第08讲 求锐角的三角比的值（2个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第08讲 求锐角的三角比的值（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点2．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一、求角的正弦值 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）在直角坐标平面内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么 ． 3．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    题型二、特殊三角形的三角函数 4．（2024九年级上·上海·专题练习）下列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024九年级上·上海·专题练习）用表示这三个数中最小的数，则 ． 6．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 题型三．特殊角的三角函数值 7．（2021秋•松江区期末）已知，那么锐角的度数是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•长宁区校级期中）在中，若是锐角，，，则　 　度． 9．（2023秋•浦东新区期末）计算：． 题型四．计算器—三角函数 10．（青浦区校级月考）按键　　　　1，使科学计算器显示后，求的值，以下按键顺序正确的是　　 A． 9 0 B．9 C． 9 D．9 11．（上海模拟）下面四个数中，最大的是　　 A． B． C． D． 12．（青浦区校级月考）（1）验证下列两组数值的关系： 与； 与． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用表示一个锐角，写出这个关系式． 题型五、三角函数综合 13．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在中，，如果，那么等于（） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    15．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 分层练习 一、单选题 1．下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知中，，，，那么的值（   ） A． B． C． D． 3．中，，，那么三边是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（        ） A． B． C． D． 6．如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ． 8． （选填“”或“”或“”）． 9．已知，则 ． 10．在中，，，，那么的面积为 ． 11．如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的余弦值是 ． 12．已知，则锐角的取值范围是 ． 13．如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ． 14．如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ． 15．如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ． 16．如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 17．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    18．如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 三、解答题 19．计算：． 20．如图，在中，，求的值． 21．计算：． 22．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 23．如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 25．在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求与的值； (2)过点作直线轴与直线交于点，求的值． 26．我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 27．已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 求锐角的三角比的值（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点2．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一、求角的正弦值 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查正弦的定义，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高，已知， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选C． 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）在直角坐标平面内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形、求角的正弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，根据题意画出图形，过点作轴于点，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 3．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    【答案】； 【知识点】求角的余弦值、求角的正弦值 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】：如图，    ． 题型二、特殊三角形的三角函数 4．（2024九年级上·上海·专题练习）下列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，以及熟记各个特殊角度的锐角三角函数值，根据各个锐角三角函数的定义和值逐个判断即可，解答④时，要充分利用三角函数的定义． 【详解】解：①，故①错误； ②∵，， ∴；故②正确； ③若，则，故③错误； ④，故④正确； 综上所述，正确的说法有②④，共2个； 故选：C． 5．（2024九年级上·上海·专题练习）用表示这三个数中最小的数，则 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可；牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 题型三．特殊角的三角函数值 7．（2021秋•松江区期末）已知，那么锐角的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据解答． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．（2023秋•长宁区校级期中）在中，若是锐角，，，则　120　度． 【分析】利用特殊锐角三角函数值求得，的度数，继而求得的度数． 【解答】解：由题意可得，， 则， 故答案为：120． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，结合已知条件求得，的度数是解题的关键． 9．（2023秋•浦东新区期末）计算：． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊的锐角三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 题型四．计算器—三角函数 10．（青浦区校级月考）按键　　　　1，使科学计算器显示后，求的值，以下按键顺序正确的是　　 A． 9 0 B．9 C． 9 D．9 【分析】要求熟练应用计算器． 【解答】解：显示器显示后，即弧度制； 求的值，需按顺序按下：，9，． 故选：． 【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 11．（上海模拟）下面四个数中，最大的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用计算器求出数值，再计算即可． 【解答】解：、； 、； 、； 、． 故最大， 故选：． 【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力． 12．（青浦区校级月考）（1）验证下列两组数值的关系： 与； 与． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用表示一个锐角，写出这个关系式． 【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论； （2）根据（1）中的关系可得出结论； （3）任选一个角验证（3）的结论即可； （4）用表示一个锐角，写出这个关系式即可． 【解答】解：（1），． ，， ，； （2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值； （3），； 故结论成立； （4）． 【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键． 题型五、三角函数综合 13．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在中，，如果，那么等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数综合 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 14．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、三角函数综合 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 15．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 【答案】(1)8； (2)． 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，得出∠E=∠C，∠EDA=∠B，可证△DEA∽△BCA，得出，可求，根据，得出，求BC即可； （2）根据，得出△DEA∽△BCA，得出，根据，得出，，在中，，代入数据得出，即可求出DF 【详解】（1）解：∵， ∴∠E=∠C，∠EDA=∠B， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为点， ∴． 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，根据定义判定即可：整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、为循环小数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．已知中，，，，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．根据题意画出图形，先利用勾股定理求出的长，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， ． 故选A． 3．中，，，那么三边是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设，得出，再由勾股定理得出，得出三边的比即可． 【详解】解：∵，， 设， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题． 4．在中，，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴可设， ∴， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5．在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴，故A选项错误，符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键． 6．如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵，是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形面积的比为， 故选B． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8． （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角的余弦与正弦的关系．熟练掌握互余两角的余弦与正弦的关系是解题的关键． 由，可知． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】由于，则，然后把代入中利用分式的性质计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 10．在中，，，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，再由勾股定理得到，解得，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：．    11．如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，然后求出中心角是，然后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴多边形的外角为， ∴多边形的边数为：， ∴正多边形的中心角是， ∴． ∴这个正多边形的中心角的余弦值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，求角的余弦，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键． 12．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 13．如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则． 【详解】解：∵D是边的中点，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ． 【答案】1 【分析】延长交于点，根据平分，，得出，，设，根据，求得，进而求得，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 15．如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，，则，，代入比例式求出，则，然后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点G，    由折叠的性质可知，，． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键． 【详解】解：设，则 ∵，与相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 18．如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点A作于点M，则，设则，根据旋转的性质，得，则，证明三点共线，再证明，延长二线交于点，接着即可． 【详解】过点A作于点M，菱形， 则， 设则，连接， 根据旋转的性质，菱形，得， ，，，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵菱形， ∴， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵ ∴重合，G，D，F三点共线， 延长二线交于点， 则， ∵ ∴， ∴， 解得， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，旋转性质，等腰三角形的三线合一行，三角形相似的判断和性质，熟练掌握菱形的性质，三角函数，三角形相似的判定是解题的关键． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 21．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，根据分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 22．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 【答案】 【分析】过A作，在中，因为，，得到，，在中，由，得到，从而得到，再结合垂直平分，得到，，在中，根据，得到，进而根据图形上线段关系得到． 【详解】过A作，垂足为点H，如图所示： 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角函数求线段长问题，涉及含角的直角三角形性质、正切函数、垂直平分线的性质、余弦函数等知识，熟练掌握三角函数求线段长是解决问题的关键． 23．如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积； （2）过作于，由相似三角形性质可知，再根据勾股定理得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积； （2）解：过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正弦值＝． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）由锐角三角函数可求，代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点， ， ， 将代入得， 反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上， ， ， 点B的坐标为． 25．在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求与的值； (2)过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正弦的定义，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出值，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出点坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可． 【详解】（1）解：∵点在直线图象上， ， 解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ． ． （2）解：在函数中，当时，， ， ， ．    26．我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； （2）在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 27．已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①延长，交于点G，根据，点D在的平分线上，得到，结合，平分，得到，，得到，判定，从而得到． ②如图时间到了,申请延时,无人回复,请老师审核时,单独联系吧谢谢 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，证明，由此得到，，根据已知，求得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）①延长，交于点G， 因为，点D在的平分线上， 所以， 因为，平分， 所以，， 所以， 所以， 所以． ②如图 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F， 因为，点D在的平分线上， 所以， 所以， 所以，， 因为，， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得（舍去）， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 解得（舍去）， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似和平行线分线段成比例定理是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$