山东省济宁市第一中学2024-2025学年高三上学期质量检测（一）数学试题

第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 济宁市第一中学 2024—2025 学年度第一学期质量检测（一） 高三数学 注意事项： 1.答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、 考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠， 不破损。 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合  1 2 8 , { 1 3} xA x B x x     ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A.  0,3 B.  4,3 C.  4,2 D.  0,2 2．命题“  0 00, ln 1 0x x    ”的否定是（ ） A．  0 00, ln 1 0x x    B．  0 00, ln 1 0x x    C．  0, ln 1 0x x    D．  0, ln 1 0x x    3.“ 1m   或 4m  ”是“幂函数     22 33 3 m mf x m m x     在  0,  上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 随机变量  ~ ,X B n p ，若   1E X  ，   3 4 D X  ，则  3P X  （ ） A. 1 16 B. 3 64 C. 1 64 D. 3 256 5. 某班上有 5名同学相约周末去公园拍照，这 5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙 同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 6. 已知一系列样本点    , 1,2,3,i ix y i   的一个经验回归方程为 ˆ ˆ2y x a  ，若样本点( )1, 1- 的残差为 2，则 â （ ）． A． 1 B．1 C． 5 D．5 第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 7. 已知定义在 R 上的函数  f x 的导函数为  f x  ，若  1 3f  ，且 Rx  ，   1f x   ，则   2f x x   的解集为（ ） A.  , 1  B.  1,1 C.  1,  D.  1,   8. 已知函数     2 2 , 0 e ln 1 1, 0x x ax a x f x x x          的值域为R，则 a的取值范围是（ ） A.  , 2  B.  2,0 C.    , 2 2,  U D.    , 1 2,    二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性相关系数 r越大，两个变量的线性相关性越强 C. 设随机变量  2~ 2,X N  ，  0 4 0.4P x   ，则  0 0.3P x   D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10. 已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ） A． 2 2 1 2 a b  B． 12 2 a b  C． 2 2log log 2a b   D． 2a b  11.已知定义在R上的函数  f x 满足    2 6 2f x f x   ，且      1 1 2f x f x f     ，若 5( ) 1 2 f  ， 则（ ） A.  2024 1f  B.  f x 的图象关于直线 3x   对称 C.  f x 是周期函数 D. 2025 1 1( 1) ( ) 2025 2 k k kf k     三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 函数 ( ) log (3 2) 2af x x   恒过定点______. 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 13. 已知 1( ) 2 P B  ， 1( ) 4 P AB  ， 3( | ) 5 P B A  ，则 ( )P A  ______. 14. 若曲线   1lnf x x x  与   2g x ax 总存在关于原点对称的点，则 a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 6小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数   2 lnf x x ax x   ， Ra ． (1)若函数   22y f x x  在  0,2 上单调递减，求 a的取值范围： (2)若直线 ey x 与  f x 的图象相切，求 a的值． 16.（15分）已知  2 1 nx  展开式的二项式系数和为 a， 1( )nx x 展开式的奇数项的二项式系数和为 b，且 32a b  ，则在 2 1( ) 2 nx x  的展开式中，求解下列问题： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项． 17.（15分）某学校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择 东阅览室的概率是 2 5 ．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为 4 7 ；如果第一天去西阅览 室，那么第二天去东阅览室的概率为 2 3 ； （1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为 X，求 X的分布列及数学期望； （2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 18.（17分）某研究团队收集了 10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据  ,i ix y ， 1i  ，2，3，…，10， 其中 ix （单位：公斤）表示亩化肥施用量， iy（单位：百公斤）表示该作物亩产量,并对这些数据作了初步 处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中 lni it x ， lni iz y ， 1i  ，2，3，…，10.通过对这 10 组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数 dy cx 模拟该作物亩产量 y关于亩化肥 施用量 x的关系. 10 1 i i it z   10 1 i i t   10 1 i i z   10 2 1 i i t   38.5 15 17.5 47 （1）根据表中数据，求 y关于 x的经验回归方程； （2）实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为 30kg时，该作物亩产量仅约为 510 kg 的情况，请给出解释； （3）合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该 研究团队的投资效益 服从正态分布  4,1N ，政府对该研究团队的奖励方案如下：若 3  ，则不予奖励； 若3 6  ，则奖励 10万元；若 6  ，则奖励 30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望. 附：① ln15 2.7 ，ln 30 3.4 ；②对于一组数据  ,i ix y （ 1i  ，2，3，…，n），其经验回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆâ y bx  ；③若随机变量 X服从正态分布  2,N   ，则   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X        ，  3 3 ) 0.9973P X        . 19. （17分）已知函数      e 1, lnxf x x g x a x x    ，且    f x g x 恒成立 ( 0)a  ． （1）求实数a的值； （2）证明：  3 2e 3 ln 2sinxx x x x   ． 第 1页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 济宁市第一中学 2024—2025 学年度第一学期质量检测（一） 高三数学答案 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. D 2．D 3. B 4. B 5. C 6.C 7. D【详解】构造函数 ( ) ( )g x f x x   ， ( 1) 3 1 2g     ， ( ) ( ) 1 0g x f x      ，即函数 ( )g x 在�上单调递减，   2f x x   等价于 ( ) ( 1)g x g  ，解得 1x   . 即   2f x x   的解集为  1,   . 8. C【详解】当 0x  时，  e ln 1 1xy x    ， 所以 1e 0 1 xy x      在 0,  上恒成立， 所以函数  f x 在 0,  上单调递增，所以    0 2f x f  ， 0x  . 当 0x  时， 2 2y x ax a    ， 若 0a  即 0a  ，函数  f x 在  , a  上单调递增，在  ,0a 上单调递减， 所以     2f x f a a a    ， 0x  . 又函数的值域为R ，所以 2 2a a  ，（ 0a  ） 2a  ； 若 0a  即 a<0，函数  f x 在  ,0 上单调递增，所以    0f x f a   ， 0x  . 又函数的值域为R ，所以 2 a （ a<0） 2a   . 综上可知： 2a   或 2a  . 二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. ACD 10.ABD【详解】对于 A，  22 2 2 21 2 2 1a b a a a a       21 2 1 12 2 2 a      ， 第 2页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 当且仅当 1 2 a b  时，等号成立，故 A正确； 对于 B， 2 1 1a b a     ，所以 1 12 2 2 a b   ，故 B正确； 对于 C， 2 2 2 2 2 2 1log log log log log 2 2 4 a ba b ab           ， 当且仅当 1 2 a b  时，等号成立，故 C不正确； 对于 D，因为  2 1 2 1 2a b ab a b       ， 所以 2a b  ，当且仅当 1 2 a b  时，等号成立，故 D正确； 故选：ABD 11.BCD【详解】由 ( 1) ( 1) ( 2)f x f x f     ，得 ( 1) ( 3) ( 2)f x f x f     ， 则 (f x  1) ( 3)f x  ，即 ( ) ( 4)f x f x  ，因此 ( )f x 是周期为 4的周期函数，C正确； 令 = 1x  ，得 ( 2) (0) ( 2)f f f    ，则 (0) 0f  ，因此 (2024) (0) 0f f  ，A错误； 由 (2 6) ( 2 )f x f x   ，得 ( 6) ( )f x f x   ，则 ( ) [( 12) 6] ( 6)f x f x f x      ， 因此 ( )f x 的图象关于直线 3x   对称，B正确； 由 ( 6) ( )f x f x   ，得 ( )f x 的图象关于直线 3x  对称， 因此直线 3 4x n   及 3 4 ( )x n n  Z 均为 ( )f x 图象的对称轴， 从而 7 5( 2) (0) 0, ( ) ( ) 1 2 2 f f f f     ，令 3 2 x  ，得 3 3( 1) ( 1) 0 2 2 f f    ， 即 1 5( ) ( ) 1 2 2 f f    ，则 1 3 9( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 f f f    ， 故 2025 1 1 1 3 5 7 4049( 1) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2025 ( ) 2 2 2 2 2 2 k k kf k f f f f f            (1 2 3 4) (2021 2022 2023 2024) 2025 2025           ，D正确. 故答案为：BCD 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. (1, 2) 13. 7 12 14. 1, e     【详解】若曲线   1lnf x x x  与   2g x ax 总存在关于原点对称的点， 第 3页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 则   2g x ax 上的点  2,x ax 关于原点的对称点    2, , 0x ax x   在曲线   1lnf x x x  上， 所以方程    2 1ln ln , 0ax x x x x x          有解， 令 t x  ，则方程  2 ln , 0at t t t    有解， 即方程  ln , 0ta t t   有解， 令    ln , 0th t t t   ，则   2 1 ln th t t   ，令   0h t  ，得0 et  ，令   0h t  ，得 t e ， 所以  h t 在  0,e 上单调递增，在  e, 上单调递减， 且   1e e f  ，当 t趋于 0时，   ln th t t  趋于负无穷，当 t趋于正无穷时，   ln th t t  趋于 0， 所以    ln , 0th t t t   的值域为 1, e     ，所以 a 的范围为 1, e     . 15．(1)  , 2 2   (2) e 1 【详解】（1）记      2 22 ln ,y f x x ax x x g x g x      在  0,2 上单调递减，   1 2 0g x a x x      对  0,2x  恒成立， min 12a x x        ，而 1 12 2 2 2 2x x x x     ，当且仅当 12x x  即 2 2 x  时，等号成立， 所以当 2 2 x  时， 12x x  取得最小值为 2 2 . 2 2a  所以 a的取值范围为  , 2 2 .  （2）设直线 ey x 与  f x 的图象相切于  20 0 0 0n, lP x x ax x  ，   0 0 1 12 , 2f x x a k x a x x        ， 由题意可知 0 0 2 0 0 0 0 12 e, ln e , x a x x ax x x          ① ② 0 0 1e 2a x x    ， 代入 2 0 0 0 0 0 0 1e 2 ln ex x x x x x            ② ， 2 0 01 ln 0x x    ，左边式子关于 0x 单调递减且 0 1x  时，左边 00, 1x   e 1 2 e 1.a      第 4页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 16.【答案】（1） 3 5 2 x ； （2） 615 4 x . 【解析】【小问 1详解】 依题意， 12 , 2n na b   ，于是 12 2 32n n  ，即 12 32n  ，解得 6n  ， 所以 2 61( ) 2 x x  的展开式中第 4项的二项式系数最大， 即 3 2 3 3 3 4 6 1 5C ( ( ) 2 2 )T x x x     . 【 小 问 2 详 解 】 由 （ 1 ） 知 ， 2 6 1( ) 2 x x  展 开 式 的 通 项 公 式 为 2 6 12 3 1 6 6 1 1C ( ) ( 6 ( ) N 2 , ,) C 2 k k k k k k kT kx x kx          ， 设第 1k  项的系数的绝对值最大，因此 1 1 6 6 1 1 6 6 1 1( ) C ( ) C 2 2 1 1( ) C ( ) C 2 2 k k k k k k k k           ， 整理得 6! 6!2 !(6 )! ( 1)!(7 )! 6! 6!2 !(6 )! ( 1)!(5 )! k k k k k k k k               ，解得 4 7 3 3 k  ，而 Nk ，则 2k  ，即系数的绝对值最大的项 是第 3项， 所以系数的绝对值最大的项为 2 2 6 6 3 6 1 15( ) C 2 4 T x x   . 17.【答案】（1）分布列见解析， 36 35 （2）第一天去西阅览室的可能性更大，理由见解析 【解析】【小问 1详解】 设 iA “第 i天去东阅览室”  1,2i  ， jB  “第 j天去西阅览室”  1,2j  ， 则 1A与 1B 对立， 2A 与 2B 对立 由题意得， 0,1, 2X         1 2 1 2 1 2 2 10 | 1 1 5 3 5 P X P B B P B P B B                        1 2 1 21P X P AB P B A          1 2 1 1 2 1| |P A P B A P B P A B  2 4 2 2 41 1 5 7 5 3 7                  第 5页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司        1 2 1 2 1 2 4 82 | 5 7 35 P X P A A P A P A A      则 X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 4 7 8 35 所以   1 4 8 360 1 2 5 7 35 35 E X        【小问 2详解】 由全概率公式得          2 1 2 1 1 2 1| |P B P A P B A P B P B B  2 4 2 21 1 1 5 7 5 3                        13 35  所以  1 2|P A B      1 2 2 P A B P B       1 2 1 2 |P A P B A P B   2 41 65 7 13 13 35        所以    1 2 1 2 6 7| 1 | 1 13 13 P B B P A B     所以    1 2 1 2| |P A B P B B 所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大 18.【答案】（1） 1 2ey x ； （2）答案见解析； （3）88685（元）. 【解析】【小问 1详解】 对 dy cx 两边取对数得： ln ln lny c d x  ，即 lnz c dt  ， 由表中数据得： 10 1 1 15 1.5 10 10ii t t     ， 10 1 1 17.5 1.75 10 10ii z z     ， 10 1 2 210 2 1 10 38.5 10 1.5 1.75 0.5 47 10 1.5 10 i i i i i t z tz d t t               ，所以 1ln 1.75 1.5 1 2 c z dt      ，则 ec  ， 所以 y 关于 x的经验回归方程为 1 2ey x . 【小问 2详解】 由（1）得，当 30x  时 ln30ln 1 2.7 2 y    ，所以 15y  ， 第 6页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 所以当亩化肥施用量为 30kg时，估计粮食亩产量应约为 1500kg. 出现亩施肥量为 30kg，亩产量仅约为 510kg的情况，可能是因为施肥过量，导致作物有部分被烧坏，从而 导致产量下降. 【小问 3详解】 因为 3   ， 2 6   ， 所以     0.9545 0.68273 6 2 0.6827 0.8186 2 P P                ，   1 0.9545( 6) 2 0.02275 2 P P          ， 设政府对该研究团队的奖励金额为，则   100000 0.8186 300000 0.02275 88685E       （元）. 19.【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】【小问 1详解】 令        e ln 1xh x f x g x x a x x      ， 则        1 e11 e 1 ( 0) x x x x a h x x a x x x             ， 设   e ( 0)xx x a a    ，则    1 0exx x    对任意 0x  恒成立， 所以  x 在  0,  上单调递增，又      0 0, e 1 0aa a a       ， 所以存在唯一实数    0 00, , 0x a x  ， 所以当  00,x x 时，         1 0, x x h x h x x     单调递减； 当  0 ,x x  时，        1 0,x xh x h x x     单调递增； 所以    0min 0 0 0 0( ) e ln 1xh x h x x a x x     ， 因为    00 0 0e 0 0xx x a x a      ， 所以 00exx a ，且 0 0ln ln ( 0)x x a a   ． 所以 min( ) ln 1 0h x a a a    ， 设   ln 1( 0)F a a a a a    ，则    1 1 ln lnF a a a     ， 所以  F a 在  0,1 上单调递增，  1, 上单调递减， 所以    1 0F a F  ，而依题意必有   0F a  ，所以   0F a ，此时 1a  ， 第 7页/共 7页 学科网（北京）股份有限公司 所以若不等式    f x g x 恒成立，则正实数 a的值为 1． 【小问 2详解】 由（1）知，当 1a  时，    f x g x 对任意 0x  恒成立． 所以  0, , e ln 1xx x x x      ，当且仅当 1x  时等号成立， 则 3 3 2 2e ln ( 0)xx x x x x x    ， 所以要证明  3 2e 3 ln 2sin ( 0)xx x x x x    ， 只需证  3 2 2 2ln 3 ln 2sin ( 0)x x x x x x x x      ， 即证 3 2 3ln 2sin ( 0)x x x x x    ． 设    ln 1, sinG x x x m x x x     ，则   1 11 ( 0)xG x x x x      ， 则  G x 在  0,1 上单调递增，  1, 上单调递减， 所以      0, , 1 0x G x G     ，即 ln 1( 0)x x x   ， 又由   cos 1 0m x x   在  0,  恒成立，  m x 在  0,  上单调递减， 所以      0, , 0 0x m x m     ，即 sin ( 0)x x x  ， 所以要证 3 2 3ln 2sin ( 0)x x x x x    ， 只需证  3 2 3 1 2 ( 0)x x x x x     ，即 3 2 5 3 0( 0)x x x x     ， 令   3 2 5 3H x x x x    ，可得      23 2 5 3 5 1H x x x x x      ， 则  H x 在  0,1 上单调递减，  1, 上单调递增， 所以当  0,x  时，    1 0H x H  ， 即 3 22 5 3 0, 0x x x     恒成立， 所以  3 2 3 ln 2sinxx e x x x   ． 姓名:　　　　　　　　　　 班级:　　　　　　　　　　 学校 　　　　　　　　　　 考场:　　　　 座号:　　　 考生 禁填 缺考 [　] 违纪 [　] 贴条形码区 注意 事项 1.答题前请先将姓名、准考证号填写清楚，并认真核对考试科目；如有条形码请在规定位置贴好。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择请使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清楚。 3.请严格按照题号在相应答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.保持卷面清洁、不要装订、折叠、破损。　5.正确填涂：　 　　错误填涂：　✔ ▁ ▏○ - 1 - - 2 - - 3 - 济宁一中2024-2025学年度第一学期质量检测（一） 高三数学答题卡 选择题（共8题，满分40分，每小题5分） 1. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 选择题（共3题，满分18分，每小题6分） 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 填空题（共3题，满分15分） 12. 13. 14. 15.（13分） 16.（15分） - 4 - - 5 - - 6 - 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分）