精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2025届高三上学期入学考试数学试题

2024年下学期望城区第六中学高三入学考练习 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点P处的切线平行于直线，则P点的坐标为( ) A. (1，3) B. (－1，3) C. (1，3)或(－1，3) D. (1，－3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由题可知，， f(x)在(1，3)处切线为：，即，与已知直线重合，不符题意； f(x)在(－1，3)处切线为：，即，与已知直线平行，故P为(－1，3). 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求其交集． 【详解】由得，当时，显然成立，当时，由得，解得，∴， 又， ∴． 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是正确解无理不等式． 3. 偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为偶函数且在上单调递增，便可由得出，解绝对值不等式便可得出x的取值范围． 【详解】因为函数为偶函数， 由得，； 又在上单调递增； ； 解得； 的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过数形结合得到.对于函数的问题，要会把函数的奇偶性、单调性、对称性等结合在一起分析解答，要会结合函数的图象分析解答，提高解题效率. 4. 如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解. 【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示 因为是的中点，是的中点， 所以, 因为平面,平面, 所以平面, 同理可得，平面, 又,平面, 所以平面平面. 又平面,线段扫过的图形是, 由,得,, ,, 所以,即为直角， 所以线段长度的取值范围是：,即. 故选：A. 5. 若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得，再平方即得解. 【详解】因为 所以 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 两边平方得，， 所以， 故选：C 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与题意可知，直线与函数的图象有个或个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】时，，，令，可得. 当时，，函数递增； 当时，，函数递减，且此时； 时，，， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减，且此时. 所以极小值，极大值，， 在且时，， 函数的示意图如图所示，所以当它与有个或个交点时，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了导数的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 7. 在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AD中点O，可得平面PCO，设PO=t，过O作交PF于H，说明A到平面PBD的距离；设直线PA与平面PBD所成角的大小为，可得 ，然后利用基本不等式求解即可. 详解】取AD中点O，连接PO、BO、CO，设CO与BD交于F，连接PF， 在等腰梯形ABCD中，由且BO=BC=CD=OD， 故四边形DOCB为菱形，所以，又PB=PD，且F为BD的中点， 所以，又，所以平面PCO，, 连接AC交BO于G,连接PG，同理可得平面PBO，所以， 因为相交，所以平面ABCD, 过O作交PF于H，由平面PCO， 故，又，所以平面PBD， 设PO=t，，故，又AD=2OD， 故点A到平面PBD的距离， 设直线PA与平面PBD所成角的大小为，则 当且仅当即时取等号， 故直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为， 故选：C 8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则 的取值范围是 A. （0，+∞） B. （0，1） C. （－∞，0） D. （0，） 【答案】D 【解析】 【分析】由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可．利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解． 【详解】 设，则的图象与的图象关于原点对称， 方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与切于点，，由， 则过原点的直线与相切，， 又此直线过点，所以， 所以，即（e）， 即过原点的直线与相切的直线方程为， 即所求的取值范围为，故选． 【点睛】本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 的图象关于点对称 D. E. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据三角函数图象平移可知，将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得的图象，再向左平移个单位长度，可得，然后再根据三角函数的性质即可判断结果. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得的图象，再向左平移个单位长度得的图象，所以A正确；因为，所以B错；因为，所以C正确；又，所以，所以D正确；因为，所以E错．综上，ACD正确． 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律及其性质，是基础题． 10. i为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简，后利用共轭复数定义，复数运算法则验证各选项即可. 【详解】.. A选项，，故A正确； B选项，，故B正确； C选项，，则，故C错误； D选项，，则，故D正确. 故选：ABD 11. 已知矩形ABCD中，，沿着BD折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为 B. 存在，使得 C. 当时， D. 当时，直线与直线BD的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由于，始终成立，所以BD为外接球的一条直径，计算表面积；B利用线面垂直，证明线线垂直，可发现是存在，使得的；C、D利用二面角平面角的定义，以及平面向量的三角形法则，通过计算的模长，通过转化法可求直线与直线BD所成角的余弦值. 【详解】如图，在矩形中，过分别作的垂线， 因为，所以，， A，在翻折的过程中，，始终成立，则BD为外接球的一条直径，所以， 所以、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球表面积为，故A错误； B，因为，所以若，只需要面，即即可， 则即可，此时二面角是存在的，即存在，使得，故B正确； C，易知，因为，所以， 因为，所以平方得 ，所以，故C正确； D，由C知，， 所以， 所以， 所以直线与直线BD的夹角为，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：A选项关键过球心的两个截面圆有公共直径，则公共直径为球的直径，对于B选项的关键在于异面直线垂直转化为线面垂直来处理；对于C、D选项的关键在于把所求向量模长问题、夹角问题，通过转化法，在结合向量三角形法则，转化为其他的已知的模长和数量积问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，可得，再将其两边平方，由向量数量积的运算法则，可得解． 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故答案为：． 13. 双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得的角平分线过F2，且满足，则C的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合已知得到，利用角平分线定理得到，再结合双曲线定义得到一个关于m，a的方程，在中利用余弦定理得到另一个m，c的方程，两个方程联立消元即可得到答案. 【详解】如图所示，由题意可得，因为，所以， 所以，设，则，因为平分， 由角平分线的性质定理可得，， 所以，，． 由双曲线的定义可得，所以，即①， ，所以，所以， 即是等边三角形，所以， 在中， ， 化简可得②，由①②可得，所以． 故答案为： 14. 对于定义域和值域均为[0.1]的函数f(x)，定义f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x))，…，fn(x)f(fn1(x))，n1,2,3,…．满足fn(x)x的点称为f的n阶周期点．设， 则f的n阶周期点的个数是______________． 【答案】 ． 【解析】 详解】当时，，解得，当时， ，解得， 的阶周期点的个数是， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 的阶周期点的个数是…由依次类推，有个不同的解析式，fn(x)x 的点有个，的阶周期点的个数是，故答案为. 【方法点睛】本题考查函数的零点及分段函数的解析式，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义f的n阶周期点达到考查函数的零点及分段函数的解析式的目的. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知圆：. （1）若圆的半径为1，求实数的值； （2）在（1）条件下，设，，若圆是的内切圆，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程写成标准形式，由圆的半径为1，即可求m的值. （2）设直线为，直线为，求出C的横坐标，而，由AC、BC与圆相切，应用点线距离公式可得关于t的关系式，进而用t表示，即可求其最大值. 【详解】（1）由题设，圆M的标准方程为，由圆的半径为1， ∴，即. （2）由题意，设直线为，直线为，则， ∵，又， ∴M到AC、BC的距离都为1， ∴，，得， ∴，则， ∵，则， ∴，则面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先设直线、方程，求出C的横坐标，由，结合圆心到AC、BC的距离，得到关于t的函数求最值. 16. 如图，菱形与正三角形的边长均为，它们所在平面互相垂直， 平面，且． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）作，交于，推导出四边形是平行四边形，由此能证明平面； （2）以为原点，为轴建立建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 如图，过点作于，连接 . 平面平面，平面 平面平面于 平面 又平面， ， 四边形为平行四边形. , 平面，平面 平面 【小问2详解】 连接由（1），得为中点，又，为等边三角形， .分别以为轴建立 如图所示的空间直角坐标系. 则 ，， 设平面的法向量为. 由得 令，得. 设直线与平面所成角为 . 17. 瓯江是温州、丽水人民母亲河，为了体现“绿水青山”理念特举办游渡瓯江活动，现调查发现：比赛区域的瓯江江流平均宽度2.1km（即起点A处到对岸B的垂直距离），一名游泳爱好者室内游泳平均速度为60m/min．在热身环节时，游泳爱好者一直沿AB方向游去，在下游C处上岸，距离B处1.75km． （1）假设水流匀速，求水流速度多少？ （2）比赛规定，运动员上岸点距离B处不超过时成绩有效．活动时，该游泳爱好者保持方向不变游泳前进（记运动员游泳前进方向与AB的夹角记为），为比赛成绩最好，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得渡河所需时间，然后求得水流的速度. （2）结合向量加法的几何意义、正弦定理、三角恒等变换等知识求得的值. 【小问1详解】 ，， 渡河所需的时间，所以. 【小问2详解】 ， 为取得比赛成绩最好，需在下游D处上岸， ∵， ∴游泳前进的方向必须朝上游，如图所示， ，此时，， 根据向量加法的几何意义，不妨设：在中，，，， ， 由正弦定理可知， 可得，∴， ∴. 18. 已知函数． （1）求函数最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解； （2）由时，结合三角函数性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围； （3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 解：当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围． 19. 已知无穷数列满足，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数． （1）求数列的通项公式； （2）在无穷等比数列中，，，试找出一个b的具体值使得数列的任意项都在数列中；试找出一个b的具体值，使得数列的项不都在数列中，简要说明理由； （3）对问题（2）继续进行研究，探索当且仅当b取怎样的值时，数列的任意项都在数列中，说明理由． 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）直接计算得到；（2）通过尝试和验证的方法，先试验个别特殊的整数；（3）由特殊值猜测一般的可能性，再给出相关的证明． 【详解】解：（1）∵数列为无穷递缩等比数列，它的各项和为， 又∵． ∴，而，∴． （2）∵，而，且为等比数列． ∴．∴．如取，则，而． ∴在数列中，如取，此时， ，显然不在中． （3）当b取奇数时，设时，则不是整数， ∴不在数列中，以此类推，当b为奇数时，中的任意项都不是中的项． 当b取偶数时，设时，中任意项都是中的项． 证明： ∴它是中的第项． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，求出后，根据等比数列的性质求出，进而通过尝试和验证的方法求解，属于中档题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期望城区第六中学高三入学考练习 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点P处的切线平行于直线，则P点的坐标为( ) A. (1，3) B. (－1，3) C (1，3)或(－1，3) D. (1，－3) 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则 的取值范围是 A. （0，+∞） B. （0，1） C. （－∞，0） D. （0，） 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 的图象关于点对称 D. E. 10. i为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知矩形ABCD中，，沿着BD折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为 B. 存在，使得 C. 当时， D. 当时，直线与直线BD的夹角为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为______. 13. 双曲线左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得的角平分线过F2，且满足，则C的离心率为__________. 14. 对于定义域和值域均为[0.1]的函数f(x)，定义f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x))，…，fn(x)f(fn1(x))，n1,2,3,…．满足fn(x)x的点称为f的n阶周期点．设， 则f的n阶周期点的个数是______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知圆：. （1）若圆的半径为1，求实数的值； （2）在（1）条件下，设，，若圆是的内切圆，求面积的最大值. 16. 如图，菱形与正三角形的边长均为，它们所在平面互相垂直， 平面，且． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 瓯江是温州、丽水人民的母亲河，为了体现“绿水青山”理念特举办游渡瓯江活动，现调查发现：比赛区域的瓯江江流平均宽度2.1km（即起点A处到对岸B的垂直距离），一名游泳爱好者室内游泳平均速度为60m/min．在热身环节时，游泳爱好者一直沿AB方向游去，在下游C处上岸，距离B处1.75km． （1）假设水流匀速，求水流速度多少？ （2）比赛规定，运动员上岸点距离B处不超过时成绩有效．活动时，该游泳爱好者保持方向不变游泳前进（记运动员游泳前进方向与AB的夹角记为），为比赛成绩最好，求的值． 18. 已知函数． （1）求函数最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 19. 已知无穷数列满足，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数． （1）求数列的通项公式； （2）在无穷等比数列中，，，试找出一个b的具体值使得数列的任意项都在数列中；试找出一个b的具体值，使得数列的项不都在数列中，简要说明理由； （3）对问题（2）继续进行研究，探索当且仅当b取怎样的值时，数列的任意项都在数列中，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$