第04讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第04讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.等腰三角形的判定定理； 1.掌握等腰三角形的判定定理； 2.学会用等腰三角形的判定定理证明等腰三角形； 3、掌握等腰三角形的判定定理并灵活运用； 知识点01：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 【即学即练2】如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 知识点02：等边三角形的判定 1、判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2、等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（    ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 题型01 格点中画等腰三角形 1．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰三角形，则符合条件的点C有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有 个． 4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． (1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． (2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 题型02 找出图中的等腰三角形 1．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 4．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 题型03 根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 4．在中，，当 度时，是等腰三角形． 5．如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形?请说明理由．    题型04 根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 2．在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． 4．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．    5．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．． (1)求证：； (2)若，，求和的度数； (3)求证：． 题型05 根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）    A．10 B．8 C．6 D．16 3．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 4．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    5．如图，，求的长． 题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1．点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是坐标轴上的一点，使为等腰三角形的点的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 4．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 5．如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 2．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 4．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 5．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 题型08 作等腰三角形（尺规作图） 1．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 4．如图，直线相交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的度数是 ． 5．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 题型09 等腰三角形的性质和判定 1．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 2．如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交于点，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 3．如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且，若，则的长为 ． 4．如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ． 5．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 题型10 三角形边角的不等关系 1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 2．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 3．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ． 4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 . 5．已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长并判断的形状. 题型11 等边三角形的判定 1．在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可） 4．已知，，为三边的长，当时，则的形状是 ． 5．如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 题型12 等边三角形的判定和性质 1．如图，，点P在的内部，点C，D分别是点P关于的对称点，连接交分别于点E，F；若的周长的为9，则线段（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于 ． 4．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 5．如图，是等边外的一点，，，，点、分别在和上． (1)求证：是的垂直平分线 (2)若平分， ①证明：平分； ②求的周长． 1．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 2．如图，在中，，，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在和中，，，，．连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④，⑤其中正确的结论个数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 7．如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ． 8．如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形． 9．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 10．如图，在中，，是的中线，点E在上，且，连接，若，则的度数为 °． 11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 12．已知在中，，D为边上一点，和都是等腰三角形，则的度数可能是 ． 13．如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 15．如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：． 16．如图，已知中，D为上一点，，E为外部一点，满足，连结，与交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，已知在中，厘米，厘米，点D为的中点，点P在线段上以3厘米/秒如果点P在线段上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经一秒后，三角形与三角形是否全等，请说明理由； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？ 18．（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.等腰三角形的判定定理； 1.掌握等腰三角形的判定定理； 2.学会用等腰三角形的判定定理证明等腰三角形； 3、掌握等腰三角形的判定定理并灵活运用； 知识点01：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分别讨论腰，结合三角形三边关系即可得到答案； 【详解】解：①当为腰时，三边分别是：，，， ∵， ∴不存在此类情况， ②当为腰时，三边分别是：，，， ∵， 此时周长为：， 故选B； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是分类讨论． 【即学即练2】如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键 知识点02：等边三角形的判定 1、判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2、等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（    ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：①三个角都相等，则三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ②有两个角等于，则剩余的一个角为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ③若顶角为，则两个底角相等，均为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形；若底角为，则顶角为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ④若相等的两个角是底角，则这个等腰三角形不一定是等边三角形，此说法错误． 说法正确的是：①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 【答案】D 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解． 【详解】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形． 故选：D． 【点睛】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用． 题型01 格点中画等腰三角形 1．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰三角形，则符合条件的点C有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，分别以，为顶点，为腰，分别作出图形可得出答案．解答本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形，再利用数形结合的思想来求解． 【详解】解：当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个，与点、点构成等腰直角三角形， 即符合条件的点的个数为4， 故选：D． 3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有 个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论为等腰三角形的底边时和为等腰三角形其中的一条腰时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，（1）为等腰三角形的底边时，符合条件的C点有4个； （2）为等腰三角形其中的一条腰时，符合条件的C点有4个； 故答案为8． 4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． (1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． (2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型； （1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一)． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求． 题型02 找出图中的等腰三角形 1．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 2．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 3．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 4．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】 如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠EDC． 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE， ∴DE+BE=BD， ∵BD=CD， ∴AB+BE=CD； （2）∵△ABD≌△EDC， ∴AD=EC， ∵AD=BC，BD=CD， ∴AD=BC=EC， ∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 题型03 根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理求出另外一个内角的度数，再根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解：A、另外一个内角的度数为，则该三角形是等腰三角形，符合题意； B、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； C、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； D、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； 故选：A． 2．在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出即可判断． 【详解】在中，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：B． 3．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得的度数，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是 4．在中，，当 度时，是等腰三角形． 【答案】45 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，熟知等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴当，是等腰三角形 ∴当度时，是等腰三角形， 故答案为：． 5．如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形?请说明理由．    【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意求得即可求证． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 题型04 根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 2．在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，， 又， ， 而， ， ， ， ． 故选：． 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质．由角平分线的定义得，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得，，然后即可求得结论．解题的关键是证明，． 【详解】解：∵和的平分线交于点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长为． 故答案为：． 4．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将周长转换为是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化为，求出即可． 【详解】解：为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， 周长为， 故答案为：10 5．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．． (1)求证：； (2)若，，求和的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据角平分析及等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可求解； （3）根据三角形内角和定理得出，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． 在中，． 在中，． （3）证明：在中， ． 在中， ． ∴． 题型05 根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的等角对等边解答即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， 故选：C． 2．如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）    A．10 B．8 C．6 D．16 【答案】A 【分析】由题意可知，，有，可知，由三角形的周长可求的值，由可求的值． 【详解】解：是的平分线 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键在于推导出． 3．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 4．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或7 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 如图2中，当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或7． 故答案为：或7． 5．如图，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理求出，得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1．点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是坐标轴上的一点，使为等腰三角形的点的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，满足条件的点P的个数为8个． 故选：D． 3．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 4．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 5．如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 【答案】（1）见解析；（2）70°或20° 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意有两种情形）． （2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求． （2）在△ABC中，∵∠CAB=40°，AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=（180°-40°）=70°． 在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′， ∴∠AC′B=∠ABC′=（180°-140°）=20°． 综上所述，∠ACB=70°或20°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 3．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 4．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 5．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 题型08 作等腰三角形（尺规作图） 1．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 【答案】20° 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ． 故答案为：20° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键． 4．如图，直线相交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】 ，，或 【分析】根据△OAB为等腰三角形，所以需要分三种情况讨论：①OB=AB，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，即可得到等腰三角形OAB；②当OA=AB时，③当OA=OB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，即可得到符合的点B，即可得解． 【详解】要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： ①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点为B，此时有1个； ③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点为B，此时有2个， ． 故答案为 ，，或 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 5．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】见解析 【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下： （1）作射线； （2）在射线上截取； （3）作的中垂线，交于点D； （4）截取， 则等腰就是所求的三角形． 题型09 等腰三角形的性质和判定 1．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用， 根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交于点，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据题意可得都是等腰三角形，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ， 故选：A ． 3．如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且，若，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角形即可解答． 【详解】解：∵和分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 4．如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质；根据题意得出，进而根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 平分， ，， ， 故答案为：． 5．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 题型10 三角形边角的不等关系 1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 【答案】D 【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可． 【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7； ②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8； 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点． 2．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解． 【详解】解：连接PC，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为， 若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小， ∵， ∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长， ∴的周长最小值为； 故选B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键． 3．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ． 【答案】8，8 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 . 【答案】15或18 【详解】当7为底时，其它两边都为4，7、4、4可以构成三角形，周长为15； 当7为腰时，其它两边为4和7，4、7、7可以构成三角形，周长为18， 故答案是：18或15． 5．已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长并判断的形状. 【答案】的周长为8，为等腰三角形 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，再解方程得到c可能的取值，进而利用三角形三边关系确定c的值，求出△ABC的周长和判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解方程， 解得或， ∴c可能为3或9， 但是时，不满足三角形三边关系定理，故舍去. ∴，，， ∵，， ∴的周长为8，为等腰三角形. 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键． 题型11 等边三角形的判定 1．在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法．根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可． 【详解】解：①有一个外角是等腰三角形，即有一个内角是，故此三角形是一个内角为的等腰三角形，是等边三角形，故正确； ②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，命题错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的三角形不一定是等边三角形，命题错误； ④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确， 正确的命题有2个， 故选：C． 2．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题关键．根据选项所给条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，为等边三角形，不符合题意； B、，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意； C、，为等边三角形，不符合题意； D、，则，为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 3．在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定，解题的关键是掌“等角对等边”，以及三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形． 根据得出，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即是等边三角形； ②当时， ∵， ∴，即是等边三角形； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 4．已知，，为三边的长，当时，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系． 【详解】解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 5．如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得到，已知，则，可判定，即可得到； （2）由，，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明： ∴ ∴ （2）是等边三角形 ∵平分， ∵ ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 题型12 等边三角形的判定和性质 1．如图，，点P在的内部，点C，D分别是点P关于的对称点，连接交分别于点E，F；若的周长的为9，则线段（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质．连接，．证明是等边三角形，进而可得结论． 【详解】解：连接，． 点，分别是点关于，的对称点， ，，，，， ， 是等边三角形， ， ， ． 故选：B． 2．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 当是锐角三角形时，然后证明出，得到，证明出是等边三角形，得到，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可，当钝角三角形时，同理求解即可． 【详解】解：如图①：是等腰三角形，，，延长使， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 如图②：是等腰三角形，，，延长使， 同理可得，是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，这个三角形的底角为或． 故选：D． 3．如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：1． 4．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【答案】1或3/3或1 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点， ∴， ∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵动点的速度为/秒， ∴当从时，，当从时，． 故答案为：1或3． 5．如图，是等边外的一点，，，，点、分别在和上． (1)求证：是的垂直平分线 (2)若平分， ①证明：平分； ②求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的周长为6 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再结合，根据线段垂直平分线的判定定理可完成证明； （2）①过点作于点，结合（1）的结论，根据等边三角形的性质可得平分，再结合等边三角形的性质可证得，；然后利用角平分线的性质可得，进而可得，再结合角平分线的判定定理可完成证明； ②证明，则，同理可得，进而可得的周长，据此可完成解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）解：①：过点作， ∵，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． ②解：由①知，、、、都为直角三角形，且， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 同理： ， ∴， 即的周长为6． 1．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形的周长公式求出，再根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，，，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由题意得，，根据角度关系可得，进一步判定，得出，进一步得出即可． 本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可． 【详解】解：连接． ∵的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长与交于点，由题意可推出，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的内角和定理，可证得为等腰三角形，于是可得，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键． 5．如图，在和中，，，，．连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④，⑤其中正确的结论个数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明与全等是解决问题的关键．先证明，所以，则可对②进行判断；由的大小不定，可对④进行判断；过O点作于E，于F，如图，根据全等三角形的性质得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分，可对③进行判断；然后根据三角形内角和可对①进行判断；由不能判断，所以⑤错误． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，所以②正确； ∵的大小不定， ∴不一定是，所以④错误； 过O点作于E，于F， ∵， ∴，， ∴平分，所以③正确； 则， ∵，则 ∴， 而， ∴，所以①错误； ∵，，，由不能判断，所以⑤错误． 综上，②③正确； 故选：D． 6．如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．在上截取，作，证明，得出是等边三角形，则只要就是等边三角形，则这样的三角形有无数个． 【详解】解：如图，在上截取，作． ∵平分∠， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴则只要就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 7．如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义求解即可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长为． 故答案为：． 8．如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形． 【答案】4或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，，由是等腰三角形，可知当时，，即，计算求解即可；当时，证明是等边三角形，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，， ， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即， 解得，， 当时，是等腰三角形， ∴是等边三角形， ∴，即， 解得，， 综上所述，的值为4或， 故答案为：4或． 9．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 10．如图，在中，，是的中线，点E在上，且，连接，若，则的度数为 °． 【答案】50 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．由，是的中线，可得，，即，则，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 12．已知在中，，D为边上一点，和都是等腰三角形，则的度数可能是 ． 【答案】或或或 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，分情况画出图形进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：    当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时， ； 如图2所示：    当时， ∵， ∴， ∴， 当时，； 如图3所示：    当时， ∵， ∴， ∴， 当时，． 综上所述，的度数可能是或或或 故答案为：或或或． 13．如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识． （1）根据证明三角形全等即可． （2）证明，推出，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答： 的度数为． 14．如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)除与外所有的等腰三角形为： 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可； （2）由题意求出，再求出其他角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点F， ， ， ， ， ； （2）证明：解：， ， ， ， ， ， ， ， 除与外所有的等腰三角形为：． 15．如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识： （1）由平行线的性质求出，再由三角形的内角和定理解决问题即可. （2）证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如图，已知中，D为上一点，，E为外部一点，满足，连结，与交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答； (2)的度数是． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明全等是关键． （1）根据“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角即可求解 【详解】（1）证明：∵∠CAE=∠BAD， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 17．如图，已知在中，厘米，厘米，点D为的中点，点P在线段上以3厘米/秒如果点P在线段上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经一秒后，三角形与三角形是否全等，请说明理由； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)Q的运动速度是厘米/秒时，与全等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等； （2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度． 【详解】（1）解：与全等， 理由如下： 依题意得：， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ； （2）， ， 又， ， ∴点P，点Q运动的时间（秒）， （厘米/秒）． 18．（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 【答案】（1）（2）8（3）6 【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得． （2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：在和，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，过作的延长线于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8； （3）解：如图2，过作于，过作的延长线于， 面积为且的长为6， ∴， 解得，， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$