专题1　认识三角形2024-2025学年浙教版数学八年级上册培优专题练习

浙教版数学八年级上册培优专题练习 专题1　认识三角形 A组 1．下列命题是假命题的是(　 ) A．三角形的内角和是180° B．两直线平行，内错角相等 C．三角形的外角大于任何一个内角 D．同旁内角互补，两直线平行 2．如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是(　 ) A．三角形的稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 第2题图 3．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(　 ) A．15° B．30° C．45° D．60° 第3题图 4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B＋∠E＝180°.如果△ABC的面积是48 cm2，那么△DEF的面积为(　 ) A．48 cm2 B．24 cm2 C．54 cm2 D．96 cm2 第4题图 5．具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　 ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶4 6．一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别为6和2 019，则满足上述条件的三角形有________个． 7．若三角形的三边长分别为8，10，a，则边长a的取值范围是________． 8．如图，AM是△ABC中BC边上的高线，D，E分别为线段BC，AC的中点，BC＝6，AM＝4，则S△ADE＝________. 第8题图 9．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1＋∠2________∠3＋∠4(填“>”、“<”或“＝”)． 第9题图 10．如图，点A，B，C是网格中的3个格点，按照下列要求完成作图： (1)在图1中作出格点D，使得直线AD平分△ABC的面积． 图1 B组 1．下列四个选项中不是命题的是(　 ) A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c 2．能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(　 ) A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(　 ) A．80° B．90° C．100° D．110° 第3题图 4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为(　 ) A．∠α＋∠β＝180° B．∠α＋∠β＝225° C．∠α＋∠β＝270° D．∠α＝∠β 第4题图 5．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC________S△ABD(填“＞”，“＝”或“＜”). 第6题图 7．将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D，A′E分别与BC交于M，N两点，且DE∥BC.已知∠A′NM＝20°，则∠NEC＝________°. 第7题图 8．如图，已知AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线， 第8题图 (1)若∠B＝44°，∠C＝80°，求∠DAE的度数． (2)若BF＝5，△ABC的面积为30，求AD的长． 9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E，F是BC上一点，且∠BDF＝∠BDE，求证：DF∥AB. 第9题图 10．两条直线相交所形成的较小的角称为这两条直线的夹角．如：直线m、n相交，其夹角为60°；特别地，如果m⊥n，那么其夹角为90°. 　 (1)如图①，MN∥PQ，含45°的直角三角形ABC的三边和两条平行线有4个交点D，E，F，G.若AB和PQ的夹角为65°，求∠CFQ与∠CEN的度数. 图① (2)如图②，MN∥PQ，将一块含45°的直角三角板ABC任意摆放在两条平行线上(三角板足够大)，使三角板的三边和两条平行线始终有4个交点．设斜边AB所在直线与MN(或PQ)的夹角为α(0°＜α≤90°)，直接写出4个交点处的夹角之和．(结果可以用含α的代数式表示) 图② C组 1．设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a＋b－6|＋(a－b＋4)2＝0，则第三边c的长度的取值范围是( ) A．3<c<5 B．2<c<4 C．4<c<6 D．5<c<6 2．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图2．则下列说法正确的是(　 ) A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 第2题图 3．在1，2，3，4，5这五个数中，任取三个数作为三角形的边长，能围成的不同的三角形共有(　 ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，∠DCF＝70°，AF＝a(a为常数，且a>0)，P为射线CD上的一动点(不包括端点C)，将△CPF沿PF翻折得到△EPF，连结AE，则AE最大时，∠DPE的度数为(　 ) A．30° B．55° C．70° D．90° 第4题图 5．能使4m＋5，2m－1，20－m这三个数作为三角形三边长的整数m共有(　 ) A．18个 B．12个 C．6个 D．2个 6．已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b<c．若b＝7，则这样的三角形共有(　 ) A．21个 B．28个 C．49个 D．54个 7．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上一点，AE与BD交于点F.已知AD＝CD，BE＝2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，则△ADF的面积为6平方厘米；如果把“BE＝2CE”改为“BE＝nCE”其余条件不变，则△ADF的面积为________平方厘米(用含n的代数式表示). 第7题图 8．如图，已知射线Ox⊥Oy，A，B分别为Ox，Oy上两动点，△ABO中∠OAB的平分线与∠ABO的外角平分线交于点C．试问：∠C的度数是否随A，B的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠C的度数． 第8题图 9．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α＋∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． (1)在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由． (2)如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 ．(从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号)(①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能) (3)如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D. ①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 (填写序号)，并说明理由． ②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数． 第9题图 10．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，△ABC中，∠A＝90°，则△ABC的三条高所在的直线交于点 ． ②如图2，△ABC中，∠BAC＞90°，已知两条高BE，AD，请你仅用一把无刻度的直尺作出△ABC的第三条高．(不写作法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 (2)如图3，在△ABC中，∠ABC＞∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E. ①若∠ABC＝80°，∠C＝30°，则∠EBD＝ ． ②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是BC上一点，则有＝. 如图5，△ABC中，M是BC上一点BM＝BC，N是AC的中点．若三角形ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积 ．(用含m的代数式表示) 【答案解析】 A组 1．下列命题是假命题的是(　C) A．三角形的内角和是180° B．两直线平行，内错角相等 C．三角形的外角大于任何一个内角 D．同旁内角互补，两直线平行 2．如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是(　A) A．三角形的稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 第2题图 3．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(　B) A．15° B．30° C．45° D．60° 第3题图 4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B＋∠E＝180°.如果△ABC的面积是48 cm2，那么△DEF的面积为(　A) A．48 cm2 B．24 cm2 C．54 cm2 D．96 cm2 第4题图 5．具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　C) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶4 6．一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别为6和2 019，则满足上述条件的三角形有5个． 7．若三角形的三边长分别为8，10，a，则边长a的取值范围是2<a<18． 8．如图，AM是△ABC中BC边上的高线，D，E分别为线段BC，AC的中点，BC＝6，AM＝4，则S△ADE＝3. 第8题图 9．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1＋∠2＝∠3＋∠4(填“>”、“<”或“＝”)． 第9题图 10．如图，点A，B，C是网格中的3个格点，按照下列要求完成作图： (1)在图1中作出格点D，使得直线AD平分△ABC的面积． 图1 解：(1)如图，作出一种即可． (2)如图2，在AC上作出点E，使得BE把△ABC的面分成1∶2两部分. 图2 第10题图 (2)如图，作出一种即可． B组 1．下列四个选项中不是命题的是(　B) A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c 2．能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(　C) A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(　C) A．80° B．90° C．100° D．110° 第3题图 4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为(　B) A．∠α＋∠β＝180° B．∠α＋∠β＝225° C．∠α＋∠β＝270° D．∠α＝∠β 第4题图 5．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　B) A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC＝S△ABD(填“＞”，“＝”或“＜”). 第6题图 7．将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D，A′E分别与BC交于M，N两点，且DE∥BC.已知∠A′NM＝20°，则∠NEC＝140°. 第7题图 8．如图，已知AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线， 第8题图 (1)若∠B＝44°，∠C＝80°，求∠DAE的度数． 解：(1)∵∠B＝44°，∠C＝80°，∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝56°，∴∠CAE＝∠CAB＝28°.∵∠ADC＝90°，∠C＝80°，∴∠DAC＝10°，∴∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝28°－10°＝18°. (2)若BF＝5，△ABC的面积为30，求AD的长． (2)∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF＝5，∴BC＝10.∵△ABC的面积为30，∴BC·AD＝30，即×10·AD＝30，∴AD＝6. 9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E，F是BC上一点，且∠BDF＝∠BDE，求证：DF∥AB. 第9题图 证明：如答图， ∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2. ∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠2，∴∠BDE＝∠1. ∵∠BDF＝∠BDE，∴∠BDF＝∠1，∴DF∥AB. 10．两条直线相交所形成的较小的角称为这两条直线的夹角．如：直线m、n相交，其夹角为60°；特别地，如果m⊥n，那么其夹角为90°. 　 (1)如图①，MN∥PQ，含45°的直角三角形ABC的三边和两条平行线有4个交点D，E，F，G.若AB和PQ的夹角为65°，求∠CFQ与∠CEN的度数. 图① 第10题图 (2)如图②，MN∥PQ，将一块含45°的直角三角板ABC任意摆放在两条平行线上(三角板足够大)，使三角板的三边和两条平行线始终有4个交点．设斜边AB所在直线与MN(或PQ)的夹角为α(0°＜α≤90°)，直接写出4个交点处的夹角之和．(结果可以用含α的代数式表示) 图② 解：(1)如图①中，过点C作CH∥PQ， ∴CH∥MN. ∵∠BGQ＝∠A＋∠AFG， ∴∠AFG＝∠BGQ－∠A＝65°－45°＝20°， ∴∠CFQ＝∠AFG＝20°， ∴∠HCF＝∠CFQ＝20°，∠NEC＝∠ECH. ∵∠ACB＝90°， ∴∠NEC＝∠ECH＝90°－20°＝70°. 图① (2)共有6种情形，如图所示，4个交点处的夹角之和分别为：90°＋2α或4α－90°或270°或4α＋90°或135°＋2α或180°. 　　　　　　 　　　　 C组 1．设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a＋b－6|＋(a－b＋4)2＝0，则第三边c的长度的取值范围是(　C) A．3<c<5 B．2<c<4 C．4<c<6 D．5<c<6 2．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图2．则下列说法正确的是(　C) A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 第2题图 3．在1，2，3，4，5这五个数中，任取三个数作为三角形的边长，能围成的不同的三角形共有(　C) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，∠DCF＝70°，AF＝a(a为常数，且a>0)，P为射线CD上的一动点(不包括端点C)，将△CPF沿PF翻折得到△EPF，连结AE，则AE最大时，∠DPE的度数为(　C) A．30° B．55° C．70° D．90° 第4题图 5．能使4m＋5，2m－1，20－m这三个数作为三角形三边长的整数m共有(　D) A．18个 B．12个 C．6个 D．2个 6．已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b<c．若b＝7，则这样的三角形共有(　A) A．21个 B．28个 C．49个 D．54个 7．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上一点，AE与BD交于点F.已知AD＝CD，BE＝2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，则△ADF的面积为6平方厘米；如果把“BE＝2CE”改为“BE＝nCE”其余条件不变，则△ADF的面积为平方厘米(用含n的代数式表示). 第7题图 8．如图，已知射线Ox⊥Oy，A，B分别为Ox，Oy上两动点，△ABO中∠OAB的平分线与∠ABO的外角平分线交于点C．试问：∠C的度数是否随A，B的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠C的度数． 第8题图 解：不变化．∠C＝45°. 9．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α＋∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． (1)在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由． 解：(1)△ABC是“准直角三角形”，理由如下 ∵∠A＝100°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°－100°－70°＝10° ， ∴2∠C＋∠B＝90°， ∴△ABC是“准直角三角形”． (2)如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 ．(从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号)(①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能) (2)③. (3)如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D. ①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 (填写序号)，并说明理由． ②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数． 第9题图 (3)①利用角平分线及平行线，易求证△ABD为“准直角三角形”，其他均不符合．故答案为：④. ②由(2)得△BFD为钝角三角形．当∠FDB为钝角时，点F在射线BA上， ∵△BFD为“准直角三角形”，∴2∠BFD＋∠FBD＝90°，或∠BFD＋2∠FBD＝90°.∵∠FBD＝∠ABC＝40°，∴∠BFD＝25°或∠BFD＝10°；当∠BFD为钝角时，点F在射线AB上，∵△BFD为“准直角三角形”，∴2∠BDF＋∠FBD＝90°，或∠BDF＋2∠FBD＝90°.∵∠FBD＝40°，∴∠BDF＝25°或∠BDF＝10°，∴∠BFD＝180°－∠FBD－∠BFD＝180°－25°－40°＝115°或∠BFD＝180°－∠FBD－∠BFD＝180°－10°－40°＝130°.当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上，∵∠FBD＝140°，∴∠BFD＋∠BDF＝40°，∴2∠BFD＋∠BDF＜80°＜90°或∠BFD＋2∠BDF＜80°＜90°，∴∠DBF为钝角时，△BFD不为“准直角三角形”．综上，∠DFB的度数为130°或者115°或者25°或者10° 10．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，△ABC中，∠A＝90°，则△ABC的三条高所在的直线交于点 ． ②如图2，△ABC中，∠BAC＞90°，已知两条高BE，AD，请你仅用一把无刻度的直尺作出△ABC的第三条高．(不写作法，保留作图痕迹)． 解：(1)①A.②如图2，CH即为所求． 图2 【综合应用】 (2)如图3，在△ABC中，∠ABC＞∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E. ①若∠ABC＝80°，∠C＝30°，则∠EBD＝ ． ②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由． (2)①25°.②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为2∠EBD＝∠ABC－∠ACB，理由如下： ∵BE⊥AD，∴∠ABE＝90°－∠BAD＝90°－∠BAC＝90°－(180°－∠C－∠ABC)＝(∠C＋∠ABC)，∴∠EBD＝∠ABC－∠ABE＝(∠ABC－∠ACB)，∴2∠EBD＝∠ABC－∠ACB. 【拓展延伸】 (3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是BC上一点，则有＝. 如图5，△ABC中，M是BC上一点BM＝BC，N是AC的中点．若三角形ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积 ．(用含m的代数式表示) 图5 (3)连结CD，如图5所示．∵N是AC的中点， ∴＝＝1， ∴S△ADN＝S△CDN.同理：S△ABN＝S△CBN. 设S△ADN＝S△CDN＝a，∵△ABC的面积是m，∴S△ABN＝S△CBN＝m， ∴S△BCD＝S△ABD＝m－a.∵BM＝BC，∴＝＝，＝＝， ∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM， ∴S△CDM＝S△BCD＝×(m－a)＝m－a，S△ACM＝S△ABC＝m. ∵S△ACM＝S四边形CMDN＋S△ADN＝S△CDM＋S△CDN＋S△ADN， ∴m＝m－a＋a＋a，解得a＝m. ∴S四边形CMDN＝S△CDM＋S△CDN＝m－×m＋m＝m. 学科网（北京）股份有限公司 $$