1.2 有理数及其大小比较-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学重点知识集锦（人教版2024）吉林专版

①同步练测·七年级数学（上册） ②用正数，负数表示具有相反意义的量 )规律方法 ◆典例2 典例②在一次考试中，如果将及格分数60分记作0分，超过1 用正数、负数表示具有 分，记为+1分，那么： 相反意义的量的步骤 (1)98分，58分分别记作 分析已知条用 (2)+16分、-28分分别表示 阴确规发阴确杀角 【解析】(1)超过60分n分，就记作+n分；低于60分n分， 记作-n分(n>0):(2)+16分表示比60分高16分， 用正裁或负戴 表示相关的量 -28分表示比60分低28分 【答案】(1)+38分、-2分(2)76分32分 1.2 有理数及其大小比较 新知荟，脉络梳理川 理变点 ①有理数 归鳞总结」。 D归纳总结① 1.① 回 ③ 统称为整数； (1)0和正整裁都是自熊数； ④ 和固 统称为分数：可以写成 (2)奇数和偶数也可以为负的，如-4 ⑥ 形式的数称为有理数。 -2,0,2,4等都是偶戴，-3，-1.1,3 2.有理数的分类 等都是奇数； (1)按整数、分数的关系分类： (3)有限小数和无限循环小数都可以 ☑ 看作分戴，它们都是有理戴，而无限不 整数0 循环小裁不能化成分裁，它们不是有 有理数 理数，如π，0.1010010001…（每两个 分数回 @ 1之间依次多一个0)都不是有理数： (4)要想分类结果不重复、无遗漏，出 (2)按正有理数、负有理数与0的关系分类： 须掌握两种分类标准，“整”和“分”对 正有理数四 应，“正”与“负”对应，0晚不是正数也 有理数0 不是负裁，它是整鬟也是有理鬟，这就 是分类思想在有理数中的应用. 负有理数 4 知银息®数轴 广归纳总结2. >归纳总结2 定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足 (1)数轴的三要素：原点、正方向和率 以下三个条件： 位长度.画数轴时，三要素缺一不可； (1)在直线上任取一个点表示数同 ,这个点叫作 (2)数轴是一条可以向两端无限延伸 6 的直线。 (2)通常规定直线上从原点☑ 为正方向，从原点 18 为负方向： (3)选取适当的长度为四 直线上从四 每隔一个四 取一个点，依次表示1,2,3，…从 回 ,用类似方法依次表示-1，-2，-3，… 图示： 原点 方何 43-2寸0d2346 平位长酸 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作 ②图 知跟点③数轴上的点与有理数之间的关系 归纳总结 )归纳总结3 1.有理数可以用数轴上的四 表示，也可以说，每个 任意一个有理裁都可以用数轴上 的点表示 有理数都对应数轴上的因 2知 第一章有理数 2.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴 的28 上，与原点的距离是☑ 个单位长 度：表示数-a的点在数轴的四 上，与原点的距 离是2四 个单位长度 知调点④相反数 口归销总结+5 >归纳总结4 1,相反数的定义：像2和-2,5和-5这样只有符号不同的 (1)若a与b互为相反数，则a+b=0 两个数，互为30 (或a=-b): (2)若a+b=0(或a=-b),则a与b 2.相反数的表示方法：一般地，a和3团 互为相反数，这 互为相反裁： 里，a表示任意一个数，可以是园 3☒ (3)在数轴上，互为相反数的两个数在 可以是3团 ·特别地，一个数的相反数等于它本身， 原点的左右两侧，离原点的距离相等 这个数是固 .例如：当a=2时，-a=-2,2的相 反数是-2，-2的相反数是2 3.多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”，结果 )归纳总结5 为负，有偶数个“-”，结果为正 0前面不论有多少个“+”或 图示： 走烧去序“+” “-”,化筒后仍为0 -+(-7)=-（-7=7 工丁↑ 两个贞专，猪果为正 细织点⑤)绝对值 归纳总结6 )归的总结6 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与3 的 (1)任何一个悬的绝对值都是非负最， 3网 叫作数a的绝对值，记作a. 即a≥0： (2)绝对值即“距离”，在数轴上表示 图示： -325-21012 一个数的点距离原点越远，该数的绝 距离为2.5距离92 对值越大：距离原点越近，该数的绝对 ↓ 1-251=2.5 121=2 值越小 2.绝对值的性质：一个正数的绝对值是题 ,一个负 数的绝对值是3 ,0的绝对值是@ 4 即如果a>0,那么a=回 :如果a=0,那么|a= 包 :如果a<0,那么a=3 ,用式子表示 ra(a>0), 为1al=0(a=0), -a(a<0) 知限息⑥有理数的大小比较 闺说数学 )图说数学？ 1.利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，数学中 同为正载 绕对准大的髮大 规定：它们从左到右的顺序，就是从四 到5 周号 问为负数」 的顺序，即左边的数⑥ 右边的数 新个有 绝对值大的反而小 理数的 2.利用有理数的分类比较大小：一般地，正数4☑ 0,0 大小比 正数大于负裁 48 负数，正数4四 负数：两个负数，绝对值 正裁与0， 正裁大于0 大的反而5团 为0 3.作差法：若两数分别为a,b,a-b>0,则a>b:若a-b<0, 筑裁与0 资裁小于0 则a<b:若a-b=0,则a=b. ①同步练测·七年级数学（上册）】 答案 四正整数回0☒负整数④正分数固负分数⑥分数 团正整数⑧负整数回正分数四负分数四正整数 四正分数3负整数国负分数同06原点 回向右（或上）图向左（或下）四单位长度四原点向 右四单位长度四原点向左☒数轴四点囡一点 ②6正半轴2团a2四负半轴四a30相反数团-a 型正数图负数网0固0原点3团距离 圈它本身3四它的相反数00国a4203-a 画小固大6小于☑大于超大于四大于@小 题型社，实例探索 甲要点 ⑥数轴上的点与有理数的关系 巧列 令典例 典例①已知数轴上点A在原点的左侧，到原点的距离为6个 (1) 10个单位长度 单位长度，点B在原点的右侧，点A到点B的距离是I0 6个单位长度 B 个单位长度 64-2024 (1)直接写出A,B两点所表示的数： (2】 4个单校4个单位 (2)若点C也是该数轴上的点，点C到点B的距离是4个 长度 长度 单位长度，求点C所表示的数 【解】(1)因为点A在原点的左侧，到原点的距离为6个单位长度， -202 所以点A所表示的数是-6. 因为点B在原点的右侧，点A到点B的距离是10个单位长度， 所以点B到原点的距离是4个单位长度， 所以点B表示的数是4. (2)由(1)得点B在原点右侧，到原点的距离为4个单位长度 分两种情况讨论：（题中未明确点C在点B的左侧还是右 侧，需分两种情况讨论) 当点C在点B的左侧时，点C与原点重合， 所以点C所表示的数为0. 当点C在点B的右侧时，点C到原点的距离为8个单位长度， 所以点C所表示的数为8. 综上，点C所表示的数为0或8. —@利用数轴解决实际问题 ○规律方法 ◆典例 典例2小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向 用数轴解决实际问题的方法 的大街上，星期天，老师到这三家进行家访，从学校出发先 (1)根据题意，先确定一个恰当的位置 向东走250米到小明家，后继续向东走350米到小兵家， 为原点，再选定正方向，然后结合已知 之后改向西走800米到小颖家，最后回到学校 数据确定合适的单位长度： (1)以学校为原点画出数轴，并在数轴上分别表示出小明 (2)画出数轴，标出各点在数轴对应的 家、小兵家和小颖家的位置： 位置： (2)小明家距小颖家多远？ (3)将问题转化到图形中，数形结合 (3)这次家访，老师共走了多少千米？ 抓住两点间的距离解决问题 【解】(1)以向东为正方向，100米为单位长度画出如图所示的 数轴，小明家、小兵家、小颍家在数轴上的位置如图所示 ,颈素警校 ,明家 民系 *20-1000102003040050060米 (2)小明家距离小颍家450米 (3)250+350+800+200=1600(米)，1600米=1.6千米. 答：这次家访，老师共走了1,6千米. 4 第一章 有理数 —@多重符号的化简 )规律方法 ◆典例 典例3化简下列各数： 个正数前面有福最个“_” (1)-(-5):(2)-(+5):(3)+(-8): 剩化商后络果为正 一个正奇面有奇藏个” (4)-[-(+川：(5)-【-(-2： 则化简后结果为负 法 0奇面不论有多少个“+”或 (6)+[-(-21 。化简后何是0 【解】(1)-(-5)=5.(2)-(+5)=-5 (3)+(-8)=-8(4)-【-（+2】=+(+2)=2 5)-【-(-2川=-(+)=-2 (6)+[-(-23】=+(+23)=2号 —⑨相反数与数轴的综合应用 )规律方法 ◆典例4 典例9在数轴上点A表示的数为7，B,C两点表示的数互为 理解“互为相反数的两个数分别 相反数，点C与点A之间的距离为2，那么点B与点C表 在原点的左、右两边，并且到原点的距 示的数分别是多少？ 离相等”是解题的关健 【解】如图. (C) A C 10123456789 因为点C与点A的距离为2.所以点C表示的数为9或5. 又因为点B与点C表示的数互为相反数， 所以点B表示的数为-9或-5. —⑤绝对值在实际生活中的应用 巧 ◆典例5 典例⑤某配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行 求出表中每个数批的绝对值 检查，比标准直径长的部分记作正数，比标准直径短的部 分记作负数，检查记录如下表： 0) 2 比较绝对植 绝封值与 编号1234 56 大小 0.2比校 直径/mm+0.4-0.2+0.10-0.3+0.25 毯针值越小小 (1)哪件产品的质量相对最好？请你用学过的绝对值知 大于0.2为 质量稳好 不合格产品 识说明： (2)若规定与标准直径相差不大于（小于或等于）0.2mm 为合格产品，则上面的6件产品中有几件是不合格的？ 【解】(1)+0.4=0.4，-0.2=0.2，+0.1=0.1， 0=0,-0.3=0.3,+0.25=0.25. 因为0<0.1<0.2<0.25<0.3<0.4， 所以|0|<+0.1<1-0.2<1+0.25|<-0.3|< +0.4. 所以第4件产品的质量相对最好. (2)因为+0.4=0.4>0.2，-0.3=0.3>0.2， +0.25=0.25>0.2, 所以这6件产品中有3件是不合格的， ⑥有理数的大小比较 >1 巧 ◆典例6 >0 典例6已知a,b为有理数，a>0,b<0,且b>a,比较a, 出 1b<0 在裁轴上 标出表示 -a,b,-b的大小 裁 lal 款a.d的点 【解】a,-a,b-b在数轴上对应点的位置如图： 在戴秘上 方04本 写出大 标出表丽 相反数的 -，- 几州意关 由图可知b<-a<a<-b. 的点