1.2.3&1.2.4 &1.2.5相反数、绝对值、有理数的比较大小（8大题型）-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

1.2.3&1.2.4 &1.2.5相反数、绝对值、有理数的比较大小 【考点归纳】 · 考点一：相反数的定义 · 考点二：化简多重符号 · 考点三：相反数的应用 · 考点四：绝对值的概念和求法 · 考点五：化简绝对值 · 考点六：有理数的比较大小 · 考点七：绝对值方程 · 考点八：绝对值的非负性的综合应用 【知识梳理】 知识点一.相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 知识点二.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 知识点三.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 知识点四.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 知识点五.相反数的表示方法 ⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 知识点六.绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。 ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 知识点七.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 知识点八.绝对值的化简 当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a 【题型归纳】 题型一：相反数的定义 1．（2024七年级上·全国）下列有关相反数的说法：①符号相反的数叫相反数；②数轴上原点两旁的数是相反数；③的相反数是；④一定是负数；⑤若两个数之和为0，则这两个数互为相反数； ⑥若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数一个负数．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法不正确的是（    ） A．不同的两个数叫做互为相反数 B．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数 C．若的相反数是正数，则一定是负数 D．若和互为相反数，则 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为相反数的有（   ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型二：化简多重符号 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）化简得（    ） A． B． C． D． 题型三：相反数的应用 7．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 8．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）当取何值时，代数式与的值互为相反数（    ） A． B． C．5 D． 9．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字互为相反数，则的值为（     ） A． B． C．5 D．4 题型四：绝对值的概念和求法 10．（2024·浙江温州·三模）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 11．（2024·江苏连云港·二模）的相反数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）在，，，四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C． D． 题型五：化简绝对值 13．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏南京·三模）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（    ） A． B． C． D． 题型六：有理数的比较大小 16．（2024·安徽淮南·模拟预测）在，2，，3这四个数中，比小的数是（    ） A． B．2 C． D．3 17．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：绝对值方程 19．（23-24七年级上·山东聊城·期末）若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 20．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 21．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 题型八：绝对值的非负性的综合应用 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 24．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【高分演练】 一、单选题 25．（2024·河南·模拟预测）的相反数是（ ） A． B． C． D． 26．（2024七年级上·广西·专题练习）在数，，，，1中，负数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）、0、、的大小顺序是（    ）． A． B． C． D． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 29．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 30．（2024七年级上·全国·专题练习）若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 31．（23-24七年级上·广东梅州·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果实数满足，那么等于（　　） A． B． C． D．9 33．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 34．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 35．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 37．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数轴上有四个数：，，，．这四个数中，最大的数是 ， 和 距离的长度相等． 38．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 39．（2024七年级上·江苏·专题练习）有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 三、解答题 40．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 41．（22-23七年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点A，B，C，D，E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 42．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：_____0，______0，______0； (2)化简：． 43．（23-24七年级上·广东·单元测试）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 44．（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 45．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3&1.2.4 &1.2.5相反数、绝对值、有理数的比较大小 【考点归纳】 · 考点一：相反数的定义 · 考点二：化简多重符号 · 考点三：相反数的应用 · 考点四：绝对值的概念和求法 · 考点五：化简绝对值 · 考点六：有理数的比较大小 · 考点七：绝对值方程 · 考点八：绝对值的非负性的综合应用 【知识梳理】 知识点一.相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 知识点二.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 知识点三.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 知识点四.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 知识点五.相反数的表示方法 ⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 知识点六.绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。 ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 知识点七.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 知识点八.绝对值的化简 当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a 【题型归纳】 题型一：相反数的定义 1．（2024七年级上·全国）下列有关相反数的说法：①符号相反的数叫相反数；②数轴上原点两旁的数是相反数；③的相反数是；④一定是负数；⑤若两个数之和为0，则这两个数互为相反数； ⑥若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数一个负数．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查相反数的定义，依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：①符号相反的两个数不一定互为相反数，如与3，故①错误； ②数轴上原点两旁的数不一定互为相反数，如和3，故②错误； ③，3的相反数是，故③正确； ④不一定是负数，如时，，故④错误； ⑤若两个数之和为0，则这两个数互为相反数，故⑤正确； ⑥0的相反数是0，故⑥错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法不正确的是（    ） A．不同的两个数叫做互为相反数 B．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数 C．若的相反数是正数，则一定是负数 D．若和互为相反数，则 【答案】A 【分析】互为相反数的两数只有符号不同，负数的相反数是正数．本题考查相反数，能正确理解相反数在数轴上的位置关系是解决本题的关键． 【详解】解：．只有符号不同的两个数互为相反数，错误，故符合题意． ．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数，正确，故不符合题意． ．若的相反数是正数，则一定是负数，正确，故不符合题意． ．若和互为相反数，则，正确．故不符合题意． 故选：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为相反数的有（   ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】各数能化简的先进行化简，然后根据相反数的概念进行判断．本题考查了化简多重符号，相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键． 【详解】解：与互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； 即互为相反数的有3对． 故选：C． 题型二：化简多重符号 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； ∵，，不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D符合题意； 故选：D． 5．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义解答即可，本题考查了相反数，多重符号的化简方法，熟练掌握以上方法是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意 B、，不符合题意 C、，符合题意 D、，不符合题意 故选：C． 6．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如的相反数是，的相反数是，这时是一个整体，在整体前面添负号时，要用括号．解题的关键是理解相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解： ， 故选：B． 题型三：相反数的应用 7．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 8．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）当取何值时，代数式与的值互为相反数（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的应用及解一元一次方程，根据互为相反数的两个数之和为零，列出方程，再根据解一元一次方程步骤求解即可，解题的关键是掌握相反数的特征，并列出方程． 【详解】解：由题意得， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得， 故选：A． 9．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字互为相反数，则的值为（     ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据题意可得先找出x和y的相对面，根据相对表面上所标的数字互为相反数即可得到x和y的值， 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 故选：C． 题型四：绝对值的概念和求法 10．（2024·浙江温州·三模）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 11．（2024·江苏连云港·二模）的相反数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和求一个数的绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，而的绝对值是，则的相反数的绝对值是， 故选：B． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）在，，，四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和有理数的比较大小，根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可，正确连接绝对值的定义和比较有理数的大是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴绝对值最大的数是， 故选：． 题型五：化简绝对值 13．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 14．（2024·江苏南京·三模）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，根据题意得到是解题的关键．先根据数轴上点的位置推出，，，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴上的位置可得， ，，， ． 故选：D． 15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与绝对值，根据数轴得到，，进而判断出，，，即可去绝对值进行化简，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式 ， 故选：． 题型六：有理数的比较大小 16．（2024·安徽淮南·模拟预测）在，2，，3这四个数中，比小的数是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数，负数比较大小时，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：因为正数和0大于负数，所以排除2和3． 因为，即， 所以， 故选：A． 17．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，多重符号化简，有理数的大小比较，先化简个数，再根据有历史大小比较的方法比较即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 18．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较大小的方法是解题的关键．先根据绝对值和相反数的意义化简A、C、D三项中的相关有理数，然后根据正数大于负数即可进行比较；根据两个负数比较大小的方法即可判断B项，从而可得答案． 【详解】解：A、，，，故本选项错误，不符合题意； B、，，，故本选项正确，符合题意； C、，，，故本选项错误，不符合题意； D、，，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 题型七：绝对值方程 19．（23-24七年级上·山东聊城·期末）若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故选：D 20．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 【答案】B 【分析】题考查数轴上两点间的距离表示方法，根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵点M，N分别表示数m，1．若， ∴， 解得或， 故选B． 21．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 【答案】A 【分析】先求出，再根据得到，解方程后把x的值代入验证即可．此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程是解题的关键． 【详解】解：∵有理数与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得或． 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴． 故选：A 题型八：绝对值的非负性的综合应用 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3 (2)1，2 【分析】本题考查绝对值； （1）有绝对值的非负性可以得出，代入即可求出答案． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是， 故答案为：1，． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【答案】(1)10 (2)3 (3)7或 【分析】本题考查数轴上两点之间线段长度的求法，数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，熟记运算公式是解决问题的关键． （1）根据点代表的数分别为和1，可得线段； （2）根据点代表的数分别为和，可得线段； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，即可得到． 【详解】（1）解：∵点代表的数分别为和1， ∴线段， 故答案为：10； （2）解：∵点代表的数分别为和， ∴线段； 故答案为：3； （3）解：由题可得，则或，解得或， ∴值为7或． 24．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 【高分演练】 一、单选题 25．（2024·河南·模拟预测）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数相反数的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得答案． 【详解】解：的相反数为． 故选：D． 26．（2024七年级上·广西·专题练习）在数，，，，1中，负数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查负数的定义，相反数的定义，根据负数的定义判断即可．理解负数的定义是解题关键． 【详解】解：，， 则在数，，，，1中，负数有，共2个， 故选：B． 27．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）、0、、的大小顺序是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据负数都比0小，正数都比0大，两个负数比较大小时绝对值越大反而越小比较即可． 【详解】∵、， ∴， ∴， 故选：A． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据数轴上点的位置判断式子，正确理解题意是解题的关键．由有理数a，b在数轴上的对应点的位置，即可判断． 【详解】解：根据数轴可得：， A、，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意， 故选：B． 29．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数大小比较的方法，掌握哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小是解题的关键． 由数轴可得：哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小，据此即可解答． 【详解】解：数轴上点A，B，C，D在数轴上表示的数距离原点越近，其绝对值越小， ∴绝对值最小的数对应的点是B． 故选B． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 31．（23-24七年级上·广东梅州·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 32．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果实数满足，那么等于（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，根据偶次方、绝对值的非负性得出，，代入计算即可得出答案，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的关键． 【详解】解：∵，而，， ，即，， ． 故选：D． 33．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 【答案】A 【分析】 此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数． 【详解】解：且， a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且， 可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数， 故选：A． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 二、填空题 35．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 【答案】 3 【分析】该题主要考查了相反数的定义，去括号．解题的关键是根据相反数的定义去括号． 根据相反数的定义去括号即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：3；；；． 37．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数轴上有四个数：，，，．这四个数中，最大的数是 ， 和 距离的长度相等． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．正数总是大于零，零总是大于负数，在数轴上，右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数，对于绝对值相同的两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：，，， ， 即最大的数是， ， 和距离的长度相等． 故答案为：，，． 38．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 39．（2024七年级上·江苏·专题练习）有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数，，，中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 【详解】解：， 有理数，，，中负数为奇数个． ①若有理数，，，有一个负三个正， 则； ②若有理数，，，有三个负一个正， 则； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 三、解答题 40．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可；然后根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； ①当前面有2012个负号，化简后结果是； ②当前面有2013个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 41．（22-23七年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点A，B，C，D，E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【答案】点A，B，C，D，E分别表示，，1，2，；与，与1分别是互为相反数 【分析】本题考查了在数轴上表示数，相反数．熟练掌握在数轴上表示数，相反数是解题的关键． 根据在数轴上表示数，相反数的定义求解作答即可． 【详解】解：由数轴可知，点A，B，C，D，E分别表示，，1，2，； 与，与1分别是互为相反数． 42．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：_____0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值，掌握化简原则是解题关键. （1）由数轴可知：，据此即可求解； （2）根据绝对值的化简原则即可求解； 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴ 故答案为：＜，＜，＞ （2）解：原式 43．（23-24七年级上·广东·单元测试）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【答案】(1)<，<，< (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． （1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）由数轴得：， ∴， ∴原式 ． 44．（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 45．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)与4分别为与的零点值 (2)答案见解析 (3)有，6 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 求得，， 与4分别为与的零点值． （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ； （3）解：有，理由如下： 由（2）得出：对于任意有理数，有最小值，最小值为6． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$