1.2 空间向量基本定理5题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.2 空间向量基本定理5题型分类 一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 三、空间向量基本定理的应用 1．求异面直线的夹角：. 2．证明共线(平行)、共面、垂直问题： (1)对于空间任意两个向量、()，的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)如果两个向量，不共线，那么向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝. (3)若是非零向量，则. 3．求距离(长度)问题：(). （一） 空间向量基底的判断 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同； (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念； (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. (4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便． 题型1：空间向量基底的判断 1-1．（2024高三·全国·对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高二下·江西南昌·期中）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1-3．（2024高一下·湖南·期末）给出下列命题: ①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基； ③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面； ④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基. 其中真命题的个数是（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 1-4．（2024高一下·湖南·期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ） A． B． C． D． （二） 利用基底表示空间向量 1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解. 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形化简． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 题型2：利用基底表示空间向量 2-1．（2024高二下·江苏徐州·期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 2-2．（2024高二下·江苏盐城·期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二上·浙江丽水·期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·福建泉州·期末）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． （三） 空间向量基本定理在几何中的应用 用空间向量基本定理解决几何问题时需注意 (1)若证明线线平行，只需证明两向量共线． (2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为0． (3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角． (4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模． 题型3：利用空间向量基本定理求参数 3-1．（2024高二下·云南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，若，则 . 3-2．（2024高二下·江苏常州·期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 3-3．（2024高三上·安徽宣城·期末）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 3-4．（2024·陕西·一模）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则 ． 题型4：利用空间向量基本定理证明位置关系 4-1．（2024高二·江苏·课后作业）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 4-2．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 4-3．（湖南省长沙市四校联考2023-2024学年高二上学期9月阶段考试数学试题）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 4-4．（2024高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 题型5：利用空间向量基本定理求距离、夹角 5-1．（2024高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 5-2．（2024高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求MN的长． 5-3．（2024高二上·浙江杭州·期末）如图，平行六面体中，，， (1)求对角线的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 5-4．（2024高二上·福建三明·期末）如图，在四面体ABCD中，，，，. (1)求的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长. 5-5．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值． 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·开学考试）已知四面体，G是的重心，P是线段OG上的点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·辽宁·期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·山东菏泽·阶段练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（   ） A．四点必共面 B．四点必共面 C．四点必共面 D．五点必共面 4．（2024高二上·全国·课后作业）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 5．（2024高二上·广东揭阳·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（      ） A． B． C． D． 6．（2024高二·全国·课后作业）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 7．（2024·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（2024高二下·河南开封·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（    ） A．1 B． C．2 D． 12．（2024高二上·浙江湖州·期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二上·山东·阶段练习）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2024高二上·河南·期末）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ）． A．9 B．7 C．3 D． 15．（2024高二下·安徽合肥·开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2024高二上·江苏连云港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 17．（2024高二下·江苏常州·开学考试）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 B．是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面 C．若，则点四点共面 D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底 18．（2024高二上·山西晋中·期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二下·江苏·课后作业）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（2024高二上·河北唐山·期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则 . 21．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，O是AC与BD交点．记， 则 （结果用表达）． 22．（2024高三·上海·专题练习）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则 ， ． 23．（2024·福建龙岩·模拟预测）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为 ；过点A作一个平面分别交于点E､F､G进行切割，得到四棱锥，若，则的值为 . 24．（2024高二下·江苏常州·期中）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足且，则的最小值为 . 25．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 四、解答题 26．（2024高二上·湖北孝感·期中）如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且． (1)试用表示向量； (2)若，求的值． 27．（2024高二·湖南·课后作业）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.    28．（2024高二上·广东中山）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 29．（2024高二上·广东中山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 30．（2024高二·江苏·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，． (1)用，，表示，； (2)设的重心为G，用，，表示； (3)当时，求a的取值范围． 31．（2024高二·全国·专题练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 32．（2024高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 33．（2024高二下·广西南宁·开学考试）已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 34．（2024高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 35．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.2 空间向量基本定理5题型分类 一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 三、空间向量基本定理的应用 1．求异面直线的夹角：. 2．证明共线(平行)、共面、垂直问题： (1)对于空间任意两个向量、()，的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)如果两个向量，不共线，那么向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝. (3)若是非零向量，则. 3．求距离(长度)问题：(). （一） 空间向量基底的判断 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同； (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念； (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. (4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便． 题型1：空间向量基底的判断 1-1．（2024高三·全国·对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基底的性质进行求解. 【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确； 因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确； 因为与平行，所以不能构成基底，C不正确； 因为，所以共面，不能构成基底，D不正确. 故选：B. 1-2．（2024高二下·江西南昌·期中）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】确定，，排除ABD，得到答案. 【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误； 对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误； 对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确； 对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误； 故选：C 1-3．（2024高一下·湖南·期末）给出下列命题: ①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基； ③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面； ④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基. 其中真命题的个数是（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由空间向量基底的定义，结合空间向量基本定理以及共线定理，利用反证法可得答案. 【详解】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确. ③中由共面且过相同点，故共面. 下面证明①④正确. ①假设与共面，则存在实数，使， ∵与共线，，∴存在实数，使， ∵，∴，从而，∴与共面，与条件矛盾. ∴与不共面. 同理可证④也是正确的. 故选：D. 1-4．（2024高一下·湖南·期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，无解. 所以，与构成一个基底. B.因为，所以，所以排除B； C.因为，所以，所以排除C； D.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，所以， 所以，与不构成一个基底，排除D. 故选：A （二） 利用基底表示空间向量 1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解. 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形化简． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 题型2：利用基底表示空间向量 2-1．（2024高二下·江苏徐州·期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 2-2．（2024高二下·江苏盐城·期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，    因为Q是的中点，所以， 因为M为PQ的中点，所以， 故选：A. 2-3．（2024高二上·浙江丽水·期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】   如图所示，， 故选：C 2-4．（2024高二上·福建泉州·期末）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AG1并延长，交BC于点E，利用向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， ，则， 由题设，， 所以. 故选：A （三） 空间向量基本定理在几何中的应用 用空间向量基本定理解决几何问题时需注意 (1)若证明线线平行，只需证明两向量共线． (2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为0． (3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角． (4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模． 题型3：利用空间向量基本定理求参数 3-1．（2024高二下·云南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的分解和基底的定义求解. 【详解】因为， 所以所以. 故答案为:. 3-2．（2024高二下·江苏常州·期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解. 【详解】矩形中，,所以.      因为，所以. 因为,，所以. 所以. 所以，所以. 故选：A 3-3．（2024高三上·安徽宣城·期末）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项. 【详解】因为， 所以，所以，所以 ， 所以， 故选：A. 3-4．（2024·陕西·一模）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的运算法则，直接求出，再利用空间向量基本定理，即可求出结果. 【详解】因为 ， 所以． 故答案：. 题型4：利用空间向量基本定理证明位置关系 4-1．（2024高二·江苏·课后作业）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答. 【详解】在空间四边形OABC中，令，则， 令，G是MN的中点，如图， 则，， 于是得 ， 因此，， 所以OG⊥BC. 4-2．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 【答案】证明见解析 【分析】设，，，并以它们为基底表示出、、，在面BDD1B1上任意一点P有，结合已知并应用向量数量积的运算律求，即可证结论. 【详解】设，，，则为空间的一个基底且，，. 因为AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°， 所以，. 在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得. 所以，. 所以是平面BDD1B1的法向量． 所以A1C⊥平面BDD1B1. 4-3．（湖南省长沙市四校联考2023-2024学年高二上学期9月阶段考试数学试题）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可； （2）设，，用，，表示向量，依题意可得，根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解． 【详解】（1）解：因为是中点，所以， 所以 ； （2）解：假设存在点，使，设，， 显然，， 因为，所以， 即， ，，， 即， 解得，所以当时，. 4-4．（2024高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【答案】证明见解析 【分析】设，由空间向量的运算证明，. 【详解】证明：设 则 ， ， ， ， ， 又 ，同理可证， 这个四面体相对的棱两两垂直. 题型5：利用空间向量基本定理求距离、夹角 5-1．（2024高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直； （2）用表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接DE， 因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点， 所以， 故， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）由题意得：均为等边三角形且边长为1， 所以 ，， 所以 ， 设异面直线AG和CE所成角为， 则 5-2．（2024高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求MN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解. （2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解. 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， 即MN的长为. 5-3．（2024高二上·浙江杭州·期末）如图，平行六面体中，，， (1)求对角线的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1) 以向量为基底，则有，两边平方即可得，即可得的值，即可得答案； (2)由向量的四则运算及数量积可得,从而可得的值，即可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以三角形为等腰直角三角形，所以， 又因为，， 所以三角形为边长为1的等边三角形， 以向量为基底， 则有， 两边平方得 ， 所以， 即, 所以对角线的长度为3； （2）因为，，，， 所以 , 所以, 即异面直线与所成角的余弦值为. 5-4．（2024高二上·福建三明·期末）如图，在四面体ABCD中，，，，. (1)求的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取为空间的一个基底，表示出，再利用空间向量数量积求解作答. （2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答. 【详解】（1）在四面体中，设，，，则，， ，，， . （2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图， 于是得， 因此 ，即有， 所以线段EF的长为. 5-5．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值． 【答案】 【分析】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出，.进而根据数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出以及夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】设，，， 由已知可得. 因为， ， 所以，， ， ， 所以，， 所以，， 故直线与的夹角的余弦值为. 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·开学考试）已知四面体，G是的重心，P是线段OG上的点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知， ∵， ∴． 故选：B． 2．（2024高二上·辽宁·期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案. 【详解】因为， ， ， 所以向量，，均与向量，共面． 故选：C 3．（2024高二上·山东菏泽·阶段练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（   ） A．四点必共面 B．四点必共面 C．四点必共面 D．五点必共面 【答案】B 【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：B. 4．（2024高二上·全国·课后作业）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果. 【详解】根据向量加法法则可得：， 即， 因为， 所以，，， 所以，，，所以. 故选：B. 5．（2024高二上·广东揭阳·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 6．（2024高二·全国·课后作业）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解. 【详解】由题意，知，，不共面，四边形为平行四边形，， 为空间的一组基底. ，又， ，，，， . 故选：D. 7．（2024·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解. 【详解】取中点为， 三个式子相加可得, 又 , 故选：D    8．（2024高二·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】向量是不共面的三个向量， 对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底； 对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底； 对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底； 对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得， 整理得，而向量不共面，则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底. 故选：C 9．（2024高二下·河南开封·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误； 对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误； 对于C，假设向量共面，则， 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误； 故选：C. 10．（2024高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 又点在线段上（不含端点），所以，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 11．（2024高二上·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解. 【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，， 则 ， 又，，， 则，， 因此， . 故选：B 12．（2024高二上·浙江湖州·期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答. 【详解】因，则，即， 而，则共面，点M在平面内， 又，即，于是得点N在直线上， 棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心， 因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点， ，而，， 所以. 故选：A 13．（2024高二上·山东·阶段练习）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点， 以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①. 连接，因为四点共面， 所以存在实数，使得， 即， ②， 由①②以及空间向量的基本定理可知： ， ， 所以. 故选：C 14．（2024高二上·河南·期末）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ）． A．9 B．7 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题知，进而根据计算向量的模得答案. 【详解】解：在平行六面体中，四边形是平行四边形，又是，的交点， 所以是的中点， 所以，， 又，，， 所以 ，即． 故选：D． 15．（2024高二下·安徽合肥·开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长. 【详解】以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故选：C. 二、多选题 16．（2024高二上·江苏连云港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 【答案】BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 17．（2024高二下·江苏常州·开学考试）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 B．是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面 C．若，则点四点共面 D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底 【答案】ABD 【分析】根据空间基底向量的定义结合四点共面的定理与结论逐项分析判断. 【详解】对A：若，则与任何向量均共面，故与任何向量都不能构成空间的一组基底，A正确； 对B：若不能构成空间的一组基底，则共面，则共面，B正确； 对C：若，则， ∵， 故点四点不共面，C错误； 对D：∵是空间向量的一组基底，则不共面， 若，则不共面，故也是空间一组基底，D正确. 故选：ABD. 18．（2024高二上·山西晋中·期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理判断即可. 【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误； 因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得， 若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确； 故选：ACD 19．（2024高二下·江苏·课后作业）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底. 【详解】如图所示，令，则，又， 由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面， 同理和也不共面. 故选：BCD 三、填空题 20．（2024高二上·河北唐山·期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出. 【详解】因为，所以， 即，， 下面证明：已知，若三点共线，则， 因为三点共线，所以存在非零实数，使得， 即，整理得， 故，，所以， 因为三点共线， 故，解得：. 故答案为： 21．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，O是AC与BD交点．记， 则 （结果用表达）． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的一个基底表示作答. 【详解】在平行六面体中，，则O是BD的中点， 即， 所以. 故答案为： 22．（2024高三·上海·专题练习）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】用表示出，从而得出，的值． 【详解】由于， 所以，， 故答案为：；．    23．（2024·福建龙岩·模拟预测）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为 ；过点A作一个平面分别交于点E､F､G进行切割，得到四棱锥，若，则的值为 . 【答案】 /0.75 【分析】第一空，作辅助线作出四棱锥的高，并求出其长，确定外接球的球心，可得半径，求得答案； 第二空，用向量表示，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得t，继而求得答案. 【详解】第一空，设AC，BD交于点O,连接PO, 由于为正四棱锥，故PO为四棱锥的高， 由底边和侧棱长均为4可得， , , 即点O到点P,A,B,C,D的距离相等，故O即为该正四棱锥的外接球球心， 则外接球半径为 ，故外接球表面积为 ； 第二空， , 设,则, 由于点A,E,F,G四点共面，故，解得， 故，则， 故答案为：； 24．（2024高二下·江苏常州·期中）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量满足条件可知是平面上的动点，转化为求到平面的距离，利用补形及等体积法求解即可. 【详解】因为点P满足且， 所以四点共面，即是平面上的动点， 所以的最小值即为到平面的距离. 由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图， 则可知， 设到平面的距离为， 则, 即， 解得， 所以的最小值为. 故答案为： 25．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题 26．（2024高二上·湖北孝感·期中）如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且． (1)试用表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∴又 ∴ （2）由（1）可得知 ． 27．（2024高二·湖南·课后作业）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.    【答案】证明见解析. 【分析】由空间向量的共线定理证明， 【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，    因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设，，， 因为M为BCD的重心， 所以 因为，所以， 所以， 同理得， ∴. 又， ∴B，G，N三点共线 28．（2024高二上·广东中山）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 【答案】， 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果. 【详解】解：因为是的中点，底面是正方形， 所以 ， 又由题意，可得，，，， ， 因此 ， 所以，即的长为. 29．（2024高二上·广东中山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论. 【详解】（1）∵ ∴ （2）连接 ∵分别是的中点，∴. 又∵，∴， ∴，则四点共面. 【点睛】 30．（2024高二·江苏·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，． (1)用，，表示，； (2)设的重心为G，用，，表示； (3)当时，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示； （2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示； （3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围． 【详解】（1） （2） （3） 又 即对任意，都有 即a的取值范围为. 31．（2024高二·全国·专题练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解； （2）由（1）分别求得，，以及，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为E是的中点，F在上，且， 所以， 于是. （2）由（1）得， 因此， ， 又因为， 所以向量与向量所成角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 32．（2024高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 33．（2024高二下·广西南宁·开学考试）已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答. （2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答. 【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 因为，，且， 则， ， 所以 . （2）由（1）知，，则， 又，所以向量与夹角的余弦值. 34．（2024高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可； （2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可. 【详解】设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， （1）由 所以即证. （2）由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. 【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法. 35．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$