专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示11种常见考法归类（98题）-2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示11种常见考法归类（98题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 空间中点的坐标表示 （1） 根据向量关系求坐标 （2） 建坐标系求坐标 考点二 空间点的对称问题 考点三 空间向量的坐标表示 考点四 空间向量的坐标运算 考点五 空间向量的平行问题 考点六 利用坐标运算解决数量积问题 考点七 利用坐标运算求空间向量数量积的最值范围问题 考点八 利用坐标运算解决垂直问题 考点九 利用坐标运算解决夹角问题 （一）求空间向量的夹角 （二）根据空间向量的夹角求参数 （三）求空间向量的夹角的最值 考点十 利用坐标运算解决距离问题 （一）利用坐标求空间向量的模 （二）利用坐标求空间向量的模的最值 （三）根据空间向量的模求参数 考点十一 利用坐标运算求投影向量 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 3、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 考点一 空间中点的坐标表示 解题策略：1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性． 注：同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 2.确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 3.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． （一）根据向量关系求坐标 1．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ，，点 满足，则点的坐标是______． 2．（2024·全国·高二专题练习）已知点，，，则点的坐标为______． 3．（2024·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________. 4．（2024·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________. 5．（2024·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______． （二）建坐标系求坐标 6.（2024·高三课时练习）已知正四棱柱的顶点坐标分别为，0，，，0，，，2，，，0，，则的坐标为　　． 7.（2024·高三课时练习）在如图所示的坐标系中，已知是正四棱锥，是正方体．其中，．建立如图所示的坐标系．则点的坐标为　　． 8.（2024·高三课时练习）如图点，0，，在四面体中，平面，，，，，分别是，的中点，求，，，这四点的坐标． 考点二 空间点的对称问题 解题策略：空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 9．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·高二专题练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（    ） A． B． C． D． 11.（23-24高二上·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．8 考点三 空间向量的坐标表示 解题策略：1.空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 2.向量坐标的求法 （1）点A的坐标和向量的坐标形式完全相同． （2）起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 13．（2024·高二课时练习）已知点，，则向量的坐标为________． 14．（2024·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 15．（2024·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 16.（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于 A． B． C． D． 17.（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 18．（2024·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______. 19．【多选】（2024·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形的顶点分别是，，，，那么以下说话中正确的是（    ） A． B． C．的中点坐标为 D．四边形是一个梯形 20.（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 21.【多选】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 考点四 空间向量的坐标运算 解题策略：1.空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． 已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量的坐标等于终点坐标减起点坐标．即＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 2.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算． (2)熟练应用有关的公式 ①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； ②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； ③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b，再求数量积． 3.空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． （3）由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 22．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知，(2，1，1)，则________． 23.（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 24．（2024·全国·高二专题练习）向量，，，中，共面的三个向量是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·湖北·高二统考期末）已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 26．（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 27．【多选】（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则P，A，B，C四点共面 28．（2024·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·高二课时练习）在中，若，，则是（    ） A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 30.（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． 题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解． 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 5、两点间的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②或． 6、利用坐标法解决立体几何问题的步骤 第一步建系：根据题中的几何图形的特征，建立适当的空间直角坐标系； 第二步定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标； 第三步向量运算：进行相关向量的坐标与运算； 第四步翻译：将向量语言“翻译”乘相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解； 第五步的结论：得出最终结论． 考点五 空间向量的平行问题 31．（2024·高二课时练习）若，且与共线，求x，y的值． 32．（2024·高二课时练习）已知向量，，且，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 33.（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 34.（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 35．【多选】（2024·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（    ） A．，0， B．，1， C．，， D．，2， 37．（2024·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则_____． 38．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________. 考点六 利用坐标运算解决数量积问题 解题策略： 39．（2024·全国·高二专题练习）若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 40．（2024·高二单元测试）若向量，，则______． 41.（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D． 42．（2024·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，． (1)求顶点的坐标； (2)求． 43.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 44.（23-24高二上·河北沧州·月考）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（    ） A． B．1 C． D． 45．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 46.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点七 利用坐标运算求空间向量数量积的最值范围问题 47.（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48.（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________. 49.（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 50.（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．    考点八 利用坐标运算解决垂直问题 解题策略：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 （1）平行、垂直的简单应用 对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． （2）证明平行、垂直问题 ①利用向量的坐标运算解决立体几何中的平行、垂直问题，关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标． ②用向量的坐标运算证明平行、垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的具体体现． （3）对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题,可以优先考虑坐标法,这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证,仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系. 51．（2024·高二课时练习）已知，单位向量满足，则_________． 52.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 53.（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且． (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 54．（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 55．（2024·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量，，若与垂直，则＝_____. 56．（2024·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点，，，若直线上存在一点M，满足，则点M的坐标为______. 57．（2024·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点，，，设，. (1)求向量与向量的坐标； (2)若与互相垂直，求实数的值. 58．（2024·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（    ）． A． B．1 C． D． 59．（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体中，，，，，若则（    ） A． B． C． D． 考点九 利用坐标运算解决夹角问题 （一）求空间向量的夹角 解题策略：求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法：结合图形，选取一组合适的基底，将两向量用基向量表示出来，然后代入夹角公式求解； ②坐标法：在图形中建立空间直角坐标系，然后求出两向量的坐标，代入向量的夹角坐标公式求解．利用坐标法要注意两点，一是坐标系的选取，二是夹角的范围〈a，b〉∈[0，π]，要特别注意向量共线的情况． 60.（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 61．（2024·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________． 62．（2024·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 63.（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________． 64.（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 65．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 67．（2024·高二单元测试）已知，则的面积为__________． （二）根据空间向量的夹角求参数 68．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（    ） A． B． C．或 D．2 69．（2024·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________. 70．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 71.（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 72.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. （三）求空间向量的夹角的最值 73.（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 74.（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 考点十 利用坐标运算解决距离问题 （一）利用坐标求空间向量的模 解题策略：求空间中线段的长 ①建立恰当的空间直角坐标系； ②求出线段端点的坐标，并求出对应向量的坐标； ③利用向量的模的坐标公式求向量的模，即线段的长． 75．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系 中，点，则______ 76．（2024·全国·高二专题练习）若，，则（    ） A． B． C．5 D．10 77.（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（    ） A． B． C． D．5 78.（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 79.（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____． 80.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 81.（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______. 82．（2024·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则______. 83.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||. （二）利用坐标求空间向量的模的最值 84．（2024·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________. 85.（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________． 86.（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 87.（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值． 88.（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 89．（2024·高二单元测试）若A，B，当取最小值时，x的值等于（     ） A． B． C． D． 90．（2024·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. （三）根据空间向量的模求参数 91.（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________． 考点十一 利用坐标运算求投影向量 92．（2024·高二课时练习）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 93．（2024·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 94．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 95.（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 96.（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ． 97．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点，则在上的投影向量的长度为________. 98.（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . $$2024-2025学年《考点通关》高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示11种常见考法归类（98题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 空间中点的坐标表示 （1） 根据向量关系求坐标 （2） 建坐标系求坐标 考点二 空间点的对称问题 考点三 空间向量的坐标表示 考点四 空间向量的坐标运算 考点五 空间向量的平行问题 考点六 利用坐标运算解决数量积问题 考点七 利用坐标运算求空间向量数量积的最值范围问题 考点八 利用坐标运算解决垂直问题 考点九 利用坐标运算解决夹角问题 （一）求空间向量的夹角 （二）根据空间向量的夹角求参数 （三）求空间向量的夹角的最值 考点十 利用坐标运算解决距离问题 （一）利用坐标求空间向量的模 （二）利用坐标求空间向量的模的最值 （三）根据空间向量的模求参数 考点十一 利用坐标运算求投影向量 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 3、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 考点一 空间中点的坐标表示 解题策略：1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性． 注：同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 2.确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 3.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． （一）根据向量关系求坐标 1．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ，，点 满足，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】直接代入空间向量的坐标公式列方程计算即可. 【详解】设， 则， 由题可得 ，解得 即点 的坐标是. 故答案为：. 2．（2024·全国·高二专题练习）已知点，，，则点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】先求出向量的坐标，设点，得出的坐标，根据条件得出方程组可得答案. 【详解】点，，则 设点，则 由，则 ，即， 所以点的坐标为 故答案为： 3．（2024·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示有、，即可求C坐标. 【详解】由，，可得：， 又，同理可得：. 故答案为： 4．（2024·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________. 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标． 【详解】解：点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 5．（2024·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______． 【答案】 【分析】设，然后利用求解即可. 【详解】设，因为四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，所以，即. 故答案为：. （二）建坐标系求坐标 6.（2024·高三课时练习）已知正四棱柱的顶点坐标分别为，0，，，0，，，2，，，0，，则的坐标为　　． 【解析】，0，，，0，，，2，， 点坐标为，2，又，0，，的坐标为，2，故答案为：，2， 7.（2024·高三课时练习）在如图所示的坐标系中，已知是正四棱锥，是正方体．其中，．建立如图所示的坐标系．则点的坐标为　　． 【解析】如图所示．连接交于点，连接，则底面． ． ，1，．故答案为，1，． 8.（2024·高三课时练习）如图点，0，，在四面体中，平面，，，，，分别是，的中点，求，，，这四点的坐标． 【解析】点，0，， ， 又平面，， ， 又，， ， 到轴，轴距离均为：， 又由，分别是，的中点， 点坐标为，，，点坐标为，，， 点坐标为，，，点坐标为，，． 考点二 空间点的对称问题 解题策略：空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 9．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 10．（2024·全国·高二专题练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在空间直角坐标系中，求出点关于轴和轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点， 所以. 故选：A 11.（23-24高二上·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点关于平面yOz对称的点的坐标为，故选：B 12．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】由对称性分别求出B、C，则有，即可求得 【详解】由题意，则， 故，. 故选：B 考点三 空间向量的坐标表示 解题策略：1.空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 2.向量坐标的求法 （1）点A的坐标和向量的坐标形式完全相同． （2）起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 13．（2024·高二课时练习）已知点，，则向量的坐标为________． 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】． 故答案为： 14．（2024·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 15．（2024·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故选：D 16.（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则 故选C． 17.（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案. 【详解】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题. 18．（2024·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______. 【答案】 【分析】求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答. 【详解】因，，则， 因与同向，则设，因此，， 于是得，解得，则， 所以向量的坐标为. 故答案为： 19．【多选】（2024·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形的顶点分别是，，，，那么以下说话中正确的是（    ） A． B． C．的中点坐标为 D．四边形是一个梯形 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算判断A，B，C，通过判断，的关系，判断四边形的形状，由此判断D. 【详解】设点为坐标原点，因为，，，， 所以，，，， 所以，A正确； 所以，B错误； 设的中点为点，则， 所以点的坐标为，C错误； 因为，，所以，所以，，所以四边形是一个梯形，D正确； 故选：AD. 20.（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 显然，不共线， 根据向量基本定理可得， 故C点坐标为， 经验算只有B选项符合条件， 此时， 故选：B 21.【多选】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】在等边中，，所以，则，，则. 故选：ABC 知识点2 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 考点四 空间向量的坐标运算 解题策略：1.空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． 已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量的坐标等于终点坐标减起点坐标．即＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 2.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算． (2)熟练应用有关的公式 ①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； ②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； ③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b，再求数量积． 3.空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． （3）由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 22．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知，(2，1，1)，则________． 【答案】 【分析】以向量的代数运算律解之即可. 【详解】由，(2，1，1) 可得 故答案为： 23.（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3）. 24．（2024·全国·高二专题练习）向量，，，中，共面的三个向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：若共面，则，即， 即，显然不存在满足题意，故不共面； 同理，B，C中的三个向量也不共面； D：若共面，则，即， 即，故存在满足题意，则共面. 故选：D. 25．（2024·湖北·高二统考期末）已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 【答案】1 【分析】依题意可得存在实数，使得，从得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为向量，，共面，所以存在实数，使得， 即，所以，解得． 故答案为： 26．（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算可得，，由，不共线，结合向量基本定理可得，求得C点坐标为，代入验算即可得解. 【详解】由，， 显然，不共线， 根据向量基本定理可得， 故C点坐标为， 经验算只有B选项符合条件， 此时， 故选：B 27．【多选】（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则P，A，B，C四点共面 【答案】BD 【分析】由条件求，根据向量的模的个数，数量积运算公式，数量积的性质，向量共面定理依次判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以，A错误； ，B正确； ，所以不垂直，C错误； 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以共面， 所以P，A，B，C四点共面，D正确； 故选：BD. 28．（2024·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可. 【详解】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误； 对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误； 对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误； 对于D，设，解得，所以共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D正确. 故选：D 29．（2024·高二课时练习）在中，若，，则是（    ） A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算计算的坐标，由模长公式分别计算，，的值，可得，再计算可判断为锐角，进而可得正确答案. 【详解】， ，，， 所以， 因为，， 因为， 所以为锐角， 所以是顶角为锐角的等腰三角形， 故选：A. 30.（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【答案】(1)点，点，点C， (2)；；；． 【详解】（1）点在z轴上，且， 所以点的坐标是． 同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． 题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解． 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 5、两点间的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②或． 6、利用坐标法解决立体几何问题的步骤 第一步建系：根据题中的几何图形的特征，建立适当的空间直角坐标系； 第二步定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标； 第三步向量运算：进行相关向量的坐标与运算； 第四步翻译：将向量语言“翻译”乘相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解； 第五步的结论：得出最终结论． 考点五 空间向量的平行问题 31．（2024·高二课时练习）若，且与共线，求x，y的值． 【答案】 【分析】先判断，然后根据题意可得到比例式，求得答案. 【详解】，且与共 线， 当时，显然不共线， 故，则由题意得： ， 即 . 32．（2024·高二课时练习）已知向量，，且，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 所以实数k的值为. 故选：C 33.（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，， 则， 由，可得，解之得 故选：B 34.（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，则， 因为已知向量，，所以，解得， 所以. 故选：. 35．【多选】（2024·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据单位向量的概念，求出与向量共线的单位向量即可 【详解】因为向量，所以， 所以与向量共线的单位向量为 ， 即和， 故选：AC 36．（2024·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（    ） A．，0， B．，1， C．，， D．，2， 【答案】D 【分析】由题得，1，，再利用空间向量共线定理判断得解. 【详解】解：由点，1，，，2，， 所以，1，， 对于A，，0，，不满足，所以与不共线； 对于B，，1，，不满足，所以与不共线； 对于C，，，，不满足，所以与不共线； 对于D，，2，，满足，所以与共线． 故选：D 37．（2024·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则_____． 【答案】 【分析】根据向量与反向共线，设，利用列方程求得，即得答案. 【详解】由，，可得， 由于与反向共线，设， 由可得，解得，（舍去）， 故， 故答案为： 38．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________. 【答案】1 【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：，， 因为四边形为平行四边形， 所以， 所以，， 则. 故答案为：1. 考点六 利用坐标运算解决数量积问题 解题策略： 39．（2024·全国·高二专题练习）若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 【答案】C 【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可 【详解】由已知，， ， ∴. 故选：C． 40．（2024·高二单元测试）若向量，，则______． 【答案】19 【分析】根据空间向量的坐标运算，求得的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案. 【详解】∵，，∴， ∴, 故答案为：19 41.（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 故选：A 42．（2024·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，． (1)求顶点的坐标； (2)求． 【答案】(1), (2) 【分析】根据向量的坐标表示求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得. 【详解】（1）设,, ,. 设,, ,. （2）， . 43.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 44.（23-24高二上·河北沧州·月考）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ∴， ，.故选：B． 45．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知， 由，得， 解得. 故选：B. 46.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】根据向量的运算可得： ， 所以 ， 所以， 故选：B 考点七 利用坐标运算求空间向量数量积的最值范围问题 47.（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算，利用函数最值求解. 【详解】 如图，设，, ， 因为 所以当时，有最小值， 当或时，都取得最大值， 故选:D. 48.（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、 所以，如图， 设，则 因为 当时取等号，此时点P在ABCD平面内， 又 当时取等号，此时点P在ABCD平面内. 即所求的范围是. 故答案为： 49.（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 由点在直线上，可得存在实数使得， 即，可得, 所以, 则， 根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时. 故选：C. 50.（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．    【答案】 / 【分析】根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，利用二次函数求最值. 【详解】因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面，且， 如图，建立空间直角坐标系， ，， 设，，，,， ，得，，， 所以， ,， ， 当时，取得最小值.    故答案为：； 考点八 利用坐标运算解决垂直问题 解题策略：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 （1）平行、垂直的简单应用 对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． （2）证明平行、垂直问题 ①利用向量的坐标运算解决立体几何中的平行、垂直问题，关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标． ②用向量的坐标运算证明平行、垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的具体体现． （3）对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题,可以优先考虑坐标法,这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证,仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系. 51．（2024·高二课时练习）已知，单位向量满足，则_________． 【答案】或 【分析】设向量，其中，由，得到方程组 ，进而求得的值，即可求解. 【详解】设向量，其中， 因为且，可得，即， 将代入， 可得或， 所以向量的坐标为或. 故答案为：或. 52.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，向量    .，，则，    ，，，2，， 若向量.与.互相垂直，则有， 解可得：； 故选：D. 53.（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且． (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）因为，所以，使得， 所以有，解得，所以，. （2）由（1）知，，所以，. 因为，所以， 即，解得. 54．（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又，所以，解得. 故选：D. 55．（2024·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量，，若与垂直，则＝_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答. 【详解】向量与垂直，则有，解得， 于是， 所以. 故答案为： 56．（2024·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点，，，若直线上存在一点M，满足，则点M的坐标为______. 【答案】 【分析】设，根据空间向量的坐标表示求得点的坐标，再根据，可得数量积为0，从而可求出，即可得解. 【详解】解：设， 由，得， 故，则， 因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 57．（2024·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点，，，设，. (1)求向量与向量的坐标； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1），； （2）∵，， 且与互相垂直， ∴ 解得或. 58．（2024·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（    ）． A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再由，得，解方程可求出实数a的值 【详解】因为，，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 故选：C 59．（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体中，，，，，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为，，， ，，，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 考点九 利用坐标运算解决夹角问题 （一）求空间向量的夹角 解题策略：求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法：结合图形，选取一组合适的基底，将两向量用基向量表示出来，然后代入夹角公式求解； ②坐标法：在图形中建立空间直角坐标系，然后求出两向量的坐标，代入向量的夹角坐标公式求解．利用坐标法要注意两点，一是坐标系的选取，二是夹角的范围〈a，b〉∈[0，π]，要特别注意向量共线的情况． 60.（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得，则， ，， 设向量与的夹角为，则， ，，即与的夹角为． 故选：A． 61．（2024·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________． 【答案】 【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解. 【详解】设向量， ，，设与的夹角为，， ，. 故答案为：. 62．（2024·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【详解】∵，∴，解得，即. 又∵，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 63.（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________． 【答案】120° 【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)， 则， 所以, 又因为，所以. 故答案为： 64.（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程组求解即可； （2）根据向量的坐标与数量积运算，利用公式求解即可. 【详解】（1）因为，，，且，， 所以不为， 所以，解得，，， 所以，，. （2）由（1）可得，， 所以， ，， 所以向量与所成角的余弦值. 65．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 66．（2024·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解. 【详解】连接与交于点，连接， 由题意得，，且平面， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    设四棱锥各棱长均为2，则，， 可得， 则， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：A． 67．（2024·高二单元测试）已知，则的面积为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，的坐标及其夹角的余弦值和正弦值，利用三角形面积公式即可求得结果. 【详解】因为，故可得， 不妨设，的夹角为，故可得， 因为，所以， 则. 故答案为：. （二）根据空间向量的夹角求参数 68．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（    ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以，， 又与夹角的余弦值为，， 所以，解得， 注意到，即，所以. 故选：A. 69．（2024·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为与的夹角是锐角，所以， 即，解得， 若与的夹角为，则存在，使， 即，所以，解得. 故t的取值范围是. 故答案为：. 70．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可. 【详解】根据题意有，， 若，则，解得 若，则，即同向 ∵，的夹角为锐角，则，且不能同向 即，解得，且， 则的取值范围为. 故答案为：. 71.（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 72.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量，的坐标，再利用向量夹角公式求解即可； （2）利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）因为，，，所以，， 所以， 即，夹角的余弦值为； （2），， 因为与的夹角是钝角，所以且与不共线， 当时，即，解得， 当与共线时，存在实数t，有，于是得， 解得，因此与不共线，则， 所以k的范围是. （三）求空间向量的夹角的最值 73.（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 74.（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可. 【详解】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 考点十 利用坐标运算解决距离问题 （一）利用坐标求空间向量的模 解题策略：求空间中线段的长 ①建立恰当的空间直角坐标系； ②求出线段端点的坐标，并求出对应向量的坐标； ③利用向量的模的坐标公式求向量的模，即线段的长． 75．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系 中，点，则______ 【答案】 【分析】写出对应的向量，利用向量模求解. 【详解】由题意，可得， 故. 故答案为：. 76．（2024·全国·高二专题练习）若，，则（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可 【详解】因为 所以 故选:A 77.（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，且， 所以，即，所以， 所以， 故选：C． 78.（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量的坐标运算及垂直的性质计算可得的值，再利用模长公式计算即可得解. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 79.（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____． 【答案】 【详解】因为，所以，解得 所以，. 故答案为： 80.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 81.（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______. 【答案】 【详解】，，且， ， 即，解得 又 故答案为： 82．（2024·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则______. 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离. 【详解】 如图,将正四面体ABCD放在正方体中,则正方体的边长为, 因为，, 所以, 所以,所以. 故答案为：. 83.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||. 【答案】 【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有，，，，，，，， . （二）利用坐标求空间向量的模的最值 84．（2024·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示，以及向量模的计算公式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，向量，，可得， 所以， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 85.（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】解：，， ∴ ， ，当且仅当时等号成立，即的最小值为 故答案为：. 86.（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 87.（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值． 【答案】 【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，， 设，，则， 设，，则． 若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即， 因此，， 当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为． 88.（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 89．（2024·高二单元测试）若A，B，当取最小值时，x的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标公式求得的坐标，再利用向量模的坐标公式求解. 【详解】因为A，B， 所以， 则 ， ， 当 时，取最小值， 故选：C 90．（2024·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． （三）根据空间向量的模求参数 91.（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________． 【答案】3 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 考点十一 利用坐标运算求投影向量 92．（2024·高二课时练习）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标， 横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变． 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是： 故选：B. 93．（2024·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解作答. 【详解】向量，，， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：B 94．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选:C. 95.（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以， 所以，， ， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 96.（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ． 【答案】/ 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由已知可得，， 所以，向量在上的投影向量的模为 . 故答案为：. 97．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点，则在上的投影向量的长度为________. 【答案】 【分析】计算，，根据投影公式得到答案. 【详解】由已知得， ∴，又， 所以在上的投影向量的长度为. 故答案为：. 98.（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为， 即， 所以. 故答案为： $$