24.3 锐角三角函数（5个知识点+9类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

24.3锐角三角函数 课程标准 学习目标 ①探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）； ②知道30°，45°，60°角的三角函数值； ③会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 1.了解正弦、余弦、正切的概念，正确运用正弦、余弦、正切表示直角三角形的两边比； 2.熟记特殊角的三角函数值； 3.能用计算器进行有关三角函数值的计算. 知识点01 锐角三角函数的概念： 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 【即学即练1】 （22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，则______；_______；________ 知识点02 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ， 2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 【即学即练2】 （23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 知识点03 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 【即学即练3】 （22-23九年级上·江苏南京·期末）计算： 知识点04 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cosA随∠A的增大而减小 tanA随∠A的增大而增大 【易错易混】 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 【即学即练4】 （23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 知识点05 用计算器进行有关三角函数值的计算. 一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果． 【即学即练5】 4．（23-24九年级上·北京·单元测试）根据下列条件利用计算器求的度数（结果用度、分、秒表示，且精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 锐角三角函数的概念 【典例1】（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，，，，，则下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（     ）．    A． B． C． D． 【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，，求，的值．    题型02 根据三角函数求边长 【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方形中，点在直线上，，则的长为________． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，则的长是（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为_______ 【变式3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值；(2)的值；(3)的值． 题型03 锐角三角函数的关系 【典例1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s______． 【变式3】（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有_______． 题型04 特殊角的三角函数值的计算. 【典例1】（22-23九年级上·全国·单元测试）计算： 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）_______． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）计算：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则△ABC的形状是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在△ABC中， ，那么△ABC是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在△ABC中，若，则么△ABC一定是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式3】（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若，，都是锐角，则△ABC是_________三角形． 题型06 由特殊角的三角函数值求角度 【典例1】（23-24九年级上·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则______；（）若，则______；（）若，则______． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，均为锐角，且，则______． 【变式3】（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角△ABC中，若，满足，求的度数． 题型07 已知角度比较三角函数值的大小 【典例1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　 ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【变式1】（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）______（填“或”）． 题型08 已知三角函数值确定锐角的范围 【典例1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是__________． 【变式3】（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是____________． 题型09 用计算器解决锐角三角函数值问题 【典例1】（23-24九年级上·北京·单元测试）计算：_______（精确到）． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）用计算器计算：，_______（精确到． 【变式2】（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝_______，∠A＝_______，∠B＝_______．（角度精确到1′） 【变式3】（18-19九年级下·全国·课后作业）已知sinα＝0.831 0，则锐角α＝；cosα＝0.951 1，则锐角α＝_______ (精确到1′)． 一、单选题 1．（2023·山东济南·模拟预测）已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 3．（20-21九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（   ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 4．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 7．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　 　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　 　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是__________． 12．（2024·贵州·模拟预测）在中，是斜边，，，则__________． 13．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，则的长等于__________． 14．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算：_______（精确到）． 15．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有__________． 16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若，，都是锐角，则△ABC是__________三角形． 17．（24-25九年级上·全国·单元测试）________． 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是__________ 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为_________ 20．（2023·上海普陀·三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则__________． 三、解答题 21．（22-23九年级上·全国·单元测试）计算： 22．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，求和的值． 23．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在边长为8的正方形中，E为上一点，，连接，过B点作交于点F，过点A作的垂线分别交，，于点G，H，M． (1)求证：． (2)求． 24．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 25．（23-24九年级上·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！ 26．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示，点，轴于点B，将绕点逆时针旋转得到，求的正弦值和余弦值． 27．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿折叠，点B恰好落在边的F处，如果，求的值． 28．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 29．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 30．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3锐角三角函数 课程标准 学习目标 ①探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）； ②知道30°，45°，60°角的三角函数值； ③会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 1.了解正弦、余弦、正切的概念，正确运用正弦、余弦、正切表示直角三角形的两边比； 2.熟记特殊角的三角函数值； 3.能用计算器进行有关三角函数值的计算. 知识点01 锐角三角函数的概念： 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 【即学即练1】 （22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，则______；_______；________ 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理，可得与的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】∵ ∴， ，，， 故答案为：，，． 知识点02 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ， 2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 【即学即练2】 （23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 知识点03 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 【即学即练3】 （22-23九年级上·江苏南京·期末）计算： 【答案】4； 【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 知识点04 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cosA随∠A的增大而减小 tanA随∠A的增大而增大 【易错易混】 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 【即学即练4】 （23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 知识点05 用计算器进行有关三角函数值的计算. 一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果． 【即学即练5】 4．（23-24九年级上·北京·单元测试）根据下列条件利用计算器求的度数（结果用度、分、秒表示，且精确到）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，解答本题的关键是掌握按键顺序，一般是：先按“”（或“”“”），再按数字键输入三角函数值，最后按“”键便显示结果．按照上述按键顺序进行操作即可． 【详解】（1）按键顺序为 ， 结果：，所以； （2）按键顺序为， 结果：，所以； （3）按键顺序为， 结果：，所以； （4）按键顺序为， 结果：，所以． 题型01 锐角三角函数的概念 【典例1】（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，，，，，则下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（     ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长．根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，连接交于点，由正方形的性质得，，，，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解。 【详解】解：如解图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 根据题意，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 故选：A 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，，求，的值．    【答案】， 【分析】根据和的值可以求出斜边的值，再由勾股定理即可求得的值，知道了直角三角形的三边即可求得、的值．本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 【详解】解：， 设．， ， ， ． 题型02 根据三角函数求边长 【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方形中，点在直线上，，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是正方形的性质，锐角的正切的应用，由可得，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ，， ， 当点在边上时，如图， 则； 当点在的延长线上时，如图， 则， 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，则的长是（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角的正弦的定义，勾股定理的应用．由三角函数的定义，可得的值，进而由勾股定理可得的大小． 【详解】解：如图， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为_______ 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值；(2)的值；(3)的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 题型03 锐角三角函数的关系 【典例1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s______． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 【变式3】（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有_______． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 题型04 特殊角的三角函数值的计算. 【典例1】（22-23九年级上·全国·单元测试）计算： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 先将特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）_______． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)0 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则△ABC的形状是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴△ABC是钝角三角形， 故选B． 【变式1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在△ABC中， ，那么△ABC是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， △ABC是等腰三角形 故选：A． 【变式2】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在△ABC中，若，则么△ABC一定是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴△ABC一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式3】（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若，，都是锐角，则△ABC是_________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 题型06 由特殊角的三角函数值求角度 【典例1】（23-24九年级上·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则______； （）若，则______； （）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【详解】解：， ，， ，， ，， 的度数是：． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，均为锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 【变式3】（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角△ABC中，若，满足，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07 已知角度比较三角函数值的大小 【典例1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　 ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键． 【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意； B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意； D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）______（填“或”）． 【答案】 【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键． 利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． 题型08 已知三角函数值确定锐角的范围 【典例1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 【变式3】（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 题型09 用计算器解决锐角三角函数值问题 【典例1】（23-24九年级上·北京·单元测试）计算：_______（精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）用计算器计算：，_______（精确到． 【答案】 0.57 0.81 【分析】利用计算器计算，再依据近似数确定结果即可得．本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能． 【详解】解：，， 故答案为：0.57，0.81． 【变式2】（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝_______，∠A＝_______，∠B＝_______．（角度精确到1′） 【答案】 13 22°36′ 67°24′ 【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴由勾股定理可知： ， ∴， ∴∠A≈22°36′， ∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′； 故答案为：13，22°36′，67°24′． 【点评】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式3】（18-19九年级下·全国·课后作业）已知sinα＝0.831 0，则锐角α＝；cosα＝0.951 1，则锐角α＝_______ (精确到1′)． 【答案】 56°12′ 17°59′ 【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度用四舍五入法取近似数． 【详解】由sinα＝0.831 0，得锐角α= 56°12′ 由cosα＝0.951 1，得锐角α=17.99°≈17°59′ 故答案为56°12′；17°59′ 【点评】考查了计算器-三角函数，本题结合计算器的用法，熟练掌握计算器的用法是解题关键． 一、单选题 1．（2023·山东济南·模拟预测）已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，用计算器得出，由此可解． 【详解】解：用计算器得， ∴与β度数最接近的是， 故选A． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选A． 3．（20-21九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（   ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，综合性较强，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 根据锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：①为锐角，，正确； ②为锐角，，，正确； ③∵为锐角， ∴， ∴，正确； 故选D． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 7．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，的对边分别是a，b，c，则下列等式中不正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义选出正确答案即可． 【详解】解：A、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； B、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； C、，即，该式计算错误，符合题意，故本选项正确； D、，即，该式计算正确，不合题意，故本选项错误； 故选：C． 8．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 9．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 10．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 12．（2024·贵州·模拟预测）在中，是斜边，，，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，是斜边，，， 由勾股定理得，， 则， 故答案为： 13．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，则的长等于__________． 【答案】15 【分析】本题考查了正弦的定义，根据计算即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·北京·单元测试）计算：_______（精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有__________． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若，，都是锐角，则△ABC是__________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 17．（24-25九年级上·全国·单元测试）________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，正方形的边长为，点是直线上一点．若，则的值是__________ 【答案】或 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解． 本题可以利用锐角三角函数的定义在直角三角形中分两种情况求解即可． 【详解】解：此题有两种可能： 当点在线段上时， ，， ， ， ∴， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ∴， ； 故答案为：或． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为_________ 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形边的讨论是解题的关键 分两种情况：当时，当，时，根据等腰三角形的性质及余弦函数的定义求解即可 【详解】解：如图，在中，，过A作于D， 当时， 则， 在中，； 当，时，则， 在中，； 故答案为：或 20．（2023·上海普陀·三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解：△ABC是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 三、解答题 21．（22-23九年级上·全国·单元测试）计算： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 先将特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式， ， ． 22．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点，熟练掌握余弦函数的定义是解题关键． 先由勾股定理求出， 再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 23．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在边长为8的正方形中，E为上一点，，连接，过B点作交于点F，过点A作的垂线分别交，，于点G，H，M． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切的含义，熟记几何图形的基本性质是解本题的关键. （1）先证明，，，可得，即可得到结论； （2）先证明，再结合正切的定义求解即可； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在边长为8的正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴； 24．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义是关键． （1）过点C作轴于H，根据平行线分线段成比例定理可得出的长，即可得C的坐标； （2）连接，过点O作，在中，根据正切函数的定义即可求解； （3）设，进而求出，求出x的值即可得D的坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵B，A分别是与x轴，y轴的交点． 当时，；当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点O作 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，； （3）解：如图，过点D作轴于E， 设， ∴，解得或6． ∴或， 综上所述：D的坐标为或． 25．（23-24九年级上·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！ 【答案】理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切的定义，设，由第一次折叠可得，，即得，由第二次折叠可得，，进而可得，最后根据正切的定义即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴， ∵还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴， ． 26．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示，点，轴于点B，将绕点逆时针旋转得到，求的正弦值和余弦值． 【答案】，． 【分析】题目主要考查坐标与图形，旋转的性质及正弦函数及余弦函数的定义，根据题意得出，再由勾股定理确定，利用旋转的性质确定，即可求解． 【详解】解：∵点，轴于点B， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，． 27．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿折叠，点B恰好落在边的F处，如果，求的值． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．解题的关键是熟悉翻折变化的性质和锐角三角函数求解． 根据矩形的性质得和，由翻折变化得，设，，利用勾股定理求得，结合即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将矩形沿折叠，点B恰好落在边的F处， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】△ABC为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】根据题意可得，且，结合勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据三角函数及得，即可得出结论． 【详解】解：△ABC为等腰直角三角形，理由如下： ∵关于的方程有两个相等的实根， ∴，且，即． ∴， ∴． ∴△ABC为直角三角形． ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴△ABC为等腰直角三角形． 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，正弦、余弦，根据一元二次方程的根的情况，判断三角形的情况，掌握一元二次方程的根的情况与的关系是解决此题的关键． 29．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析；(2)成立，见解析；(3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点评】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 30．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1；；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$