精品解析：广西南宁市第三中学2022-2023学年八年级下学期开学学情调查数学试题

2022〜2023学年度春季学期开学学情调查 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（　　） A. 618×10﹣6 B. 6.18×10﹣7 C. 6.18×106 D. 6.18×10﹣6 4. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 若点与点关于轴对称，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 7. 如图，已知，，要使，添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 11. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 14. △ABC的三个内角的比为2∶3∶5，则这个三角形是________三角形． 15. 把分解因式为_______． 16. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 17. 等腰三角形的两边长分别为6，13，则它的周长为______________． 18. 如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8题，共72分．请将解答过程写在答题卡上） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的；并求出多边形的面积； （2）将向右平移6个单位，作出平移后的； （3）观察所作图形，与有何位置关系？ 22. 某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题： （1）本次知识测试共调查了多少名学生? （2）请将两幅统计图补充完整． （3）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有多少人达标？ （4）若该校学生有人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？ 23. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 24. 阅读与思考：观察下列式子：，，，……， （1）【探索规律】用正整数表示上述式子的规律是____________________； （2）【问题解决】容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由． （3）【拓展探究】计算的值． 25. 【教材再现】 人教版教材介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下： 如图1，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． 分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M．作射线OM． 则射线OM为∠AOB的平分线． （1）这种用尺规作图作∠AOB的平分线的方法的数学知识源是全等三角形的对应角相等，那么这里证明三角形全等的依据是___． 【数学思考】 如图2，在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学又研究了用一个直角三角板画角的平分线的方法： 用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OC、OD，使OC＝OD． 过C作CE⊥OB，垂足为E．过D作DF⊥OA，垂足为F；CE、DF交于点M． 作射线OM． （2）请根据小亮同学的方法画出图形，并证明OM平分∠AOB． 【问题解决】 （3）如图3，已知四边形ABCD中，，AC平分∠BAD，CH⊥AB于点H．请直接写出线段AB、AD、AH之间的数量关系． 26. 【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022〜2023学年度春季学期开学学情调查 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解： B，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．不符合题意； A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；符合题意； 故选：A． 3. 某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（　　） A. 618×10﹣6 B. 6.18×10﹣7 C. 6.18×106 D. 6.18×10﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.00000618=6.18×10﹣6． 故选：D． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握最简二次根式定义是解题的关键．根据二次根式化简的运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故A不符合题意； B．是最简二次根式，故B符合题意； C．，不是最简二次根式，故C不符合题意： D．，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 若点与点关于轴对称，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可求得点关于轴对称的点B的坐标． 【详解】解：∵点与点B关于轴对称， ∴点B的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键． 7. 如图，已知，，要使，添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，又，所以添加，根据可证． 【详解】解：应添加，理由如下： ， ． 在和中， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 8. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，即， ， 故选：D． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为天，根据速度路程时间列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 则可列方程为， 故选：A 10. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 11. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 12. 如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数 【详解】解：以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点符合题意． 以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交于两点（O点除外）． 作线段OA的垂直平分线与x轴有一交点．如图所示： 共4个点符合， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 14. △ABC的三个内角的比为2∶3∶5，则这个三角形是________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】先根据△ABC的三个内角的比为2：3：5可设此三角形的三个内角分别为，，，再根据三角形内角和定理列出关于x的方程，求出x的值，进而可判断出此三角形的形状． 【详解】解：∵△ABC的三个内角的比为2：3：5可设此三角形的三个内角分别为，，， ∴ 解得， ∴． ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据题意设出三角形三个内角的度数，列出关于x的方程，利用方程的思想求解． 15. 把分解因式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 17. 等腰三角形的两边长分别为6，13，则它的周长为______________． 【答案】32 【解析】 【分析】分6是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、13， ∵， ∴不能组成三角形， 6是底边长时，三角形的三边分别为6、13、13， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 18. 如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，作，交于M，得为等边三角形，再证得到；根据，，可得，由此得出，最后根据即可求得的长． 【详解】解：如图，作，交于M， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴. ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8题，共72分．请将解答过程写在答题卡上） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘方运算的含义，先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再计算乘法运算，最后合并即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】；. 【解析】 【分析】括号内先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式 =， 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 21. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的；并求出多边形的面积； （2）将向右平移6个单位，作出平移后的； （3）观察所作图形，与有何位置关系？ 【答案】（1）画图见解析，面积为 （2）画图见解析 （3）与关于直线（直线）对称； 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据多边形的面积，列式计算即可得解； （2）根据网格结构找出平移后点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）观察图形可知两三角形关于直线对称． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 多边形的面积为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：由图形可得： 与关于直线（直线）对称． 22. 某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题： （1）本次知识测试共调查了多少名学生? （2）请将两幅统计图补充完整． （3）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有多少人达标？ （4）若该校学生有人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？ 【答案】（1）120 （2） 两幅统计图中的空缺补充完整如图所示： （3）96 （4）960人 【解析】 【分析】（1）由不合格人数及其所占百分比可得被调查总人数； （2）求出等级为一般的所占的百分比、等级为优秀的人数，将两幅统计图中的空缺补充完整； （3）将抽取的样本中“一般”与“优秀”人数相加即可； （4）根据“一般”和“优秀”所占的百分比计算即可． 【小问1详解】 本次知识测试共调查学生24÷20%＝120（名）； 【小问2详解】 等级为一般的所占的百分比为：1﹣50%﹣20%＝30%， 等级为优秀的人数为：120×50%＝60（人）， 【小问3详解】 该校被抽取的学生中，达标人数为：36+60＝96（人）； 【小问4详解】 全校达标的学生有：1200×（30%+50%）＝960（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）600套 （2）200元 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解． （1）设商场第一次购进x套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解； （2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于200”即可列不等式求解． 【小问1详解】 解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； 【小问2详解】 解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 24. 阅读与思考：观察下列式子：，，，……， （1）【探索规律】用正整数表示上述式子的规律是____________________； （2）【问题解决】容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由． （3）【拓展探究】计算的值． 【答案】（1）；（2）不可能倒完，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； （3）根据（1）中的规律，，依次化简每个式子，然后求解即可． 【详解】解：（1）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （2） ．永远不可能倒完． （3）原式 ． 【点睛】此题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． 25. 【教材再现】 人教版教材介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下： 如图1，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． 分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M．作射线OM． 则射线OM为∠AOB的平分线． （1）这种用尺规作图作∠AOB的平分线的方法的数学知识源是全等三角形的对应角相等，那么这里证明三角形全等的依据是___． 【数学思考】 如图2，在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学又研究了用一个直角三角板画角的平分线的方法： 用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OC、OD，使OC＝OD． 过C作CE⊥OB，垂足为E．过D作DF⊥OA，垂足为F；CE、DF交于点M． 作射线OM． （2）请根据小亮同学的方法画出图形，并证明OM平分∠AOB． 【问题解决】 （3）如图3，已知四边形ABCD中，，AC平分∠BAD，CH⊥AB于点H．请直接写出线段AB、AD、AH之间的数量关系． 【答案】（1）SSS （2） 如图， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案； （2）利用AAS证明，再运用HL证明，即可得出答案； （3）过点C作于F，利用AAS证明，再运用AAS证明，即可得出答案． 【小问1详解】 用尺规作图作的平分线原理是证明两个三角形全等，证明三角形全等的依据是SSS； 故答案为：SSS． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，理由如下： 如下图，过点C作于F，则， ∵， ∴ ∴， ∵AC平分， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了基本作图，全等三角形的性质和判定，正确掌握全等三角形判定和性质是解题关键． 26. 【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值． 【答案】 【问题情境】 AD＝BE，理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC=90°， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE； 【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC； ∵∠EDB+∠BED＝180°﹣∠B， ∠EDB+∠FDC＝180°﹣∠FDE ∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠C， ∠B＝∠FDE＝∠C， ∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC； 【拓展应用】①BD+BF＝DC理由如下： ∵AB＝BC， ∴AF+BF＝BD+DC， ∵AF＝2BD， ∴2BD+BF＝BD+DC， ∴BD+BF＝DC； ②EA+EG的最小值为． 【解析】 【分析】问题情境：证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解； ②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可． 【详解】解：【问题情境】解：略； 【变式探究】解：略； 【拓展应用】①解：略； ②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN， ∵∠B＝45°，∠EDF＝45°， ∴∠BFD＝∠EDM， ∵DF＝DE，DM＝BF， ∴△BDF≌△MED（SAS）， ∴BD＝EM，∠B＝∠DME＝45°， ∵CD＝BD+BF＝CM+DM，BF=DM ∴CM＝BD， ∴EM＝CM， ∴△MEC是等腰三角形 ∴∠MCE＝∠MEC， ∵∠EMD＝45°，∠EMD＝∠MCE+∠MEC ∴∠ECM＝∠MEC＝∠EMD =22.5°， ∴E点在射线CE上运动， ∵G点与N的关于CE对称， ∴EG＝EN， ∴EA+EG＝EA+EN≥AN， ∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN， ∵∠B＝45°，AB＝BC， ∴ △ABC是等腰三角形 ∴∠ACB＝∠ BAC=(180°－∠B)= 67.5°， ∴∠ACE＝∠ACB －∠ECM =45°， 由对称性可知，∠ACE＝∠ECN=45°， ∴∠ACN＝90°， ∵点G是AC的中点，AC＝2， ∴CG＝1， ∴CN＝1， 在Rt△ANC中，AN2＝AC2+CN2=5 ∴AN=， ∴EA+EG的最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $