2024—2025学年浙教版数学八年级上册培优专题练习《专题2　全等三角形》

浙教版数学八年级上册培优专题练习 专题2　全等三角形 A组 1．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则图中全等三角形的对数是(　 ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 第1题图 2．如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB.其中能使△ABC≌△DCB的有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第2题图 3．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是(　 ) A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 第3题图 4．已知△ABC的边AB，BC长分别为6，12，BD是AC边的中线，则BD的取值范围为(　 ) A．6＜BD＜18 B．3＜BD＜9 C．3＜BD＜6 D．9＜BD＜18 5．如下图，点E，F是线段BC上的两点．若△ABF≌△DCE，且AB＝3，AF＝5，则DC的长为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 第5题图 6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AC边上的点，且AD＝2CD，连结BD．过B作EB⊥BD，并截取EB＝DB，连结AE交CB于点F，则下列结论：①∠CBE＝∠CDB；②F为AE的中点；③∠FEB＝∠FAC＋∠CBD，其中正确的是____________．(请填序号) 第6题图 7．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠D＝30°，∠E＝115°，∠DAC＝31°，则∠EGB＝___________． 第7题图 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，EF⊥AB于点D，交BC的延长线于点E．若AB＝EF，且BE＝16，CF＝6，则AC＝___________． 第8题图 9．作图题(只要保留作图痕迹，不要求写作法和证明) (1)尺规作图作出∠A的角平分线AD. 第9题图 (2)尺规作图作出AC边上的中线BE. 10．多项式x2＋4x＋5可以写成(x－1)2＋a(x－1)＋b的形式． (1)求a，b的值． 第10题图 (2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． B组 1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是(　 ) 　 第1题图 A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 2．小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是(　 ) A． B． C． D． 3．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　 ) A．24 B．30 C．36 D．42 第3题图 4．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______________________．(只填一个即可) 第4题图 5．△ABC中，BP平分∠ABC，PC平分∠ACB，连结AP.若AB＝6，BC＝8，AC＝5，则S△PAB∶S△PBC∶S△PAC＝___________． 第5题图 6．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为___________． 第6题图 7．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C.若DE＝BD，AD＝9，BD＝12，求△BDE的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，(如图2)．根据小颖的提示，请聪明的你求△BDE的面积． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F. 第8题图 (1)求证：△BDE≌△CDF. (2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 9．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连结EF. 第9题图 (1)求证：∠D＝∠2. (2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 10．【方法指导】在几何探究中，合理使用旋转法，能将分散的线段或角相对集中在一个熟悉的基本图形中，从而促使问题的解决． 【初步尝试】如图1，M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上一点，∠MAN＝45°.探究线段BM，DN和MN之间的数量关系． 图1 (1)将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，请在图1中作出△ABE. (2)请写出线段BM，DN和MN之间的数量关系，并说明理由． 【应用提升】 (3)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°.请写出线段BD，CE和DE之间的数量关系，并证明. 图2 第10题图 (3)BD2＋CE2＝DE2. C组 1．如图所示五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连结而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 第1题图 2．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上(且E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则　(　 ) A．BE＋CF＞EF B．BE＋CF＝EF C．BE＋CF＜EF D．BE＋CF与EF的大小关系不确定 第2题图 3．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，3x－2，2y＋1．若这两个三角形全等，则x＋y＝___________． 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB＋BD＝AC.若∠B＝62°，则∠C＝___________． 第4题图 5．如图所示，△BKC≌△BKE≌△DKC, BE与KD交于点G, KE与CD交于点P, BE与CD交于点A.若∠BKC＝134°，∠E＝ 22° ，则∠KPD＝___________． 第5题图 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，则∠ABC＋∠ADC的度数为___________. 第6题图 7．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫“兄弟三角形”．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°. 第7题图 (1)求证：△OAC和△OBD是“兄弟三角形”． (2)“取BD的中点P，连结OP，试说明AC＝2OP.”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD. ②求证：AC＝2OP. 8．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE. 第8题图 9．已知O是四边形ABCD内一点，且OA＝OD，OB＝OC，E是CD的中点． (1)如图1，连结AC，BD，若AC＝BD，求证：∠AOD＝∠BOC. 图1 (2)如图2，连结OE，若AB＝2OE，求证：∠AOD＋∠BOC＝180°. 图2 (3)如图3，若∠AOD＝∠BOC＝90°，OF⊥AB，垂足为点F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 图3 【答案解析】 A组 1．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则图中全等三角形的对数是(　B) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 第1题图 2．如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB.其中能使△ABC≌△DCB的有(　A) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第2题图 3．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是(　A) A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 第3题图 4．已知△ABC的边AB，BC长分别为6，12，BD是AC边的中线，则BD的取值范围为(　B) A．6＜BD＜18 B．3＜BD＜9 C．3＜BD＜6 D．9＜BD＜18 5．如下图，点E，F是线段BC上的两点．若△ABF≌△DCE，且AB＝3，AF＝5，则DC的长为(　A) A．3 B．4 C．5 D．6 第5题图 6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AC边上的点，且AD＝2CD，连结BD．过B作EB⊥BD，并截取EB＝DB，连结AE交CB于点F，则下列结论：①∠CBE＝∠CDB；②F为AE的中点；③∠FEB＝∠FAC＋∠CBD，其中正确的是①②③．(请填序号) 第6题图 7．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠D＝30°，∠E＝115°，∠DAC＝31°，则∠EGB＝114°． 第7题图 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，EF⊥AB于点D，交BC的延长线于点E．若AB＝EF，且BE＝16，CF＝6，则AC＝10． 第8题图 9．作图题(只要保留作图痕迹，不要求写作法和证明) (1)尺规作图作出∠A的角平分线AD. 第9题图 解：(1)如图1所示，射线AD即为所求； 图1 (2)尺规作图作出AC边上的中线BE. (2)如图2所示，线段BE即为所求． 图2 10．多项式x2＋4x＋5可以写成(x－1)2＋a(x－1)＋b的形式． (1)求a，b的值． 第10题图 解：(1)∵2＋a＋b ＝x2＋x＋1－a＋b. 根据题意，得x2＋4x＋5＝(x－1)2＋a(x－1)＋b， ∴解得 (2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． (2)如图，延长CD至点H，使CD＝DH，连结AH， ∵CD是AB边上的中线， ∴BD＝AD. 在△CDB和△HDA中， ∵CD＝DH，∠CDB＝∠ADH，BD＝DA， ∴△CDB≌△HDA(SAS)， ∴BC＝AH＝a＝6. 在△ACH中，AC－AH<CH<AC＋AH， ∴10－6<2CD<10＋6， ∴2<CD<8. B组 1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是(　B) 　 第1题图 A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 2．小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是(　B) A． B． C． D． 3．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　B) A．24 B．30 C．36 D．42 第3题图 4．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等．(只填一个即可) 第4题图 5．△ABC中，BP平分∠ABC，PC平分∠ACB，连结AP.若AB＝6，BC＝8，AC＝5，则S△PAB∶S△PBC∶S△PAC＝6∶8∶5． 第5题图 6．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为82°． 第6题图 7．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C.若DE＝BD，AD＝9，BD＝12，求△BDE的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，(如图2)．根据小颖的提示，请聪明的你求△BDE的面积． 解：∵BD是△ABC的高，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C.∵∠E＝∠C，∴∠ABD＝∠E.在△ABF和△BED中，，∴△ABF≌△BED(SAS)，∴S△ABF＝S△BED.∵DE＝BD，BD＝12，BF＝DE，∴BF＝BD＝×12＝8，∴S△ABF＝BF·AD＝×8×9＝36，∴S△BED＝S△ABF＝36. 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F. 第8题图 (1)求证：△BDE≌△CDF. (1)证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF(AAS)． (2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． (2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2. ∵AE＝1，∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3. ∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3. 9．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连结EF. 第9题图 (1)求证：∠D＝∠2. (1)证明：在△BEF和△CDA中， ∴△BEF≌△CDA(SAS)， ∴∠D＝∠2. (2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． (2)解：∵∠D＝∠2，∠D＝78°， ∴∠2＝78°. ∵EF∥AC， ∴∠2＝∠BAC＝78°. 10．【方法指导】在几何探究中，合理使用旋转法，能将分散的线段或角相对集中在一个熟悉的基本图形中，从而促使问题的解决． 【初步尝试】如图1，M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上一点，∠MAN＝45°.探究线段BM，DN和MN之间的数量关系． 图1 (1)将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，请在图1中作出△ABE. 解：(1)如图1所示，△ABE即为所求． 图1 (2)请写出线段BM，DN和MN之间的数量关系，并说明理由． (2)BM＋DN＝MN.理由如下： 由旋转，得∠EAN＝90°，AE＝AN，BE＝DN，∠ABE＝∠D＝90°， ∴∠EAM＝∠MAN＝45°，E，B，M三点共线． 又AM＝AM， ∴△AEM≌△ANM(SAS)． ∴ME＝MN. ∵BM＋BE＝ME，BE＝DN， ∴BM＋DN＝MN. 【应用提升】 (3)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°.请写出线段BD，CE和DE之间的数量关系，并证明. 图2 第10题图 (3)BD2＋CE2＝DE2. 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连结EF，如图2. 由旋转，可知AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝90°，∠ACF＝∠B＝45°. 图2 由(2)易证△DAE≌△FAE(SAS)，∴EF＝DE.又∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°， ∴CF2＋CE2＝EF2， 即BD2＋CE2＝DE2. C组 1．如图所示五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连结而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓(　A) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 第1题图 2．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上(且E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则　(　A) A．BE＋CF＞EF B．BE＋CF＝EF C．BE＋CF＜EF D．BE＋CF与EF的大小关系不确定 第2题图 3．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，3x－2，2y＋1．若这两个三角形全等，则x＋y＝或7． 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB＋BD＝AC.若∠B＝62°，则∠C＝31°． 第4题图 5．如图所示，△BKC≌△BKE≌△DKC, BE与KD交于点G, KE与CD交于点P, BE与CD交于点A.若∠BKC＝134°，∠E＝ 22° ，则∠KPD＝114°． 第5题图 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，则∠ABC＋∠ADC的度数为180°. 第6题图 7．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫“兄弟三角形”．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°. 第7题图 (1)求证：△OAC和△OBD是“兄弟三角形”． (1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝180°.又∵AO＝OB，OC＝OD，∴△OAC和△OBD是“兄弟三角形”． (2)“取BD的中点P，连结OP，试说明AC＝2OP.”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD. ②求证：AC＝2OP. (2)①证明：延长OP至点E，使PE＝OP，∵P为BD的中点，∴BP＝PD.又∵∠BPE＝∠DPO，PE＝OP，∴△BPE≌△DPO(SAS)，∴BE＝OD.②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E＝∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO＋∠BOD＝180°.又∵∠BOD＋∠AOC＝180°，∴∠EBO＝∠AOC.∵BE＝OD，OD＝OC，∴BE＝OC.又∵OB＝OA，∴△EBO≌△COA(SAS)，∴OE＝AC.又∵OE＝2OP，∴AC＝2OP. 8．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE. 第8题图 证明：如答图，延长CE，BA交于点F.∵BE⊥EC，∴∠BEF＝∠BEC＝90°.又∵∠1＝∠2，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC(ASA)，∴CE＝FE. 答图 ∵∠BAC＝90°，∴∠FAC＝180°－90°＝90°，∴∠BAC＝∠FAC.∵∠1＋∠F＝90°，∠FCA＋∠F＝90°，∴∠1＝∠FCA.在△ADB和△AFC中，∴△ADB≌△AFC(ASA)．∴BD＝FC，∴BD＝2CE. 9．已知O是四边形ABCD内一点，且OA＝OD，OB＝OC，E是CD的中点． (1)如图1，连结AC，BD，若AC＝BD，求证：∠AOD＝∠BOC. 图1 证明：(1)易证△DOB≌△AOC(SSS)，∴∠DOB＝∠AOC，∴∠AOD＝∠BOC. (2)如图2，连结OE，若AB＝2OE，求证：∠AOD＋∠BOC＝180°. 图2 (2)延长OE到点M，使ME＝OE，连结CM，如图2.易证△CME≌△DOE(SAS)，∴∠MCE＝∠ODE，CM＝OD，∴CM∥OD，∴∠OCM＋∠COD＝180°.∵OA＝OD＝CM，AB＝2OE＝OM，又∵OC＝OB，∴△OMC≌△BAO(SSS)，∴∠OCM＝∠AOB，∴∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠AOD＋∠BOC＝180°. 图2 (3)如图3，若∠AOD＝∠BOC＝90°，OF⊥AB，垂足为点F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 图3 第9题图 图3 (3)连结OE，并延长到点N，使NE＝OE，连结CN，如图3.同(2)，易证△ONC≌△BAO(SAS)，∴∠NOC＝∠ABO.∵OF⊥AB，∴∠ABO＋∠BOF＝90°，∴∠NOC＋∠BOF＝90°，∴∠NOC＋∠BOF＋∠BOC＝180°，∴点E，O，F在同一条直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$