1．2空间向量基本定理（四大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1．2空间向量基本定理 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：基底的判断 3 题型二：基底的运用 3 题型三：正交分解 5 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 7 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【典型例题】 题型一：基底的判断 【典例1-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高三·江苏南通·开学考试）若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底． 【变式1-1】（2024·高二·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【变式1-2】（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二：基底的运用 【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的． 2、用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示． 3、在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底． 【变式2-1】（2024·高二·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高二·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 【典例3-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 正交基底的三个向量共起点 【变式3-1】（2024·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【变式3-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．    【典例4-2】（2024·高二·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【方法技巧与总结】 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． （1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； （2）若证明线线平行，只需证明两向量共线； （3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）． 【变式4-1】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【变式4-2】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 【变式4-3】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【变式4-4】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【变式4-5】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2空间向量基本定理 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：基底的判断 3 题型二：基底的运用 6 题型三：正交分解 10 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【典型例题】 题型一：基底的判断 【典例1-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：B 【典例1-2】（2024·高三·江苏南通·开学考试）若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若不是一组基底，则可设， 对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误； 对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误； 对于C，若，则，解得：， 不是一组基底，C正确； 对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误. 故选：C. 【方法技巧与总结】 空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底． 【变式1-1】（2024·高二·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【解析】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 【变式1-2】（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误. 故选： A 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底； B选项，，故三个向量共面，不能作为基底； C选项，设， 向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意； D选项，，故三个向量共面，不能作为基底； 故选：C. 【变式1-4】（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误. 故选：A 题型二：基底的运用 【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 【典例2-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于点，则点为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 故选：C. 【方法技巧与总结】 1、空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的． 2、用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示． 3、在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底． 【变式2-1】（2024·高二·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接AE，如图所示， ∵E是CD的中点，，，∴＝＝． 在△ABE中，，又， ∴. 故选：A. 【变式2-2】（2024·高二·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， 则． 故选：A． 【变式2-3】（2024·高二·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 【变式2-4】（2024·高二·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以 . 故选：C 题型三：正交分解 【典例3-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【典例3-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 正交基底的三个向量共起点 【变式3-1】（2024·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【答案】A 【解析】由题意得向量在基底下的坐标为：， 则， 所以向量在下的坐标为：， 所以模长为，故A项正确. 故选：A. 【变式3-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 【变式3-3】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 【变式3-4】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由，故. 故选：C 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．    【解析】以，，为基底，则，. 又， 所以， 所以，即，间的距离为. 【典例4-2】（2024·高二·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【方法技巧与总结】 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． （1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； （2）若证明线线平行，只需证明两向量共线； （3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）． 【变式4-1】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【变式4-2】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 【解析】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 【变式4-3】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【解析】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时， （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 【变式4-4】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【解析】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【变式4-5】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 【解析】（1）依题意， . （2）因为， 点在对角线上，且， 所以， 则， 因为、、三点共线，所以， 即， 又、、不共面，所以、、可以作为空间中的一组基底， 所以，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1．2空间向量基本定理 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 03 典型例题 知识点一：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识梳理 知识点二：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识梳理 知识梳理 知识点三：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立  【典例1-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；故选：B 题型一：基底的判断 典型例题 【典例1-2】（2024·高三·江苏南通·开学考试）若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若不是一组基底，则可设， 对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误； 对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误； 对于C，若，则，解得：， 题型一：基底的判断 典型例题 【典例1-2】（2024·高三·江苏南通·开学考试）若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 不是一组基底，C正确； 对于D，若，则，方程组无解， 为基底，D错误． 故选：C． 【方法技巧与总结】 空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底． 题型一：基底的判断 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【解析】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得． 故选：C 题型一：基底的判断 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 A ， 假设 共面， 则可设 方程组无解， 不共面， 可以作为空间一组基底， A 正确； 对于 B， 共面， 不能作为空间一组基底， B 错误； 对于 共面， 不能作为空间一组基底， C 错误； 对于 共面， 不能作为空间一组基底， D 错误． 故选： A 题型一：基底的判断 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ． 故选：B． 题型二：基底的运用 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于点，则点为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以，故选：C． 题型二：基底的运用 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接AE，如图所示， ∵E是CD的中点，，，∴＝＝． 在△ABE中，，又， ∴． 故选：A． 题型二：基底的运用 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， 则 ． 故选：A． 题型二：基底的运用 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：A． 题型三：正交分解 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量在基底下的坐标为， 所以， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：C．  【方法技巧与总结】 正交基底的三个向量共起点 题型三：正交分解 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【答案】A 【解析】由题意得向量在基底下的坐标为：， 则， 所以向量在下的坐标为：， 所以模长为，故A项正确． 故选：A． 题型三：正交分解 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 题型三：正交分解 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．    【解析】以，，为基底， 则，． 又， 所以 ， 所以，即，间的距离为． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【解析】（1）， 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． （1）若，求的值； （2）求的值． 【解析】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中， 分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体中， 为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，， 且平面，则的值为 . C C A 0.5 $$