1．2空间向量基本定理（四大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1．2空间向量基本定理 目录 【题型归纳】 2 题型一：基底的判断 2 题型二：基底的运用 2 题型三：正交分解 3 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 4 【重难点集训】 6 【高考真题、模拟题】 12 【题型归纳】 题型一：基底的判断 1．（2024·高一·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 3．（2024·高二·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·安徽芜湖·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 题型二：基底的运用 5．（2024·高二·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 9．（2024·高二·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13．（2024·高二·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 14．（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 15．（2024·高二·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 16．（2024·高二·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 17．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．      18．（2024·高二·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【重难点集训】 一、单选题 1．（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·江苏南京·期末）已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 10．（2024·高二·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 11．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 三、填空题 12．（2024·高二·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 13．（2024·高二·全国·课后作业）如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱PC上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 ．    四、解答题 15．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在空间四面体中，，，两两成角，且，E为的中点，F为的中点，试求E，F间的距离．    16．（2024·高二·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值； (3)判定平面ABC与平面的位置关系． 17．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． (1)当时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18．（2024·高二·山东济宁·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 19．（2024·高二·吉林松原·期中）如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，D为的中点．    (1)以为空间的一组基底表示向量，． (2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【高考真题、模拟题】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（    ）    A． B． C． D．3 5．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 . 6．（2024·湖南永州·一模）在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则 （用表示）． 7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. (1)试用，，表示； (2)求的长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2空间向量基本定理 目录 【题型归纳】 2 题型一：基底的判断 2 题型二：基底的运用 4 题型三：正交分解 6 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 8 【重难点集训】 12 【高考真题、模拟题】 29 【题型归纳】 题型一：基底的判断 1．（2024·高一·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 2．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 3．（2024·高二·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 4．（2024·高二·安徽芜湖·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为构成空间的一个基底，所以不共面． 选项A，若向量共面，存在实数，， 使， 可得，方程组无解． 所以不共面； 选项B，若向量共面，存在实数，， 使， 可得，方程组无解． 所以不共面． 选项C，因为向量 所以共面． 选项D，若向量共面，存在实数，， 使， 可得，方程组无解． 所以不共面． 故选：C． 题型二：基底的运用 5．（2024·高二·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，. 故选：A 6．（2024·高二·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三棱柱中，记，，， 如图所示： 故 ． 故选：D． 7．（2024·高二·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 8．（2024·高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 题型三：正交分解 9．（2024·高二·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．不妨设向量，，； 则向量，，． 设， 即， ∴解得 即在，，下的坐标为． 故选：C． 10．（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 11．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 12．（2024·高二·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13．（2024·高二·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 14．（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 【解析】（1） （2）， ， ， 则 ，故. 15．（2024·高二·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【解析】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 16．（2024·高二·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【解析】（1）， ． （2）， 所以， 所以 ， 所以. 17．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．      【解析】设， 则，，，， 因为， 所以． 18．（2024·高二·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【解析】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 【重难点集训】 一、单选题 1．（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 2．（2024·高二·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为， 故选：A. 3．（2024·高二·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】空间向量共面定理，，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是； 对于A选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误； 对于B选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误； 对于C选项，由于，则，，为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确； 对于D选项，由得， 而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误． 故选：C. 4．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 5．（2024·高二·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 6．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 7．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 8．（2024·高一·江苏南京·期末）已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上，且， 所以， 即的最小值为. 故选：B 二、多选题 9．（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 【答案】ABD 【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误； 对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误； 对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确； 对于D，考虑三棱柱，令， 满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误. 故选：ABD 10．（2024·高二·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 【答案】ACD 【解析】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 11．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若点P在直线上，则，则， 由于三点共线，故，A错误； 对于B，若点P在直线上，则，而， 结合，得，B正确； 对于C，若点P在平面内，即四点共面， 则由，可知，C正确， 对于D，若点P在平面内，则， 则， 又，则，D正确， 故选：BCD 三、填空题 12．（2024·高二·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 13．（2024·高二·全国·课后作业）如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是 ． 【答案】 【解析】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是． 故答案为：． 14．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱PC上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 ．    【答案】/ 【解析】连接，    因为，，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以． 又因为，所以． 因为，所以． 又因为，且，，，四点共面， 所以，解得． 故答案为： 四、解答题 15．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在空间四面体中，，，两两成角，且，E为的中点，F为的中点，试求E，F间的距离．    【解析】由题意得， ， 同理可得， 因为 ， ， 所以，即E，F间的距离为． 16．（2024·高二·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值； (3)判定平面ABC与平面的位置关系． 【解析】（1）由题意可知：点O是的中点，则， 所以 ． （2）设， 则， ． 所以． 又因为，所以，． 所以． 所以异面直线与所成的角的余弦值为． （3）取的中点，连接， 则． 因为，为的中点，则． 又，即． 且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 17．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． (1)当时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）, 在矩形ABEF中,易知， ， 当时，, , , . 故MN与AE夹角的余弦值. （2）若平面ABCD， 平面ABCD， . 则显然成立， 又，即， 解得,满足题意. 故存在，使得平面ABCD. 18．（2024·高二·山东济宁·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . （2）因为，， 所以 = 19．（2024·高二·吉林松原·期中）如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，D为的中点．    (1)以为空间的一组基底表示向量，． (2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）， ； （2）连接， 假设线段上存在一点E，使得，且，， 则， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以，所以， 此时点E与点C重合，， 所以存在点，且.    【高考真题、模拟题】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 2．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 3．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，连接并延长交于点.则为的中点， 所以， 所以. 故选：A 4．（2024·河南·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（    ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】在平行六面体中，四边形是平行四边形， 又是的交点，所以是的中点， 所以， 由题意，，， 所以，即． 故选：B. 5．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 . 【答案】 /0.5 【解析】 如图，不妨设，依题意，, ， 因，则 又因平面，故必共面， 即存在，使，即， 从而有，解得. 故答案为：. 6．（2024·湖南永州·一模）在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则 （用表示）． 【答案】 【解析】如图所示： 由题意不妨设分别为的中点，容易证明四边形是平行四边形， 即平面为符合题意的平面，因此， 又因为，，，且，， 所以. 故答案为：. 7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. (1)试用，，表示； (2)求的长. 【解析】（1）依题意可得 （2）依题意可得， 所以 ， 所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$