专题07 实数单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题07 实数单元过关（培优版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列实数中，无理数是(   ) A．0 B． C． D．6 3．计算的值是（　　） A．1 B． C． D．5 4．下列各数中，（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．20182019的个位上的数字是(    ) A．8 B．4 C．2 D．6 7．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中正确的是(　　) A．有理数和数轴上的点一一对应 B．0.304精确到十分位是0.30 C．立方根是本身的数只有0 D．平方根是本身的数只有0 9．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 10．无理数在两个相邻的整数之间的是 ( ) A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算（﹣2）÷（﹣）的结果为 ． 12．当时， ． 13．如图，把一张面积为10的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为 ． 14．观察下列运算： 由（+1）（﹣1）=1，得﹣1； 由（）（）=1，得=； 由（）（）=1，得=；…… 利用你发现的规律计算： ++…+为 ． 15．观察下面的变化规律： ，…… 根据上面的规律计算： ． 16．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知是关于x的一元一次方程，求k的值． 18．把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1） 有理数集合______； 无理数集合______； 正实数集合______； 负实数集合______． 19．已知的平方根是，的立方根是． (1)求m，n的值． (2)求的算术平方根． 20．解方程： (1) (2) 21．观察下列各式子，并回答下面问题． 第一个： 第二个： 第三个： 第四个：… （1）试写出第个式子（用含的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由． 22．阅读下列解题过程 请回答下列问题： （1）观察上面解题过程,请直接写出下一个式子为___________________. （2）用含有的式子表示一般形式并仿照上面形式计算出结果 （3）利用上面所提供的解法,请化简: 的值. 23．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 24．三位数abc可表示为100a＋ 10b ＋c，若三位数abc能被n整除，将其首位数字放到末尾，得到新数bca能被n＋1整除，再次将其首位数字放到末尾，得到新数cab能被n＋2整除，则称这个三位数abc是n的一个“派生数”（n≠1），对任意三位数abc，规定．例如，201能被3整除，012能被4整除，120能被5整除，则三位数201是3的一个“派生数”；再如324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则三位数324是2的一个“派生数”，且＝9 (1)P（432）＝ ，255 5的一个“派生数”； (2)若三位数4xy是3的一个“派生数”，且x≠0，请求出满足条件的所有4xy，并求出P（4xy）的最大值． 25．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请你直接写出______，______； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______； (3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条． (4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 实数单元过关（培优版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，故选项错误； B、，故不是最简二次根式，故选项错误； C、，故不是最简二次根式，故选项错误； D、是最简二次根式，故选项正确； 故选D． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 2．在下列实数中，无理数是(   ) A．0 B． C． D．6 【答案】C 【详解】试题分析：有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．因此， 选项A、B、D的0、、6都是有理数，选项C的是无理数．故选C． 3．计算的值是（　　） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简，将原式化简为即可求解． 【详解】解：原式 故选：C 4．下列各数中，（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】运用有理数和无理数的概念进行分类、求解． 【详解】解：，， ∴ 是有理数， （相邻两个3之间1的个数逐次加1个），是无理数， ∴无理数有2个， 故选：B． 【点睛】此题考查了运用有理数和无理数的概念进行分类的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据的定义得到，，，…，进而求出，即可计算出的值为2025． 【详解】解：∵，，，…， ∴ ， ∴ ． 故选：D 6．20182019的个位上的数字是(    ) A．8 B．4 C．2 D．6 【答案】C 【分析】根据指数运算法则直接求解即可. 【详解】 ⋯个位数为8 ⋯个位数为4 ⋯个位数为2 ⋯个位数为6 ⋯个位数为8 ∴个位上的数字8，4，2，6依次出现 个位上的数字是 故答案为C 【点睛】本题主要考查了数字尾数的特征，根据指数的变化得出位置的变化规律是解题的关键.. 7．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简求得结果即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意； 故选：A． 8．下列说法中正确的是(　　) A．有理数和数轴上的点一一对应 B．0.304精确到十分位是0.30 C．立方根是本身的数只有0 D．平方根是本身的数只有0 【答案】D 【分析】根据实数与数轴、精确度、立方根及平方根的概念和性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 实数和数轴上的点一一对应，原说法错误； B. 0.304精确到十分位是0.3，原说法错误； C. 立方根是本身的数是0、±1，原说法错误； D. 平方根是本身的数只有0，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数与数轴、精确度、立方根及平方根的概念和性质，熟练掌握基础知识是解题关键． 9．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．无理数在两个相邻的整数之间的是 ( ) A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3 【答案】D 【详解】试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查与相邻数字的知识，由题知，，所以，故该无理数在2和3之间，所以选D 考点：无理数大小的比较 点评：本题属于对无理数和整数的基本大小以及变换的基本知识的考查 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算（﹣2）÷（﹣）的结果为 ． 【答案】5 【详解】分析：用括号中的每一项分别与-相除，然后把所得结果相加即可． 详解： （﹣2）÷（﹣） =. 故答案是：5. 点睛：考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的顺序是解题的关键． 12．当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解题的关键． 根据的进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 13．如图，把一张面积为10的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为 ． 【答案】 【分析】设小正方形的边长为a，根据图形可知小正方形的边长等于三角形较短的直角边，即为a，较长的直角边为2a，结合大正方形的面积以及勾股定理列出方程，求出a值，再计算周长． 【详解】解：设小正方形的边长为a， ∵⑤是正方形， ∴①②③④为直角三角形， 由拼成的长方形可知：小正方形的边长等于三角形较短的直角边，即为a，较长的直角边为2a， ∵大正方形的面积为10， ∴边长为， 在直角三角形中，， ∴a=， ∴拼成的长方形周长为=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，勾股定理，无理数，二次根式的混合运算，解题的关键步骤是根据图形得出直角三角形的直角边长． 14．观察下列运算： 由（+1）（﹣1）=1，得﹣1； 由（）（）=1，得=； 由（）（）=1，得=；…… 利用你发现的规律计算： ++…+为 ． 【答案】 【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果． 【详解】原式=-1． 【点睛】此题考查分母有理化，弄清题中的规律是解题的关键． 15．观察下面的变化规律： ，…… 根据上面的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题． 【详解】由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）． 故 ． 故答案：． 【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解． 16．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ． 【答案】351 【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值． 【详解】=1 =3 =6 =10 发现规律：1+2+3+ ∴1+2+3=351 故答案为：351 【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知是关于x的一元一次方程，求k的值． 【答案】k的值为2． 【分析】根据一元一次方程的定义，得到二次项系数为0，一次项系数不为0，得到关于k的方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： k2-4=0， 解得：k=2或k=-2， k+2≠0， 解得：k≠-2， 综上可知：k=2， 即k的值为2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 18．把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1） 有理数集合______； 无理数集合______； 正实数集合______； 负实数集合______． 【答案】，，，，，，，；，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）；，，，，，；，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1） 【分析】利用有理数，无理数，正实数，以及负实数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：有理数集合：，，，，，，，； 无理数集合：，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）； 正实数集合：，，，，， 负实数集合：，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）. 故答案为：，，，，，，，；，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）；，，，，，；，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）． 【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的范围以及分类方法是解本题的关键． 19．已知的平方根是，的立方根是． (1)求m，n的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为4． 【点睛】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 20．解方程： (1) (2) 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）将方程变形为，然后利用立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： 开平方得，， 即或， 解得或； （2）解： 移项得，， 方程两边同除以3，得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，理解掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 21．观察下列各式子，并回答下面问题． 第一个： 第二个： 第三个： 第四个：… （1）试写出第个式子（用含的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由． 【答案】（1），该式子一定是二次根式，理由见解析；（2）在15和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断； （2）将代入，得出第16个式子为，再判断即可． 【详解】解：（1）， 该式子一定是二次根式， 因为为正整数，，所以该式子一定是二次根式 （2） ∵，， ∴. ∴在15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键． 22．阅读下列解题过程 请回答下列问题： （1）观察上面解题过程,请直接写出下一个式子为___________________. （2）用含有的式子表示一般形式并仿照上面形式计算出结果 （3）利用上面所提供的解法,请化简: 的值. 【答案】（1）；（2） ；（3）9 【分析】（1）根据平方差公式可进行分母有理化； ​（2）根据平方差公式可进行分母有理化； （3）各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果． 【详解】解：（1）. （2） ． （3）原式= ． 【点睛】本题是规律型的，由分母有理化得出规律，利用平方差公式是解题的关键． 23．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 【答案】（1）；（2）①5，② 【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可； （2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可； ②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 因为， 所以， 因此． （2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24， 所以， 所以， 所以5； 故答案为：5； ②因为， 所以， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键． 24．三位数abc可表示为100a＋ 10b ＋c，若三位数abc能被n整除，将其首位数字放到末尾，得到新数bca能被n＋1整除，再次将其首位数字放到末尾，得到新数cab能被n＋2整除，则称这个三位数abc是n的一个“派生数”（n≠1），对任意三位数abc，规定．例如，201能被3整除，012能被4整除，120能被5整除，则三位数201是3的一个“派生数”；再如324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则三位数324是2的一个“派生数”，且＝9 (1)P（432）＝ ，255 5的一个“派生数”； (2)若三位数4xy是3的一个“派生数”，且x≠0，请求出满足条件的所有4xy，并求出P（4xy）的最大值． 【答案】(1)9；是 (2)456 【分析】（1）直接根据“派生数”的计算方法计算，即可得出结论； （2）先根据三位数是3的一个“派生数”，求出，进而求出或3或6或9，再分别计算，进而判断是否是4的倍数即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得，， 能被5整除，552能被6整除，525能被7整除， 是5的一个“派生数”， （2）三位数是3的一个“派生数”， 能被3整除，能被4整除，能被5整除， 要使能被5整除， （舍或， 要使能被3整除， 能被3整除， 能被3整除， 或3或6或9， 而能被4整除， 当时，能被4整除，符合题意， ， 当时，不能被4整除，不符合题意， 当时，能被4整除，符合题意， 原三位数为456， ， 当时，不能被4整除，不符合题意， 的最大值为15． 【点睛】本题考查了整除问题，解题关键是正确的理解并运用新定义． 25．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请你直接写出______，______； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______； (3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条． (4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值； 【答案】(1)10， (2)， (3)44 (4)18 【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知写出答案即可； （2）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2022最接近哪个正整数的平方． （4）化简整理后求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为：10， （2）由题意可得，， 故答案为：， （3）解：线段、、、…、的长分别是、、、、...、． 长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、....、a， ∵，， ∴， ∴线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有 44条． 故答案为：44． （4） ； 【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． 学科网（北京）股份有限公司 $$