第08讲 函数的概念（7个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第08讲 函数的概念（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 题型强化 题型一．常量与变量 1．圆周长公式中，下列说法正确的是　　 A．、是变量，2为常量 B．、为变量，2、为常量 C．为变量，2、、为常量 D．为变量，2、、为常量 2．圆周长与圆的半径之间的关系为，其中变量是 　　，常量是 　　． 题型二．函数的概念 3．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示是的函数的有几个　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是　　 A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 题型三．函数关系式 5．（黄浦区校级期中）、两地相距50千米，小张骑自行车从地到地，车速为13千米小时，骑了小时后，小张离地千米，那么关于的函数解析式是　　． 6．（浦东新区期末）如果点在函数的图象上，那么　　． 题型四．函数自变量的取值范围 7．（2020秋•浦东新区月考）函数的定义域是　　 A． B． C．且 D．且 8．（2022•崇明区二模）函数中自变量的取值范围是 　　． 题型五．函数值 9．（2023秋•宝山区期末）已知，那么　　． 10．（2022秋•徐汇区校级期末）如果函数，那么（3）　　． 题型六．函数的图象 11．（2022秋•虹口区校级期中）已知函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 12．（浦东新区期末）某人从甲地行走到乙地的路程（千米）与时间（时的函数关系如图，那么此人行走3千米，所用的时间　　（时 13．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　30　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟； （3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时． 题型七．动点问题的函数图象 14．（金山区期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿路线做匀速运动，点到达点运动停止，那么的面积与点运动的时间秒之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 15．（浦东新区期中）如图，已知正方形的边长是3厘米，动点从点出发，沿、、方向运动至点停止．设点运动的路程为厘米，的面积为平方厘米． （1）当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域； （2）当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域； （3）当取何值时，的面积为1.5平方厘米？ 分层练习 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 3．下列图像中表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．平行四边形的周长为，两条邻边中较大的一条边长为，较小的一条边长为，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（　　） A．甲的速度是5； B．乙的速度是10 C．乙比甲晚出发1h D．从A到B，甲比乙多用了1h 6．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一次函数的定义域为 ． 8．已知函数f（x）＝+x，则f（）＝ ． 9．已知变量和变量，那么 的函数？（填“是”或“不是”） 10．函数的定义域为 ． 11．函数，则 ． 12．函数的定义域是 ． 13．如果函数，那么 ． 14．已知，，那么 ． 15．现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 16．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 17．要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 18．如图，反映了某公司的销售收入与销量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销量的关系．当公司赢利时，销量必须 ． 三、解答题 19．已知，求： （1） （2） 20．收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油 (1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？ (2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ (3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？ (4)在此函数关系式中，求函数定义域． 21．某天小明骑自行车上学，学校离家3000千米，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述的是他离家的距离和离家的时间之间的函数图象，根据图象解决下列问题： (1)自行车发生故障时离家距离为 ______ 米； (2)到达学校时共用时间 ______ 分钟； (3)自行车故障排除后他的速度是每分钟 ______ 米． 22．如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：    (1)谁走的快？ (2)求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，甲、乙两人行程差多少？ 23．河道的剩水量（立方米）关于水泵抽水时间（时）的函数关系式的图像如图所示，根据图像回答下列各题： (1)水泵抽水前，河道内有多少立方米的水？水泵最多能抽多少小时？ (2)水泵抽小时后，河道剩水量是多少立方米？ (3)河道剩水量为立方米时，水泵已抽水几小时？ 24．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 25．如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形． (1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长． (2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域． (3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由． 26．在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 27．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校，如图描述的是他离家的距离S和离家的时间t之间的函数图像，根据图像解决下列问题： （1）修车时间为______分钟： （2）到达学校时共用时间______分钟； （3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为______定义域为______； （4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟______米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 函数的概念（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 题型强化 题型一．常量与变量 1．圆周长公式中，下列说法正确的是　　 A．、是变量，2为常量 B．、为变量，2、为常量 C．为变量，2、、为常量 D．为变量，2、、为常量 【分析】根据变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，可得答案． 【解答】解：在圆周长公式中，2、是常量，，是变量． 故选：． 【点评】本题考查了常量与变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，注意是常量． 2．圆周长与圆的半径之间的关系为，其中变量是 　、　，常量是 　　． 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【解答】解：在圆的周长公式中，与是改变的，是不变的； 变量是，，常量是． 故答案为：，；． 【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 题型二．函数的概念 3．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示是的函数的有几个　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据函数的概念，对应的每一个值，都有唯一的值与它对应判断即可． 【解答】解：根据函数的概念，可知： 图1和图4不能表示是的函数，图2和图3能表示是的函数， 上列图象中表示是的函数的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应的每一个值，都有唯一的值与它对应是解题的关键． 4．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是　　 A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； 、中随的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意； 、，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意； 、身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 题型三．函数关系式 5．（黄浦区校级期中）、两地相距50千米，小张骑自行车从地到地，车速为13千米小时，骑了小时后，小张离地千米，那么关于的函数解析式是　　． 【分析】直接利用总路程行驶路程离地距离，进而得出关系式． 【解答】解：由题意可得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意得出等式是解题关键． 6．（浦东新区期末）如果点在函数的图象上，那么　　． 【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得相应的函数值． 【解答】解：点在函数的图象上，得 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系式，利用自变量与函数值的对应关系是解题关键． 题型四．函数自变量的取值范围 7．（2020秋•浦东新区月考）函数的定义域是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 【解答】解：由题可得，， 解得， 函数的定义域是， 故选：． 【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 8．（2022•崇明区二模）函数中自变量的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 题型五．函数值 9．（2023秋•宝山区期末）已知，那么　1　． 【分析】将代入该函数解析式进行计算可得此题结果． 【解答】解：， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键． 10．（2022秋•徐汇区校级期末）如果函数，那么（3）　　． 【分析】把代入解析式求解． 【解答】解：（3）， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数值，掌握有理数的运算是解题的关键． 题型六．函数的图象 11．（2022秋•虹口区校级期中）已知函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】依据题意，令，求出的值，再结合函数的图象进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，令， ． 或． 经检验，或是方程的根． 结合函数图象，当时，的取值范围是或． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 12．（浦东新区期末）某人从甲地行走到乙地的路程（千米）与时间（时的函数关系如图，那么此人行走3千米，所用的时间　0.5　（时 【分析】根据速度路程时间求出行驶的速度，再根据时间路程速度进行计算即可得解． 【解答】解：由图可知，速度千米时， 所以，行走3千米所用的时间小时． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查了函数图象，准确识图，确定出路程和时间然后求出此人的速度是解题的关键． 13．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　30　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟； （3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时． 【分析】（1）通过观察线段，段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟． （3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量． （4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间． 【解答】解：（1）由题意及图象得 加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． 故答案为：30；40． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟； 故答案为：10； （3）运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨， 所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨， 运输飞机每分钟耗油量为0.1吨； 故答案为：0.1； （4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为（吨， （小时）， 故答案为：11.5． 【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定． 题型七．动点问题的函数图象 14．（金山区期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿路线做匀速运动，点到达点运动停止，那么的面积与点运动的时间秒之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】运用动点函数进行分段分析，当点在上，及在上时，分别求出函数解析式，再结合图象得出符合要求的解析式． 【解答】解：①当点在上时，此时， ，，动点从点出发，点在上时，，， 的面积； 当点在上时，此时， 的高是1，底边是2，所以面积是1，即； 综上可得时是正比例函数，且随的增大而增大，时，是一个常数函数，是一条平行于轴的直线． 所以只有符合要求． 故选：． 【点评】此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度． 15．（浦东新区期中）如图，已知正方形的边长是3厘米，动点从点出发，沿、、方向运动至点停止．设点运动的路程为厘米，的面积为平方厘米． （1）当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域； （2）当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域； （3）当取何值时，的面积为1.5平方厘米？ 【分析】（1）利用当动点在上运动时，利用三角形面积求法得出即可； （2）利用当动点在上运动时，结合图象得出三角形面积是定值； （3）分别利用的面积为1.5平方厘米，当在上时，以及当在上时，求出即可． 【解答】解：（1）当动点在上运动时，正方形的边长是3厘米， 的面积为： 即； （2）当动点在上运动时， 的面积为：， 即，； （3）如图所示： 的面积为1.5平方厘米，当在上时， 则， 解得：， 当在上时， 则， 解得：， 综上所述：或时，的面积为1.5平方厘米． 【点评】此题主要考查了动点函数的应用，利用数形结合以及三角形面积求出是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 2．已知，那么的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是求函数值，将代入解析式是解题的关键． 将代入，然后依据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．下列图像中表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，即一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，逐项判断是否符合. 【详解】解：A、对x的每一个值，y的值不唯一，故不是函数关系； B、对x的每一个值，y的值不唯一，故不是函数关系； C、对x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，故是函数关系； D、对x的每一个值，y的值不唯一，故不是函数关系. 故选：C 【点睛】本题考查函数的定义，对定义的深入理解是解答此题的关键. 4．平行四边形的周长为，两条邻边中较大的一条边长为，较小的一条边长为，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列函数关系式，根据平行四边形的周长计算公式即可列出函数关系式，再根据，的大小即可求得的取值范围，从而解题． 【详解】解：由题可得：， 整理得， 两条邻边中较大的一条边长为，较小的一条边长为， 即， 故选：D． 5．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（　　） A．甲的速度是5； B．乙的速度是10 C．乙比甲晚出发1h D．从A到B，甲比乙多用了1h 【答案】D 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快． 【详解】解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h和10km/h，故A、B正确，D错误； 从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 6．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大可得出答案． 【详解】国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大，可知图象如B选项， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的图象，掌握生活常识是关键． 二、填空题 7．一次函数的定义域为 ． 【答案】一切实数 【分析】本题考查函数的定义域，掌握一次函数的定义域是全体实数是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数是整式函数， ∴定义域为一切实数， 故答案为：一切实数． 8．已知函数f（x）＝+x，则f（）＝ ． 【答案】 【分析】根据题意直接把x＝代入解析式进行计算即可求得答案． 【详解】解：∵函数f（x）＝+x， ∴f（）＝+＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查函数图象上点的坐标特征以及二次根式运算，注意掌握图象上点的坐标适合解析式． 9．已知变量和变量，那么 的函数？（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】根据函数的概念进行判断即可解答． 【详解】解：∵对于变量x的每一个确定的值，变量有且只有一个值与之对应， ∴根据函数的概念可知，是x的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 10．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 11．函数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数值，分母有理化，先把代入，然后分母有理化即可． 【详解】解： 故答案为： 12．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的范围，二次根式有意义的条件，根据分母不等于0，且二次根式有意义的条件列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 13．如果函数，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求函数值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，根据题意得出，然后分母有理化即可． 【详解】解：把代入， ． 故答案为：． 14．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】根据，把x=代入可得关于k的一元一次方程，解方程求出k值即可得答案． 【详解】∵，， ∴x=时，k=2， 解得：k=． 故答案为： 【点睛】本题考查函数值求解，熟练运用待定系数法是解题关键． 15．现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据总本数减去借出的本数等于余下的本数，可得函数关系式，根据总本数除以每人借的本数，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用了总本数减去借出的本数等于余下的本数． 【详解】解：∵现有300本图书借给学生阅读，每人5本 ∴余下的本数和学生人数之间的函数表达式为， 其中自变量是， 故答案为：，． 16．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得： ， 即y关于x的函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 17．要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量（立方米）和水泵抽水时间（小时）的函数关系式，然后再令求出的值，即可写出的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 【详解】解：由题意可得， ， 当时，，可得， 的取值范围为， 故答案为：，． 18．如图，反映了某公司的销售收入与销量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销量的关系．当公司赢利时，销量必须 ． 【答案】大于4吨 【分析】本题考查了函数图象；要使盈利需要销售收入大于销售成本，则的函数图象应高于的函数图象，观察图象即可得的取值范围，由此即可解答. 【详解】解：由图意可知：的纵坐标表示的是销售收入，的纵坐标表示的是销售成本．盈利需要销售收入大于销售成本，应是的函数图象高于的函数图象，由此可得. 故答案为：大于4吨． 三、解答题 19．已知，求： （1） （2） 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）通过合并同类项，即可完成求解； （2）通过和分别计算后再相加，从而完成求解． 【详解】（1） （2） ∴． 【点睛】本题考查了求函数值、合并同类项的知识；求解的关键是函数值的方法和合并同类项的性质，从而完成求解． 20．收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油 (1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？ (2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ (3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？ (4)在此函数关系式中，求函数定义域． 【答案】(1)油箱还剩41千克的油 (2)使用收割机工作的时间为6小时 (3) (4)函数定义域为 【分析】（1）用所盛油量减去4小时消耗的油量即可； （2）用所盛油量减去用掉的油量，再除以耗油速度即可； （3）根据剩下的油=总油量每小时耗油量×工作时间即可列出关系式； （4）求出用所盛油量可供使用的时间即可得到定义域． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即收割机工作了4小时，油箱还剩油； （2）（小时）， 即如果油箱里用掉油，那么使用收割机工作的时间为6小时； （3）由题意可得， ， 即油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式是； （4）当时，，得， 即函数定义域是． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 21．某天小明骑自行车上学，学校离家3000千米，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述的是他离家的距离和离家的时间之间的函数图象，根据图象解决下列问题： (1)自行车发生故障时离家距离为 ______ 米； (2)到达学校时共用时间 ______ 分钟； (3)自行车故障排除后他的速度是每分钟 ______ 米． 【答案】(1)1500 (2)20 (3)300 【分析】（1）观察图象，获取有关信息：线段表示故障前行使情况：10分钟行使了1500米； （2）根据点横坐标为20，得出到达学校时共用时间， （3）根据线段表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，即可求出行驶速度． 此题考查函数图象的应用，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，能够从图象中获取相关信息是关键． 【详解】（1）解：由图知，线段表示故障前行使情况：10分钟行使了1500米， 故自行车发生故障时离家距离为1500米； 故答案为：1500； （2）解：利用点横坐标为20，得出从家到学校用时20分钟， 故答案为： 20； （3）解：线段表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米， 故速度为（米秒）； 故答案为300． 22．如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：    (1)谁走的快？ (2)求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当时，甲、乙两人行程差多少？ 【答案】(1)甲走的快 (2)甲的函数解析式为，乙函数解析式为，其中自变量取值范围均为 (3)甲乙行程差为 【分析】（1）根据函数图像获得相应的时间和路程，求出速度，即可得解； （2）根据路程、速度和时间的关系列出函数解析式，并得到自变量的取值范围； （3）分别令，求出两人的行程，再求差． 【详解】（1）解：根据甲、乙行程函数图像， 可知甲走，乙走， ∴，， ∴甲走的快； （2）根据路程=速度×时间， 可知甲的函数解析式为，乙函数解析式为， 其中自变量取值范围均为； （3）时， ，， ∴甲乙行程差为：． 【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，函数解析式，求函数值，解题的关键是从函数图像准确获取时间和速度的数据． 23．河道的剩水量（立方米）关于水泵抽水时间（时）的函数关系式的图像如图所示，根据图像回答下列各题： (1)水泵抽水前，河道内有多少立方米的水？水泵最多能抽多少小时？ (2)水泵抽小时后，河道剩水量是多少立方米？ (3)河道剩水量为立方米时，水泵已抽水几小时？ 【答案】(1)水泵抽水前，河道内有立方米的水；水泵最多能抽小时 (2)立方米 (3)小时 【分析】本题考查了函数图像与关系式、求函数自变量的值和函数值，掌握根据函数图像得出函数关系式、正确求函数自变量的值和函数值是解题的关键． （1）观察函数图像，根据“当时，”和“当时，”，得出答案即可； （2）由（1）得“水泵抽水前，河道内有立方米的水，水泵最多能抽小时”，求出水泵每小时抽水量，得出河道的剩水量（立方米）关于水泵抽水时间（时）的函数关系式，求出当时的函数值即可； （3）根据（2）所求函数关系式，求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由图像得，当时，，即水泵抽水前，河道内有立方米的水； 当时，，即水泵最多能抽小时； 答：水泵抽水前，河道内有立方米的水；水泵最多能抽小时； （2）解：∵由（1）得：水泵抽水前，河道内有立方米的水，水泵最多能抽小时， ∴水泵每小时抽水（立方米）， ∴河道的剩水量（立方米）关于水泵抽水时间（时）的函数关系式为：， ∴当时，，即水泵抽小时后，河道剩水量是立方米， 答：水泵抽小时后，河道剩水量是立方米； （3）解：∵由（2）得：， ∴河道剩水量为立方米时，则， 解得：， 答：河道剩水量为立方米时，水泵已抽水小时． 24．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案． 【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b， 将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得 ， 解得：， ∴该一次函数解析式为y=﹣x+60； （2）当y=﹣x+60=8时， 解得x=520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530﹣520=10千米， 油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米， ∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键． 25．如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形． (1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长． (2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域． (3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）设，可得，根据：正方形的面积是正方形的一半，可列出关于的一元二次方程，求解并根据题意可得答案； （2）设，可得，，然后根据代入化简即可； （3）根据题意可知，得到方程，求解并根据题意可得答案． 【详解】（1）解：设， ∵正方形边长为，正方形分割成两个小正方形、和两个长方形、， ∴， 根据题意列方程得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的长是． （2）∵正方形面积为， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， ∴y关于的函数解析式为． （3）根据题意可知：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当的长为时，四边形的面积能够等于正方形面积的一半．    【点睛】本题考查列一元二次方程解决简单的实际问题，列函数的解析式并根据函数解析式和实际意义求定义域．根据题意列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键． 26．在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 【答案】(1)图见解析 (2)20 (3)16 (4)4 【分析】（1）根据两点确定一条直线，进行作图即可； （2）根据乙的图象，求出时，的值即可； （3）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可； （4）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，（），当时，，当时，， ∴乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象经过点， 画出图象如下：      （2）∵，（）， ∴当时，， 即：环城越野赛的全程是20千米； 故答案为：20； （3）由图象可知：甲前0.5小时的速度是千米/小时； 故答案为：16； （4）由图象可知：相遇时甲的速度是千米/小时； 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是从函数图象中有效的获取信息． 27．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校，如图描述的是他离家的距离S和离家的时间t之间的函数图像，根据图像解决下列问题： （1）修车时间为______分钟： （2）到达学校时共用时间______分钟； （3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为______定义域为______； （4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟______米． 【答案】（1）5分钟；（2）20分钟；（3）；;（4）300． 【分析】（1）线段AB表示修车时段，时间为5分钟； （2）根据C点横坐标为20，得出到达学校时共用时间； （3）观察图象，获取有关信息：线段OA表示故障前行使情况：10分钟行使了1500米； （4）根据线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，即可求出行驶速度． 【详解】解：（1）线段AB表示修车时段，时间为5分钟； 故答案为：5； （2）利用C点横坐标为20，得出从家到学校用时20分钟； 故答案为：20； （3）由图象可知：小王从离家时到自行车发生故障时，10分钟行使了1500米，故速度为150米/分，图象过原点，所以函数关系式为S=150t()； 故答案为：；； （4）线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米， 故速度为1500÷5＝300（米/分）； 故答案为 ：300． 【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，能够从图象中获取相关信息是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$