广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷

广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷 一、选择题 1．（3分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线 C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线 2．（3分）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．8x＝2×4x C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 3．（3分）已知点P（m﹣3，m﹣1）在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 5．（3分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②______）． ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 6．（3分）某单位向一所希望小学赠送了1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（3分） 在Rt△ABC中，∠B＝90°，过点A作AD∥BC，连接CD与AB交于点F，E是边DF的中点，∠ACD＝2∠D，若DF＝8，BC＝，则AB的长为 （ ）． A. B. C. D.4 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是 　 　． A. B. C. D. 二、填空题 9．（3分）分解因式：3a3﹣9a2+3a＝　 　． 10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 11．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4的交点坐标为（，3），则不等式kx+b≥﹣2x+4的解集为 　 　. 12．（3分）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D，E为BC中点，DE＝4，AC＝2，则AB长为　 　． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，点P是BC边上一点，连接AP，以A为中心，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ，则CQ的长度为 　 　． 三、解答题 14．（5分）解方程：． 15．（7分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的图形△A2B2C2并写出B2的坐标． 17．（8分）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． （1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； （2）在（1）的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 18．（9分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取AO，CO的中点E，F 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若EF＝2AE，S△AED＝4，求▱ABCD的面积． 19．（12分）如图①②，在四边形ABCD中，AD∥BC，顶点坐标分别为A（﹣1，），B（﹣2，0），C（3，0），D（2，），∠ABC＝60°，动点N从C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向B运动，另一个动点M以每秒2个单位长度的速度从B开始运动，N、M同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． 请回答下列问题： （1）AB＝　 　，AD＝　 　； （2）如图①，若点M沿折线BA﹣AD﹣DC向C运动， ①t为何值时，MN⊥AB，请说明理由； ②t为何值时，以点M、N和四边形ABCD的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图②，若点M沿射线BA运动，当线段MN被AD平分时，直接写出点M坐标为 　 　． 20．（12分）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，∠ADC＝90°，点O是边AD的中点，连接AC．保持▱ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． 初步思考：（1）如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD∥OM，请你证明这一结论； 操作探究：（2）如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论； 拓展延伸：（3）已知，CD＝2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度． 广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷 参考答案与试题解析 一．试题（共20小题，满分100分） 1．（3分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线 C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线 【答案】D 2．（3分）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．8x＝2×4x C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 【答案】C 3．（3分）已知点P（m﹣3，m﹣1）在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．（3分）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】A 5．（3分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②______）． ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 【答案】D 6．（3分）某单位向一所希望小学赠送了1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 7．（3分） 在Rt△ABC中，∠B＝90°，过点A作AD∥BC，连接CD与AB交于点F，E是边DF的中点，∠ACD＝2∠D，若DF＝8，BC＝，则AB的长为 （ ）． A. B. C. D.4 【答案】C． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是 　 　． A. B. C. D. 【答案】A 9．（3分）分解因式：3a3﹣9a2+3a＝　3a（a﹣）（a﹣）　． 【答案】3a（a﹣）（a﹣）． 10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x＞﹣3　． 【答案】x＞﹣3． 11．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4的交点坐标为（，3），则不等式kx+b≥﹣2x+4的解集为 　x≥　. 【答案】x≥． 12．（3分）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D，E为BC中点，DE＝4，AC＝2，则AB长为　6　． 【答案】6． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，点P是BC边上一点，连接AP，以A为中心，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ，则CQ的长度为 　4﹣4　． 【答案】4﹣4． 14．（5分）解方程：． 【答案】原方程无解． 15．（7分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】，当x＝0时，分式的值为﹣． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的图形△A2B2C2并写出B2的坐标． 【答案】（1）见解答． （2）画图见解答；B2 （﹣3，5）． 17．（8分）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． （1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； （2）在（1）的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； （2）购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少． 18．（9分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取AO，CO的中点E，F 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若EF＝2AE，S△AED＝4，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）甲和乙方案都正确；证明见解答； （2）▱ABCD的面积是32． 19．（12分）如图①②，在四边形ABCD中，AD∥BC，顶点坐标分别为A（﹣1，），B（﹣2，0），C（3，0），D（2，），∠ABC＝60°，动点N从C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向B运动，另一个动点M以每秒2个单位长度的速度从B开始运动，N、M同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． 请回答下列问题： （1）AB＝　2　，AD＝　3　； （2）如图①，若点M沿折线BA﹣AD﹣DC向C运动， ①t为何值时，MN⊥AB，请说明理由； ②t为何值时，以点M、N和四边形ABCD的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图②，若点M沿射线BA运动，当线段MN被AD平分时，直接写出点M坐标为 　（0，2）　． 【答案】（1）2，3； （2）①t＝1时，MN⊥AB； ②t的值为或或2； （3）（0，2）． 20．（12分）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，∠ADC＝90°，点O是边AD的中点，连接AC．保持▱ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． 初步思考：（1）如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD∥OM，请你证明这一结论； 操作探究：（2）如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论； 拓展延伸：（3）已知，CD＝2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度． 【答案】（3）线段AM的长度为2﹣或1或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$