【每日一练】2024-2025学年苏科版八年级数学上册第二周

第二周 周一 “SSS”证全等及全等的应用 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝　 　． 3．如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝　 　°． 4．如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别为CB，CA的中点．试问DN与DM的大小关系如何？请说明道理． 5．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．请问∠DAB与∠EAC相等吗？请说明理由． 【拓展思考】 6．如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF． （1）若点E、F运动至如图（1）所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； （2）若点E、F运动至如图（2）所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ （3）若点E、F不重合，则AD和CB平行吗？请说明理由． 第二周 周二 尺规作图中的全等三角形 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BC＝11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N，分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE＝AB，连接DE，则△CDE的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，已知直线AB和AB外的一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB． 3．如图，已知△ABC中AB＝AC． （1）作图：在AC上有一点D，连接BD并延长BD，在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）条件下，连接CF，求证：∠ABD＝∠ACF． 【拓展思考】 4．【操作与发现】如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法； 【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD＝180°，∠B＝∠D，求证：CD＝AB． 第二周 周三 “HL”证全等及全等的应用 1．两个直角三角形中：①有两条边对应相等；②一锐角和斜边对应相等：③斜边和一直角边对应相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②③④ 2．如图，在△ABC中，点P，Q分别在BC，AC上，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下面结论错误的是（　　） A．∠BAP＝∠CAP B．AS＝AR C．QP∥AB D．△BPR≌△QPS 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是　 　． 4．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝6S△ADE，BH＝1，则BC的长为 　 　． 5．如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF交于点O． （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若∠A＝50°，求∠COE的度数． 【拓展思考】 6．（1）如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB＝CD，试说明FG＝EG． （2）若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，（1）中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由． 第二周 周四 轴对称与轴对称图形 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 3．如图体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如果一个正多边形的外角等于72°，那么这个正多边形的共有 　 　条对称轴． 5．如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 　 　． 6．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【拓展思考】 7．小玉学了轴对称后，想起以前做过的一道题：有一组数排成如图所示的方阵，试计算这组数的和．小玉想：方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小玉试了试，得到了非常巧妙的方法，你也来试试看吧! 第二周 周五 轴对称的性质 1．在下列说法中，正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形 D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 2．一张长方形纸条折成如图的形状，若∠1＝52°，则∠2为（　　） A．76° B．78° C．52° D．64° 3．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 　 　． 4．如图，△ABC和△DEC关于直线l对称，若∠A＝60°，∠E＝20°，则∠ACB＝　 　． 5．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°，E、F分别是AD，BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点G，若△EFG有两个角相等，则∠EFG＝　　°． 【拓展思考】 6．（1）如图，一条笔直的河流l的同侧有A、B两个村庄，要把A处的产品运往B处．按计划要先到河岸M处接一批货物，然后一起运往B处，要使总路程最短，点M应选在河流l的什么位置？ （2）在（1）的条件下，若在河岸M处接货后，需沿河岸行a千米至N处，再将货物运送至B处，要使总路程最短，M、N两点应选在河流l的什么位置？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二周 周一 “SSS”证全等及全等的应用 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D'，OC＝0′C'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键． 2．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝　40°　． 【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠DAC＝∠BAC，即可求出结果． 【解答】证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC ∵∠DAB＝80°， ∴∠DAC＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 3．如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝　20　°． 【分析】根据SSS证△BAD≌△CAD，根据全等得出∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得出∠BDF＝∠B+∠BAD，∠CDF＝∠C+∠CAD，求出∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，代入求出即可． 【解答】解：过D作射线AF， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C， ∵∠BDF＝∠B+∠BAD，∠CDF＝∠C+∠CAD， ∴∠BDF+∠CDF＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD， ∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC， ∵∠BAC＝80°，∠BDC＝120°， ∴∠B＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC和∠C的度数，难度适中． 4．如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别为CB，CA的中点．试问DN与DM的大小关系如何？请说明道理． 【分析】先利用SSS判定△CAD≌△CBD，从而得出∠A＝∠B，再根据SAS判定△ADN≌△BDM，从而得到两者的关系是相等． 【解答】解：连接CD， 在△CAD和△CBD中， ， ∴△CAD≌△CBD（SSS）， ∴∠A＝∠B， 又∵AC＝CB，M，N分别为CB，CA的中点， ∴AN＝BM，又AD＝BD， ∴△ADN≌△BDM（SSS）， ∴DN＝DM． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定的掌握情况，利用全等提供的结论证明全等是一种重要的方法． 5．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．请问∠DAB与∠EAC相等吗？请说明理由． 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ADC≌△AEB（SSS），进而利用全等三角形的性质得出答案． 【解答】解：∠DAB＝∠EAC， 理由：在△ADC和△AEB中， ∵， ∴△ADC≌△AEB（SSS）， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴∠DAC﹣∠BAC＝∠BAE﹣∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确得出△ADC≌△AEB是解题关键． 【拓展思考】 6．如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF． （1）若点E、F运动至如图（1）所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； （2）若点E、F运动至如图（2）所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ （3）若点E、F不重合，则AD和CB平行吗？请说明理由． 【分析】（1）由AF＝CE知AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，又AD＝CB、DE＝BF可证△ADE≌△CBF； （2）由AF＝CE知AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，又AD＝CB、DE＝BF可证△ADE≌△CBF； （3）根据AD＝CB、DE＝BF不能判定△ADE与△CBF全等，即不能得出∠A＝∠C，可得AD与CB不一定平行． 【解答】解：（1）证明：∵AF＝CE， ∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SSS）； （2）△ADE≌△CBF成立， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SSS）； （3）AD与CB不一定平行， 在△ADE和△CBF中，仅有AD＝CB、DE＝BF不能判定它们全等， 即不能得出∠A＝∠C， 故AD与CB不一定平行． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由AF＝CE得出AE＝CF是关键． 第二周 周二 尺规作图中的全等三角形 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BC＝11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N，分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE＝AB，连接DE，则△CDE的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】证明△DAB≌△DAE（SAS），推出BD＝DE，可得EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，再证明△CDE的周长＝CE+BC，可得结论． 【解答】解：在△DAB和△DAE中， ， ∴△DAB≌△DAE（SAS）， ∴BD＝DE， ∵AB＝AE＝6，AC＝9， ∴EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3， ∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝CE+DB+CD＝CE+BC＝3+11＝14． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．如图，已知直线AB和AB外的一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB． 【分析】根据直线AB和AB外的一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB即可． 【解答】解： 以点P为圆心，大于P到AB的距离长为半径画弧，交AB于点E、F， 作EF的垂直平分线，经过点P， 再以点P为圆心，任意长为半径画弧，交AB的垂直平分线于点M、N， 作MN的垂直平分线CD， 所以CD即为所求作的图形． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、解决本题的关键是准确画图． 3．如图，已知△ABC中AB＝AC． （1）作图：在AC上有一点D，连接BD并延长BD，在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）条件下，连接CF，求证：∠ABD＝∠ACF． 【分析】（1）根据作图语句即可完成作图； （2）结合（1）根据已知条件证明△EAF≌△CAF（SAS），即可解决问题． 【解答】（1）解：如图，点E，∠EAC的平分线AF，即为所求； （2）证明：∵AB＝AC，AE＝AB， ∴AC＝AE， ∵AF是∠EAC的平分线， ∴∠EAF＝∠CAF， 在△EAF和△CAF中， ， ∴△EAF≌△CAF（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACF． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到△EAF≌△CAF． 【拓展思考】 4．【操作与发现】如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法； 【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD＝180°，∠B＝∠D，求证：CD＝AB． 【分析】【操作与发现】如图1，理由全等三角形的判断方法“SAS”作图，先作MNP＝∠NMQ，再截取NP＝MQ，则可判断△QMN与△PMN全等； 【借鉴与应用】构建△EAC≌△DCA，如图2，理由全等的性质得∠ECA＝∠DAC，AE＝CD，∠E＝∠D，再证明E点在BC的延长线上，接着证明∠E＝∠B得到AE＝AB，从而得到AB＝CD． 【解答】【操作与发现】如图1，作MNP＝∠NMQ，截取NP＝MQ，连接PM，则△PMN为所作． 【借鉴与应用】证明：构建△EAC≌△DCA，如图2， ∴∠ECA＝∠DAC，AE＝CD，∠E＝∠D， ∵∠ACB+∠CAD＝180°， ∴∠ACB+∠ECA＝180°， ∴E点在BC的延长线上， ∵∠B＝∠D， ∴∠E＝∠B， ∴AE＝AB， ∴AB＝CD． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 第二周 周三 “HL”证全等及全等的应用 1．两个直角三角形中：①有两条边对应相等；②一锐角和斜边对应相等：③斜边和一直角边对应相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②③④ 【分析】由直角三角形全等的判定，即可判断． 【解答】解：①有两条边对应相等，如果两个直角三角形存在斜边和直角边相等，那么两个直角三角形不全等，故①不符合题意； ②一锐角和斜边对应相等，由AAS或ASA判定两个直角三角形全等，故②符合题意； ③斜边和一直角边对应相等，由HL判定两个直角三角形全等，故③符合题意； ④两个三角形全等的条件至少有一边对应相等，故④不符合题意． ∴能使这两个直角三角形全等的是②③． 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 2．如图，在△ABC中，点P，Q分别在BC，AC上，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下面结论错误的是（　　） A．∠BAP＝∠CAP B．AS＝AR C．QP∥AB D．△BPR≌△QPS 【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出A正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，然后得到∠APQ＝∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出C正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到B正确，C中两三角形只能确定一直角边相等，已知角相等，其他条件都无法确定，所以不一定正确． 【解答】解：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR＝PS， ∴点P在∠BAC的平分线上， 即AP平分∠BAC，故A正确； ∴∠PAR＝∠PAQ， ∵AQ＝PQ， ∴∠APQ＝∠PAQ， ∴∠APQ＝∠PAR， ∴QP∥AB，故C正确； 在Rt△APR与Rt△APS中，， ∴Rt△APR≌Rt△APS（HL）， ∴AR＝AS，故B正确； △BPR和△QSP只能知道PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，其他条件不容易得到，所以，不一定全等． 故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是　8cm　． 【分析】连接BE，利用HL证明Rt△BCE与Rt△BDE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：连接BE， ∵∠C＝90°，DE⊥AB于D， ∴∠C＝∠BDE＝90°， 在Rt△BCE与Rt△BDE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL）， ∴DE＝CE， ∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm， ∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm）， 故答案为：8cm． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出Rt△BCE与Rt△BDE全等解答． 4．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝6S△ADE，BH＝1，则BC的长为 　　． 【分析】过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于P，先证△AEP≌△BAH（AAS），再证Rt△DEP≌Rt△CAH（HL），得CH＝DP，S△ACH＝S△APE，然后由高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【解答】解：如图，过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于P， ∴∠P＝∠AHB＝90°， ∵AE∥BC， ∴∠EAP＝∠CBA， 在△AEP和△BAH中， ， ∴△AEP≌△BAH（AAS）， ∴PE＝AH，AP＝BH＝1， 在Rt△DEP和Rt△CAH中， ， ∴Rt△DEP≌Rt△CAH（HL）， ∴CH＝DP，S△CAH＝S△DPE， ∵S△ABC＝S△ABH+S△CAH＝2S△ABH+S△ADE＝6S△ADE， ∴S△ABH：S△ADE＝5：2， ∵PE＝AH， ∴BH：AD＝5：2， ∵BH＝1， ∴AD， ∴CH＝DP＝AP+AD＝1， ∴BC＝BH+CH＝1， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF交于点O． （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若∠A＝50°，求∠COE的度数． 【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论． 【解答】（1）证明：∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB， 即AB＝DE， ∵∠C＝∠F＝90°， ∴△ABC和△DEF是直径三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝50°， ∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴∠DEF＝40°， ∴∠COE＝∠ABC+∠BEF＝40°+40°＝80°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【拓展思考】 6．（1）如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB＝CD，试说明FG＝EG． （2）若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，（1）中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由． 【分析】（1）连接BE、FD，首先由题意推出AF＝CE，∠BFA＝∠DEC＝90°，则由全等三角形的判定定理HL证得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF＝DE，推出四边形BEDF为平行四边形，即可推出BD与EF互相平分，即FG＝EG； （2）同（1）的证明过程． 【解答】解：（1）连接BE、FD， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°． 又∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， 在Rt△BFA与Rt△DEC中， ， ∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL）， ∴BF＝DE， ∵BF∥DE， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴BD与EF互相平分， ∴FG＝EG； （2）上述结论还成立．理由如下： ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°． 又∵AE＝CF， ∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE， 在Rt△BFA与Rt△DEC中， ， ∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL）， ∴BF＝DE， ∵BF∥DE， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴BD与EF互相平分， ∴FG＝EG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 第二周 周四 轴对称与轴对称图形 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05． 故选：A． 【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 3．如图体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：B，、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 4．如果一个正多边形的外角等于72°，那么这个正多边形的共有 　5　条对称轴． 【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以一个外角的度数，就得到外角和中外角的个数，即多边形的边数．再根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：∵多边形的外角和为360°， ∴边数＝360°÷72°＝5， 故这个正多边形的边数是5， 正五边形共有5条对称轴． 故答案为：5． 【点评】本题考查了正多边形以及轴对称图形，根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法． 5．如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 　150+82＝502　． 【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题． 【解答】解：根据镜面对称的特征可知， 1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称， 且“+”和“＝”的对称图形仍然是本身． 所以真正的火柴算式是：150+82＝502． 故答案为：150+82＝502． 【点评】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“＝”的对称图形是解题的关键． 6．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：所补画的图形如下所示： 【点评】本题考查利用轴对称设计图案的知识，难度不大，注意掌握轴对称的概念是关键． 【拓展思考】 7．小玉学了轴对称后，想起以前做过的一道题：有一组数排成如图所示的方阵，试计算这组数的和．小玉想：方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小玉试了试，得到了非常巧妙的方法，你也来试试看吧! 【分析】将原图沿AB对折，左侧的数加到右侧，得图，即可得原图所有数的和＝10×10+5×5＝125． 【解答】解：将原图沿AB对折，左侧的数加到右侧，得图，故原图所有数的和＝10×10+5×5＝125． 【点评】本题主要考查了轴对称，解题关键是利用轴对称的思想解决方阵的计算问题． 第二周 周五 轴对称的性质 1．在下列说法中，正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形 D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 【分析】利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案． 【解答】解：A、全等的三角形不一定对称，故错误； B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确； C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误； D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键． 2．一张长方形纸条折成如图的形状，若∠1＝52°，则∠2为（　　） A．76° B．78° C．52° D．64° 【分析】先根据折叠的性质得到∠ABC＝∠1+∠2，再根据平角的定义求出∠ABC＝128°，则∠2＝∠ABC﹣∠1＝76°． 【解答】解： 由折叠的性质可得，∠ABC＝∠1+∠2， ∵∠ABC+∠1＝180°，∠1＝52°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1＝128°， ∴∠2＝∠ABC﹣∠1＝76°， 故选A． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，正确根据平角的定义求出∠ABC＝128°是解题的关键． 3．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 　　． 【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可． 【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称， ∴B、C关于直线AD对称， ∴△CEF和△BEF关于直线AD对称， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15， ∴图中阴影部分的面积是S△ABC． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键． 4．如图，△ABC和△DEC关于直线l对称，若∠A＝60°，∠E＝20°，则∠ACB＝　100°　． 【分析】根据轴对称的性质先求出∠B等于∠E，再利用三角形内角和定理即可求出∠ACB． 【解答】解：∵△ABC和△DEC关于直线l对称， ∴∠B＝∠E＝20°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B ＝180°﹣60°﹣20° ＝100°． 故答案为：100° 【点评】此题考查关于某直线对称的两图形全等，全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和定理． 5．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°，E、F分别是AD，BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点G，若△EFG有两个角相等，则∠EFG＝　　°． 【分析】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，通过折叠和四边形的内角和列方程求出结果即可，最后综合得出答案． 【解答】解：（1）当∠FGE＝∠FEG时， 设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG（180°﹣x） 在四边形GFCD中，由内角和为360°得： （180°﹣x）+2x+∠C+∠D＝360°， ∵∠C+∠D＝210°， ∴（180°﹣x）+2x＝360°﹣210°， 解得：x＝40°， （2）当∠GFE＝∠FEG时，此时AD∥BC不合题意舍去， （3）当∠FGE＝∠GFE时， 同理有：x+2x+∠C+∠D＝360°， ∵∠C+∠D＝210°， ∴x+2x+210°＝360°， 解得：x＝50°， 故答案为：40°或50． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称的性质和四边形的内角和为360°，分情况讨论是解题的关键． 【拓展思考】 6．（1）如图，一条笔直的河流l的同侧有A、B两个村庄，要把A处的产品运往B处．按计划要先到河岸M处接一批货物，然后一起运往B处，要使总路程最短，点M应选在河流l的什么位置？ （2）在（1）的条件下，若在河岸M处接货后，需沿河岸行a千米至N处，再将货物运送至B处，要使总路程最短，M、N两点应选在河流l的什么位置？ 【分析】（1）如图①所示，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”得，以l为对称轴，作点A的对称点A′，连接A′B，与l的交点即为所求点M． （2）如图②所示．作法：①过点A作AE∥l，在AE上截取AA'＝a，②作点B关于直线l的对称点B'，连接A'B'交直线l于点N，③过点A作AM∥A'B'，交直线l于点M，则点MN即为所求． 【解答】（1）如图①所示，点M即为所求． （2）如图②所示．点M、点N即为所求． 【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，正确画图． 学科网（北京）股份有限公司 $$