专题06 实数单元过关（基础版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题06 实数单元过关（基础版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列正确的是（     ） A．任何数都有平方根 ； B．－9的立方根是－3 ； C．0的算术平方根是0 ； D．8的立方根是±2． 2．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 3．在实数，，，，3.14159，，0.232332332……（每相邻两个2之间依次多一个3）中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．数5，，0，﹣3中最小的是（　　） A．5 B． C．0 D．﹣3 5．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．0.23 B． C． D． 6．按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 7．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列计算中，正确的是(　　) A． B． C． D． 9．在如图所示的数轴上表示的点在（    ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点之间 10．若，则下列各式不成立的是（  ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．规定一种新运算：，则 ． 12．计算的结果是 ． 13．在中，无理数有 个． 14．若 ，则代数式的值为 15．2﹣的相反数是 ，倒数是 ． 16．已知，，，…，（、均为实数）则 ， ． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： （1）       （2）       （3） （4）       （5） 18．把下列各数写入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． （1）正数集合       ； （2）负数集合        ； （3）有理数集合       ； （4）无理数集合        ； 19．已知一个数的平方根是，算术平方根是，且，求这个数. 20．（1）已知的小数部分是a，的整数部分是b，求的值. （2）已知x,y为实数，且，求的值. 21．已知7+和7﹣的小数部分分别为a、b，试求代数式ab的值． 22．即则称A为a，b的等差中项．如果按一定次序排列的三个数a，G，b满足即＝ab（a，b同号），则称G为a，b的等比中项．根据前面给出的概念，求和的等差中项和等比中项． 23．在二次根式化简时，我们可有以下方法： 方法一：＝＝； 方法二：＝； （1）参照方法一化简 参照方法二 （2）化简：…． 24．【发现】两个数量的大小可以通过它们的差来判断，即：若A-B＞0，则A＞B；若A-B=0，则A=B；若A-B＜0，则A＜B． 【思考】比较与的大小； 【探索】制作某产品有两种用料方案： 方案一:用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二:用3块A型钢板，9块B型钢板； 已知A型钢板的面积比B型钢板小，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 25．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： （1）比较大小：　 　（用“＞”“＜”或“＝”填空）； （2）计算：+； （3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数单元过关（基础版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列正确的是（     ） A．任何数都有平方根 ； B．－9的立方根是－3 ； C．0的算术平方根是0 ； D．8的立方根是±2． 【答案】C 【分析】根据平方根的含义可判断A，根据立方根的含义可判断B，D，根据算术平方根的含义可判断C，从而可得答案． 【详解】解：负数没有平方根，故A不符合题意； 的立方根是 故B不符合题意； 0的算术平方根是0，故C符合题意； 8的立方根是2，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，掌握“平方根，立方根，算术平方根的概念”是解本题的关键． 2．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，逐项化简各数，分析判断即可求解． 【详解】解：A． 3和不互为相反数，不符合题意； B．和互为相反数，符合题意； C．和不互为相反数，不符合题意； D．和不互为相反数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，判断相反数，分别化简各数是解题的关键． 3．在实数，，，，3.14159，，0.232332332……（每相邻两个2之间依次多一个3）中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】无理数指的是无限不循环小数，根据定义解题即可． 【详解】解：题中无限不循环的小数有：，，0.232332332……（每相邻两个2之间依次多一个3）；其中，，都是有理数． 故选B． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，涉及到算术平方根的计算及立方根的计算． 4．数5，，0，﹣3中最小的是（　　） A．5 B． C．0 D．﹣3 【答案】D 【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，即可选择． 【详解】∵， ∴最小的数是-3， 故选D． 【点睛】本题考查比较实数的大小，掌握实数比较大小的法则是解答本题的关键． 5．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．0.23 B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解： 0.3是有限小数，=6是整数，-是分数，这些都属于有理数； 是无理数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 6．按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 7．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意； D. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的加减乘除的运算法则是解题的关键． 8．下列计算中，正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案． 【详解】A、计算错误，不符合题意； B、计算错误，不符合题意； C、计算错误，不符合题意； D、正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确掌握相关二次根式的性质是解题关键． 9．在如图所示的数轴上表示的点在（    ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点之间 【答案】C 【分析】先根据16＜17＜25估算出的范围，进而得出的范围即可得答案． 【详解】∵16＜17＜25， ∴， ∴4＜＜5， ∴2＜＜3， ∴数轴上表示的点在点和点之间， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，正确运 用夹逼法 得出的范围是解题关键． 10．若，则下列各式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质，平方差公式逐项分析判断即可得答案． 【详解】解：A．∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B．∵，即，∴原式=，故该选项正确，不符合题意； C．∵，即，∴原式，故该选项正确，不符合题意； D．∵，即，原式只有时成立，，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的性质． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．规定一种新运算：，则 ． 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，先拆括号，再根据二次根式的乘法法则计算即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： = =， 故答案为：． 13．在中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案． 【详解】解：在所列实数中，无理数有这3个， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了无理数，关键是掌握无理数定义． 14．若 ，则代数式的值为 【答案】2024 【分析】本题考查代数式求值、二次根式的乘方，先将化为，然后利用完全平方公式和二次根式的乘方运算求解即可． 【详解】解：由得，则， ∴， 故答案为：2024． 15．2﹣的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】根据实数的性质及相反数和倒数的定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，倒数是． 故答案为： ，． 【点评】本题主要考查了实数的性质和分母有理化，熟练掌握实数的性质进行求解是解决本题的关键． 16．已知，，，…，（、均为实数）则 ， ． 【答案】 7， 48 【分析】利用已知条件，找出规律，写出结果即可． 【详解】解：∵， ， ， ⋯⋯， ∴， ， ， ⋯⋯， ∴，， 故答案为：7，48 【点睛】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： （1）       （2）       （3） （4）       （5） 【答案】（1）6；（2）4；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算； （2）根据二次根式的除法法则计算； （3）先算乘法，再算减法； （4）先利用乘法分配律展开，再计算； （5）根据分母有理化计算即可． 【详解】解：（1） = =6； （2） = =4； （3） = = =； （4） = = =； （5） = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 18．把下列各数写入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． （1）正数集合       ； （2）负数集合        ； （3）有理数集合       ； （4）无理数集合        ； 【答案】（1），，，，（相邻两个之间的个数逐次加）；（2），；（3），，，，0；（4），，（相邻两个之间的个数逐次加） 【分析】（1）由题意直接利用正数的定义即大于零的实数进行判断即可得出答案； （2）由题意直接利用负数的定义解小于零的实数进行判断即可得出答案； （3）由题意直接利用有理数的定义即有理数是有限小数或无限循环小数进行判断即可得出答案； （4）由题意直接利用无理数的定义即无理数是无限不循环小数进行判断即可得出答案． 【详解】（1），，，，（相邻两个之间的个数逐次加），； （2），，； （3），，，，，； （4），，（相邻两个之间的个数逐次加）， 【点睛】本题考查实数的分类，注意掌握实数分为有理数或无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数． 19．已知一个数的平方根是，算术平方根是，且，求这个数. 【答案】81 【分析】算术平方根为这个数的平方根中的一个，则可令=和=解得a的值满足即可，再把a+4平方即可得到该数. 【详解】当=时 则，，符合. 则此时 当=时 =， ，不符合. 故答案为81 【点睛】本题考查了一个数的平方根的概念，这里需要注意的时一个数平方根有正负两个，且正数才有平方根. 20．（1）已知的小数部分是a，的整数部分是b，求的值. （2）已知x,y为实数，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先估算的范围，再估算5+，5-，即可求出a，b的值，代入即可解答； （2）根据二次根式有意义的条件，得到 ，求出x，y的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴，小数部分， ， ∴整数部分是（小数部分是）， ∴； （2）依题意：， ∴，此时， 原式= . 故答案为（1）；（2） . 【点睛】本题考查估算无理数的大小， 二次根式有意义的条件， 二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，二次根式有意义的条件. 21．已知7+和7﹣的小数部分分别为a、b，试求代数式ab的值． 【答案】代数式ab的值为5﹣11． 【分析】先由4＜5＜9，则2＜＜3把的整数部分找到，再计算出7+和7﹣的小数部分，最后代入求值. 【详解】∵4＜5＜9， ∴2＜＜3． ∴a＝7+﹣9＝﹣2．b＝7﹣﹣4＝3﹣． ∴ab＝（﹣2）（3﹣） ＝3﹣5﹣6+2 ＝5﹣11， 即代数式ab的值为5﹣11． 【点睛】本题考查了二次根式整数部分与小数部分的计算，关键在于找准离被开方数最近的两个能够开方的整数，例如：，故，即的整数部分为1，小数部分为-1. 22．即则称A为a，b的等差中项．如果按一定次序排列的三个数a，G，b满足即＝ab（a，b同号），则称G为a，b的等比中项．根据前面给出的概念，求和的等差中项和等比中项． 【答案】 【分析】根据定义计算和的等差中项和等比中项即可求解． 【详解】解：和的等差中项为， 和的等比中项为． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解题中等差中项和等比中项的定义是解题的关键． 23．在二次根式化简时，我们可有以下方法： 方法一：＝＝； 方法二：＝； （1）参照方法一化简 参照方法二 （2）化简：…． 【答案】（1）①；②； （2） 【分析】（1）根据所给出的例子进行化简即可； （2）分母有理化，原式变形化简，即可计算求解． 【详解】（1） ； ； （2）… = = = =． 【点睛】本题考查了分母有理化，是基础知识，此题的难度不大但比较麻烦． 24．【发现】两个数量的大小可以通过它们的差来判断，即：若A-B＞0，则A＞B；若A-B=0，则A=B；若A-B＜0，则A＜B． 【思考】比较与的大小； 【探索】制作某产品有两种用料方案： 方案一:用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二:用3块A型钢板，9块B型钢板； 已知A型钢板的面积比B型钢板小，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】，选择方案一. 【分析】根据题意将与作差，与0比较大小求解即可；设A型钢板的面积为a，B型钢板的面积为b，根据题意作差4a+8b-(3a+9b)=a-b，接着与0比大小即可找出最省料的方案 【详解】解：由题意可知：， 所以 设A型钢板面积为a，B型钢板面积为b， ∴4a+8b-(3a+9b)=a-b， ∵a<b， 所以a-b<0， 所以选择方案一. 【点睛】此题主要是利用作差法来比较两个式子的大小，由题目给出的方法就可以很清楚这一点，所以对于此题只需要将两式作差比较大小即可得到结果 25．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： （1）比较大小：　 　（用“＞”“＜”或“＝”填空）； （2）计算：+； （3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值． 【答案】（1）＞；（2）；（3）2019 【分析】（1）根据分母有理化结果即可判断； （2）原式各项分母有理化后化为两个根式的差，计算即可得到结果． （3）将已知等式进行变形，化为①，②，由①+②得x+y＝0，即可解答． 【详解】（1）， ∵， ∴． 故答案为＞ （2）∵ = ∴原式＝ =. （3）∵， ∴， ∴①， 同理：②， ∴①+②得， ∴x+y＝0， ∴x+y+2019＝2019． 【点睛】本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． 学科网（北京）股份有限公司 $$