专题3　等腰三角形 2024-2025学年浙教版数学八年级上册培优专题练习

浙教版数学八年级上册培优专题练习 专题3　等腰三角形 A组 1．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋|b－4|＝0，则此等腰三角形的周长为(　 ) A．7 B．10 C．11 D．10或11 2．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB＋EC的值为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．9 第2题图 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，AB＝AC，BC＝5，则△DEC的周长为(　 ) A．3 B．5 C．7 D．11 　 第3题图 4．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为(　 ) A．22.5° B．67.5° C．67°50′ D．22.5°或67.5° 5．如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一测点B处测得∠ABN＝60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48米，则AB＝______米. 第5题图 6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连结AE，CD．若∠BAE＝39°，则∠BCD＝______. 第6题图 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. 第7题图 (1)求证：△DEF是等腰三角形． (2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 8．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B， 求证：△CDE是等腰三角形． 第8题图 9．在3×3的正方形格点图中有格点△ABC，请在下图1～3中分别按下列要求作出一个不同于△ABC的格点三角形． (1)在图1中作格点△ABD，且与△ABC面积相等． 图1 (2)在图2中作格点△ACE，且与△ABC面积相等． 图2 (3)在图3中作格点△BCF，且是一个轴对称图形． 图3 10．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在射线AB上运动，F在射线CA上运动，且∠EDF＋∠BAC＝180°，连结DE，DF. (1)如图①，当∠B＝45°时，请写出线段DE和DF之间的数量关系并说明理由． (2)如图②，当∠B＝60°时，点E在AB延长线上，点F在CA上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． B组 1．2022年卡塔尔世界杯(英语：FIFA World Cup Qatar 2022)是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．下列四个图案是历届世界杯会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是(　 ) A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　 ) A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 3．如图，在等边三角形DEF中，DE＝6，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，AB＝AC，∠CAB＝60°，则CE的长为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 第3题图 4．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD等于(　 ) A．16° B．28° C．44° D．45° 第4题图 5．如图，△ABC的三条边相等，三个内角也相等，且AD＝BF＝CE，连结DE，DF，EF，CD与BE交于H点，以下结论：①△ADE≌△BFD；②△BDE与△CFD的面积相等；③BE＝CD；④∠EHC＝60°，则正确的是____________(填序号)． 第5题图 6．如图，在正方形网格上有一个△ABC. 第6题图 (1)作△ABC关于直线DE的轴对称△A′B′C′. (2)若网格上的最小正方形的边长均为1，求△ABC的面积． 7．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点． 第7题图 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. 第8题图 (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数． (2)若点E在边AB上，EF∥AC，交AD的延长线于点F，求证：AE＝FE. 9．如图①，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB.将直角三角板如图放置，使直角顶点D在OC上，60°角的顶点E在OB上，斜边与OA交于点F(F与O不重合)，连结DF. (1)如图②，若DE⊥OB，求证：△DEF为等边三角形． (2)如图③，求证：OD＝OE＋OF. 10．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45°. 第10题图 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由． (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数． C组 1．在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　 ) 第1题图 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 第2题图 3．如图，∠AOB＝35°，点C，D在∠AOB内部，连结OC，OD，CD，在射线OA上取一点E，在射线OB上取一点F，连结CE，EF，FD，得到四边形CEFD.若OC＝OD＝5，CD＝1，∠COD＝10°，则四边形CEFD周长最小值是(　 ) A．5 B．6 C．7 D．11 第3题图 4．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P．若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是______． 5．如图，一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次是1，3，3，2，则该六边形的周长为______． 第5题图 6．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论中：①BF＝2AF；②∠DMB＝2∠ACD；③AC∶AB＝CD∶BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形，正确的是______(填序号)． 第6题图 7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE，交AC于点F，求证：AF＝EF. 第7题图 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证：BC＋DC＝AC. 第8题图 9．【问题提出】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的点．连结AD，以AD为边作△ADE(E，D在AC同侧)，使DA＝DE，∠ADE＝∠BAC，连结CE.若∠BAC＝90°，请判断CE与AC的位置关系，并说明理由． 【问题探究】(1)先将问题特殊化．如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝60°时，请直接写出∠ACE的度数为 ． (2)再探究具体情形，如图1，请判断CE与AC的位置关系，并说明理由． (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC.点E为△ABC外一点，AD⊥BE于点D，∠BEC＝∠BAC，DE＝3，EC＝2.求BD的长． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P为三角形内的一点，且∠PCA＝20°，∠PAB＝20°，求∠PBC的度数． 第10题图 【答案解析】 A组 1．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋|b－4|＝0，则此等腰三角形的周长为(　D) A．7 B．10 C．11 D．10或11 2．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB＋EC的值为(　B) A．3 B．4 C．5 D．9 第2题图 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，AB＝AC，BC＝5，则△DEC的周长为(　B) A．3 B．5 C．7 D．11 　 第3题图 4．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为(　D) A．22.5° B．67.5° C．67°50′ D．22.5°或67.5° 5．如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一测点B处测得∠ABN＝60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48米，则AB＝48米. 第5题图 6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连结AE，CD．若∠BAE＝39°，则∠BCD＝39°. 第6题图 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. 第7题图 (1)求证：△DEF是等腰三角形． (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 在△BDE和△CEF中， ∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形． (2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． (2)解：∵∠A＝50°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝×(180°－50°)＝65°. ∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF， ∴∠DEF＝180°－(∠BED＋∠CEF) ＝180°－(∠BED＋∠BDE)＝∠B＝65°. 8．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B， 求证：△CDE是等腰三角形． 第8题图 证明：∵∠ADE＋∠CDE＋∠BDC＝180°，∠BCD＋∠B＋∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B， ∴∠ADE＝∠BCD. ∵AC＝BC，∴∠A＝∠B. 在△ADE和△BCD中， ∴△ADE≌△BCD(ASA)，∴DE＝CD， ∴△CDE是等腰三角形． 9．在3×3的正方形格点图中有格点△ABC，请在下图1～3中分别按下列要求作出一个不同于△ABC的格点三角形． (1)在图1中作格点△ABD，且与△ABC面积相等． 图1 解：(1)如图所示，△ABD即为所求(答案不唯一)． (2)在图2中作格点△ACE，且与△ABC面积相等． 图2 (2)如图所示，△ACE即为所求． (3)在图3中作格点△BCF，且是一个轴对称图形． 图3 (3)如图所示，△BCF即为所求(答案不唯一)． 10．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在射线AB上运动，F在射线CA上运动，且∠EDF＋∠BAC＝180°，连结DE，DF. (1)如图①，当∠B＝45°时，请写出线段DE和DF之间的数量关系并说明理由． 解：(1)∵AB＝AC，∠B＝45°，∴∠C＝∠B＝45°，∴∠BAC＝90°.∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，BD＝AD.∵∠EDF＋∠BAC＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠AFD，∴△BDE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF. (2)如图②，当∠B＝60°时，点E在AB延长线上，点F在CA上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 答图 (2)成立，理由如下：如答图，过点D作DM⊥AE，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.∵DM⊥AE，DN⊥AC，∴∠DME＝∠DNF＝90°.∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN.∵AB＝AC，∠B＝60° ，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∠MDN＝120°.∵∠EDF＋∠BAC＝180°，∴∠EDF＝∠MDN＝120°，∴∠EDM＝∠FDN，∴△EDM≌△FDN(ASA)，∴DE＝DF. B组 1．2022年卡塔尔世界杯(英语：FIFA World Cup Qatar 2022)是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．下列四个图案是历届世界杯会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是(　A) A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　D) A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 3．如图，在等边三角形DEF中，DE＝6，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，AB＝AC，∠CAB＝60°，则CE的长为(　D) A．1 B．2 C．3 D．4 第3题图 4．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD等于(　C) A．16° B．28° C．44° D．45° 第4题图 5．如图，△ABC的三条边相等，三个内角也相等，且AD＝BF＝CE，连结DE，DF，EF，CD与BE交于H点，以下结论：①△ADE≌△BFD；②△BDE与△CFD的面积相等；③BE＝CD；④∠EHC＝60°，则正确的是①②③④(填序号)． 第5题图 6．如图，在正方形网格上有一个△ABC. 第6题图 (1)作△ABC关于直线DE的轴对称△A′B′C′. 解：(1)如答图，△A′B′C′即为所求． 答图 (2)若网格上的最小正方形的边长均为1，求△ABC的面积． (2)S△ABC＝×2×1＋×2×3＝4. 7．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点． 第7题图 证明：如答图，连结BD. 答图 ∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°. ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E. ∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝ED. 又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. 第8题图 (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数． 解：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°. 又∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°. (2)若点E在边AB上，EF∥AC，交AD的延长线于点F，求证：AE＝FE. (2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F， ∴AE＝FE. 9．如图①，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB.将直角三角板如图放置，使直角顶点D在OC上，60°角的顶点E在OB上，斜边与OA交于点F(F与O不重合)，连结DF. (1)如图②，若DE⊥OB，求证：△DEF为等边三角形． 证明：(1)设OC与EF交于点G，如图1.∵DE⊥OB，∠DEF＝60°，∴∠DEO＝90°，∴∠OEF＝∠DEO－∠DEF＝90°－60°＝30°.∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠BOD＝60°，∴∠OGE＝90°.∵∠OFE＝180°－∠AOB－∠OEF＝30°，∴∠OEF＝∠EFO，∴EO＝FO，∴OC是EF的垂直平分线，∴DE＝DF，∴△DEF为等边三角形． 图1 (2)如图③，求证：OD＝OE＋OF. (2)在OC上取点M使得OM＝OE，如图2.∵∠BOD＝60°，∴△OEM为等边三角形，∴∠OEM＝∠EMO＝60°，OE＝EM，∴∠EMD＝∠EOF＝120°.∵∠DEF＝∠OEM＝60°，∴∠DEM＝∠OEF，∴△DEM≌△FEO(ASA)，∴MD＝OF，∴OD＝MO＋DM＝EO＋OF. 图2 10．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45°. 第10题图 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由． 解：(1)∠DAC的度数不会改变．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C①.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°－∠AED＝90°－2∠C，∴∠BAD＝(180°－∠B)＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C，∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C②.由①，②，得∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°. (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数． (2)设∠ABC＝m°，则∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°，∠AEB＝180°－n°－m°，∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋m°.∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°，∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°. C组 1．在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　D) 第1题图 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是(　B) A．5 B．6 C．7 D．8 第2题图 3．如图，∠AOB＝35°，点C，D在∠AOB内部，连结OC，OD，CD，在射线OA上取一点E，在射线OB上取一点F，连结CE，EF，FD，得到四边形CEFD.若OC＝OD＝5，CD＝1，∠COD＝10°，则四边形CEFD周长最小值是(　B) A．5 B．6 C．7 D．11 第3题图 4．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P．若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7． 5．如图，一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次是1，3，3，2，则该六边形的周长为15． 第5题图 6．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论中：①BF＝2AF；②∠DMB＝2∠ACD；③AC∶AB＝CD∶BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形，正确的是②③④(填序号)． 第6题图 7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE，交AC于点F，求证：AF＝EF. 第7题图 证明：如答图，延长AD至点G，使DG＝AD，连结BG.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC.又∵∠ADC＝∠GDB，∴△BDG≌△CDA(SAS)，∴∠G＝∠CAD，BG＝AC.∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BED.∵∠AEF＝∠BEG，∴∠CAD＝∠AEF，∴AF＝EF. 答图 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证：BC＋DC＝AC. 第8题图 证明：如答图，延长BC至点E，使CE＝CD，连结BD，则△DCE，△ABD都是等边三角形． ∴DE＝DC，DB＝DA，∠BDE＝60°＋∠BDC＝∠ADC， ∴△BDE≌△ADC(SAS)， ∴BE＝AC，∴BC＋DC＝AC. 答图 9．【问题提出】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的点．连结AD，以AD为边作△ADE(E，D在AC同侧)，使DA＝DE，∠ADE＝∠BAC，连结CE.若∠BAC＝90°，请判断CE与AC的位置关系，并说明理由． 【问题探究】(1)先将问题特殊化．如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝60°时，请直接写出∠ACE的度数为 ． 解：(1)60°. (2)再探究具体情形，如图1，请判断CE与AC的位置关系，并说明理由． 答图1 (2)过点D作DF⊥CD，交AC的延长线于点F，如答图1所示，则∠FDC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴△FDC，△ADE均为等腰直角三角形，∴∠ADF＝∠EDC.易证△AFD≌△ECD(SAS)，∴∠FAD＝∠CED.∵∠FAD＋∠ACE＝∠CED＋∠ADE，∴∠ACE＝∠ADE＝90°，∴CE⊥AC. (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC.点E为△ABC外一点，AD⊥BE于点D，∠BEC＝∠BAC，DE＝3，EC＝2.求BD的长． 答图2 (3)过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F，如答图2所示，则∠AFC＝90°，∵∠BEC＝∠BAC，∴∠ABD＝∠ACF，易证△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD＝CF，AD＝AF.∵AE＝AE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL)，∴DE＝EF＝3，∴BD＝CF＝5. 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P为三角形内的一点，且∠PCA＝20°，∠PAB＝20°，求∠PBC的度数． 第10题图 解：如答图，以PA为边在△APC内作正三角形APD，连结CD. 答图 ∵∠ABC＝∠ACB＝40°，∠PAB＝20°，∴∠PAC＝80°．∵∠ACP＝20°，∴∠CPA＝80°，∴AC＝PC＝AB.∵△APD为正三角形，∴∠DAC＝∠DPC＝20°＝∠PAB，∴△ABP≌△ACD≌△PCD，∴∠PBA＝∠DCA＝∠DCP＝10°，∴∠PBC＝30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$