形为平行四边形， ，又， ，，又平面， 以为坐标原点，为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，即，， ，平面，平面. 方法二：因为，，可得， ， 又 ， . 又是直四棱柱， 平面，平面，. ，平面， 平面，平面， ， 取中点，连接， 且，为平行四边形，， = ，， ，，   又，， 又，平面， 平面； （2）在中，， 所以， 在中，， 所以， 因为，，， 所以， 所以为直角三角形，其面积， 因为面， 所以三棱锥 的底面上的高为， 在中，， 所以， 所以. 所以三棱锥 的体积为. （八） 证明面面垂直 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 题型8：利用向量证明面面垂直 8-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． (1)证明：平面PBD平面PBC； (2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)这样的点F存在，为线段BD上靠近点D的一个四等分点 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得PD平面ABCD，可得PDBC，通过题意得数据可得到BDBC，再利用线面垂直的判定定理可得到BC平面PBD，再用面面垂直的判定定理即可得证； （2）假设F存在，建立空间直角坐标系，利用点F在线段BD上求得，再求平面PBC的法向量，利用EF平面PBC可得即可求得答案 【详解】（1）易得， 所以直二面角的平面角为∠PDA＝90°， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以PD平面ABCD，因为平面ABCD，所以PDBC， 又在平面四边形ABCP中，由已知数据可得，，且， 所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD， 故BC平面PBD， 因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC； （2）假设线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC， 则由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示． 所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，则PB的中点E(1，1，1)， 因为点F在线段BD上，所以，所以， 则， 又，设平面PBC的法向量为， 所以令则，所以， 因为EF平面PBC，所以，所以，解得， 所以线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点 8-2．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 ， 【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【详解】（1）证明：， ， 又平面平面， 所以平面， 平面， ， 又平面平面， 平面； （2）解：存在，理由如下： 平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则， ， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令， 得． 设平面的法向量为， ， 故， 取， 得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 8-3．（2024高二上·安徽）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先以点为原点建立空间直角坐标系，首先判断平面的法向量，利用向量与法向量的关系，即可证明；（2）首先求平面的法向量，利用两个平面的法向量垂直，即可证明. 【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA， 又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD， 依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， 由E为棱PC的中点，得E（1，1，1），则， 所以为平面PAD的一个法向量， 又，所以BE⊥AB， 又平面PAD，所以BE∥平面PAD． （2）由（1）知平面PAD的法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为， 则，即，令y＝1，可得z＝1，所以， 又， 所以，所以平面PAD⊥平面PCD． 8-4．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量证明面面垂直. 【详解】 因为平面，平面，所以， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz， 不妨设，因为，所以，    则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为， 所以， 所以平面平面. 一、单选题 1．（2024高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解． 【详解】依题意得，，则 设，则 ，取则，所以 故选：D 2．（2024高二下·山西吕梁·开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定，再判断选项. 【详解】设是平面内的一点，则， 所以，即，选项满足． 故选：B 3．（2024高二下·江苏常州·期中）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由，得，所以或 【详解】，，， 则有， 又是直线l的方向向量，是平面α的法向量，所以或. 故选：B 4．（2024高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 5．（2024高二下·四川绵阳·期中）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（    ） A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】A 【分析】判断两个向量的位置关系即可得解. 【详解】因为，所以， 所以直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内. 故选：A. 6．（2024高二下·江苏连云港·期中）已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用直线与平面平行的方向向量与平面法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，即，解得. 故选：C. 7．（2024高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算，求解法向量即可由，解得的值，即可得解的值．或者，根据线面平行的性质可得线线平行，根据相似即可求解. 【详解】方法1：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 可得，，，，，， 设，， 可得,,，可得,,，可得,,， , 设平面法向量为，，，可得，可得，令，可得， 由于平面，则，可得， 解得，即． 方法2：连接,交于点,则,连接,延长DP交B1D1于G, 由于平面，平面,且平面平面, 所以, 设正方体的棱长为1，则,故直角三角形中，,所以，所以, 由,所以四边形为平行四边形，所以根据,故 故选：A 8．（2024高二上·陕西）已知平面内的两个向量= (2，3，1)，= (5，6，4)，则该平面的一个法向量为（    ） A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 【答案】C 【分析】利用法向量的定义、求法进行计算. 【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为＝(x，y，z)， 则有，即， 令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以＝(－2，1，1)，故A，B，D错误. 故选：C. 9．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标运算即可求解, 【详解】由于直三棱柱，且，所以以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则．由，可得． 设，则 ，，即，解得． 所以 故选：B 10．（2024高二下·江苏宿迁·期中）已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（　　）. A． B． C． D．l与α相交但不垂直 【答案】A 【分析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以，即，所以. 故选：A 11．（2024高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 12．（2024高三下·北京海淀·开学考试）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（    ） A．平面 B．存在点，使平面 C．存在点，使 D． 【答案】D 【分析】当与重合时，平面，即可判断A；设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，可得坐标，由可知与不垂直，即可判断B；若，则，列方程组求解可判断C；由可判断D. 【详解】当与重合时，又平面，则平面，故A错误； 设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，又，∴， ，则，∴， ∵，，∴与不垂直，而平面，则与平面不垂直，故B错误； ，若，则，则，此方程无解，故不存在点，使，故C错误； ∵，，，∴，故D正确． 故选：D． 13．（2024高二上·湖南娄底·期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ,， 则, 所以， 设平面EFC的法向量为， 则，解得， 令，则， 所以平面EFC的一个法向量为. 因为平面EFC，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故选：C 14．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD． 【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确； 以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，. 设，则，.设平面的法向量为， 则有可取，得. 又， 则，故A不正确； 因为，所以，故D不正确； 因为，所以，故C不正确． 故选：B．      二、多选题 15．（2024高二下·江苏盐城·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（    ） A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】ACD 【分析】利用空间向量共线定理判断A即可；由的关系式即可判断B；由的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D. 【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，， 所以，所以共线，又直线，不重合， 所以，故A正确； 因为直线的方向向量，平面的法向量是 且，所以，故B不正确； 两个不同平面，的法向量分别为，， 则有，所以，故C正确； 平面经过三点，，， 所以 又向量是平面的法向量， 所以 则，故D正确， 故选：ACD. 16．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（    ） A． B．若为线段的中点，则平面 C．点B到平面CEF的距离为 D．的最小值为48 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的运算性质、平面的法向量进行求解判断即可. 【详解】因为是矩形，所以， 又因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面与正方形相交于， 所以平面，而平面， 所以，而是正方形，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有， 因为， 所以有，因此选项A正确； 当为线段的中点时，，，， 设平面的法向量为， 于是有， 因为平面， 所以选项B正确； ，， 所以点B到平面CEF的距离为，因此选项C正确； 设，， ， 当时，有最小值47，因此本选项不正确， 故选：ABC 17．（2024高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用法向量的定义直接判断；对于B：判断出或在面内；对于C：由垂直于同一直线的两平面平行即可判断；对于D：由面面垂直的判定定理判断. 【详解】对于A：因为，为平面的法向量，所以为平面的一个法向量，所以.故A正确； 对于B：因为为平面的法向量，直线的方向向量为，且，所以或在面内.故B错误； 对于C：因为两个不重合的平面，的法向量分别为，，且，由垂直于同一直线的两平面平行可知：.故C正确； 对于D：因为，所以. 又因为两个不重合的平面，的法向量分别为，， 所以由面面垂直的判定定理可得：.故D正确. 故选：ACD 18．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是(    ) A．当为线段的中点时，平面 B．当为线段的三等分点时，平面 C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D．不存在点，使与平面垂直 【答案】ABC 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易知，，，，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 假设平面，且， 则. 因为也是平面的法向量， 所以与共线， 所以成立， 但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确. 故选：ABC. 19．（2024高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（    ）    A．存在点，使得 B．过三点、、的正方体的截面面积为 C．四面体的内切球的表面积为 D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆 【答案】BC 【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，求出截面面积可判断B；设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，由即，求出可判断C；由分析可得，的轨迹是被四边形截得的4段圆弧，求解可判断D. 【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则，，，； 若，则，即，与题意矛盾，所以A错误； 对于B，取中点，连接，因为， 所以可得、、、四点共面， 所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形， ， 过点作，所以， 所以梯形的高为， 所以，，故B正确；    对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，    可知四面体是棱长为的正四面体， 取的外心，连接，则平面， 则，则，所以，      所以四面体的高， 设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为， ， 即，，所以C正确； 对于D，，，∵，∴， 即，可得轨迹为圆：， 所以，圆心，，又， 所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧， 所以D错误； 故选：BC. 20．（2024高三上·福建福州·开学考试）在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（    ） A．线段中点 B．线段中点 C．线段中点 D．线段中点 【答案】ABD 【分析】建立空间坐标系，求出平面的法向量，由线面平行的向量求法依次判断选项即可. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设的中点分别为， 不妨设棱长为2，则， ，设平面的法向量，则， 令，则，又， 则， ， 又平面，则都平行于平面，即若直线平面， 则点F的位置可能是线段中点，线段中点或线段中点. 故选：ABD. 21．（2024高二下·江苏盐城·期中）点P在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件可得出，利用二次函数的基本性质求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则点、、，设点， ，， 因为，则，所以，， 所以，. 故选：BC. 三、填空题 22．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，可得，从而可求得，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 23．（山东省东营市广饶县第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是    （填写正确的序号） 【答案】①③ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于①，如图建立空间直角坐标系，则， 所以，所以，所以，即，所以①正确， 对于②，如图建立空间直角坐标系，则， 所以，所以，所以与不垂直，即与不垂直，所以②错误， 对于③，如图建立空间直角坐标系，则， 所以，所以，所以，即，所以③正确， 对于④，如图建立空间直角坐标系，则， 所以，所以，所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误， 故答案为：①③ 24．（2024高二下·江苏·阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得与共线，结合空间向量共线的坐标关系分析运算. 【详解】因为l⊥α，所以与共线， 则存在实数m使得，且， 可得，解得， 故答案为：. 25．（2024高二上·吉林辽源·期末）设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，．若直线l//平面，则实数z的值为 ． 【答案】-4 【分析】根据直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直，即两向量点乘为0. 【详解】若直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直， 由此可得，解得. 故答案为： 26．（2024高二下·江苏·课后作业）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为 . 【答案】 【分析】根据空间线面垂直结合空间向量运算求解. 【详解】∵l⊥α，则∥， 则，解得. 故答案为：. 27．（2024高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接EO，证明OB，OD，OE两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答. 【详解】连接EO，因，则，而平面，且平面平面， 平面平面，于是得平面，又平面，平面， 即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形， 以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因，，则， 则， 设，，， 设平面BMN的一个法向量，则，令，得， 设平面ABE的一个法向量，则，令，得， 因为平面平面ABE，则有，即，解得， 所以线段AN的长为． 故答案为： 28．（2024高二下·江苏南京·期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为 ． 【答案】/ 【分析】分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由求出点坐标后可得线段的长． 【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， ，则是靠近的线段的三等分点，， ，， 在平面上，设，则， 由AP⊥平面MBD1，得，解得， 所以，． 故答案为：． 四、解答题 29．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论. 【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图   则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,， ，，同理， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又平面 平面与平面平行． 30．（2024高二·全国·课后作业）在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面； （2）利用向量法证得平面； （3）利用向量法证得平面平面． 【详解】（1）设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， ， 所以， 由于，所以平面. （2）设平面的法向量为， 则，故可设. ， ，平面， 所以平面. （3）， 设平面的法向量为， 则，故可设. ， 显然，平面与平面不重合，所以平面平面. 31．（2024高二·全国·课后作业）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【答案】证明见解析 【分析】以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用平面法向量之间的关系证明面面垂直. 【详解】由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点， 分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)， 故 ＝(0，0，1)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，1)， ， 设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)， 则，即 令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)． 设平面AEC1的法向量为＝(a，b，c)， 则，即, 令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)． 因为＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 32．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，易知平面的一个法向量为， ，则， 平面，故平面； （2）设平面的法向量为，，， 由，得，取，可得， 所以，，故平面. 33．（2024高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．    【答案】证明见详解 【分析】建立空间直角坐标系，写出的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】证明：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：    因为正方体棱长为1，分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 由， 所以， 即. 34．（2024高二·湖南·课后作业）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， （1）由于平面，所以为平面的一个法向量， （2）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量， （3）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， （3）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则 所以平面的一个法向量为 35．（2024高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【答案】F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）． 【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，求出点的坐标，由，可得，设，，得，由＝0即可求得F的位置． 【详解】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设DA＝2，则， ∴，, ∵，∴， 设，，∴，∴ ∴，∴ ∵＝0，∴，∴， ∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)． 36．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，先由线面垂直的判定定理得到平面，从而得到面面垂直； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后结合法向量与空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：在中，因， 所以，所以，又， 且，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）假设存在点，使得平面平面. 取中点为，连接，则， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面. 如图所示建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，则， 设是平面的法向量，则，取. 设，其中. 则 连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量. 设是平面的法向量， 则，取. 由平面平面，知，有，解得. 故在侧棱上存在点，使得平面平面. 37．（2024高二下·广西·期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．    (1)当时，求三棱锥的体积； (2)当时，直线BP与平面所成角的正切值的取值范围； (3)当时，是否存在唯一个点P，使得平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据线面平行，结合等体积法即可求解， （2）由向量模长可得点P的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆弧上，根据线面垂直可得线面角，利用长度的最值即可求解范围， （3）建立空间按直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】（1）当时，，，此时线段， 由于， 平面 , 平面,所以平面, 故， 所以其体积为定值． （2）当时，，即点P的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆弧上， 设 相交于点 因为，，平面，所以平面，直线BP与平面所成角为，      如图，点的轨迹为半圆 ,其中为点轨迹与边的交点，当运动到点时，此时 ,当运动到时，此时, ，，， ． （3）如图建立空间直角坐标系如图，， 当时，C，，P三点共线，即点线段， 设，由平面ADP得，，，   ， ，化简得 ，解得或2．   ，故不存在P点满足题意．    38．（2024高二下·江苏连云港·期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 【答案】(1)，，，四点共面，理由见解析 (2)为中点 【分析】（1）取的中点，取的中点，连接，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四点共面； （2）设，得到，根据平面，列出方程，求得，即可求解. 【详解】（1）答案：四点共面. 证明：取的中点，连接，，取的中点，连接， 则在等边三角形中，， 又因为平面平面，所以平面， 同理，得平面，平面， 所以，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以， 又由，，所以， 所以，，共面， 因为为公共点，所以，，，四点共面. （2）解：设，故， 若平面，则，即，解得， 所以为中点时，平面．    39．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直； （2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面. （3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面. 【详解】（1）证明：　依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得. (1)向量，故. 所以. （2）取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.          （3）底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面. 40．（2024高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且． (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 41．（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立如图所示的坐标系, 设正方体的棱长为2 , 求出平面、平面的法向 量，证明法向量平行，即可证明结论. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量， 则 , 即 ,令，则， 设平面的法向量， 则 , 即 ，令，则， 所以，即， 故平面平面； 42．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，． (1)求证：平面PBC； (2)在棱PC上是否存在一点G，使平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】 （1）连接AC，由中位线的性质可得，再由线面平行的性质可得证； （2）设，求出平面EFD的一个法向量， 由将用表示出来， 再由，共线列出满足的关系求解，由无解得不存在. 【详解】（1）连接AC，因为F为BD中点，底面ABCD是正方形，所以F为AC中点， 又E为PA中点，所以， 又平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． （2）不存在． 假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线， 取的中点O，连接，则， 因为侧面底面ABCD，面底面，面， 所以面，又因为面，所以， 以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 设，则，， 设平面EFD的一个法向量是， ∵，即，令，则， ∵因为平面EDF，∴，∴，，， ∵，共线，，， ∴， ∴，无解， 故在棱PC上不存在一点G，使平面EDF． 43．（2024高二上·浙江·阶段练习）如图，在斜三棱柱 中，已知△ABC为正三角形，四边形是菱形，D，E分别是AC，的中点，平面⊥平面ABC. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点M，使得平面BDE？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】(1)连接，由菱形可得，再证得即可利用线面垂直的判定推理作答. (2)连接，以D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角 坐标系，再利用空间位置关系的向量方法即可计算作答. 【详解】（1）在斜三棱柱 中，连接，如图， 因四边形是菱形，则，又D，E分别是AC，的中点，有，因此，， 因△ABC为正三角形，则，又平面⊥平面，平面平面，平面， 于是得平面，又平面，从而得， 而，平面， 所以平面. （2）连接，菱形中，，则是正三角形，而D是AC的中点，即有， 由(1)知，两两垂直，以D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 令，则， ，， 令是平面的一个法向量，则，令得， 假设在线段上存在点M，使得平面，则，令， ，因平面，则，，解得， 所以在线段上存在点M，使得平面，此时. 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决. 44．（2024高二·全国·课后作业）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可. 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴， ∴， 即PQ∥BD1. 【点睛】本题主要考查了空间向量垂直关系的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于中档题. 45．（2024高二·全国·课后作业）在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E. 【答案】见解析 【分析】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a). 设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a). 则计算即可. 【详解】证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a). 设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a). 因为=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以,即A1F⊥C1E. 【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直，属基础题. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$