第07讲 用因式分解法求解一元二次方程 （1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第07讲 用因式分解法求解一元二次方程 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型强化 题型一．解一元二次方程-因式分解法 1．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 　　． 2．（2024•新疆模拟）一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 3．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去），． 综上，原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 题型二、换元法解一元二次方程 4．（23-24九年级上·四川泸州·期末）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知，且，则 ． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 分层练习 一、单选题 1．下列方程中，适合用因式分解法来解的方程是（　　） A． B． C． D． 2．解方程时，最合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法 3．方程中的根是（    ） A．， B．， C． D． 4．下列方程同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 5．若实数满足方程，那么的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2或 6．已知方程的两根为和，则代数式可分解为（　　） A． B． C． D． 7．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 10．已知为实数，且满足，则的值是（    ） A．6 B．30 C．36 D．12 二、填空题 11．的两个实数根分别是 ． 12．一元二次方程的正数解是 ． 13．若实数a，b满足，则的值为 ． 14．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． 15．方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则 ． 16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 17．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 18．已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 三、解答题 19．解方程 20．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 21．解方程：． 22．解下列方程 (1) (2) (3) (4) 23．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 24．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 25．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 26．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 用因式分解法求解一元二次方程 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型强化 题型一．解一元二次方程-因式分解法 1．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 　　． 【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式为，接着利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程，从而可得到满足条件的的值． 【解答】解：根据题意得， 整理得， ， 或， 所以，． 当时，，舍去， 所以的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了数轴． 2．（2024•新疆模拟）一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解： ， 或， 解得，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 3．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去），． 综上，原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 【分析】仿照题干所给例题分类讨论：当时，去绝对值得到，利用因式分解求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【解答】解：①当时， 原方程可化为， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； ②当时，原方程可化为， 解得，． 综上所述，原方程的根是，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 题型二、换元法解一元二次方程 4．（23-24九年级上·四川泸州·期末）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程的步骤，将原分式方程可化为：，方程两边同时乘以即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 原分式方程可化为：， 方程两边同时乘以得：， 即： 故选：C 5．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】3或/或3 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 把看作关于的一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程两边同时除以，可得． 令，则，化简得， 解得：或， 即或， 故答案为：3或． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴． ∴原方程的解是． 分层练习 一、单选题 1．下列方程中，适合用因式分解法来解的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，根据能用因式分解法解一元二次方程的特点，进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边可以用平方差公式进行因式分解，故适合用因式分解法来解方程，符合题意； B、不适合用因式分解法来解方程，不符合题意； C、不适合用因式分解法来解方程，不符合题意； D、不适合用因式分解法来解方程，不符合题意； 故选A． 2．解方程时，最合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程．用因式分解法即可解方程； 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．方程中的根是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：，． 故选：B． 4．下列方程同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，结合一元二次方程的结构特点选取解法即可． 【详解】解：方程可同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解， 故选：C． 5．若实数满足方程，那么的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程．设，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无解； ∴． 故选：B 6．已知方程的两根为和，则代数式可分解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程----因式分解法，根据已知方程的解确定出代数式分解因式结果即可． 【详解】解：∵方程的两根为3和， ∴ ∴， 故选：C． 7．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中或， 解得：，， 故选：D． 8．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 9．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案． 【详解】解：设， 根据题意可得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 10．已知为实数，且满足，则的值是（    ） A．6 B．30 C．36 D．12 【答案】B 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，将所求式子看做一个整体是解题的关键．将看成一个整体，不妨设为，则原式可变形为，因式分解法解方程，由为非负值，即可确定答案． 【详解】解：令， 由， 得， ∴或， 又∵， ∴， 即． ∴， 故选B． 二、填空题 11．的两个实数根分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或． ，． 故答案为：，． 12．一元二次方程的正数解是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求出方程的解，再判断出正数解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴一元二次方程的正数解是2024， 故答案为：2024． 13．若实数a，b满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程，令，可得，解方程得或，再根据即可求解，熟练掌握整体代入思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：令， ， 解得：或， ， ， 故答案为：4． 14．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，此题实际上求的值．设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设，则由原方程，得 ， 整理，得 ， 解得或（舍去）． 则， ∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长， ∴这个直角三角形的斜边长为． 故答案为：2． 15．方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．设，原方程可变形为，运用因式分解法解得，，再根据，即可得出． 【详解】解：设，原方程可变形为， 整理得，即， ，， ， ， 故答案为：2． 16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程． 【详解】解：由第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， ， ∴第个图形中有个“●”和个“★”， ∵图形中“★”的个数是“●”的个数的倍， ∴，解得：，（舍去）， 故答案为：． 17．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和三角形三边之间的关系，先利用因式分解法解方程，然后三角形三边关系求得符合要求的第三边，即可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴三角形的第三边长是4， ∴该三角形的周长为：． 故答案为：11． 18．已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案． 【详解】解：令； 则原方程为； 解得：或； ∵； ∴； ∴； 故答案为：． 三、解答题 19．解方程 【答案】 【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，分类讨论，解一元二次方程，是解决问题的关键． 对为非负、负，两种情况讨论，先把绝对值号化简，方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合的取值范围最终确定答案即可． 【详解】解：①当，即时，方程变形得： ∴ ∴ ∴； ②当，即时，方程变形得： ∴ ∴ ∴（舍去），（舍去） ∴综上所述，原方程的解是或 20．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 21．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解此题的关键． 根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 原方程的解为，． 22．解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解法和步骤，并灵活运用是解答的关键． （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可； （3）公式法解方程即可； （4）因式分解法解方程即可． 【详解】（1） 解得：； （2） ， ； （3） ； （4） 解得：． 23．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 24．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】本题考查解一元二次方程，理解新定义，是解题的关键： （1）因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可； （2）因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出的值即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， ∵， 故方程是“邻根方程”； （2）解： ， 解得：， ∵方程（是常数）是“邻根方程”， ∴，或． 25．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 26．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 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