24.4 解直角三角形（3个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

24.4解直角三角形 课程标准 学习目标 ①能用锐角三角函数解直角三角形； ②能用相关知识解决一些简单的实际问题。 1、了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形。  2、探索发现解直角三角形所需的条件，体会用化归的思想方法将未知化为已知去解决问题。  3、通过对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决实际问题，领悟“数学建模”的思想。 知识点01 解直角三角形的概念 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，为斜边上的高. 【即学即练1】 （24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，、、的对边分别为a、b、c，由下列条件解直角三角形． (1)已知 ， ； (2)已知 ，． 知识点02 解直角三角形的类型和方法 已知条件 解法类型 一条边和一个锐角 斜边和锐角 ，， 直角边和锐角 ，， 两条边 两条直角边和 ，由，求， 斜边和直角边 ，由，求， 【即学即练2】 （22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 知识点03 实际应用中的概念 ⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图． ⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图． 【即学即练3】 （2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）      (1)求乌当惜字塔的高度； (2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 题型01 解直角三角形的相关计算 【典例1】（2024·贵州黔东南·一模）如图，在平行四边形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径在直线下方作弧，两弧交于点F，连接交于点G，连接，若，则（     ）        A．3 B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则两地之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·贵州安顺·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，点F在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在点B处，若，，则折痕的长为（　 　） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，是边上的高，， ，，求的长． 题型02 解非直角三角形 【典例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，求和的长． 【变式1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　 　）​ A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是△ABC的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 【变式3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，求． 题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例1】（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【变式1】（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（     ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知在△ABC中，，在斜边上有一点，把△ABC绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为_________． 【变式3】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在△ABC中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 题型04 仰角俯角问题. 【典例1】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【变式1】（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）镇远古镇位于贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县，河水蜿蜒，以“S”形穿城而过．为助力乡村振兴，该河旁有一座小山，山高，，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，． (1)求山脚A到河岸E的距离； (2)试求此处河宽（结果精确到．参考数据：，，）． 【变式3】（2024九年级下·河南·学业考试）在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，） (1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号） (2)求学校旗杆的高度．（精确到） 题型05 方位角问题 【典例1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【变式1】（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）人工海产养殖合作社安排甲，乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位：参考数据：，）． 【变式2】（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． (1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） (2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 【变式3】（2023·山东东营·一模）如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度（结果用表示）． 题型06 坡度坡比问题 【典例1】（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，某地为方便群众步行健身，决定对一段如图所示的坡路进行改造．改造前的斜坡米，坡角，将斜坡的高度降低20米（即米）后，斜坡改造为斜坡，且．求斜坡的长（结果保留根号．）    【变式1】（2024·贵州贵阳·二模）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到．（参考数据：，， 【变式2】（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． (1)　　　，　　　； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【变式3】（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 题型07 创新情景问题 【典例1】（2024·贵州遵义·模拟预测）打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆，点在同一直线上，与水平线之间的夹角为，主拉杆与底座上边缘之间的夹角为，水平横梁，篮筐P与水平横梁同高，底座，支撑立柱与底座边沿在同一竖直线上．（参考数据：，结果精确到） (1)求篮板到支撑立柱的水平距离． (2)求篮筐P离地面的竖直高度． 【变式1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）2022年7月8日上午11时许，正在奈良街头发表演讲的日本前首相安倍晋三遭到近距离连续两次枪击．由于保镖的疏忽，在第一次射击未命中时没有及时反应后，安倍被第二枪命中，最终因伤势过重不治身亡，此事对日本政坛造成了重大打击．据悉，该枪手名叫山上彻也，前日本海上自卫队队员．事发当天他站在安倍晋三身后3m处，所使用的武器是伪装成照相机的自制手枪，手枪内装有填满钢珠的霰弹，下图为事发时的大致示意图． 如图，当山上彻也瞄准安倍晋三躯干中心开第二枪时，假设霰弹内的三发弹丸在竖直方向上呈扇形分布，且弹道三者之间的夹角为5°，其中弹道可视为一条水平线，并与枪口瞄准方向一致．已知安倍晋三身高为175cm，求：在竖直方向上，有几发弹丸能够击中安倍晋三的躯干． 参考数据：①一个人躯干的高度约占身高的； ②在直角三角形中，若有大小为的角，其对边和邻边长度的比值约为0.1，记作 【变式2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）6月21日，我们共赴中考．小为了给小加油打气，特意赠送一个装有自己相片的相框（如图1）；没有想到的是，作为数学学霸的小，就按这个相框抽象出了侧面示意图（如图2），并测量出相关数据，给小出了一个难题：相框放置在水平桌面上，O为支撑点，是支撑杆，，，，．在这几个条件下让小完成以下问题，可作为学酥的小无法完成，只能求救与你了， (1)相框点到桌面的距离．（保留根号） (2)支撑杆的长度．（结果精确到，参考数，，） 【变式3】（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，． (1)求图中的高度是多少？（结果保留整数） (2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数） （参考数据：，，，，，，，，） 一、单选题 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在△ABC中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在△ABC中，＝2，＝4，＝，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　 　）    A． B．5 C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离为（　 　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 6．（2024年湖南省长沙市雅礼集团中考模拟数学试题（四））某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 10．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△ABC中，，，，则为__________． 12．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在△ABC中，、是锐角，且，，，则△ABC的面积等于__________． 13．（21-22九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是__________.（参考数据：，） 14．（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，，，是中线，将△ABC沿直线翻折后，点落在点，那么的长为__________． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，的面积为，，则的长为__________． 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，某高速公路建设中需要确定隧道的长度．已知在离地面高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为和．则隧道的长为__________．（参考数据：） 17．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABO中，是角平分线，的交点．若，，则的值是__________． 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为__________米． 19．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为__________． 20．（2023·江苏宿迁·一模）锐角△ABC中，，，则△ABC面积的取值范围是__________． 三、解答题 21．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ABC中，． (1)求的值． (2)求△ABC的面积（结果保留根号） 22．（2024·贵州贵阳·一模）图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 23．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，．    (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，，求的长及的值． 24．（22-23九年级下·重庆铜梁·期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 25．（2024·贵州毕节·三模）如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 26．（2024·贵州黔东南·二模）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为． (1)求无人机的高度；（结果保留根号） (2)求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 27．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，小林周末去山顶看日出.小林先从点B出发，沿方向爬420米至点E再从E出发沿方向爬210米至点A．小林在点E处测得点B的俯角为，测得点A的仰角为．（参考数据：，，，，） (1)求山顶A到地面的距离（保留一位小数）； (2)若小林从点E出发的同时，小李从点C坐缆车沿方向前往点A，的坡角为若小林爬坡速度为，小李坐缆车的速度为，请通过计算说明谁先到达山顶． 28．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在△ABC中，，，为锐角且． (1)求△ABC的面积； (2)求的值； (3)求的值． 29．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 30．（20-21九年级下·福建龙岩·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在△ABC中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． ( 28 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4解直角三角形 课程标准 学习目标 ①能用锐角三角函数解直角三角形； ②能用相关知识解决一些简单的实际问题。 1、了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形。  2、探索发现解直角三角形所需的条件，体会用化归的思想方法将未知化为已知去解决问题。  3、通过对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决实际问题，领悟“数学建模”的思想。 知识点01 解直角三角形的概念 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，为斜边上的高. 【即学即练1】 （24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，、、的对边分别为a、b、c，由下列条件解直角三角形． (1)已知 ， ； (2)已知 ，． 【答案】(1)，，；(2)，， 【分析】本题考查了解直角三角形以及正弦和余弦的定义，是基础知识要熟练掌握． （1）根据勾股定理先求出，再根据， 求出从而得出； （2）先求得再根据的余弦值求出，由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解： ， ∴或（舍去）， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 知识点02 解直角三角形的类型和方法 已知条件 解法类型 一条边和一个锐角 斜边和锐角 ，， 直角边和锐角 ，， 两条边 两条直角边和 ，由，求， 斜边和直角边 ，由，求， 【即学即练2】 （22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)；；(2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，再根据正切函数的定义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， 在中，，， ，； （2）∵，， ∴， 在中， ，，， ∴． 知识点03 实际应用中的概念 ⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图． ⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图． 【即学即练3】 （2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）      (1)求乌当惜字塔的高度； (2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 【答案】(1)；(2)四个大字所在的第三层距离地面的高度约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）设，分别解和求出，，进而可得，解方程即可得到答案； （2）由（1）可得，再解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴乌当惜字塔的高度约为； （2）解：由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， ∴四个大字所在的第三层距离地面的高度约为． 题型01 解直角三角形的相关计算 【典例1】（2024·贵州黔东南·一模）如图，在平行四边形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径在直线下方作弧，两弧交于点F，连接交于点G，连接，若，则（     ）        A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—垂直平分线，平行四边形的性质，解直角三角形．由作图可得，解直角三角形求出，再根据平行四边形的性质结合即可解决问题． 【详解】解：由作图可知， 在中，， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则两地之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直接解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024·贵州安顺·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，点F在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在点B处，若，，则折痕的长为（　 　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据折叠性质可得，根据平角定义可得，可得，根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，即可证明是等边三角形，利用的余弦求出的长即可得答案．根据折叠性质得出是等边三角形是解答本题的关键． 【详解】解：∵把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的翻折变换、等边三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，是边上的高，， ，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可以分别表示出、的长，从而可以得到的长． 【详解】解：∵在中, 是边上的高, ，， ， ． 题型02 解非直角三角形 【典例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作△ABC边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作△ABC边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　 　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是△ABC的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 【答案】(1)6；(2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，求． 【答案】10 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例1】（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【答案】(1)步道BC的长为24米；(2)此次改建费用足够． 【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答． 【详解】（1）过点B作于点E，过C作于点F，于点G． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在矩形CGEF中，， ∴， 在，，且， ∴． ∴， ∴． 答：步道BC的长为24米． （2）在中1，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴ ， ∴总共花费：， ∵， 答：此次改建费用足够． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（     ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示    ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点评】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知在△ABC中，，在斜边上有一点，把△ABC绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 【变式3】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在△ABC中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 题型04 仰角俯角问题. 【典例1】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)文峰塔的高度约为；(2)小宇先到达塔底． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）设与相交于点，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）设与相交于点，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答． 【详解】（1）解：设与相交于点， 由题意得： ，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 文峰塔的高度约为； （2）解：小宇先到达塔底， 理由：设与相交于点， 由题意得： ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 小宇的速度为，小航速度是其2倍， 小航的速度为， ，， ， 小宇先到达塔底． 【变式1】（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米；(2)米． 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）镇远古镇位于贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县，河水蜿蜒，以“S”形穿城而过．为助力乡村振兴，该河旁有一座小山，山高，，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，． (1)求山脚A到河岸E的距离； (2)试求此处河宽（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，再根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，从而可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：（1）由题意得：，， ， 坡面的坡度， ， ， ， 在中，， ， 山脚到河岸的距离为； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 此处河宽约为． 【变式3】（2024九年级下·河南·学业考试）在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，） (1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号） (2)求学校旗杆的高度．（精确到） 【答案】(1)；(2)学校旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质以及勾股定理的应用，掌握解直角三角形的知识是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得出，根据等角对等边可得出，最后根据勾股定理即可求出． （2）由正切的定义即可得出， 最后即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴ ∴点C到旗杆顶端A的距离为． （2）根据题意可知：， ∴， 故学校旗杆的高度为． 题型05 方位角问题 【典例1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【答案】(1)976；(2)选择方案一更合理．见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键． （1）在中，直接根据正弦函数关系即可求出； （2）求出，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由． 【详解】（1）解：由题意，知米，， 在中， （米）， 故答案为：976； （2）解：选择方案一更合理． 理由：在中， （米）， 方案一需要时间为：， 方案二需要时间为：， ， 选择方案一更合理． 【变式1】（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）人工海产养殖合作社安排甲，乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位：参考数据：，）． 【答案】米 【分析】过点作于点，在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，在中，利用勾股定理解三角形即可求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 由题意可知：，， ，， （米）， （米）， （米）， 养殖场与灯塔的距离约为米． 【点评】本题主要考查了垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，根据等角对等边求边长，勾股定理等知识点，合理做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． (1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） (2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 【答案】(1)项目C和项目D之间的距离为米；(2)线路②更短 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过D作于E，求出米，过C作于F，则四边形是矩形，得到米，则米，即可得到米； （2）求出线路②（米）,得到米，米，得到线路①（米），比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：过D作于E， ∵米， ∴米， ∵米， ∴米， 过C作于F，则四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 答：项目C和项目D之间的距离为米； （2）由（1）知， 米， ∴线路② （米）， ∵， ∴， ∴米，米， ∴线路①（米）， ∵， ∴线路②更短． 【变式3】（2023·山东东营·一模）如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度（结果用表示）． 【答案】甲船的平均速度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形，角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，构造直角三角形，可得是含有角的直角三角形，是含有角的直角三角形，设，则，，，再根据时间相等即可求出甲船的速度，掌握直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意，得，， 设， ∴，，， ∵两船同时到达处海岛， ∴， ∴， ∴， 答：甲船的平均速度约为． 题型06 坡度坡比问题 【典例1】（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，某地为方便群众步行健身，决定对一段如图所示的坡路进行改造．改造前的斜坡米，坡角，将斜坡的高度降低20米（即米）后，斜坡改造为斜坡，且．求斜坡的长（结果保留根号．）    【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理等知识点，掌握坡度的概念是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，米， 则米， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴米， 由勾股定理得：米． ∴斜坡的长米． 【变式1】（2024·贵州贵阳·二模）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到．（参考数据：，， 【答案】(1)登山缆车上升的高度为；(2)19.4分钟 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）在中，，， ， 需要的时间， 答：从山底处到达山顶处大约需要19.4分钟． 【变式2】（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． (1)　　　，　　　； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】(1)13，37；(2)信号塔的高度大约为米 【分析】（1）根据题意即可求出，作，垂足为S，根据题意，即可求得； （2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）解：信号塔底端Q到坡底A的距离为， ； 如图，作，垂足为S， 根据题意， ∴； （2）解：根据题意和作图可知四边形为矩形， ∴． 由，可得， 设米，则米， 在中，由勾股定理可得， ∴，解得（负值舍去）， ∴（米），（米）， ∴， ∵， 在中， ，即， ∴（米）， ∴（米）， 答：信号塔的高度大约为米． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 【变式3】（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ；(2)改建后需占路面宽度的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ，, 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 题型07 创新情景问题 【典例1】（2024·贵州遵义·模拟预测）打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆，点在同一直线上，与水平线之间的夹角为，主拉杆与底座上边缘之间的夹角为，水平横梁，篮筐P与水平横梁同高，底座，支撑立柱与底座边沿在同一竖直线上．（参考数据：，结果精确到） (1)求篮板到支撑立柱的水平距离． (2)求篮筐P离地面的竖直高度． 【答案】(1)篮板到支撑立柱的水平距离约为；(2)篮筐P离地面的竖直高度约是 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点N作于点S，求出，利用即可求出答案； （2）过点作于点R，作于点T，则，，根据即可求出篮筐P离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：如图所示，过点N作于点S，则， ∴， ∴ 即篮板HF到支撑立柱CM的水平距离约为． （2）过点作于点R，作于点T， 则，， ∴篮筐P离地面的竖直高度约是 即篮筐P离地面的竖直高度约是 【变式1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）2022年7月8日上午11时许，正在奈良街头发表演讲的日本前首相安倍晋三遭到近距离连续两次枪击．由于保镖的疏忽，在第一次射击未命中时没有及时反应后，安倍被第二枪命中，最终因伤势过重不治身亡，此事对日本政坛造成了重大打击．据悉，该枪手名叫山上彻也，前日本海上自卫队队员．事发当天他站在安倍晋三身后3m处，所使用的武器是伪装成照相机的自制手枪，手枪内装有填满钢珠的霰弹，下图为事发时的大致示意图． 如图，当山上彻也瞄准安倍晋三躯干中心开第二枪时，假设霰弹内的三发弹丸在竖直方向上呈扇形分布，且弹道三者之间的夹角为5°，其中弹道可视为一条水平线，并与枪口瞄准方向一致．已知安倍晋三身高为175cm，求：在竖直方向上，有几发弹丸能够击中安倍晋三的躯干． 参考数据：①一个人躯干的高度约占身高的； ②在直角三角形中，若有大小为的角，其对边和邻边长度的比值约为0.1，记作 【答案】3发 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先根据正切值求出，再求出躯干高度，然后比较得出答案． 【详解】解：如图，以枪口为分别为， 水平距离为之间夹角为， 而对边长和邻边长比值为0.1， ． 安倍晋三身高175cm，躯干高度占， 躯干高度． 又瞄准线指向躯干中心， ．即：弹着点竖直方向上的长度为． 答：有3发弹丸击中躯干. 【变式2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）6月21日，我们共赴中考．小为了给小加油打气，特意赠送一个装有自己相片的相框（如图1）；没有想到的是，作为数学学霸的小，就按这个相框抽象出了侧面示意图（如图2），并测量出相关数据，给小出了一个难题：相框放置在水平桌面上，O为支撑点，是支撑杆，，，，．在这几个条件下让小完成以下问题，可作为学酥的小无法完成，只能求救与你了， (1)相框点到桌面的距离．（保留根号） (2)支撑杆的长度．（结果精确到，参考数，，） 【答案】(1)相框B点到桌面的距离为；(2)支撑杆的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形并列出相应关系式． （1）过点作，垂足为，在中，根据求解； （2）过点作，垂足为，求出，在中，，在中，，即可求解. 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，，， ∴， ∴相框点到桌面的距离为； （2）过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中， ， ∴支撑杆的长度约为． 【变式3】（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，． (1)求图中的高度是多少？（结果保留整数） (2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数） （参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)32米；(2)此大跳台最高点A距地面的距离约是70米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识，正确作出辅助线，并得出是解题的关键 （1）解可得结论； （2）过点E作于点N，交于点M，则，通过解直角三角形可得结论 【详解】（1）解：在中，，， ∴（米） （2）解：过点E作于点N，交于点M，则，如图， 根据题意可知，，米， ∵， ∴， 在和中，设米，则米， ∴，； ∴，解得，， ∴（米）， ∴米，即：此大跳台最高点A距地面的距离约是70米 一、单选题 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在△ABC中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在△ABC中，＝2，＝4，＝，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的△ABC，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在△ABC中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　 　）    A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；等角对等边；一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比．根据三角形外角的性质和等角对等边易得．那么利用的正弦函数可求得长，也就是小岛到河岸的距离． 【详解】解：，， ， 米， 由题意得 米． 故选：A． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， 则．故选：B． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 6．（2024年湖南省长沙市雅礼集团中考模拟数学试题（四））某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在中，米，，利用三角函数即可求出的高度． 【详解】解：∵，米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意求出的值并画出图形，与的值进行比较即可得到此三角形解的情况. 【详解】由题意得： ， ， 如图， ∴此三角形解的情况有两种， 故选： B. 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点， 在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米)， 故选： B. 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 10．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△ABC中，，，，则为__________． 【答案】或 【分析】此题分两种情况：如图1，过作于，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理求出的值，从而得出，，在中，根据勾股定理得出，于是得到结果；如图2，过作交的延长线于，同理可得结果．本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻，． 【详解】解：如图1，过作于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， 在中，， ； 如图2，过作交的延长线于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， ∵ ∴ ∴， 故答案为：或 12．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在△ABC中，、是锐角，且，，，则△ABC的面积等于__________． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点评】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 13．（21-22九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是__________.（参考数据：，） 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 14．（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，，，是中线，将△ABC沿直线翻折后，点落在点，那么的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故答案为：． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，的面积为，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段的垂直平分线、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键． 如图：设交于点G，由矩形的性质、三角形正切的定义可得，设，则，由勾股定理可得，由线段的垂直平分线的性质得出，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式可求得，进而得到，再根据三角形的面积求得，进而求得的长． 【详解】解：如图：设交于点G， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中， 设，则 ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵的面积为， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴．故答案为：． 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，某高速公路建设中需要确定隧道的长度．已知在离地面高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为和．则隧道的长为__________．（参考数据：） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，首先过点C作，交的延长线于点O，根据求出的长度，根据求出的长度，然后进行计算即可. 【详解】如图，过点C作，交的延长线于点O，则 ∵    ∴ ∴在中， 在中， ∴ 即隧道的长约为． 故答案为： 17．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABO中，是角平分线，的交点．若，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出，再利用角平分线的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质，，进而求出，最后设，则，从而在中，利用勾股定理求出的值，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ，平分， ，， 在中，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， 设，则， 在中，， ， ，即， 在中，， 故答案为：． 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为__________米． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，由已知斜坡的坡度，可得到的比例关系，进而由勾股定理求得的长，由此得解．解题的关键是从图中抽象出直角三角形． 【详解】解：由已知斜坡的坡度，得： ， 设米，则米， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：或（舍去）， ， 即河堤高等于12米． 故答案为：12． 19．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为__________． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 20．（2023·江苏宿迁·一模）锐角△ABC中，，，则面积的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据题意进行分类讨论，若，若，分别求出三角形面积，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：若∠B=90°， ，， ， ， 若， ，， ，， ， 是锐角三角形， 面积的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 21．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ABC中，． (1)求的值． (2)求△ABC的面积（结果保留根号） 【答案】(1)；(2) △ABC的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 22．（2024·贵州贵阳·一模）图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 【答案】(1)；(2)72.8cm 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键书作辅助线． （1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由两圆弧翼成轴对称可得，在中，，，进行解答即可． （2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，在中， ，，即可求出距离． 【详解】（1）如图, 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N， 由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，， ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中，，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的距离约为． （2）如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H， ∴可得， 在中，，，， ， ∴， ∵点B，E到地面的距离均为20cm， ∴， ∴． 答: 点A到地面的距离约为 72.8cm． 23．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，．    (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，则； （2）作于点，由，，求得，则，再证明，则，求得，由，求得，． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ． （2）作于点，则，   ，，， ， ， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， ， 的长为5，的值为3． 24．（22-23九年级下·重庆铜梁·期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． （1）过点C作于点D，分别在和中，解直角三角形即可求得的长； （2）由题意可得及的长，则计算即可求得结果． 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 25．（2024·贵州毕节·三模）如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 两楼之间的距离为； （2）解：在中，，， ， ， 大厦的高度约为． 26．（2024·贵州黔东南·二模）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为． (1)求无人机的高度；（结果保留根号） (2)求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质等相关知识点，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）先根据速度和时间得到路程，再利用特殊角的正切值即可得到长度； （2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及正切值得到的长度． 【详解】（1）解：由题知， ∴在中，， ∴， 答：故无人机的高度是； （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 答：隧道的长度约为． 27．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，小林周末去山顶看日出.小林先从点B出发，沿方向爬420米至点E再从E出发沿方向爬210米至点A．小林在点E处测得点B的俯角为，测得点A的仰角为．（参考数据：，，，，） (1)求山顶A到地面的距离（保留一位小数）； (2)若小林从点E出发的同时，小李从点C坐缆车沿方向前往点A，的坡角为若小林爬坡速度为，小李坐缆车的速度为，请通过计算说明谁先到达山顶． 【答案】(1)山顶A到地面的距离为358.1米；(2)小林先到达山顶 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． （1）由已知得，，求出米，米，米，即可求出的长度， （2）在中，根据，求出米，再求出小李坐缆车的时间和小林爬坡的时间即可判断． 【详解】（1）解：如图，作于点，于点，于点， 由已知得，， 米，米， 米， 米， 答：山顶到地面的距离为358.1米． （2）解：在中，， ， 米， 小李坐缆车的时间为秒， 小林爬坡的时间为秒， ∴；小林先到达山顶． 28．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在△ABC中，，，为锐角且． (1)求△ABC的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点评】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 29．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米；(2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价；∴预算不满足需求． 【点评】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． 30．（20-21九年级下·福建龙岩·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在△ABC中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）如图，,，所以. （2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是． （3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，． 【详解】（1）解：如图，,, ∵, ∴.    （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，； ∴    （3）解：如图，在上截取，过H作于D， ， 设，则，, ∴． 中，， ∴．    【点评】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． ( 59 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$