精品解析：广东省东莞市东华高级中学2024-2025学年高二上学期开学作业检查数学试题

东华高级中学开学作业检查 命题：吴孟桃 审题：康逢永 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A B. C. 0 D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数图象的两条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件是互斥事件 D. 事件相互独立 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. 已知函数，则 C. 命题“角是第一象限角”是“”的充分不必要条件 D. 当时，函数有2个零点 11. 如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则（ ） A. 四面体的体积与表面积的数值之比为 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成的角为 D. 过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 14. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求样本中数据的第百分位数； （2）求样本数据的平均数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率. 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值． 18. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （1）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量； （3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东华高级中学开学作业检查 命题：吴孟桃 审题：康逢永 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 计算：（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数的除法及复数的乘方运算求解即可. 【详解】因为， 故. 故选：A. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4. 一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式计算即可． 【详解】设A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，则P(AB)＝×＝． 故选：D 5. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，表达出圆台的高、母线长分别为，，从而利用球和圆台表面积公式得到，并求出两几何体的体积之比. 【详解】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，， 由于， 则圆台的高、母线长分别为，， 设外接球的表面积为，圆台表面积为， 由表面积公式知， 则外接球的体积为，圆台的体积为， . 故选：B 6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用内角和化简，再由正弦定理角化边，联立余弦定理和已知求解可得. 【详解】， 由正弦定理角化边得， 又，所以①， 由余弦定理得②， 联立①②求解得，所以. 故选：D 7. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数图象的两条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性和对称轴可得周期，进而可得或，利用，即可代入求解或，即可得函数表达式，即可代入求解. 【详解】因为函数在区间单调递增，且直线和直线为函数的图象的两条对称轴， 所以所以，即， 则或． 而，即或， 所以或， 即或， 所以或， 所以或， 故选:D． 8. 已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意画出函数图象，结合图象可知且，，即可得到，则，再令，根据二次函数的性质求出的取值范围，最后根据对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以函数图象如下所示： 由图象可知，其中，其中，，，则，得..令，， 又在上单调减，，即. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件是互斥事件 D. 事件相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到；B选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到中共有情况数，得到；C选项，计算出，得到C正确；D选项，，D错误. 【详解】A选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种情况， 其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：，共3种情况， 故，A正确； B选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：，共7种情况， 故中共有种情况，故，B正确； C选项，由于事件中无相同情况，故，所以件是互斥事件，C正确； D选项，因为，事件不互相独立，D错误. 故选：ABC 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. 已知函数，则 C. 命题“角是第一象限角”是“”的充分不必要条件 D. 当时，函数有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项用三角函数的最值来判断，B选项用来判断，C选项结合充分、必要条件的知识来判断，D选项由与的交点个数来判断. 【详解】A：，故不存在实数x使，A错误； B：，，B正确； C：角是第一象限角，而角终边在第一象限或者第四象限或者在x非负半轴，C正确； D：时，有2个零点，则关于x的方程有2个根，有2个根， 即图象与图象有2个交点，由图可知：当时满足题意，D正确. 故选：BCD 11. 如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则（ ） A. 四面体的体积与表面积的数值之比为 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成的角为 D. 过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意直接计算四面体的体积和表面积，对于B，可证得的长度就是点到平面的距离，然后根据题意求解，对于C，由正方体的性质可证得平面，从而可判断，对于D，取的中点，连接，，，，可得等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，从而可求出其面积. 【详解】对于A，因为正方体的棱长为1，所以四面体为， 表面积为， 所以四面体的体积与表面积的数值之比为，所以A正确， 对于C，因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以，即异面直线与所成的角为，故C不正确； 对于B，根据证明的方法，同理可得， 因为，平面，所以平面，则的长度就是点到平面的距离， 显然为正三角形的中心，因为正方体的棱长为1， 所以正三角形的边长为，所以，又， 所以，即点到平面的距离为，故B正确； 对于D，取的中点，连接，，，， 因为∥，∥，，， 所以∥，, 因为，， 所以，所以四边形为等腰梯形， 所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图： 因为，，， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查几何体的体积和表面积的求法，考查点到面的距离的求法，考查求异面直线所成的角，考查正方体的截面问题，解题的关键是充分利用正方体的性质结合已知条件求解，考查空间想象能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 14. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值 【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，， 即 则， 当且仅当时取到等号； 故答案为 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求样本中数据的第百分位数； （2）求样本数据的平均数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率. 【答案】（1） （2）50 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据概率和为1确定样本中数据落在的频率，再利用公式即可求解. （2）根据公式求样本数据的平均数即可. （3）先分层抽样，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 依题意，样本中数据落在的频率为： 样本数据的第百分位数落在第四组， 且第百分位数为 【小问2详解】 平均数为. 【小问3详解】 与两组的频率之比为. 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为 所有可能的情况为共15种. 其中至少有1人的年龄在的情况有共9种. 记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A， 则 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：由面面垂直可得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可证得结论；证法二：由面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再由等边三角形的性质可得，然后由面面垂直的性质可证得结论； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 证法一： 在正方形中， 又侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 证法二： 在正方形中， 又侧面底面，侧面交底面于，所以平面， 又平面，故平面平面， 是正三角形，是的中点，所以 又平面交平面于，平面，故平面． 【小问2详解】 取，的中点分别为，，连接，，， 则，，因为，所以， 又在正中，， 因为，平面，平面， 正方形中，，平面， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 设正方形的边长，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 18. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （1）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 【答案】（1）0.032 （2）0.94 （3）0.2976. 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）利用间接法，先求其对立事件的概率即可； （3）所求事件可表示为两个互斥事件的和事件.先由相互独立事件的概率乘法公式分别求解两个互斥事件的概率，再由概率加法公式可得. 【小问1详解】 设“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件， 依题意得，且相互独立. “甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立， . 即甲第三次试跳才成功的概率为. 【小问2详解】 “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件，则， . 即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为. 【小问3详解】 设“甲在两次试跳中成功次”为事件， “乙在两次试跳中成功次”为事件， 事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且､为互斥事件， 所求的概率为 . 故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量； （3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到相伴函数，得到，再利用两角差正弦函数，即可求解； （2）由，得到的相伴特征向量，结合单位向量的计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到，，设点，得到向量，结合，化简得到，进而答案. 【小问1详解】 解：由向量的相伴函数为， 当时，可得， 又由，可得，所以， 所以. 【小问2详解】 解：由， 可得函数的相伴特征向量， 所以与方向相同单位向量为. 【小问3详解】 解：因为函数的相伴特征向量， 所以， ， 设点，因为， 所以， 若，则， 即，， 因为，则，故， 又因为，故当且仅当时，成立， 故在的图象上存在一点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$