第05讲 逆定理和逆命题（1个知识点+5大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第05讲 逆命题和逆定理（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.逆命题逆定理的概念； 2.证明的过程； 3.互逆命题的概念； 1.掌握逆定理与逆命题的概念； 2.学会正确书写证明过程； 知识点01：定义、命题与证明 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 【即学即练1】可取下面哪组值说明“如果，那么”的逆命题是假命题（    ） A．， B．， C．， D．， 【即学即练2】（下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．如果，那么 题型01 写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 2．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 3．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 4．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 5．求证：等腰三角形两腰上的高相等． (1)画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证． (2)给出证明． 题型02 根据给出的论断组命题并证明 6．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 7．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 8．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 9．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 10．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 题型03 写出命题的逆命题 11．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 12．如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 13．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    14．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 15．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 题型04 定理与证明 16．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 17．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 18．如图，，，，求证：． 19．说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题. 20．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明： 题型05 互逆定理 21．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 22．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 23．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 24．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 25．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 1．下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 4．下列命题：①等边三角形的三个内角都相等；②若，则；③正方形的四条边都相等．它们的逆命题中，正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么，；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有__________________个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列说法中，错误的是（   ） A．三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等 B．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 C．有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形 D．每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理 7．在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 8．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 9．命题“如果，那么a与b互为倒数”的逆命题为 命题（填“真”或“假”）． 10．命题“在同一三角形中，等边对等角”的逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 11．命题“如果两个有理数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ，它是 命题．（填“真”或“假”） 12．如图所示，相交于点，命题“若，则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．    13．写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 14．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1)对顶角相等； (2)如果，那么． 15．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 16．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反例． 17．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 逆命题和逆定理（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.逆命题逆定理的概念； 2.证明的过程； 3.互逆命题的概念； 1.掌握逆定理与逆命题的概念； 2.学会正确书写证明过程； 知识点01：定义、命题与证明 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 【即学即练1】可取下面哪组值说明“如果，那么”的逆命题是假命题（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先写出原命题的逆命题，再根据绝对值的性质判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 当，时，，而，说明如果，那么是假命题， 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确理解绝对值的性质是解题的关键． 【即学即练2】（下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．如果，那么 【答案】C 【分析】利用对顶角定义、全等三角形性质和判定、平行四边形的判定和等式基本性质进行判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，不符合题意； B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形全等”，错误，为假命题，不符合题意； C、“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，正确，为真命题，符合题意； D、“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，错误，为假命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 题型01 写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 2．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 3．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 4．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 5．求证：等腰三角形两腰上的高相等． (1)画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证． (2)给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意画出图形，写出已知和求证即可； （2）通过角角边证明两个含高的三角形全等，从而得出对应边（高）相等． 【详解】（1）解：已知：如图，中，于点D，于点E． 求证：． （2）证明：于点D，于点E， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，掌握角角边的证明方法是本题关键． 题型02 根据给出的论断组命题并证明 6．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 7．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 8．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 9．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 10．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 题型03 写出命题的逆命题 11．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；正确 (2)对应角相等的三角形全等；不正确 【分析】本题考查了原命题与逆命题，以及判断命题的真假，将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题，继而利用定理判断命题的真假即可． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补， 根据平行线的性质定理即可判断这是真命题； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补，正确； （2）逆命题为：对应角相等的三角形全等， 根据全等三角形的判定定理可知这是假命题， 故答案为：对应角相等的三角形全等，不正确； 12．如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 【答案】(1)见解析 (2)逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题 【分析】（1）过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，证明，再证明，得到，即可证明直线平分． （2）根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题． 本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴直线平分． （2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形． 证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵直线平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴与的面积相等． 故逆命题是真命题． 13．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 14．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见解析；（2）两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，证明，根据两直线平行，同位角相等证明即可； （2）根据平行线的判定和性质、互逆命题的概念解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 15．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 题型04 定理与证明 16．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 17．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B＋∠F＝180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 18．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立. 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到. 19．说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题. 【答案】见解析. 【分析】把原命题的题设与结论交换得到逆命题，然后写出已知、求证，利用三角形全等的方法证明逆命题为真命题即可. 【详解】解：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上”.此逆命题为真命题； 已知:如图，CA=CB. 求证:点C在线段AB的垂直平分线上. 证明:作CD⊥AB.∵∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt△ADC和Rt△BDC中， ∴，∴AD=BD， ∴CD垂直平分AB，即点C在线段AB的垂直平分线上. 【点睛】本题考查了命题与定理、逆命题，有些命题的正确性是用推理证实的，熟练掌握文字证明题的解题步骤是关键. 20．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明： 【答案】见解析. 【分析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案． 【详解】逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知，如图，中，D是AB边的中点，且， 求证：是直角三角形 证明：是AB边的中点，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】此题考查的是命题与定理，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用是解题的关键． 题型05 互逆定理 21．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 22．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由见解析 (2)说法正确，理由见解析 (3)说法错误，理由见解析 (4)说法错误，理由见解析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 23．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 24．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)有，逆定理见解析； (2)有，逆定理见解析． 【分析】（1）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答； （2）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答． 【详解】（1）定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”． （2）定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．” 【点睛】本题考查平行线的性质与判定两直线平行的方法，熟记平行线的性质与判定方法是关键． 25．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1．下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】①逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题； ②逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； ③逆命题是等边对等角，真命题； ④逆命题是同位角相等，两条直线平行，真命题； ⑤逆命题是面积相等两三角形全等，假命题． 故选：B． 2．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假和逆命题，熟练掌握等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、全等三角形的性质是解题的关键． 根据不等式的性质、有理数的加法、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，为假命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ②若，则，为真命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ③三个内角相等的三角形是等边三角形，为真命题 逆命题为：等边三角形的三个内角相等，为真命题 故符合题意； ④底角相等的两个等腰三角形全等，为假命题 逆命题为：如果两个等腰三角形全等，那么他们的底角相等，为真命题 故不符合题意； 故选D． 3．命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，假命题，反例等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 先写出逆命题，再举反例说明即可. 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”是假命题， 可以取，说明． 故选：B． 4．下列命题：①等边三角形的三个内角都相等；②若，则；③正方形的四条边都相等．它们的逆命题中，正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断、逆命题，判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题叫真命题，错误的命题的叫假命题，熟知性质定理是解题的关键； 先交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，再根据等边三角形的判定、绝对值的性质，正方形、菱形的判定进行判断即可． 【详解】①等边三角形的三个内角都相等的逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，是真命题； ②若，则的逆命题为若，则，是真命题； ③正方形的四条边都相等的逆命题为四条边都相等的四边形是正方形，是假命题，因为四条边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形； 所以，真命题有2个， 故选：C． 5．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么，；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有__________________个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题； ②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题； ③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题； ④原命题的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题， 故选：B． 6．下列说法中，错误的是（   ） A．三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等 B．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 C．有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形 D．每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理 【答案】D 【分析】根据三角形的外心、内心的概念、等边三角形的判定、逆命题的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等，说法正确，不符合题意； B、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等，说法正确，不符合题意； C、有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形，说法正确，不符合题意； D、每一个命题一定有逆命题，每一个定理不一定有逆定理，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 7．在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理． 【详解】解：∵题设是条件，结论是结果， ∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行， ∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等． 故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 8．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【详解】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 9．命题“如果，那么a与b互为倒数”的逆命题为 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查了命题与定理∶判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．熟练掌握真命题的定义是解题的关键； 根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，然后根据真命题的定义进行判断作答即可． 【详解】解：命题“如果，那么a，b互为倒数”的逆命题为： 如果a，b互为倒数，那么，正确，为真命题， 故答案为：真． 10．命题“在同一三角形中，等边对等角”的逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【分析】本题主要考查逆命题及真假命题，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键；因此此题可根据逆命题及等腰三角形的判定进行求解． 【详解】解：命题“在同一三角形中，等边对等角”的逆命题为“在同一三角形中，等角对等边”，该逆命题是真命题； 故答案为真命题． 11．命题“如果两个有理数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ，它是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 如果两个有理数的积是正数，那么这两个有理数（它们）都是正数 假 【分析】本题考查写出命题的逆命题，判断真假命题，熟练掌握命题的逆命题是解题的关键．逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，即可写出逆命题．再根据逆命题判断真假即可． 【详解】解：命题“如果两个有理数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是： “如果两个有理数的积是正数，那么这两个有理（它们）都是正数”， 根据两个负数的乘积也是正数可以判断该命题为假命题， 故答案为：如果两个有理数的积是正数，那么这两个有理数（它们）都是正数，假． 12．如图所示，相交于点，命题“若，则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．    【答案】真 【分析】本题考查的是真假命题的判定，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：“若，则”的逆命题是： 若，则； ∵， ∴， ∴该逆命题是真命题； 故答案为：真． 13．写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握命题的有关概念是解题的关键． （1）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （2）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （3）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （4）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可． 【详解】（1）解：两直线平行，内错角相等（答案不唯一）； （2）解：相等的角是对顶角（答案不唯一）； （3）解：所有直角都相等（答案不唯一）； （4）解∶内错角不相等，两直线平行（答案不唯一）． 14．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1)对顶角相等； (2)如果，那么． 【答案】(1)相等的角是对顶角；假命题 (2)如果，那么；真命题 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假： （1）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解； （2）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解； 熟练掌握根据原命题写出逆命题是解题的关键． 【详解】（1）解：对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题． （2）如果，那么的逆命题：如果，那么，是真命题． 15．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 16．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)条件为：，结论为： (2)如果，那么 (3)假命题，反例不唯一，见解析 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题、命题真假的判断； （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【详解】（1）解：此命题的条件为：，结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当，为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如，时，，而． 17．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$