24.1-24.2 测量与直角三角形的性质（2个知识点+5类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

24.1测量与24.2直角三角形的性质 课程标准 学习目标 ①会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； ②探索并掌握直角三角形的性质定理。 1、会利用太阳光测量物体的高度。 2、能利用相似三角形的性质或构造相似三角形的方法进行测量。 3、能用直角三角形的性质解决问题。 知识点01 测量 1.合理的选择测量方法。 测量就是我们用所学过的知识解决生活和工作中的实际问题。在选择方法时，一定要先弄清实际问题的条件，再选择切实、可行的测量方法，在测量问题中，一般包括测量角度和长度。 2.掌握测量的各种原理以及测量的一般步骤 在测量的过程中，有些数据是可以直接测量得到的，如跳高的高度，跳远的距离都可以直接用刻度尺直接测量出结果，但也有些长度无法直接量出。 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形。利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长。 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用相似比计算出实际长度。 方法三：条件允许的话，还可以构造一个和原三角形 全等的三角形来测量后可直接得出。 3.测量时应注意的问题 。 ⑴在测量时要注意测量的方法必须是切实可行的，尽量操作简单。 ⑵要考虑环境、气候、人的视力等多方面的因素。 ⑶注意单位要统一。 （4）在具体测量时，要注意选择测量方法。测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减小误差。 【即学即练1】 （23-24九年级上·广东中山·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（    ）尺    A． B． C． D． 知识点02 直角三角形的性质 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 . 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 【即学即练2】 （23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为（   ） A．12 B．17 C．19 D．20 题型01 利用相似三角形测量 【典例1】（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　 ）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【变式1】（23-24九年级上·吉林长春·期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(    ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【变式2】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为________． 【变式3】（18-19九年级上·山西太原·阶段练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？ 题型02 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】（2024·贵州贵阳·二模）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·浙江衢州·一模）如图所示，白球通过两次撞击桌沿，绕过黑球反弹后击中花球．若白球第一次与桌沿撞击时，轨迹与桌沿成，那么白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为倍角三角形．若在一个倍角三角形中，，则其最小的内角度数为________． 【变式3】（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 题型03 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例1】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状并说明理由． 【变式1】（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，若，，则的长为（　　 ） A．2 B．4 C．2 D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是________． 【变式3】（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型04 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 【典例1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值． 【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式2】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为_________． 【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 题型05 勾股定理 【典例1】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【变式1】（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 【变式2】（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成了一个边长为的大正方形，连接并延长交于点，交于点，作于点若，则的长为_________．    【变式3】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为，则电线杆的高是（    ）．    A． B． C． D． 2．（2024·贵州毕节·三模）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（18-19九年级上·河北保定·期末）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　 　） A．6cm B．12cm C．21cm D．24cm 5．（19-20九年级上·全国·课后作业）为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    ) A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m 6．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（    ）． A．2 B． C． D． 7．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，边长为 的等边三角形中，M 是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2019·福建漳州·一模）如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是________cm． 11．（11-12八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是________米． 12．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，一根长20 m的笔直竹竿AB顶端刚好搭在墙头AC上，墙根C到竹竿末端B的距离为16 m，则墙头的高度为________m. 13．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有________米． 14．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为________cm． 15．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形的顶角为，底边上高为，则它的底边长________． 16．（22-23八年级上·上海长宁·期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于________． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是________． 18．（2024·四川达州·模拟预测）如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为________． 19．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是． 20．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为________． 三、解答题 21．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，已知在中，于点于点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为α，分别交于点F，G，连接． (1)求证：． (2)若． ①求的长； ②连接，求四边形的面积． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长． 24．（贵州省遵义市某校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题）如图，直角坐标系中，点，分别在，轴上，，．以为边在第一象限作等边，垂直平分，． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接交于点．点是否为的中点？请说明理由． 25．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，    (1)问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 26．（19-20九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米． （1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母． （2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差． 27．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，连接，点M是的中点，连接． (1)若点D在边上，如图1，试探究之间的关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1），中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； (3)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求BM的长． 28．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，点，的对应点分别是，． (1)如图1，当点恰好在上时，求的度数； (2)如图2，若，点是边的中点，试说明四边形是平行四边形； (3)若，连接，．在旋转的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最大值；若不存在，请说明理由． 29．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，，求的长． 30．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． ( 20 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1测量与24.2直角三角形的性质 课程标准 学习目标 ①会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； ②探索并掌握直角三角形的性质定理。 1、会利用太阳光测量物体的高度。 2、能利用相似三角形的性质或构造相似三角形的方法进行测量。 3、能用直角三角形的性质解决问题。 知识点01 测量 1.合理的选择测量方法。 测量就是我们用所学过的知识解决生活和工作中的实际问题。在选择方法时，一定要先弄清实际问题的条件，再选择切实、可行的测量方法，在测量问题中，一般包括测量角度和长度。 2.掌握测量的各种原理以及测量的一般步骤 在测量的过程中，有些数据是可以直接测量得到的，如跳高的高度，跳远的距离都可以直接用刻度尺直接测量出结果，但也有些长度无法直接量出。 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形。利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长。 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用相似比计算出实际长度。 方法三：条件允许的话，还可以构造一个和原三角形 全等的三角形来测量后可直接得出。 3.测量时应注意的问题 。 ⑴在测量时要注意测量的方法必须是切实可行的，尽量操作简单。 ⑵要考虑环境、气候、人的视力等多方面的因素。 ⑶注意单位要统一。 （4）在具体测量时，要注意选择测量方法。测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减小误差。 【即学即练1】 （23-24九年级上·广东中山·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（    ）尺    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x尺， ∵太阳光为平行光， ∴， 解得x＝45（尺）．． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 知识点02 直角三角形的性质 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 . 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 【即学即练2】 （23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为（   ） A．12 B．17 C．19 D．20 【答案】D 【分析】根据题意可知，，，，为的中位线，进一步求得，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，M是的中点， ∴，，，，为的中位线， ∴， ，， ∴， ∴四边形的周长为， 故选D． 【点评】本题考查矩形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握矩形的性质是解答的关键． 题型01 利用相似三角形测量 【典例1】（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　 ）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解． 【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则， ∴x＝5.1m． 故选：B． 【点评】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质． 【变式1】（23-24九年级上·吉林长春·期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(    ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【答案】D 【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案. 【详解】由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里， 过E作EG⊥AB于G，交CD于H， 则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里， ∵CD∥AB， ∴△ECH∽△EAG， ∴， ∴， ∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈， 故答案选D. 【点评】本题考查的是相似三角形与实际问题，能够将实际问题转化成相似三角形的问题是解题的关键. 【变式2】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为________． 【答案】60m． 【分析】由题意可证明△AOB∽△COD，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO， 且∠AOB＝∠COD， ∴△ABD∽△CDO， ∴＝， 又∵CD＝30m， ∴AB＝60m． 故答案为：60m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质：两三角形相似，对应边成比例，此题为常见题型． 【变式3】（18-19九年级上·山西太原·阶段练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？ 【答案】小河的宽度是210米. 【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴. 答：小河的宽度是210米. 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 题型02 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】（2024·贵州贵阳·二模）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．根据平行线的性质得，然后由直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（2023·浙江衢州·一模）如图所示，白球通过两次撞击桌沿，绕过黑球反弹后击中花球．若白球第一次与桌沿撞击时，轨迹与桌沿成，那么白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了两角互余的性质，理解反射角等于入射角，准确识图．根据两角互余的性质及反射角等于入射角解决问题． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为， 故选：B 【变式2】（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为倍角三角形．若在一个倍角三角形中，，则其最小的内角度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的性质，根据题目定义进行计算即可；灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵三角形中，， ∴ 设为最小内角，则或或 当时，，最小内角为； 当时，，最小内角为； 当∠A=2∠C时，，最小内角为； ∴最小的内角为；故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解； （）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线，三角形的高和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 题型03 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例1】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定： （1）由直角三角形斜边上的中线性质推出，等边对等角，即可得出结论； （2）先证明是的垂直平分线，进而得到，等边对等角，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式1】（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，， 点是的中点， ， ， 的周长． 故答案为：10． 【变式3】（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)2． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，则，先证明四边形是平行四边形，即可求证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，，．由勾股定理，求出，最后根据直角三角形斜边上中线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得， ∵，O为的中点， ∴在中，． 题型04 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 【典例1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ∴． 故选：C． 【点评】此题主要考查了基本作图，三角形的外角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 【变式2】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F，先证，，即可求出的长，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故答案为：6． 【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 【答案】(1)45°;(2);(3)或2 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解； （2）证是等腰直角三角形，得，则，进一步求出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理再求出，最后根据线段的和差关系求解即可． （3）分两种情形：当，当，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 由（1）得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，    当时，， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知， 设，则， ， ， ． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 题型05 勾股定理 【典例1】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角想性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键，过点作于点，由角平分线的性质得出，再证明是等腰直角三角形，得出得出，继而得解． 【详解】如图，过点作于点．当点与点重合时，最小， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ 所以． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成了一个边长为的大正方形，连接并延长交于点，交于点，作于点若，则的长为_________．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的性质等知识点，解题的关键是假设为，运用勾股定理求出未知数的值． 利用正方形的性质及四个全等的直角三角形得到，进而得到；设，在中利用勾股定理建立方程求得的值即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 由题意得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又于点， ， ， 设，则，，由勾股定理得：，解得，则， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为，则电线杆的高是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高． 【详解】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，则AM=70cm=0.7m，AN=25m，BC=14cm=0.14m，    ∵BC∥EF， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∴EF= =5（m）． 答：电线杆的高度为5m． 故选A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比解题是关键． 2．（2024·贵州毕节·三模）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，延长至，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：如图，延长至，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：A． 4．（18-19九年级上·河北保定·期末）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　 　） A．6cm B．12cm C．21cm D．24cm 【答案】C 【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答． 【详解】如图所示：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC ∴, 设屏幕上的图形高是x，则 , 解得：x＝21． 故选C． 【点评】本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 5．（19-20九年级上·全国·课后作业）为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    ) A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 由勾股定理得，AB2+BC2=AC2， ∴AB2=AC2-BC2， =1602-1282=9216， ∴AB=96（m）， 故选C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 6．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，进而根据勾股定理可求出． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 过点F作，如图， AI ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系，勾股定理，解题关键是得出是等腰直角三角形． 7．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，根据旋转前后对应边相等、对应角相等，可得，，，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， 故选B． 8．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，边长为 的等边三角形中，M 是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故选：B． 二、填空题 10．（2019·福建漳州·一模）如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是________cm． 【答案】3 【分析】利用三角尺上的刻度和相似三角形的性质求得答案即可． 【详解】解：由题意得：ED∥BA， ∴△ECD∽△BCA， ∴CD：CA＝ED：AB， 即：40：60＝ED：4.5， 解得：ED＝3， 故答案为3． 【点评】考查了相似三角形的应用的知识，解题的关键是从图形中整理出有关的数据，难度不大． 11．（11-12八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是________米． 【答案】5.6 【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由图知，DE=2米，CD=1.6米，AD=5米， ∴AE=AD+DE=5+2=7米 ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EBA， ，即 解得AB=5.6（米）． 故答案为5.6 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键． 12．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，一根长20 m的笔直竹竿AB顶端刚好搭在墙头AC上，墙根C到竹竿末端B的距离为16 m，则墙头的高度为________m. 【答案】12 【分析】直接利用勾股定理求得AC的长即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， 故答案为12 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 13．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有________米． 【答案】(5＋5) 【分析】把题中图形抽象成Rt△ABC，由∠BAC=45°得到AC=BC=5，再用勾股定理求出AB的长，最后可得大树在折断前的高度. 【详解】解：如图，把题中图形抽象成如下图： ∵∠BAC=45°，∠BCA=90°， ∴AC=BC=5， ∴AB==5， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=(5＋5)米． 故答案为(5＋5) 【点评】此题主要利用了勾股定理解决问题，解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系． 14．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为________cm． 【答案】3 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 15．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形的顶角为，底边上高为，则它的底边长________． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，求得的角是正确解题的关键． 画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含的直角三角形的性质可求得腰的长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·上海长宁·期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于________． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论：①如图，当直角三角形斜边上的中线与它高夹角为时，可知，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得到，利用勾股定理求得，即可得到答案；②如图，当直角三角形直角边上的中线与它高夹角为时，可得到，利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：①如图，在中，为斜边的高，为斜边的中线， ,为斜边的中线， 又， ，即 ②如图，在中，为直角边的中线， 根据题意， 为直角边边的中线 ，即 解得： 综上，直角三角形的面积为或 故答案为：或． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是________． 【答案】①②④ 【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到是等边三角形，是等腰三角形，得到，，由分别是线段的中点，推出，，易得，设，则；利用勾股定理求出，即可判断①；先利用勾股定理求出，根据，，即可判断②；根据，即可判断③；根据是等边三角形，，得到，由角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再利用勾股定理求出，进而得到，即可判断④． 【详解】解：①，D为的中点， ，， 是等边三角形，是等腰三角形， ，， 是线段的中点， ，， ， E分别是线段的中点， ，， 设，则， ，， ， ， ， 是等边三角形，①正确； ②分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ， ， ，故②正确； ③， ，故③错误； ④是等边三角形，， ∴， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④都正确； 故答案为：①②④． 【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握重要几何图形的基本性质是解本题的关键． 18．（2024·四川达州·模拟预测）如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接，证明，得到，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，即可得出答案． 【详解】解：如图：过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 点Q为的中点， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，斜边上的中线，添加辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． 19．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得，知当取得最小值时，取得最小值，由折叠知，点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，为，过点作于点，根据的直角三角形的性质可得的长与的长，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图所示，则， ∵点为的中点，点为中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵平行四边形中，，点为的中点， ∴， 由折叠知，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动， 当点运动到线段上时，取得最小值，最小值为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，三角形中位线定理，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 20．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 三、解答题 21．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，已知在中，于点于点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)4 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理； （1）根据题意得，结合中点得和，则，即是等腰三角形，由是的中点即可判定垂直； （2）由（1）可知，且，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 同理可得，则， 即是等腰三角形． 是的中点， ． （2）解：， ． 由（1）可知， ． 22．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为α，分别交于点F，G，连接． (1)求证：． (2)若． ①求的长； ②连接，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析；(2)①；②5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，再由三角形外角性质得到即可证明结论； （2）①由平行的性质得到，再由直角三角形得到，即可利用勾股定理求出答案； ②过点E作于点H，根据求出答案即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，， ， ； （2）解：①∵，， ， ，     ． 由旋转的性质，得， 在中，； ②由旋转的性质，得， ． 如图，过点E作于点H， ， ， ，， ， 在中，， ． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； （2）解：， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ． 24．（贵州省遵义市某校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题）如图，直角坐标系中，点，分别在，轴上，，．以为边在第一象限作等边，垂直平分，． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接交于点．点是否为的中点？请说明理由． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析 【分析】（1）用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出，得出，进而判断出，即可得出结论； （3）先判断出，进而得出，再结合对顶角判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ； （2）证明：， ， ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ； （3）解：是的中点．理由如下： 如图2，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， 即点为的中点． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形判断出是解本题的关键． 25．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，    (1)问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄C到河边最近的一条路，理由见解析；(2)原来的路线的长为千米 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． （1）根据勾股定理逆定理，得出，结合垂线段最短，即可解答； （2）设千米，则千米，根据勾股定理可得，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴ ，即， ∴是村庄C到河边最近的一条路； （2）解：设千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即，解得：， ∴原来的路线的长为千米． 26．（19-20九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米． （1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母． （2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差． 【答案】（1）答案见解析；（2）20.【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）首先由题意可证得△ABG∽△CDG与△DAG∽△AEF，又由相似三角形的对应边成比例与点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，即可求得CD与EF的高，则可求得答案． 【详解】（1）如图2所示； （2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°． 又∵∠AGD为公共角， ∴△ABG∽△CDG． ∴． ∵DF＝100米，点B是DF的中点， ∴BD＝BF＝50米， ∵AB＝5米，BG＝10米， ∴， ∴CD＝30（米）． 又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角， ∴△ADB∽△EDF， ∴， ∴EF＝2AB＝10（米） ∴CD﹣EF＝20（米） 答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米． 【点评】本题考查了应用相似三角形的性质解决实际问题．正确画出几何图形是解题的关键. 27．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，连接，点M是的中点，连接． (1)若点D在边上，如图1，试探究之间的关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1），中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； (3)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求BM的长． 【答案】(1)且，理由见解析；(2)（1）中的结论仍成立，理由见解析；(3) 【分析】（1）根据斜边中线等于斜边的一半即可证明相等，再根据等边对等角结合三角形外角的定义与性质可得，问题得证； （2）延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，先证明四边形是平行四边形，即有，，表示出，再结合，，可得，即可证明，问题随之得解； （3）延长交于点H，证明，再证明．即可得，．求出，再在中，由勾股定理得，可求解． 【详解】（1），理由： ∵，点M是的中点， ∴在中，， 同理在中可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上：，； （2）成立，理由如下： 延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，如图， ∵点M是分的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，； （3）延长交于点H，    ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转可得，，即， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴． ∴． ∴，， 即，． ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点评】本题是几何变换综合题目，主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定与性质，及勾股定理的运用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键． 28．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，点，的对应点分别是，． (1)如图1，当点恰好在上时，求的度数； (2)如图2，若，点是边的中点，试说明四边形是平行四边形； (3)若，连接，．在旋转的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)的面积存在最大值，最大值为． 【分析】此题是四边形综合题，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质推出，根据角的和差求解即可； （2）根据直角三角形的性质得出，结合旋转的性质推出，延长交于点，根据三角形外角性质推出，则，根据平行四边形的判定定理即可得解； （3）当点，，共线时，的面积取最大值，根据旋转的性质及含角的直角三角形的性质推出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， 绕点顺时针旋转得到，点恰好在上， ，，， ， ； （2）证明：点是边的中点， ， ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， 如图2，延长交于点， 则， ， 四边形为平行四边形； （3）存在，理由如下： 线段为定值，当点到距离最大时，的面积取最大值，如图3，当点，，共线时，的面积取最大值． ，， ， ， ， ， 在旋转过程中，的面积存在最大值，最大值为． 29．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，，求的长． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质得出，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点P作，交的延长线于点D． 由旋转的性质可知，，，，进而得出，，进而得出，由含直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理即可得出，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴． 如下图，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点P作，交的延长线于点D． 由旋转的性质可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∴在中，由勾股定理，得 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 30．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)3 【分析】（1）根据角直角三角形的特殊关系，求出、、，然后根据勾股定理去求即可； （2）利用两组三角形相似，得到和的关系，然后根据比例的基本性质证明即可； （3）延长构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出，最后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ，， ， 过作于，如图1， ，， ，， ，， ， ， ． （2）证明：，， ∴ ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：延长交于，延长到，使，连接，如图 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于，过作于， ， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ． 【点评】本题属三角形的综合，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题解题的关键． ( 53 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$