23.3 相似三角形（课件PPT）-【齿轮同步】2024-2025学年九年级全一册数学活页好题（华东师大版）

数 学 2025华师 1 23 第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形 第1课时 相似三角形 2 相似三角形的有关概念 1.如图，，若相似比为2，，则 的长是( ) B A.1 B.2 C.1.5 D.3 2.若， ， ，则的度数是____ . 25 3 3.如图，，， ， ， ． （1）求 的大小. 解： ， ， . ． 4 （2）求 的长． 解： ， . 又， ， . 5 平行线与相似三角形 4.如图，是的边的延长线上一点，交于点 ，在不添 加辅助线的情况下，图中与 相似的三角形共有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，，与交于点，且， ， 则 的值为__. 6 6.如图，在中，点在上，点在上，点在 上， ，.若，，，求 的 长． 7 解：， ， 四边形 是平行四边形． . ， . ，即 . . 8 7.如图，点是矩形的边上一点，射线交 的 延长线于点 ，则下列结论错误的是( ) C A. B. C. D. 9 8.［学科内融合］如图，在中， ， ，直线.现将直线绕点 逆时针旋转 ，所得直线分别交边和于点， ， 若与相似，则 为( ) B A. B. C. D. 9.如图，在中，，为边 的三等分点， ，点为与的交点．若 ，则 __. 10 10.如图，，相交于点，且，点，， 在同一条 直线上．已知，，，则，， 之间满足的数量关 系式是_________. 11 11.如图，在中，点，分别在边 ， 上，且 ． （1）直接写出四边形 的形状. 解：四边形 为平行四边形. 【提示】 四边形为平行四边形，， , ， . , . 四边形 为平行四边形. 12 （2）连接，分别交，于点,，连接交于点 ．若 ，，求 的长． 13 解： ， 设，,则 . 四边形 为平行四边形， ， . ， . ， . . 又，. ． 14 12.［学科内融合］如图，在 中， ， ． （1）尺规作图：作的平分线，分别与 , 交于点, ． 解：作出的的平分线 ，如解图所示. 15 解：在中， ， . 平分, . . ， . . 又，， . ． （2）求 的值． 16 $$ 数 学 2025华师 1 23 第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形 第2课时 相似三角形的判定定理1 2 1.下列各组图形中可能不相似的是( ) A A.各有一个角是 的两个等腰三角形 B.各有一个角是 的两个等腰三角形 C.各有一个角是 的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 3 第2题图 2.如图，已知 ，欲证 ，可补充的条件为 ( ) D A. B. C. D. 第3题图 3.如图，在中，点，分别在边， 上， ，若，，，则 的长为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 4 4. (2023安阳期末改编)如图，在中，是 边上 的一点，连接 ，请添加一个适当的条件__________________________ ____，使 . （答案不唯一） 5 5.［学科内融合］如图，在中，过点 作，垂足为，连接，为 上一 点，且 . （1）求证： ． 证明：在中， ， ． ， ， . ． 6 （2）若，，，求 的长． 解：， ， ． ． 由（1）,得 ． ． ． ． 7 6.［教材P98复习题变式］如图，是 的斜边 上异于点，的定点，过点作直线截 ，使截得 的三角形与 相似，这样的直线共有( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 第7题图 7.如图， ，则图中一定相似的三角形共有 ( ) D A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 8 第8题图 8.［学科内融合］如图，在中， ， ，为上一点，且， ， 则__ . 9.如图，在正方形中，是 边上的一个动点，点 在上.当_____时,与 相似．若 ,，则 _______ . 2或 9 10. 华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． _________________________________________________________ 10 （1）动手实践：张老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮 助同学们回忆基本尺规作图：“过直线外一点作已知直线的垂线”，据此 可以作 边上的高，于是发动同学们在练习本上进行作图．现在请你利 用尺规作图：作 边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） 解：如解图所示， 即为所求作. 11 （2）独立思考：你发现图中存在___对相似三角形，请写出来 ________________________________________________． 3 ，， _________________________________________________________ 12 （3）习题反思：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，可以写出下 列三个结论：;; ． 请你按照小明的思路，选择①，②，③中的一个进行证明. _________________________________________________________ 13 解：选择①进行证明. 证明：由（2），知 . . ． （答案不唯一） _________________________________________________________ 14 11. 如图，在矩形 中， ，，点为边上一动点， 交于点 . （1）求证： . 证明： 四边形 是矩形， . , . . 15 （2）点从点出发沿边 以每秒1个单位长度的速 度匀速向点运动，运动时间为秒， 为何值时， ? 16 解： 四边形是矩形， ， . . . . ，即 . . 当时， . 17 $$ 数 学 2025华师 1 23 第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形 第3课时 相似三角形的判定定理2 2 1.如图，已知，则下列三角形中，与 相似的是 ( ) C A. B. C. D. 3 2.如图，四边形的两条不等长对角线， 相 交于点 ，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角 形．若 ，则下列结论一定正确 的是( ) A A.甲、丙相似 B.甲、乙相似 C.甲、丁相似 D.乙、丁相似 3.［学科内融合］如图，在方格纸中， 和 的顶点均在格点上，要使 ， 则点 所在的格点为( ) C A. B. C. D. 4 4. (2024安阳期末改编)如图，在 中，点，分别为边， 上的点，试添加一个条件： ______________________，使得与 相 似．（任意写出一个满足条件的即可） （答案不唯一） 5.如图，在中，为 上一点， ，则 的值为 _ __． 5 6.［学科内融合］如图，将绕点顺时针旋转 得到（ 为锐角），点与点 对应，连接 ，．求证： ． 解：绕点顺时针旋转 得到 ， ，， . . ． 6 7.如图，在中，点在边 上，则下列四个条件： ；； ； .其中能满足 的条件是( ) D A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 7 8.在三角形纸片中，，， ，按下列方法沿虚线 剪开，能使阴影部分的三角形与 相似的是( ) D A. B. C. D. 8 9.如图，已知在中，， ， ，是上一点，过点画一条直线 ，把 分成两部分，使其中的一个三角形与 相似， 这样的直线有___条. 4 10.在和中， ，， ， ，则_______时，与 相似． 2或4.5 9 11.如图，点，在线段上，是等边三角形，且 ， ，．求证： ． 10 证明： 是等边三角形， ， . . ， ， ， . ，即 . ． 11 12. 如图， ，是 内部的一点，过点作，垂足为 ， ，，动点，同时从点 出 发，点以的速度沿方向运动，点 以 的速度沿方向运动，与交于点 ， 当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为 ． 12 （1）当时， 是否成立？请说明理由. 13 解：成立.理由如下： ， ， . ， ， ，，即 . ， . . . 14 （2）在运动的过程中，不论取何值时，总有 ．为什么？ 15 解：在运动过程中，， . ， ， . 又 ， . . ， . ,即 ． 16 $$ 数 学 2025华师 1 23 第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形 第4课时 相似三角形的判定定理3 2 1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，, ， 乙三角形木框的三边长分别为5，， ，则甲、乙两个三角形( ) A A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 3 2.［学科内融合］如图，小正方形的边长均为1，则四个选项中的三角形 （阴影部分）与 相似的是( ) A A. B. C. D. 4 3.在和中，，， ， ，， ，则下列说法错误的是 ( ) D A.与相似 B.与 是对应边 C.两个三角形的相似比是 D.与 是对应边 4.若的每条边长增加各自的得，则___ . （填“ ”“”或“ ”） 5 5.如图，已知， ，则____ ． 30 6 6.如图，在中，，，在中， ， ，且，，求证： ． 证明：由题意，可得,,. . ． 7 7.［学科内融合］在正方形网格中，每个小正方形的顶 点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角 形．如图，是格点三角形，在图中的 正方形 网格中作出格点三角形(不含 ，使得 C A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 （同一位置的格点三角形 只算一个），这样的格 点三角形一共有( ) 8 8. 已知的三边长分别为，， ， 的一边长为，当 的另外两边长分别为______________ ________________时，与 相似.（写出一组数据即可） ，（答案不唯一） 9.如图，在 中， ，点，在 上，且 ． 求证： ． 9 证明：设 ,则 ,, . ， ，， . ， ， . . ． 10 10.［学科内融合］如图，在由边长为1的小 正方形组成的网格中，和 的 顶点都在格点上，，，，， 是 边上的5个格点，请按要求完成下列 各题. （1）求证： 是直角三角形. 证明：由勾股定理，得， ， . . 是直角三角形. 11 （2）判断和 是否相似，并说 明理由. 解：和 相似，理由如下： 由勾股定理，可得 ， ， . . . 12 （3）求作一个三角形，它的三个顶点为，，，， 中的3个 格点，并且与 相似．（要求：不写作法与证明） 解：如解图所示， 即为所 求作的三角形． 13 11.学习完“图形的相似”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条 件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件． （1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对 应相等的两个直角三角形全等”．类似地，你可以得到“对于两个直角三 角形，满足________________，或____________________的两个直角三 角形相似”． 一锐角对应相等 两直角边对应成比例. （2）“对于两个直角三角形，满足斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等”．类似地，你可以得到“对于两个直角三角形，满足 ______________________________的两个直角三角形相似”． 斜边和一条直角边对应成比例. 14 （3）请结合下列所给的图形，写出（2）中的 已知，并完成证明过程． 已知：如图，____. 求证： . 15 [答案] 在和 中， ， . 证明：设，则 ， . 在 中， . 在中， . . . 16 $$ 数 学 2025华师 1 23 第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形 第5课时 相似三角形的性质 2 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比 1.若，对应边上的高的比为 ，则相似比为( ) A A. B. C. D. 2.若，， ，则它们的对应角的平分线 的比是 ______，若边上的中线长为15，则 边上的中线长为___． 1∶3 5 3 3.如图，灯光光源在横杆的上方， 在灯光下的 影子为，，已知， ， 点到的距离是，求与 间的距离. 4 解：， ． 设与间的距离为 ， 则点到的距离为 . 易得，即 . ． 答：与间的距离为 . 相似三角形周长的比 4.已知，和是它们的对应中线.若 ， ，则与 周长的比是( ) C A. B. C. D. 5.已知与相似，若两个三角形的周长的比为 ， 且的中线的长为5，则的对应中线 的长为____. 20 6 6.(2023宁波期中)如图，在中，点, 分别 在，上，平分，交,于点 , ，且 . （1）求证： . 证明：平分 , . ， . . 7 （2）若与的周长之比是 ， ,求 的长. 解：， . , . . 与的周长之比是 ， . , . 8 相似三角形面积的比 7.若，且，则 的值为( ) A A. B. C. D. 9 8.如图，在和中，， ． （1）求证： . 证明： , ，即 . 又 ， . 10 （2）若，，求 的长． 解：由（1），知 ， . 又， . ． 11 9.已知两个相似三角形的相似比为 ，它们的面积之差为15，则面积之 和为( ) A A.39 B.75 C.76 D.40 10.如图，在中，，分别是边， 上的点， 且，连接.若， ，则 的面积为( ) C A.64 B.72 C.80 D.96 12 11.如图，在等腰三角形中， ，图中所有三角形均相似，其 中最小的三角形面积为1，的面积为44，则四边形 的面积是 ( ) D A.22 B.24 C.26 D.28 12.如果两个相似三角形的对应边之比是 ，其中一个三角形的一条角 平分线长为2，则另一个三角形中对应角平分线的长为________. 或 13 13.［学科内融合］如图，在中，，垂足为， ， ，四边形和四边形均为正方形，且点，，， ， 都在的边上，那么与四边形 的面积之比为_____． 1 14 14.［学科内融合］如图，在 中，对 角线,交于点，为 的中点，连接 交于点，且 ． （1）求证： . 证明： 四边形 是平行四边形， ． , . . 15 （2）求 的长. 解：由（1），可知 . . 为 的中点， ，即 . ，即 . 设，则，， . ，解得 . . 16 （3）若的面积为2，求四边形 的面积． 解:由，可知 ，且相 似比为 . , . ． . ． 17 $$ 数 学 2025华师 1 23 第二十三章 图形的相似 微专题5 相似三角形的常见模型 第6课时 相似三角形的应用 2 利用相似三角形的性质测量高度 第1题图 1.如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物 的高度， 已知标杆高，测得， ，则 建筑物 的高是( ) A A. B. C. D. 3 第2题图 2.古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方 法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆， 借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆 长，它的影长是 ，同一时刻 134 测得是，则金字塔的高度是_____ ． 4 3. 如图是小玲设计的用手电来测 量某古城墙高度的示意图．在点 处放一水平的平 面镜，光线从点 出发经平面镜反射后，刚好射到 古城墙的顶端处．已知，，且测得 ， ，，则古城墙的高度是___ . 8 利用相似三角形的性质测量长度或宽度 4.如图1，水平桌面上放置了装满液体的高 脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在 水平的桌面上，如图2所示，则此时液面的 宽 为( ) C A. B. C. D. 6 5. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深 度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆 的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点 ，如果测得 ，，，那么___ ． 3 7 6.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量小河的宽．如图，测量时， 他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部记为点 ，在他们所在的 岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点处竖起标杆 ， ,再在的延长线上选择点，竖起标杆， ,使得点 与点，共线.现测得，， ，则 河宽是____ ． 17 8 7.［教材P75练习T3变式］某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕定点旋转到位置，已知栏杆的长为，的长为 ，点 到的距离为，支柱的高为，则栏杆 端到地面的距 离为( ) B A. B. C. D. 9 8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度 ，他调 整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点 在同一直线上， 已知纸板的两条直角边，，测得边 离地面的 高度，，则树高 为( ) D A. B. C. D. 10 9.如图为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱的长为 ， 且与水平桌面垂直，灯臂的长为，灯头的横截面 为直角 三角形，当灯臂与灯柱垂直时，沿 边射出的光线刚好射到底座 点．若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度 为________. 11 10.(2023邢台期中)如图， 是一块锐角三角形余料，边 ，高，要把它加工成矩形零件 ，使一 边在上，其余两个顶点分别在边,上,交于点 .若矩形 的周长为，求出 的长度. 12 解： 四边形 为矩形， ， . ， . 四边形为矩形. . 设 . 四边形为矩形， ， . 矩形的周长为 ， 13 . ， . . . ,即 . 11.如图，某数学“综合与实践”小组为了测量某古塔 的高度，利用双休日进行了实地测量． 步骤一：把长为的标杆垂直立于地面点 处，当 塔尖点和标杆的端点确定的直线交直线于点时，测得 ； 步骤二：将标杆沿直线平移到点处，当塔尖点和标杆的端点 确定 的直线交直线于点时，测得， ． 下面是某同学根据测量结果，计算古塔 高度时的部分过程，请你补充 完整． 15 解：于点，于点 ， ． ， ． ． ， ， __ ． 同理,得___ ． …… 2 [答案] ， ， ， . 答：古塔的高度为 . 17 $$