精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

2024年下学期高二入学考练习 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则 A. B. C. D. 3. 已知方程有一正根和一负根，则取值范围是（ ） A. B. C D. 4. 已知奇函数在上是增函数，.若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（ ） A. 当时， B. ，使得 C. 对，都有 D. 对，都有 6. 对任意的函数，都有，且当]时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 8. 已知正实数C满足：对于任意，均存在，使得，记C的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（ ） 备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到． 当月增速． A. 2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点 B. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6% C. 2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米 D. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米 10. 中，角A、B、C对边为a、b、c，若，，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 面积最大值为 11. 已知是各条棱长均等于1的正三棱柱， 是侧棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. 与平面所成的角的正弦值为 B. 平面与平面所成的角是 C. D. 平面平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为共线的两个向量，且，则___. 13. 近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是______. 14. 设函数对任意实数满足，且当时，，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是_______． 四、解答题 15. 化简或计算下列各式： （1） （2）已知，用a，b表示 （3）已知，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为中点，. （1）求证：； （2）若与平面所成的角为，，求四棱锥的的体积. 17. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数． （1）若点在角的终边上，求和的值； （2）求函数的最小正周期； （3）若，求函数的最小值． 19. 已知函数； （1）判断函数奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数； （3）若函数定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期高二入学考练习 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接通过交集的定义求解即可. 【详解】， . 故选：C. 2. 若复数（为虚数单位），则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得z，而计算模长即可． 【详解】∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属于基础题． 3. 已知方程有一正根和一负根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出不等式组，求解即可. 【详解】解：因为方程有一正根和一负根， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 4. 已知奇函数在上是增函数，.若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数,可知为偶函数.根据偶函数图像关于轴对称,可判断的大小. 【详解】因为奇函数在上是增函数, 所以由函数的性质可知为R上的偶函数,且 上单调递减,在上单调递增 因为 而,所以,即 因为 所以 而,, 所以 故选:B 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数大小比较,判断两个函数乘积的奇偶性是解决此类问题的关键,属于中档题. 5. 如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（ ） A. 当时， B. ，使得 C. 对，都有 D. 对，都有 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 6. 对任意的函数，都有，且当]时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数与图象在上有6个不同的交点，由图可得，解之即可求解. 【详解】由，知函数为偶函数， 由，知函数为周期函数，且. 又当时，， 则当时，，， 由，得， 所以， 若方程在上有6个不等实根， 则函数与图象在上有6个不同的交点， 若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故， 如图， 由图可知，， 解得，即实数a的取值范围为. 故选：A. 7. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论和时，直线与图象交点问题，结合图象可得的取值范围 【详解】解：根据题意,画出函数和的图象，如图所示； 当时,当直线与相切， 设切点为， 由的导数为, 可得， 解方程可得， 要使恒成立，由图象可得； 当时,不等式恒成立， 当时，当时，假设能成立，则即， 当趋向于负无穷时， 和都趋向于正无穷，且趋向于正无穷的增长速率远远超过， 所以趋向于负无穷时，与假设矛盾，故假设不成立， 综上可得a的取值范围是. 故选：B 【点睛】方法点睛：含参数的不等式的恒成立问题，可用参变分离来处理．如果参变分离后的函数不易讨论，则可先利用导数计算曲线与直线相切时的斜率，最后在动态变化中确定参数的取值范围． 8. 已知正实数C满足：对于任意，均存在，使得，记C的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为对于任意，均存在，使得，结合数轴求得当在相邻的两个点或中点时，，则有. 【详解】题设等价于对于任意，均存在，使得，将在数轴上表示如下： 当与上述数轴上的点重合时，易得存在使得，又C为正实数，则成立； 当与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点之间，则，当且仅当在相邻的两个点中点时取等， 要使对于任意，均存在，使得，则有， 又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为，此时在相邻的两个点或中点，则. 以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为，易得数轴上两点之间的距离为， 当或，和为相邻的两点，之间的距离为；当时，则， 即之间必存在点，可得相邻的两点之间的距离小于，综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为. 故，故. 故选：B. 【点睛】本题关键点在于先将问题简化为对于任意，均存在，使得，将在数轴上表示出来，结合对于都成立，得到当在相邻的两个点或中点时，，进而求出的范围，即可求解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（ ） 备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到． 当月增速． A. 2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点 B. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6% C. 2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米 D. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，对比11月份与12月份的增速即可判断；对于B选项，利用极差的定于即可判断；对于C选项，计算可知7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米，从而判断C选项错误；对于D选项，根据40%分位数的含义求解即可 【详解】2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为2.3个百分点，11月份增速为个百分点，比上月放缓2.1个百分点.故A正确； 2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为.故B正确； 2021年7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米.故C错误 2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2，因为，所以该组数据的40%分位数为5.3亿立方米．故D正确 故选：ABD 10. 中，角A、B、C对边为a、b、c，若，，则（ ） A B. C. 的最大值为 D. 面积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，可求得，判断A,B;利用余弦定理结合基本不等式，可推出，判断C;利用三角形面积公式，结合C的结论，可判断D. 【详解】由可得：， 由于 ，故, 即，因为 ， 故，故，故A错误，B正确； 由余弦定理可得 ， 即 ，当且仅当 时取等号，C正确； ，当且仅当 时取等号，故D正确， 故选：BCD 11. 已知是各条棱长均等于1的正三棱柱， 是侧棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. 与平面所成的角的正弦值为 B. 平面与平面所成的角是 C. D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，结合空间线面的关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对A，设点到平面的距离为， 易知到平面的距离为， 由， 可得， 由，，, 所以，由，解得， 与平面所成的角的正弦值为，故A正确； 如图，延长交于点，连接， 由知为中点，由为等边三角形， 所以，所以为二面角的平面角， 易知，故B错误； 对C，由，根据正三棱柱的性质可得平面， 所以，又， 所以平面，所以，故C正确； 对D，由C答案的分析可知，平面， 平面，而平面， 所以平面平面，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为共线的两个向量，且，则___. 【答案】或 【解析】 【分析】先求得，然后利用平方的方法求得 【详解】依题意共线，且为非零向量， 当同向时，， ， 当反向时，， . 故答案为：或 13. 近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是______. 【答案】9 【解析】 【分析】设5个数据分别为.先由平均数和方差列方程，求出样本数据为4,6,7,8,10.再按百分位数的定义直接求解. 【详解】设5个数据分别为. 由题意可得：. 由于5个数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20. 由解得：或4；由解得：或8，故样本数据为4,6,7,8,10. 因为，所以样本数据的第80百分位数为. 故答案为：9 14. 设函数对任意实数满足，且当时，，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】根据已知确定的周期并求出对应区间的解析式，再联立求斜率的临界值，数形结合确定参数范围. 【分析】因为，所以，即是以2为周期的函数． 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 根据上述解析，可得函数图象如下，要使与有3个交点，则， 当时，，则． 当时，由， 消去得，且，解得，（舍） 当时，由， 消去得，，且，解得，（舍）． 数形结合知，． 故答案为： 四、解答题 15. 化简或计算下列各式： （1） （2）已知，用a，b表示 （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案； (2)利用对数的运算性质以及换底公式将化为和表示的形式，则答案可得； (3) 先求，再求，最后利用平方差公式求的结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 又，所以； 【小问3详解】 ， 所以， ，所以， . 16. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，. （1）求证：； （2）若与平面所成的角为，，求四棱锥的的体积. 【答案】（1）证明详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质先得到线面垂直平面，从而得到线线垂直，利用线面垂直的判定得平面，最后利用性质定理得到； （2）要求四棱锥的体积，需求底面积和高，而高是关键，通过证明平面，得到是锥体的高，最后代入到体积公式中即可. 【详解】（1）证明：连接,因,为的中点，故. ∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，因为平面， ∴， ∵，，平面，∴平面， ∴，又∵，，平面， 故平面，所以． （2）在矩形中，由（1）得，所以，故． ∵侧面底面，侧面底面， 因为底面为矩形，所以，平面， ∴平面，平面，， ∴为直线与平面所成的角， ∴=，=，， 连接，则，所以平面， ∴为四棱锥的的高， 在中，，，∴， ∴ 17. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解； （2）分和两种情况，分别根据二次函数性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解． 【详解】解：（1）年利润. （2）当时，， 所以在上单调递增， 所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 因为，所以，， 故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 18. 已知函数． （1）若点在角的终边上，求和的值； （2）求函数的最小正周期； （3）若，求函数的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义分别求得、和，再代入二倍角公式分别计算和的值即可； （2）先利用半角公式和辅助角公式将化简，判断其的值，从而求得最小正周期； （3）先由x的范围求得的范围，再根据正弦函数的图像判断值域即可. 【小问1详解】 因为点在角的终边上， 所以，， ，则， = 【小问2详解】 所以， 则函数的最小正周期为. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 即函数的最小值为. 19. 已知函数； （1）判断函数奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数； （3）若函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．求的取值范围； 【答案】（1）奇函数；（2）；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）判断函数奇偶性，先判断函数的定义域若关于原点对称，再判断的关系若是偶函数，是奇函数，否则是非奇非偶函数，（2）求反函数即把x换成y,y换成x求得x换成y，求出解析式即可（3）利用函数的单调性得出的取值范围及方程有两个实数根，再进行转化，由一元二次方程根与系数的关系得到的取值范围 试题解析：（1）定义域为关于原点对称，又， 所以为奇函数 （2） （3）按题意，得 ∴即 又 ∴ 关于x的方程． 在（2，＋∞）内有二不等实根、．关于的二次方程 在（2，＋∞）内有二异根、 ． 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$