广东省深圳市龙岗区实验学校2024-2025学年上学期九年级开学考数学试卷

龙岗区实验学校2024-2025学年第一学期九年级开学考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离　　 A．变小 B．变大 C．无法判断 D．不变 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长为　　 A．4 B．8 C． D． 5．一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 6．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是　　 A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 7．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．如图1，在平行四边形中，，点是的中点．点从点出发，沿以的速度运动到终点．设点运动的时间为，的面积为，图2是与之间的函数关系图象，下列判断不正确的是　　 A． B．， C．平行四边形的面积为 D． 二．填空题（每题3分，共15分） 9．已知方程的一个根是，则的值是 　　． 10．如图，，两地被古城墙阻隔，为测量，两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点，连接，，分别取，的中点，，连接．若的长为，则，两地间的距离为 　　． 11．门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中，，，是五边形的4个外角，若，则的度数是 　　． 12．已知关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是 　　． 13．如图，正方形边长为3，正方形边长为2，连接和，则的值为 　　． 三．解答题（共61分） 14．（8分）解方程： （1）； （2）． 15．（6分）先化简，再求值，其中． 16．（8分）如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2），相交于点，若，，求的长． 17．（8分）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则有，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，．求的值． 解：方程的两个实数根分别为，，则，， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，，则　　，　　； （2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．； （3）思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值． 18．（8分）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？ 19．（11分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图1，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定． 任务： （1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形，，． 求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为，，． （2）①根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题：　　　　　　　　　　　　　　　　的梯形是等腰梯形． ②等腰梯形的判定方法的猜想是真命题，请说明理由． 20．（12分）【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点、、、都在格点上，，点为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点” 和，连接、和，则的形状为 　　； （2）如图3，点、在格点上，请在线段上的格点中任取一点（不与点重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点” 、，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点、为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，，请直接写出该三角形第三条边的中点的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； 、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：． 2．下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、是二元二次方程，不符合题意； 、当时，是一元二次方程，不符合题意； 、方程整理得：，是三元一次方程，不符合题意； 、是一元二次方程，符合题意． 故选：． 3．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离　　 A．变小 B．变大 C．无法判断 D．不变 【解答】解：连接， 由题意得：， 在中，点是的中点， ， 在此滑动过程中，点到点的距离不变， 故选：． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长为　　 A．4 B．8 C． D． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 5．一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 6．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是　　 A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 【解答】解：由题意可得， 未知数表示的意义是蒸发掉的水量， 故选：． 7．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：关于的方程有实数根， △， 解得， 故选：． 8．如图1，在平行四边形中，，点是的中点．点从点出发，沿以的速度运动到终点．设点运动的时间为，的面积为，图2是与之间的函数关系图象，下列判断不正确的是　　 A． B．， C．平行四边形的面积为 D． 【解答】解：．因为运动速度不变，所以从点到点与从点到点所用时间相同，即，解得，故正确； ．因为点运动2秒后到达点，所以，因为四边形是平行四边形，所以，因为点运动7秒后到达点，所以，则，故正确； ．过点作于点，因为，所以，则，，所以，故正确； ．因为点运动到点时的面积为，为中点，所以，故错误； 故选：． 二．填空题（共5小题） 9．已知方程的一个根是，则的值是 　　． 【解答】解：把代入，得， 解得，． 故答案为：． 10．如图，，两地被古城墙阻隔，为测量，两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点，连接，，分别取，的中点，，连接．若的长为，则，两地间的距离为 　54　． 【解答】解：，， ，， ， ． 故答案为：54． 11．门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中，，，是五边形的4个外角，若，则的度数是 　120　． 【解答】解：如图，由多边形的外角和可知，， ， ， ， 故答案为：120． 12．已知关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：， 有②得：， ， 关于的不等式组只有3个整数解， ， 关于的不等式组只有3个整数解， 或0或， ， 故答案为：． 13．如图，正方形边长为3，正方形边长为2，连接和，则的值为 　26　． 【解答】解：如图，连接，，，，设，交于点， 四边形和均为正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 正方形边长为3，正方形边长为2， ，， ，， ． 故答案为：26． 三．解答题（共7小题） 14．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ， 或， ，． 15．先化简，再求值，其中． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 16．如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2），相交于点，若，，求的长． 【解答】（1）证明：由尺规作的角平分线的过程可得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； （2）解：四边形为菱形， ，，， 在中，， ． 17．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则有，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，．求的值． 解：方程的两个实数根分别为，，则，， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，，则　　，　　； （2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．； （3）思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值． 【解答】解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， ，． 故答案为：，； （2）一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ； （3）实数，满足，，且， ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ． 18．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？ 【解答】解；（1）根据道路的宽为米，根据题意得， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米． （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为10125元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元． 19．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定． 任务： （1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形，，． 求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为，，． （2）根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题，并判断其真假：　同一底上的两个角相等　的梯形是等腰梯形，该命题是 　　命题． 【解答】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ； 方法2：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下： 已知：如图2，四边形是梯形，，，． 求证：． 证明：过点，作的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：同一底上的两个角相等，真． 20．【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点、、、都在格点上，，点为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点” 和，连接、和，则的形状为 　等腰直角三角形　； （2）如图3，点、在格点上，请在线段上的格点中任取一点（不与点重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点” 、，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点、为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，，请直接写出该三角形第三条边的中点的坐标． 【解答】解：（1）点、即为所求， 由图可知，且， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． （2）选取点如图所示，、即为所求． 参考一： 形状为等腰直角三角形，理由如下： 如图，， ， ，且， 为等腰直角三角形． 参考二： 如图，，，， ， ，，则， 为等腰直角三角形． 参考三： 如图，，，， ， ，，则， 为等腰直角三角形． （3）由第二问可知为等腰直角三角形，如图则会在上方和下方各有一个点， 过作轴，作于点，于点， ，， ，， △， ，， ，， ，， 即，， ，，，； 同理可得，． 综上，三角形第三条边的中点的坐标为，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$