1.3 空间向量及其运算的坐标表示9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.3空间向量及其运算的坐标表示9题型分类 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 二、空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 四、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. （一） 求空间点的坐标 (1)空间直角坐标系有的作用: 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化; (2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标: x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0,y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0,z)． (3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标: Oxy平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz平面上的点的坐标为(x,0,z)． (4)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上； ②充分利用几何图形的对称性． (5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标. 题型1：求空间点的坐标 1-1．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 1-2．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 1-3．（2024高二上·广西钦州·期中）已知点、，且满足，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高二·全国·课后作业）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 1-5．（24-25高二下·全国·课堂例题）画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 . （二） 空间点的对称问题 （1）空间直角坐标系中对称点的坐标： ①点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); ②点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); ③点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); ④点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); ⑤点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c); ⑥点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c); ⑦点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c). （2）空间点对称问题的两个技巧： ①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． ②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型2：求空间直角坐标系中对称点的坐标 2-1．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024·全国·高二专题练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．8 2-4．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，P是坐标平面xOy内一动点，，，当最小时P的坐标为___________. （三） 空间向量的坐标 1、向量坐标的求法： (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 2、用坐标表示空间向量的步骤： (1)观察图形：充分观察图形； (2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系； (3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算； (4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标. 题型3：空间向量的坐标 3-1．（2024高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 3-2．（2024高二·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 3-4．（2024高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . （四） 空间向量的坐标运算 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 题型4：空间向量的坐标运算 4-1．（2024高二上·新疆昌吉·期中）已知空间向量，则 . 4-2．（2024高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 56．（2024高二·全国·课后作业）已知，求. 4-3．（2024高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 4-4．（2024高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， （五） 空间向量的平行、垂直及模、夹角 1.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 3.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 题型5：空间向量的平行问题 5-1．（2024高二下·福建宁德·期中）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高二上·吉林延边·阶段练习）向量，，，且，，则 . 5-3．（2024高二上·江苏南通·期中）已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5-4．（广东省潮州市湘桥区南春中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型6：空间向量的垂直问题 6-1．（2024高二下·福建宁德·期中）已知向量，. (1)求与的夹角余弦值； (2)若，求的值. 6-2．（安徽省滁州市定远县民族中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题）已知点、、，，． (1)若，且，求； (2)求； (3)若与垂直，求． 6-3．（2024高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 6-4．（2024高二上·重庆渝中·阶段练习）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型7：空间向量的距离问题 7-1．（2024高二上·山东日照·期末）已知，，且，则 ． 7-2．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||. 7-3．（2024高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么等于（    ） A． B． C． D．5 7-4．（2008·宁夏）已知向量，且，则 ． 题型8：空间向量的夹角问题 8-1．（2024高二下·甘肃白银·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是 ． 8-2．（2024高三·甘肃武威·单元测试）已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是 ． 8-3．（2024高二上·吉林长春·期末）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（    ） A． B． C．或 D．2 8-4．（2024高二上·山东临沂·期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8-5．（2024高二·全国·课后作业）已知向量 (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 8-6．（2024高二上·河南平顶山·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 题型9：空间向量的投影问题 9-1．（江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期期中数学试题）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 9-2．（2024高二上·广东惠州·期末）已知，，则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 9-3．（2024高二下·江苏徐州·期中）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9-4．（2024高二下·江苏徐州·期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·北京丰台·期末）若向量，满足条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024高二上·天津·期中）若向量，，且a→,b→的夹角的余弦值为，则实数等于（   ）. A．0 B． C．0或 D．0或 4．（2024高二上·天津·期末）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·福建宁德·期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024高三·甘肃武威·单元测试）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为， ，则等于（        ）    A． B． C． D． 7．（2024高二下·江苏南通·期中）设、，向量，，且，，则（      ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·北京丰台·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．4 D．3 10．（2024高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2024高二下·广西百色·阶段练习）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三上·福建龙岩·期末）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 13．（2024高三上·湖北·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．17 C． D． 二、多选题 14．（2024高二上·河北·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 15．（2024高二上·河北邯郸·阶段练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·全国·课后作业）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 三、填空题 18．（2024高二下·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 19．（2024高二下·江苏·课后作业）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为 . 20．（2024高二下·江苏·课后作业）若，，若与的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 . 21．（2024高二下·江苏·课后作业）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 ． 22．（2024高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 23．（2024高二·全国·课后作业）已知点，，点满足，则点的坐标是 . 24．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为 ． 25．（2024高二下·辽宁本溪·阶段练习）已知，，则的最小值为 ． 26．（2024·浙江金华·三模）已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为 ． 27．（2024高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 28．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是 ． 29．（2024高二上·上海长宁·期末）已知，，且，则为 . 30．（2024高二下·上海徐汇·开学考试）已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为 . 31．（2024高二上·吉林松原·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时， ． 四、解答题 32．（2024高二下·江苏·课后作业）已知向量，．求． 33．（2024高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．    (1)求； (2)求． 34．（2024高二上·安徽合肥·期中）（1）已知向量. ①计算和 ②求. （2）已知向量. ①若，求实数； ②若，求实数. 35．（2024高二下·江苏·课后作业）已知向量，，，，. (1)求x，y，z的值； (2)求向量与所成角的余弦值． 36．（2024高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.    (1)； (2)； (3)； 37．（2024高二上·湖南郴州·期中）已知向量，，，且． (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 38．（2024高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 39．（2024高二上·河北廊坊·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 40．（2024高二上·安徽滁州·阶段练习）已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 41．（2024高二·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，． (1)在上是否存在点，使得？ (2)在上是否存在点，使得平面？ 42．（2024高一下·福建泉州·期末）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．    （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 43．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 44．（2024高二下·江苏南京·期中）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.3空间向量及其运算的坐标表示9题型分类 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 二、空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 四、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. （一） 求空间点的坐标 (1)空间直角坐标系有的作用: 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化; (2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标: x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0,y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0,z)． (3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标: Oxy平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz平面上的点的坐标为(x,0,z)． (4)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上； ②充分利用几何图形的对称性． (5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标. 题型1：求空间点的坐标 1-1．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】连接，结合图形利用向量的线性运算可以表示出，，，，并直接写出它们在这组基下的坐标. 【详解】连接，如图所示， 则， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. 1-2．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 1-3．（2024高二上·广西钦州·期中）已知点、，且满足，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，根据空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点，由，则， 所以，，解得，故点. 故选：B. 1-4．（2024高二·全国·课后作业）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标． 【详解】解：点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 1-5．（24-25高二下·全国·课堂例题）画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 . 【答案】 ， 【分析】根据线段长度写出点的坐标，再根据中点坐标公式写出中点坐标. 【详解】    如图，，，，， 所以中点， 因为四边形为正方形，所以对角线的交点即为的中点， 由，得中点， 故答案为：，；；. （二） 空间点的对称问题 （1）空间直角坐标系中对称点的坐标： ①点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); ②点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); ③点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); ④点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); ⑤点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c); ⑥点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c); ⑦点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c). （2）空间点对称问题的两个技巧： ①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． ②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型2：求空间直角坐标系中对称点的坐标 2-1．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2-2．（2024·全国·高二专题练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在空间直角坐标系中，求出点关于轴和轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点， 所以. 故选：A 2-3．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】由对称性分别求出B、C，则有，即可求得 【详解】由题意，则， 故，. 故选：B 2-4．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，P是坐标平面xOy内一动点，，，当最小时P的坐标为___________. 【答案】 【分析】先利用对称找出的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解 【详解】过点作平面xOy垂线，垂足为，延长到，使得， 过点作平面xOy垂线，垂足为， 则，，， 因为与关于平面xOy对称， 所以， 所以当最小时点P是连接与平面xOy的交点， 连接，易知共面，且与相似， 所以， 所以， 设，则， 所以，解得， 所以P的坐标为， 故答案为： （三） 空间向量的坐标 1、向量坐标的求法： (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 2、用坐标表示空间向量的步骤： (1)观察图形：充分观察图形； (2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系； (3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算； (4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标. 题型3：空间向量的坐标 3-1．（2024高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 3-2．（2024高二·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量运算求得，从而确定正确选项. 【详解】由题可知，为的中点， ∴， ∴坐标为. 故选：D 3-3．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【答案】(1)点，点，点C， (2)；；；． 【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标； （2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标. 【详解】（1）点在z轴上，且， 所以点的坐标是． 同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 3-4．（2024高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案. 【详解】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题. （四） 空间向量的坐标运算 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 题型4：空间向量的坐标运算 4-1．（2024高二上·新疆昌吉·期中）已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 4-2．（2024高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)2 (3)4 【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解， （2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解， 【详解】（1）由，得 （2） （3） 56．（2024高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】，，，， 【分析】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意， ， ， ， ， . 4-3．（2024高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，，则; 故选：D 4-4．（2024高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A （五） 空间向量的平行、垂直及模、夹角 1.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 3.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 题型5：空间向量的平行问题 5-1．（2024高二下·福建宁德·期中）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解. 【详解】解：若，则， 因为已知向量，，所以，解得， 所以. 故选：. 5-2．（2024高二上·吉林延边·阶段练习）向量，，，且，，则 . 【答案】 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答. 【详解】因，，而，则有，解得，即 又，且，则有，解得，即， 于是得，， 所以. 故答案为： 5-3．（2024高二上·江苏南通·期中）已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解. 【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以 故选：C 【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n. 5-4．（广东省潮州市湘桥区南春中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值. 【详解】，， 则， 由，可得，解之得 故选：B 题型6：空间向量的垂直问题 6-1．（2024高二下·福建宁德·期中）已知向量，. (1)求与的夹角余弦值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案； （2）利用向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， ，， 所以； （2）， 因为，所以， 解得. 6-2．（安徽省滁州市定远县民族中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题）已知点、、，，． (1)若，且，求； (2)求； (3)若与垂直，求． 【答案】(1)或； (2) (3)或 【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）、，，，且， 设，且， 解得，或； （2）、、，，， ，， ； （3），， 又与垂直， ， 解得或． 6-3．（2024高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可. （2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可. （3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可. 【详解】（1），， ， ． （2）因为， 所以，解得， 因为，且向量与垂直， 所以， 即， ． 所以实数和的值分别为和； （3）解：设， 则 解得， 即， 所以向量与向量，共面． 6-4．（2024高二上·重庆渝中·阶段练习）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由空间向量的坐标计算可得， ，，，2，，进而由两个向量垂直可得，解可得的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，向量    .，，则，    ，，，2，， 若向量.与.互相垂直，则有， 解可得：； 故选：D. 题型7：空间向量的距离问题 7-1．（2024高二上·山东日照·期末）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用数量积公式求，再利用数量积的坐标表示求模. 【详解】因为，所以，解得 所以，. 故答案为： 7-2．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||. 【答案】 【分析】利用空间向量法求向量的模长得到结果. 【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有，，，，，，，， . 7-3．（2024高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，即，所以， 所以， 故选：C． 7-4．（2008·宁夏）已知向量，且，则 ． 【答案】3 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 题型8：空间向量的夹角问题 8-1．（2024高二下·甘肃白银·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，，由空间向量的夹角公式可得， ， 所以、夹角的余弦值是， 故答案为：. 8-2．（2024高三·甘肃武威·单元测试）已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是 ． 【答案】120° 【分析】根据向量的坐标运算，求得与的坐标，再利用向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)， 则， 所以, 又因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8-3．（2024高二上·吉林长春·期末）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（    ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】 利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以，， 又与夹角的余弦值为，， 所以，解得， 注意到，即，所以. 故选：A. 8-4．（2024高二上·山东临沂·期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出n，再利用向量夹角公式求出夹角. 【详解】，解得，则， ，， 设向量与的夹角为，则， ，，即与的夹角为． 故选：A． 8-5．（2024高二·全国·课后作业）已知向量 (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案； （2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 又因为，所以 故与夹角的余弦值为. 8-6．（2024高二上·河南平顶山·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴； （2）设与的夹角为，则， ，，，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为. 题型9：空间向量的投影问题 9-1．（江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期期中数学试题）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选:C. 9-2．（2024高二上·广东惠州·期末）已知，，则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为，，所以， 所以， 所以在上的投影向量为 故选：C 9-3．（2024高二下·江苏徐州·期中）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以在上的投影向量为 故选：B 9-4．（2024高二下·江苏徐州·期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解. 【详解】因为，，， 所以， 所以，， ， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 一、单选题 1．（2024高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知， 由，得， 解得. 故选：B. 2．（2024高二上·北京丰台·期末）若向量，满足条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ， 所以 ， 所以， 故选：B 3．（2024高二上·天津·期中）若向量，，且a→,b→的夹角的余弦值为，则实数等于（   ）. A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可． 【详解】由题意得，解得或， 故选:C． 4．（2024高二上·天津·期末）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】， ， 故选：A 5．（2024高二下·福建宁德·期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据题意，设，列出方程组即可得到结果. 【详解】因为，，，且，，三向量共面， 设，则， 即，解得. 故选：D 6．（2024高三·甘肃武威·单元测试）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为， ，则等于（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量运算法则，利用，即可得出． 【详解】在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，， 则，，. 故选：C． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（2024高二下·江苏南通·期中）设、，向量，，且，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，，因此，. 故选：D. 8．（2024高二上·北京丰台·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算可得，，由，不共线，结合向量基本定理可得，求得C点坐标为，代入验算即可得解. 【详解】由，， 显然，不共线， 根据向量基本定理可得， 故C点坐标为， 经验算只有B选项符合条件， 此时， 故选：B 9．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】先根据求出，再根据求出，故可求. 【详解】因为，故，故， 因为，故，故，故，， 故，故， 故选：D. 10．（2024高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．取的中点为H，连接，.证明出点P只能在线段上运动．设（）表示出，求出模长，利用二次函数求出PC长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.    取的中点为H，连接，. 在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以. 又面，面， 所以面. 同理可证：面. 又，所以平面平面． 因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，， ， ． 当时，取得最小值；当时，取得最大值36． 故PC长度的取值范围为． 故选：C 【点睛】立体几何求最值的方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 11．（2024高二下·广西百色·阶段练习）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 12．（2024高三上·福建龙岩·期末）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】建立空间坐标系，设，求出关于的表达式，根据球的半径得出的取值范围，利用简单的线性规划得出答案. 【详解】设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系， 则， 设，则，， ， 在以为球心，以为半径的球面上， ， ，， 令， 则直线与单位圆相切时，截距取得最小值， 令，解得或 的最大值为. 故选：C 【点睛】本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题. 13．（2024高三上·湖北·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．17 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量，设出，根据求出，计算出，得到最小值. 【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面MPN的法向量为， 则， 令，则，故， 设，则， 因为直线与平面平行，所以， ， 因为，所以， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故选：A 二、多选题 14．（2024高二上·河北·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】 对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】 因为，且，故A不正确； 因为，，则，故B正确； 因为，，故C正确； 由于，，所以，所以D正确. 故选:BCD. 15．（2024高二上·河北邯郸·阶段练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断． 【详解】在等边中，，所以，则，，则. 故选：ABC 16．（2024高二上·全国·课后作业）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量坐标运算，求解向量的加法、减法的坐标，数量积及向量的模即可. 【详解】 因为，， 所以，，， .故正确的选项为ACD. 故选：ACD 17．（2024高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 三、填空题 18．（2024高二下·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 19．（2024高二下·江苏·课后作业）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为与的夹角是锐角，所以， 即，解得， 若与的夹角为，则存在，使， 即，所以，解得. 故t的取值范围是. 故答案为：. 20．（2024高二下·江苏·课后作业）若，，若与的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 . 【答案】 【分析】由与的夹角是钝角转化为且与不反向. 【详解】已知，， 因为与的夹角是钝角，所以，即， 即，解得. 若与的夹角为180°，则存在，使， 所以，解得，. 所以，且. 故的取值范围是. 21．（2024高二下·江苏·课后作业）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】夹角为钝角可得且与不反向. 【详解】由已知与的夹角为钝角，则， 即，解得. 若a与b的夹角为180°，则存在，使. 所以，所以，，所以且. 故t的取值范围是. 故答案为：. 22．（2024高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据与的夹角为钝角，由，且不共线求解. 【详解】解：因为向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 23．（2024高二·全国·课后作业）已知点，，点满足，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，用表示出，即可得． 【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是. 故答案为：． 【点睛】本题考查空间向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标表示，是坐标原点，的坐标就是点的坐标． 24．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，即，即，解得. 故答案为： 25．（2024高二下·辽宁本溪·阶段练习）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由已知先求，再写出表达式，即可求得最小值. 【详解】解：，， ∴ ， ，当且仅当时等号成立，即的最小值为 故答案为：. 26．（2024·浙江金华·三模）已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，,利用向量的坐标运算求出，进而求出，借助向量模的运算及，整理可得，进而得解. 【详解】由题意可设，，, 由，得， ， ， 所以 （当且仅当，时等号成立）， 所以的最小值为. 故答案为：. 27．（2024高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 28．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值. 【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ， 由可设，由是单位空间向量可得， 由可设， ， 当，的最小值是2，所以 ，取， ， ， 当时，最小值为. 故答案为：. 29．（2024高二上·上海长宁·期末）已知，，且，则为 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积为0，可求得，再利用向量的减法及模长公式可求解. 【详解】，，且， ， 即，解得 又 故答案为： 30．（2024高二下·上海徐汇·开学考试）已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可. 【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、 所以，如图， 设，则 因为 当时取等号，此时点P在ABCD平面内， 又 当时取等号，此时点P在ABCD平面内. 即所求的范围是. 故答案为： 31．（2024高二上·吉林松原·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时， ． 【答案】/ 【分析】由题意设点的坐标，求出的表达式，根据二次函数的性质计算出的最小值，进而得出点的坐标，再计算即可. 【详解】解：因为点在直线上运动，， 所以设， 则 ， 所以当时，取得最小值，此时， 所以 故答案为： 四、解答题 32．（2024高二下·江苏·课后作业）已知向量，．求． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积公式即可求得结果. 【详解】由向量，， 可得. 33．（2024高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．    (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得的坐标，应用向量模长的坐标运算求； （2）由（1）得、的坐标，利用向量夹角的坐标表示求； 【详解】（1）以为原点，分别以射线､､为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，则.    （2）由（1）知，， 所以； 34．（2024高二上·安徽合肥·期中）（1）已知向量. ①计算和 ②求. （2）已知向量. ①若，求实数； ②若，求实数. 【答案】（1）①，；②；（2）①；② 【分析】（1）由空间向量的坐标运算求解， （2）由空间向量平行与垂直的坐标表示求解， 【详解】（1）①向量， ，， ②，即 ，， （2）因为向量， ， ①， ，解得， ②， ，解得. 35．（2024高二下·江苏·课后作业）已知向量，，，，. (1)求x，y，z的值； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的平行以及垂直关系列出方程，求解方程组即可. （2）根据两个向量所成角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）∵，，， ， 因为，设存在实数，使得， 所以，则. 因为，，则. ∴所以. （2）由（1）知，，， ∴，， ∴， ，， ∴. ∴向量与所成角的余弦值为. 36．（2024高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.    (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出，，，的坐标； （2）利用重心坐标公式计算得到点坐标； （3）利用向量相等得到点B坐标； 【详解】（1）   如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系． 设点，点在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即， 设点，点在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即， 设点，点在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即， 且点在轴上，则. （2）是的重心，由三角形重心公式可得 . （3）设，且，则，， 又 ，即 点B坐标为. 37．（2024高二上·湖南郴州·期中）已知向量，，，且． (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由已知，使得.解方程组，即可得出答案； （2）求出，，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可得出的值． 【详解】（1）因为，所以，使得， 所以有，解得，所以，. （2）由（1）知，，所以，. 因为，所以， 即，解得. 38．（2024高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 【答案】 【分析】构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设，得，根据EF的长最小满足，应用向量垂直的坐标表示可得，最后由向量模长的坐标表示和二次函数性质求最值. 【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，， 设，，则， 设，，则． 若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即， 因此，， 当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为． 39．（2024高二上·河北廊坊·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解. 【详解】方案一：选条件①． 假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，． 因为，所以，即． 因为，，所以，所以．又， 所以，故存在点，，满足，此时． 方案二：选条件②． 假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以． 设，，则，，， 所以，．因为，且， 所以，解得．又，所以， 故存在点，，满足，此时． 方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2， 则，，，，所以，． 设，，则．因为， 所以与不共线，所以，即， 则， 故不存在点，满足． 40．（2024高二上·安徽滁州·阶段练习）已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）， ， ． （2）因为点在直线上，与共线， 则存在使得，即， ，解得； （3）， 与垂直, ， ， 时，与垂直． 41．（2024高二·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，． (1)在上是否存在点，使得？ (2)在上是否存在点，使得平面？ 【答案】(1)存在 (2)存在 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，求出点的坐标，再利用，求出，即存在点D，使得，且这时点D与点B重合． （2）设，由平面， 则存在实数，使成立，即可求出，故在上存在点使得平面，且是的中点. 【详解】（1）直三棱柱中，，，，则、、 两两垂直 如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，．    （1）假设在AB上存在点D，使得， 则，其中，则，于是， 由于，且，所以，得， 所以在AB上存在点D，使得，且这时点D与点B重合． （2）假设在AB上存在点D，使得平面，则，其中， 则，． 又，，平面， 所以存在实数，使成立， ∴，，． 所以，所以在上存在点使得平面，且是的中点． 42．（2024高一下·福建泉州·期末）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．    （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析. 【分析】（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标； （2）根据空间中两点的距离公式求解即可； （3）由空间中向量的数量积公式，证明即可. 【详解】（1）由于为坐标原点，所以 由得： 点N是AB的中点，点M是的中点，； （2）由两点距离公式得：， ； （3）直线与直线不垂直 理由：由（1）中各点坐标得： 与不垂直，所以直线与直线不垂直 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题. 43．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，所以，，则. （2）解：依题意得、、、， 所以，，，， 又，， 所以，. （3）证明：依题意得、、、、， 则，，， 所以，，， 则，，即，， 又因为，所以，平面. 44．（2024高二下·江苏南京·期中）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得的坐标，再求模即可； （2）分别求得的坐标，再利用向量的夹角公式求解； （3）分别求得的坐标，再判断是否为零即可. 【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）由（1）知， 所以， 则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$