精品解析：江苏省盐城市大丰市南阳中学2012-2013学年高一下学期期中数学试题

2013年春学期期中考试高一数学试卷 一.填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题纸的相应位置上) 1. 已知集合，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算集合，再根据交集概念计算. 【详解】,且. 故. 故答案为：. 2. 已知角的终边经过点，且，则的值为____. 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：由三角函数的定义可知,, 故答案为. 考点：三角函数的定义. 3. 若幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】 先设，再由已知条件求出，求得函数的解析式. 【详解】解：由为幂函数，则可设， 又函数的图像过点，则，则，所以 ， 故答案为：. 4. 已知函数，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 5. 已知两条直线若，则________ 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：由可知系数满足 考点：直线平行的判定 6. 设，，且，则锐角为______． 【答案】 【解析】 【详解】由得 7. 已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是______ . 【答案】0或 【解析】 【分析】运用零点概念，分类讨论计算即可. 【详解】函数，若函数只有一个零点,即只有一个根. 当，解得，满足题意. 当，解得，此时方程有两个相同的实数根，满足题意. 综上，a的值是0或. 故答案为：0或. 8. 若圆锥的母线长为cm，底面圆的周长为cm，则圆锥的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据周长求出半径，再结合勾股定理求出圆锥高度，最后运用圆锥体积公式计算． 【详解】底面圆的周长为 cm，则半径为1 cm, 圆锥的母线长为cm，则高度为cm. 则圆锥的体积为. 故答案为：. 9. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义得到不等式组，解得即可. 【详解】解：要使函数有意义，则， 即，解得，所以函数的定义域为； 故答案为： 10. 若，，若，则向量与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设向量与的夹角为，由，结合向量的运算法则，得到，即可求解. 【详解】设向量与的夹角为，因为，，且， 可得，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 11. 已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是______ .（填序号） ①若垂直于内两条直线，则； ②若平行于，则内可有无数条直线与平行； ③若，则； ④若且，则； 【答案】② 【解析】 【分析】根据空间中的线线、线面之间的基本关系，结合命题依次判断即可. 【详解】①：若垂直于内的两条平行直线，则不成立；故①错误； ②：若，则内可有无数条直线与平行，故②正确； ③：若，则或与相交或异面，故③错误； ④：若，且，则或与异面，故④错误. 故答案为：② 12. 已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将正三棱柱沿剪开，即可求解. 【详解】如图所示，将正三棱柱沿剪开，可得到一个矩形，其长为6，宽为5， 其最短路线为量相等线段之和，其长度等于， 故答案为：. 13. 已知，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据二倍角的余弦公式和诱导公式可得，再求出的范围，结合同角的平方关系计算即可求解. 【详解】由， 得， 则， 因为， 所以，得， 所以， 所以. 故答案为： 14. 定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式等价于：， 求解关于实数m的不等式组可得实数的取值范围是. 点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． 二.解答题（本大题共6小题， 满分为90分，请把解答过程写在答题卡的相应位置上） 15. 已知直线l过两直线3x+4y-5=0，2x-3y+8=0的交点，且A(2，3)，B(-4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【答案】或. 【解析】 【分析】先求出直线3x+4y-5=0，2x-3y+8=0的交点坐标，又点A(2，3)，B(-4，5)到直线的距离相等，从而求出直线的方程. 【详解】解方程组 得即交点坐标为(-1，2). ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0. 由题意得=， 解得k=-， 所以直线l的方程为y-2=-(x+1)， 即x+3y-5=0. ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，符合题意. 综上，所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1. 16. 如图，平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点. （1）求证： 平面； （2）求证： 平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质和平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明. 【小问1详解】 是的交点，四边形为正方形， ∴是中点，又是的中点， ∴中，， 又，∴， 又∵平面平面， ∴平面； 【小问2详解】 平面平面，平面平面， ∵，平面， ∴平面，又平面， ∴， 又∵，，平面， ∴平面. 17. 已知非零向量，不共线． （1）如果，，，求证：，，三点共线； （2）欲使和共线，试确定实数的值． 【答案】（1）证明：因为，， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理用，分别表示出，，有，且都过点，进而可证，，三点共线； （2）根据已知条件有，求得，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为与共线，所以存在实数，使， 则，又由于向量，不共线，只能有， 解得： 18. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【详解】试题分析：（1）先判断的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出，将所求进行变形，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与的取值范围，确定的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出、，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为，所以，于是 （2）因为，故 所以中. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 19. 函数（其中）的振幅为，周期为． （1）求的解析式； （2）求的单调增区间； （3）求在的值域． 【答案】（1） （2） ()； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知：且，； （2）利用整体法令 ()，解出即可； （3）利用整体法求出，则得到其值域． 【小问1详解】 由题可知：且； 【小问2详解】 令()， 的单调增区间为 ()； 【小问3详解】 ， 的值域为， 的值域为． 20. 设（）. （1）当时，证明：不是奇函数； （2）设是奇函数，求与的值； （3）在（2）的条件下，求不等式的解集. 【答案】（1）证明：当时，， 则， 所以，故不是奇函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）由可得，列出方程组，解之并检验即可求解； （3）由（2）可得，结合指数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是奇函数时，， 即对定义域内任意实数成立. 整理得， 所以，解得或， 经检验符合题意， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知， 由得，， ， 即的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2013年春学期期中考试高一数学试卷 一.填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题纸的相应位置上) 1. 已知集合，则=______. 2. 已知角的终边经过点，且，则的值为____. 3. 若幂函数的图象经过点，则_________． 4. 已知函数，则的值是__________. 5. 已知两条直线若，则________ 6. 设，，且，则锐角为______． 7. 已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是______ . 8. 若圆锥的母线长为cm，底面圆的周长为cm，则圆锥的体积为_____. 9. 函数的定义域为___________． 10. 若，，若，则向量与的夹角为___________. 11. 已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是______ .（填序号） ①若垂直于内两条直线，则； ②若平行于，则内可有无数条直线与平行； ③若，则； ④若且，则； 12. 已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长度为___________. 13. 已知，则_______. 14. 定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是____________． 二.解答题（本大题共6小题， 满分为90分，请把解答过程写在答题卡的相应位置上） 15. 已知直线l过两直线3x+4y-5=0，2x-3y+8=0的交点，且A(2，3)，B(-4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程. 16. 如图，平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点. （1）求证： 平面； （2）求证： 平面. 17. 已知非零向量，不共线． （1）如果，，，求证：，，三点共线； （2）欲使和共线，试确定实数的值． 18. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 19. 函数（其中）的振幅为，周期为． （1）求的解析式； （2）求的单调增区间； （3）求在的值域． 20. 设（）. （1）当时，证明：不是奇函数； （2）设是奇函数，求与的值； （3）在（2）的条件下，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $