第06讲 直角三角形（2个知识点+8大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第06讲 直角三角形（2个知识点+8大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.直角三角形的概念、性质； 2.斜边的中线定理； 3.30°角所对的直角边等于斜边一半； 1. 掌握直角三角形的概念、性质； 2. 掌握直角三角形的斜边中线定理； 3. 掌握含30°的直角三角形，30°所对的直角边等于斜边的一半； 知识点01：直角三角形  角——直角三角形两锐角互余； 边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 边——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2  30°角所对的直角边等于斜边的一半。  【即学即练1】如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，由外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和等于，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键． 【即学即练2】中，，，则（    ） A．66° B．36° C．56° D．46° 【答案】B 【分析】设，利用直角三角形的两锐角互余列方程解题即可． 【详解】解：设，则，根据直角三角形的两锐角互余可得： ， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余，掌握运用方程解比例式的题目是解题的关键． 知识点02：直角三角形的判定 角——有一个角是直角的三角形是直角三角形； 角——有两个角互余的三角形是直角三角形； 边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。  边——一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，(但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。)  【即学即练3已知：如图，在中，，平分，垂直平分，为垂足，若，则的长度为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，设，则，在中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， 解得， 设，则， 在中，，， ，即， 解得，即， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 【即学即练4】如图，在中，，，点D为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：，，点是的中点， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 1．已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．根据平行线的性质得，然后由直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得，结合是角平分线，可得，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得，由此可求的度数． 【详解】解： ，， ， 是角平分线， ， 又 ， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，，点，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．在中，，是高，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．分两种情况：当点D在的延长线上时；当点D在边上时，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵如图，当点D在的延长线上时，， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图，当点D在边上时，， ∵， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 5．如图，是边上的高，平分交于点E，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴． 题型02 根据30度角的直角三角形求角度 1．如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，求出此时的度数即可． 【详解】解：在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，如图所示：    则， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、M、E三点共线，且时，最小，即最小， ∴当点E在点F时，最小， ∵，， ∴， 即此时． 故选：D． 2．如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，高的性质，根据三角形内角和定理可得，根据高的性质可得，根据角平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线，是高， ∴，， ∵， ∴的值为， 故选：A ． 3．在中，，点P是直线上一点，且，连接，则的大小是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，利用了分类讨论的思想，分两种情况考虑：当点P在线段上时，如图1所示，当点P在延长线上时，如图2所示，求出所求角度数即可，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 【详解】∵， ∴， 当点P在线段上时，如图1所示： 在中，， ∴，即， ∴为等边三角形，此时； 当点P在延长线上时，如图2所示， 同理可得， ∵， ∴， 综上，或， 故答案为：或． 4．如图，在中，，，D为线段的中点，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】先根据三角形内角和定理得出，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据中点得出，推出，得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵D为线段的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解题意是解题的关键． 5．如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）证明，可得，设，可得，得出，解得，则可求出； （2）由直角三角形的性质可得，，则结论可得出． 【详解】（1）解： 点是边的中点，， ，， ， ， ， 设， ∵， ， ， ， ， ， ，解得， ； （2）解：，， ， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键． 题型03 根据30度角的直角三角形求长度 1．如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了基本作图，三角形的外角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点D作，垂足为E，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据以及是等边三角形，可证得，过点C作于点P，再证明，可得，从而得到．在中，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 过点C作于点P， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据三角形外角的性质可得，从而得到，再求出，然后根据直角三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 4．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 【答案】40 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：40． 5．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，由此可得 ，进而得，据此可得出结论； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，从而得为等边三角形，则，在中根据得，由此得，进而可得的长． 【详解】（1）证明：在中， 是边上的中线 ， ， （2）是线段的垂直平分线 为等边三角形 在中，， 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形是解决问题的关键． 题型04 含30度角的直角三角形的相关题型 1．如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 【详解】解：过点作于． 在中，，， ， ∵ ， ． ，于， ， ． 故选：C． 2．如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线性质，含30度直角三角形性质；根据垂线段最短得出当时，的值最小，求出，再求出的值即可． 【详解】当时，的值最小，根据垂线段最短， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值是5， 故选：A． 3．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，则 ． 【答案】8 【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 此题主要考查了基本作图，含30度角直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，正确得出的长是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 由基本作图方法得出：垂直平分线段， ∴， ， 在中， ，， ， ， ， 故答案为：． 4．如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等．根据全等三角形的性质，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，继而得到，可得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 5．如图，在中，，．请解答下列问题：    作图一：作的角平分线交于点D； 作图二：作边的垂直平分线，分别交，于点D，E． (1)选择其中一种作图用尺规完成．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，与的面积有什么关系？试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）根据尺规作一个内角平分线和垂直平分线的方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的性质，角平分线的性质，结合三角形面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：作图一：即为所求作的的角平分线，如图所示：    作图二：即为所求作的线段的垂直平分线，如图所示：    （2）解：∵在中，，， ∴，， 作图一：过点D作与点E，如图所示：    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 作图二：连接，如图所示：    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质和角平分线的性质． 题型05 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度 1．如图，在中，，D是斜边的中点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，根据直角三角形的性质得，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键 ． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明是等边三角形，得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：∵斜边 与直线交于的中点 E ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，点 是 的中点，，则 的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 三角形内角和定理，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出， 根据等边对等角可得出， 根据三角形内角和可得出，最后再利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为： 4．如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 题型06 利用斜边的中线等于斜边的一半求长度 1．如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点 到目标物的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，点为中点， ， 故选：B． 2．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，点为的中点， ， 故选：A． 3．如图，在中，，是的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进而可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：21． 5．如图，是的中位线，延长至点F，使，连接和．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等AC=2BE=6． （1）根据三角形中位线的性质得，，再结合，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据平行四边形的性质得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】（1）证明：∵DE是的中位线， ∴，. ∵， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴. ∵，点E是的中点， ∴． 题型07 斜边的中线等于斜边的一半综合应用 1．如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，求出，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，由线段垂直平分线的性质得，，进而得，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，再利用余角性质可得，即可得到，掌握线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴，， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，然后根据，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵F为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 4．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点，， ∴． 故答案为：8 5．如图，在中，于点，于点，为的中点，若，，求的周长．    【答案】14 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答；本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：，，为的中点， ， ，， ∴， ∴的周长． 题型08 锐角互余的三角形是直角三角形 1．如图，在中，为边的中点，若，则（　　）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】首先可得是直角三角形，由直角三角形斜边上中线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∵D为边的中点，且， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是关键． 2．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 3．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 4．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 5．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)当为或或时，是等腰三角形 【分析】（1）证，求出即可判断； （2）首先根据题意表示出，，，然后分三种情况讨论，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 而是等边三角形， ∴．， ∴． 在与中， ∵ ∴， ∴， 而，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由题意可得：，，，， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，即， ∴， 当时， ∵，即， ∴解得 综上所述，当为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键． 1．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，作于，   ，， ，， 平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 2．如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质，可得，，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，然后根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于，两弧相交于点，作射线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本作图以及直角三角形的两锐角互余，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，，根据同角的余角相等即可求得． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴−， ∵， ∴． 故选：． 4．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】作于点，根据角平分线的性质得，由知．本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 【详解】解：如图，作于点， 为的平分线， ， ， 则， ∴ 故选：C． 5．中，，线段两点分别在线段和射线上移动，且．若与全等，则的长度为（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由全等三角形对应边相等，即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 而 ∴时，， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．根据题意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性质即可求出长． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，，． ∴． 故选：B． 7．如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接．构造特殊直角三角形解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． 与关于对称， ，， ， ， ， ． 故答案为：3． 8．如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论． 【详解】解：∵公路互相垂直， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 故答案为：． 9．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 【答案】6 【详解】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，由此得，据此可求出的长． 【解答】解：连接，如下图所示： 在中，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：6． 10．一把直尺和一块直角三角尺（含角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边交于点F，若，则度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 11．如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于；如图所示： 则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：3． 12．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，．平分．为边上的高．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线定义、三角形的内角和定理以及直角三角形的两锐角互余，掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由角平分线得，再根据三角形的内角和可得，从而利用直角三角形的两锐角互余即可求解。 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 14．如图，是边上的高，平分交于点E，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴． 15．如图，中，，点是上一点，，连接，是的角平分线，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线定义和直角三角形两锐角互余即可解决问题； （2）证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ，是的角平分线， ，， ，， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． 16．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 17．如图，，，．    (1)说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义，由，可得，根据同位角相等，两直线平行可得，进而得到，结合已知，可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证． （2）根据，可得，由，根据直角三角形两锐角互余，可得，由此可得的度数． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 18．已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 直角三角形（2个知识点+8大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.直角三角形的概念、性质； 2.斜边的中线定理； 3.30°角所对的直角边等于斜边一半； 1. 掌握直角三角形的概念、性质； 2. 掌握直角三角形的斜边中线定理； 3. 掌握含30°的直角三角形，30°所对的直角边等于斜边的一半； 知识点01：直角三角形  角——直角三角形两锐角互余； 边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 边——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2  30°角所对的直角边等于斜边的一半。  【即学即练1】如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【即学即练2】中，，，则（    ） A．66° B．36° C．56° D．46° 知识点02：直角三角形的判定 角——有一个角是直角的三角形是直角三角形； 角——有两个角互余的三角形是直角三角形； 边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。  边——一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，(但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。)  【即学即练3已知：如图，在中，，平分，垂直平分，为垂足，若，则的长度为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 【即学即练4】如图，在中，，，点D为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 1．已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，点，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为 ． 4．在中，，是高，，则的度数为 ． 5．如图，是边上的高，平分交于点E，若，求和的度数． 题型02 根据30度角的直角三角形求角度 1．如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，点P是直线上一点，且，连接，则的大小是 ． 4．如图，在中，，，D为线段的中点，则的度数为 ．    5．如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 题型03 根据30度角的直角三角形求长度 1．如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点D作，垂足为E，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 3．如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 4．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 5．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型04 含30度角的直角三角形的相关题型 1．如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 2．如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 3．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，则 ． 4．如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 5．如图，在中，，．请解答下列问题：    作图一：作的角平分线交于点D； 作图二：作边的垂直平分线，分别交，于点D，E． (1)选择其中一种作图用尺规完成．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，与的面积有什么关系？试说明理由． 题型05 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度 1．如图，在中，，D是斜边的中点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点 是 的中点，，则 的度数为 ． 4．如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为 ． 5．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型06 利用斜边的中线等于斜边的一半求长度 1．如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点 到目标物的距离是（     ） A． B． C． D． 2．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是的中点，若，则的长为 ． 4．如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ． 5．如图，是的中位线，延长至点F，使，连接和．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 题型07 斜边的中线等于斜边的一半综合应用 1．如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为 ． 4．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 5．如图，在中，于点，于点，为的中点，若，，求的周长．    题型08 锐角互余的三角形是直角三角形 1．如图，在中，为边的中点，若，则（　　）    A．3 B．4 C．5 D． 2．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 4．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    5．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 1．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于，两弧相交于点，作射线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．中，，线段两点分别在线段和射线上移动，且．若与全等，则的长度为（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．以上答案都不对 6．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ． 8．如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 9．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 10．一把直尺和一块直角三角尺（含角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边交于点F，若，则度数为 ． 11．如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 12．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 13．如图，在中，．平分．为边上的高．若，求的度数． 14．如图，是边上的高，平分交于点E，若，求和的度数． 15．如图，中，，点是上一点，，连接，是的角平分线，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 16．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，，，．    (1)说明的理由； (2)若，求的度数． 18．已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$