拓展2-2 解含参二次不等式及恒成立有解问题（五大题型）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

拓展2-2 解含参二次不等式及恒成立有解问题 一、解含参二次不等式 四、给定参数范围求范围的恒成立问题 二、二次不等式在上恒成立 五、不等式在区间上有解 三、不等式在区间上恒成立 一、解含参二次不等式 方法点拨： 第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系； 第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 1．（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 4．解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 5．解下列关于的不等式． 6．解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 7．解关于的不等式： (1)； (2). 二、二次不等式在上恒成立 方法点拨： ①二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 ②二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 ③二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 ④二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 8．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 . 12．已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 三、不等式在区间上恒成立 方法点拨： 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为， 则恒成立⇒，即； 恒成立⇒，即. 13．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 14．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 16．已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 17．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 20．若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 21．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 四、给定参数范围求范围的恒成立问题 方法点拨： 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 22．已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 24．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 25．已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 26．已知二次函数（，为实数） (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围． 五、不等式在区间上有解 方法点拨：若存在，有解⇒；若存在，有解⇒； 27．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 28．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 29．（多选）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 30．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 31．若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 32．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 33．已知正实数，满足，且有解，则的取值范围 ． 34．设函数．已知关于的不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-2 解含参二次不等式及恒成立有解问题 一、解含参二次不等式 四、给定参数范围求范围的恒成立问题 二、二次不等式在上恒成立 五、不等式在区间上有解 三、不等式在区间上恒成立 一、解含参二次不等式 方法点拨： 第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系； 第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 1．（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，分类讨论如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或. 故选：AB. 2．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 故选：CD. 3．（多选）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 4．解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 【答案】 【详解】由题意得：方程可分解为， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，令，解得或， 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，此时，由，解得，此时解集为； 当时，此时，由，解得或，此时解集为； 故答案为：；；；；；；；；；；. 5．解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【详解】当时，原不等式解集为； 当时，则，解集为或； 6．解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1） ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； （2）若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于， 解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 7．解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 二、二次不等式在上恒成立 方法点拨： ①二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 ②二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 ③二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 ④二次不等式在上恒成立或者解集为时，满足 8．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式对恒成立， 所以，则. 则不等式恒成立的一个必要不充分条件是. 故选：B 9．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式的解集为， 即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，即， ， . 故选：. 11．二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为二次函数的图象恒在直线的上方， 所以， 即在R上恒成立， 所以，即， 解得：. 故答案为：. 12．已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 三、不等式在区间上恒成立 方法点拨： 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为， 则恒成立⇒，即； 恒成立⇒，即. 13．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 14．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 15．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 16．已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25. 故选：D 17．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 18．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 19．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 20．若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 21．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）,即， 即， ， ， 由题意可知只需即可, 令， 则 当且仅当即时，等号成立. ， 四、给定参数范围求范围的恒成立问题 方法点拨： 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 22．已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 所以对任意，， 所以，解得， 故实数x的取值范围是． 故选：D． 23．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为． 故答案为： 24．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 25．已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以函数关于对称， 则，解得， 所以； （2）不等式即为， 当时，则恒成立， 而， 所以，即， 因为， 所以； 当时，恒成立，此时； 当时，则恒成立， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为． 26．已知二次函数（，为实数） (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将，代入得 ∴对恒成立， 即对恒成立， 当时，由于在上单调递增，故， ∴，， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， ∴； （2）由题意， 变更主元：令为主元，视为参数， 令，对，恒成立， 故只需，即， 解得. 五、不等式在区间上有解 方法点拨：若存在，有解⇒；若存在，有解⇒； 27．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 28．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 29．（多选）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为的解集非空， 所以或，所以或， 综上， 对于A，是的解集非空的充要条件，所以A错误， 对于B，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以B正确， 对于C，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以C正确， 对于D，是的解集非空的一个充分而不必要条件，所以D错误. 故选：BC 30．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，命题“存在”为真命题. 当时，由可得，合乎题意； 当时，存在，使得成立， 当时，，所以存在成立， 综上所述，当的取值范围为全体实数. 故答案为： 31．若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 【答案】或 【详解】根据题意即不等式有解， 由 得或 故答案为：或 32．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 33．已知正实数，满足，且有解，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】由题知，因为， 所以，， 若有解，则即可， 因为，都是正数， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 34．设函数．已知关于的不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）不等式的解集为， 即的解集为， 所以－4和1是方程的两个根， 所以由根与系数的关系可得，解得， 所以． （2）因为关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 所以（）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$