2.2.1 有理数的乘法（八大题型过关练）同步重难点题型分类专练- 2024-2025学年人教版（2024)数学七年级上册

2.2.1 有理数的乘法（八大题型过关练） 【知识考点 有理数的乘法】 【解题必备知识】 1.有理数乘法的运算法则及运算律 1）有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； （2）任何数与0相乘，都得0． 乘法法则的延伸： （1）两个有理数相乘，积是一个有理数； （2）几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数； （3）几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0； （4）遇到多个不为0的数相乘，先确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2）有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律： 文字语言表达：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. 符号语言表达：ab＝ba （2）乘法结合律： 文字语言表达：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 符号语言表达：(ab)c＝a(bc) （3）乘法分配律： 文字语言表达：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 符号语言表达：a(b+c)＝ab+ac． 2.倒数的概念 1）倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的几个要点： （1）若，则，互为倒数；反之，若，互为倒数，则； （2）“互为倒数”的两个数是互相依存的，是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； （3）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （4）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （5）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； （6）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数； （7）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； （8）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)。 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 两个有理数的乘法运算 【题型2】 多个有理数的乘法运算 【题型3】 倒数及其性质 【题型4】 有理数乘法运算律 【题型5】 有理数乘法的混合（简便）运算 【题型6】 有理数的运算与倒数、相反数、绝对值的综合 【题型7】 有理数乘法的实际应用 【题型8】 有理数乘法运算中有关规律和新定义问题 【题型1】 两个有理数的乘法运算 【例1】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】（2024·天津滨海新·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（2023-2024七年级上·山东青岛·期中）下列运算结果为正数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2) ； （3）； (4) ． 【变式1-5】（2023-2024七年级·四川成都·阶段练习）从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【题型2】 多个有理数的乘法运算 【例2】（2023-2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2-1】（2023-2024七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (   ) A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个 【变式2-2】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【变式2-3】（2023-2024七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023-2024七年级上·河北沧州·期中）绝对值小于50的所有整数的乘积为 ． 【变式2-5】（2023-2024七年级上·河南周口·期中）已知，，，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3】 倒数及其性质 【例3】（2023-2024七年级上·广东广州·期中）若，则的倒数是 ． 【变式3-1】（2024·广东广州·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022-2023七年级上·湖南沅江·期末）与 互为倒数． 【变式3-3】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）与互为倒数，那么等于（   ） A． B．2 C． D． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-5】（2023-2024七年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 【题型4】 有理数乘法运算律 【例4】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）在算式：中，运用了（ ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 【变式4-1】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）在中，用到的乘法运算律是（ ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【变式4-2】（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【变式4-3】（2023-2024七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（ ）这一运算规律 A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【变式4-4】（2022-2023七年级上·湖南株洲·期末）算式可以化为（ ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2023-2024七年级上·河北邯郸·期中）若的值记为p，则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型5】 有理数乘法的混合（简便）运算 【例5】（2023-2024七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式5-1】（2023-2024七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算的值是 ． 【变式5-3】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【变式5-4】（2023-2024七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】（2023-2024七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2) 【题型6】 有理数的运算与倒数、相反数、绝对值的综合 【例6】（2023-2024七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值（ ） A．0 B． C．0或 D．0或 【变式6-1】（2023-2024七年级·湖南长沙·期中）若a与-2互为倒数，则a的相反数是 ． 【变式6-2】（2023-2024七年级·重庆·期末）的倒数的绝对值的相反数为 ． 【变式6-3】（2023-2024七年级上·四川广安·期末）若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（   ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 【变式6-4】（2023-2024七年级·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 【变式6-5】（2023-2024七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【题型7】 有理数乘法的实际应用 【例7】（2023-2024七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（   ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 【变式7-1】（2023-2024七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（   ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【变式7-2】（2023-2024七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式7-3】（2023-2024七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 【变式7-4】（2023-2024七年级·四川资阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【变式7-5】（2023-2024七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【题型8】 有理数乘法运算中有关规律和新定义问题 【例8】（2023-2024七年级上·广东佛山·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【变式8-1】（2023-2024七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【变式8-2】（2023-2024七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________； ________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【变式8-3】（2023-2024七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一种运算满足，；．例如：． （1） ． （2）如图，数轴上从左至右排列着三个数b，c，a，其中c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2，则 （填“>”“<”或“=”），计算 ． 【变式8-4】（2023-2024七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【变式8-5】（2023-2024七年级上·山东济南·期中）如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（ ） A．3 B．6 C．4 D．2 【中考真题提前练】 1．（2023·湖南·中考真题）计算：（   ） A． B．6 C． D．8 2．（2023·天津·中考真题）计算（-）×（-2）的结果等于（   ） A． B． C． D．1 3.（2022·浙江台州·中考真题）计算的结果是（   ） A．6 B． C．5 D． 4．（2023·山西·中考真题）计算的结果为（   ）． A．3 B． C． D． 5．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（ ） A．6 B． C．1 D． 6．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 7．（2023·湖南·中考真题）的倒数是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 9．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 10.（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 11．（2022·湖北随州·中考真题）计算：______． 12．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 有理数的乘法（八大题型过关练） 【知识考点 有理数的乘法】 【解题必备知识】 1.有理数乘法的运算法则及运算律 1）有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； （2）任何数与0相乘，都得0． 乘法法则的延伸： （1）两个有理数相乘，积是一个有理数； （2）几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数； （3）几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0； （4）遇到多个不为0的数相乘，先确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2）有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律： 文字语言表达：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. 符号语言表达：ab＝ba （2）乘法结合律： 文字语言表达：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 符号语言表达：(ab)c＝a(bc) （3）乘法分配律： 文字语言表达：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 符号语言表达：a(b+c)＝ab+ac． 2.倒数的概念 1）倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的几个要点： （1）若，则，互为倒数；反之，若，互为倒数，则； （2）“互为倒数”的两个数是互相依存的，是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； （3）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （4）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （5）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； （6）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数； （7）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； （8）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)。 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 两个有理数的乘法运算 【题型2】 多个有理数的乘法运算 【题型3】 倒数及其性质 【题型4】 有理数乘法运算律 【题型5】 有理数乘法的混合（简便）运算 【题型6】 有理数的运算与倒数、相反数、绝对值的综合 【题型7】 有理数乘法的实际应用 【题型8】 有理数乘法运算中有关规律和新定义问题 【题型1】 两个有理数的乘法运算 【例1】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果； （4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果． 【解答】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】（2024·天津滨海新·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【解答】解：． 故选：D． 【变式1-2】（2023-2024七年级上·山东青岛·期中）下列运算结果为正数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算及正、0、负数的概念．根据各个选项中的式子，计算出相应的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：A、，是正数，该选项符合题意； B、，是负数，不是正数，该选项不符合题意； C、，不是正数，该选项不符合题意； D、，是负数，不是正数，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【解答】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-4】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2) ； （3）； (4) ． 【答案】(1)0； (2)；(3)；(4) 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 【解答】解：（1） （2） （3） ； （4） 【变式1-5】（2023-2024七年级·四川成都·阶段练习）从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【解答】积的最大值是，积的最小值为， 故答案为：，． 【题型2】 多个有理数的乘法运算 【例2】（2023-2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法运算，按从左到右的顺序进行计算即可求解. （2）根据有理数的乘法法运算，按从左到右的顺序进行计算即可求解. 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法运算，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【变式2-1】（2023-2024七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (   ) A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】A 【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算．熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键．根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可． 【解答】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中，负数有1个或3个， 故选：A． 【变式2-2】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（2023-2024七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【解答】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 【变式2-4】（2023-2024七年级上·河北沧州·期中）绝对值小于50的所有整数的乘积为 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是绝对值的含义，多个有理数的乘法运算，熟记一个数与0相乘得0是解本题的关键． 【解答】解：∵绝对值小于50的所有整数中包含0， ∴绝对值小于50的所有整数的乘积为0； 故答案为：0 【变式2-5】（2023-2024七年级上·河南周口·期中）已知，，，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是运用有理数乘法结果符号的确定方法进行求解． 【解答】解：，， ，， ， ， ，，， 故选：C． 【题型3】 倒数及其性质 【例3】（2023-2024七年级上·广东广州·期中）若，则的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．先求解的值，再根据倒数的定义可求解． 【解答】解：， 解得， 的倒数为． 故答案为：． 【变式3-1】（2024·广东广州·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【解答】解： ∴的倒数为， 故选：C． 【变式3-2】（2022-2023七年级上·湖南沅江·期末）与 互为倒数． 【答案】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【解答】解：与互为倒数；故答案为：． 【点评】本题考查了倒数的定义，熟记：乘积为1的两个数互为倒数． 【变式3-3】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）与互为倒数，那么等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【解答】解：∵与互为倒数， ， ， 故选：A． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将小数化为分数，带分数化为假分数，根据倒数的定义求解即可． 【解答】（1），所以的倒数是． （2）的倒数是4． （3）的倒数是． （4），所以的倒数是． 【点评】本题主要考查倒数，牢记倒数的定义以及求倒数的方法是解题的关键． 【变式3-5】（2023-2024七年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．根据互为负倒数的定义可知，用即可得到的负倒数． 【解答】解：， 的负倒数是． 故答案为：． 【题型4】 有理数乘法运算律 【例4】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）在算式：中，运用了（ ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可． 【解答】解：算式中，运用了分配律． 故选：C． 【变式4-1】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）在中，用到的乘法运算律是（ ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【解答】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 【变式4-2】（23-24七年级上·福建福州·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【解答】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（ ）这一运算规律 A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律． 【解答】解：由图可知，， 由上可得，上面的式子用的是乘法分配律， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 【变式4-4】（2022-2023七年级上·湖南株洲·期末）算式可以化为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘法分配律分析即可得到答案． 【解答】 ， 故选：B 【点评】本题主要有理数的乘法分配律的运用，理解并熟练掌握有理数的乘法分配律的运用是解题的关键． 【变式4-5】（2023-2024七年级上·河北邯郸·期中）若的值记为p，则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律．利用乘法分配律将转化为，求解后即可得出结果． 【解答】解：∵的值记为p， ∴ ； 故选C． 【题型5】 有理数乘法的混合（简便）运算 【例5】（2023-2024七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（2023-2024七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 【答案】 分配律 【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键． 【解答】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算； 原式； 故答案为：分配律，． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算的值是 ． 【答案】 【分析】我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查有理数的乘法运算，简便计算，掌握有理数的乘法运算法则及简便计算的方法是解题的关键． 【变式5-3】（2024-2025七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-4】（2023-2024七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 利用乘法分配律将因数进行变形即可． 【解答】解：，可以使计算简便， 故答案为：D 【变式5-5】（2023-2024七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化成，应用乘法分配律，即可求解， （2）两次应用乘法结合律，即可求解， 本题考查了有理数乘法运算律，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【解答】（1）解： ， （2）解： ． 【题型6】 有理数的运算与倒数、相反数、绝对值的综合 【例6】（2023-2024七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值（ ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的定义，得出，则，即可求解． 【解答】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3， ∴，则， 当时，， 当时，， 综上：的值为0或， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【变式6-1】（2023-2024七年级·湖南长沙·期中）若a与-2互为倒数，则a的相反数是 ． 【答案】 【分析】先根据a与-2互为倒数，求得a=，再根据相反数的定义计算即可． 【解答】解：∵a与-2互为倒数， ∴a=， ∴a的相反数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了倒数即乘积为1的两个数；相反数即只有符号不同的两个数，熟记两个概念是解题的关键． 【变式6-2】（2023-2024七年级·重庆·期末）的倒数的绝对值的相反数为 ． 【答案】 【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可． 【解答】解：∵， ∴的倒数是， ∴的绝对值是， ∴的相反数为， ∴的倒数的绝对值的相反数为， 故答案为． 【点评】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题的关键． 【变式6-3】（2023-2024七年级上·四川广安·期末）若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（   ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的意义，有理数的加法等知识．先根据题意得到，，再分和两种情况即可求出的值． 【解答】解：因为a的绝对值为7， 所以， 因为b的倒数为， 所以， 当是，； 当是，． 故选：D． 【变式6-4】（2023-2024七年级·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可． 【解答】∵a，b互为相反数，的倒数是， ∴，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 【变式6-5】（2023-2024七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【解答】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 【题型7】 有理数乘法的实际应用 【例7】（2023-2024七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（   ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 【答案】C 【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为（元），进而可求； 【解答】解：假设取暖器原价为100元， 则现价为（元）， ∵， ∴取暖器的现价比原来涨了． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键． 【变式7-1】（2023-2024七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（   ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【解答】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 【变式7-2】（2023-2024七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【解答】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 【变式7-3】（2023-2024七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 【答案】(1)盈利元 (2)盈利万元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用以及正负数的实际意义： （1）根据合计可计算出星期四的数值，以此可判断出是盈还是亏； （2）根据题意可得到正负数，进行运算即可； 正确计算是解题的关键． 【解答】（1）解：根据题意可得： 星期四的数值为：， ∴星期四是盈利元； （2）解：蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，即三个月盈利（万元）， 月平均每月亏损2万元，即三个月亏损（万元）， 月平均每月亏损1万元，即两个月亏损（万元）， 月平均每月盈利5万元，即四个月盈利（万元）， 则（万元）， 即该蛋糕店去年情况为盈利万元． 【变式7-4】（2023-2024七年级·四川资阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)该厂星期一生产工艺品的数量为个 (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品 (3)该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量个 (4)该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，此类题常常结合生产、生活中的热点问题，是近几年中考的必考题型，认真阅读，理解题意是解此类题的关键． （1）根据表格将与相加即可求得周一的产量； （2）由表格中的数字可知星期六产量最高，星期五产量最低，用星期六对应的数字与相加求出产量最高的量，同理用星期五对应的数字与相加求出产量最低的量，两者相减即可求出所求的个数； （3）由表格中的增减情况，把每天对应的数字相加，利用互为相反数的两数和为，且根据同号及异号两数相加的法则计算后，与与的积相加即可得到工艺品一周共生产的个数； （4）用乘以单价元，加超额的个数乘以，减不足的个数乘以，即为一周工人的工资总额．本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【解答】（1）平均每天生产个，超产记为正，减产记为负， 周一的产量为：个； 答：该厂星期一生产工艺品的数量为个． （2）由表格可知：星期六产量最高为（个），星期五产量最低为（个），则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）； 答：本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品． （3）根据题意得一周生产的工艺品为：（个） 答：服装厂这一周共生产工艺品个； （4）， （元） 则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：， 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 【变式7-5】（2023-2024七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①② （2）9 （3），时，若，则，若，则，若，则；，时，若，则，若，则，若，则． 【分析】本题考查了有理数加法和乘法法则及分类讨论的应用： （1）根据a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案； （2）最大，需a、b同号，而知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案； （3）根据a、b异号，分类讨论与0的大小． 【解答】（1）解：， a、b同号， a、b同为正数时，； a、b同为负数时，； 故答案为：①②； （2）解：，最大， a、b同号， ， a、b同为负数， a、b为整数， a、b分别为和，此时；或a、b分别为和，此时；或a、b分别为和，此时， 故答案为：9； （3）解：， a、b异号， ①设，则， 若，则， 若，则， 若，则， ②设，则， 若，则， 若，则， 若，则， 综上所述，，时，若，则，若，则，若，则；，时，若，则，若，则，若，则． 【题型8】 有理数乘法运算中有关规律和新定义问题 【例8】（2023-2024七年级上·广东佛山·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①② 【分析】①将，代入计算可得②根据法则，先计算，再计算⊕可得；根据新定义分别验证交换律与结合律，即可判断③④． 【解答】解：①解：∵， ∴；故①正确； ②∵， ∴ ；故②正确； ③ 例如：由①知 又∵ ∴， ④ 例如② ∴ ∴ 故答案为：．①② 【点评】本题主要考查新运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用． 【变式8-1】（2023-2024七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【解答】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键． 【变式8-2】（2023-2024七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________； ________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【解答】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 【变式8-3】（2023-2024七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一种运算满足，；．例如：． （1） ． （2）如图，数轴上从左至右排列着三个数b，c，a，其中c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2，则 （填“>”“<”或“=”），计算 ． 【答案】 【分析】（1）根据求出的值即可； （2）先根据题意求出，再根据和分别求出和的值，得到和的大小关系，再求出，进一步求出的值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为： （2）∵c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2， ∴， ∵；， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 【点评】本题考查了有理数的运算和比较有理数大小，正确理解新运算法则、掌握有理数运算的顺序和法则是解题的关键． 【变式8-4】（2023-2024七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【解答】解：由题意知， ， 故答案为：． 【变式8-5】（2023-2024七年级上·山东济南·期中）如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（ ） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以写出前几次输出的结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而得到第2019次输出的结果． 【解答】解：根据题意得：可发现第1次输出的结果是24； 第2次输出的结果是24×=12； 第3次输出的结果是12×=6； 第4次输出的结果为6×=3； 第5次输出的结果为3+5=8； 第6次输出的结果为8=4； 第7次输出的结果为4=2； 第8次输出的结果为2=1； 第9次输出的结果为1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第3次开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2017-2）6=335.....5， 则第2017次输出的结果为2. 故选：D. 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中输出结果的变化规律． 【中考真题提前练】 1．（2023·湖南·中考真题）计算：（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：． 故选：A 【点评】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 2．（2023·天津·中考真题）计算（-）×（-2）的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则，进行计算即可． 【解答】解：； 故选D． 【点评】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键． 3.（2022·浙江台州·中考真题）计算的结果是（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解：． 故选：A． 4．（2023·山西·中考真题）计算的结果为（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可． 【解答】解：． 故选A． 【点评】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键． 5．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（ ） A．6 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法法则计算可求解． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键． 6．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【解答】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 7．（2023·湖南·中考真题）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定． 【解答】解：的倒数为． 故选C． 【点评】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键． 8．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义，进行求解即可． 【解答】解：的倒数是 故选B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键． 9．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【解答】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 10.（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【解答】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 11．（2022·湖北随州·中考真题）计算：______． 【答案】0 【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 12．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【解答】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$