专题03 直线与平面间的位置关系（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题03 直线与直线间的位置关系（22大题型+15道拓展培优） 题型一 判断图形中的线面关系 题型二 线面关系有关命题的判断 题型三 判断线面平行 题型四 证明线面平行 题型五 补全线面平行的条件 题型六 线面平行的性质 题型七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型八 判断线面是否垂直 题型九 证明线面垂直 题型十 补全线面垂直的条件 题型十一 求点面距离 题型十二 线面垂直证明线线平行 题型十三 线面垂直证明线线垂直 题型十四 线面角的概念及辨析 题型十五 求线面角 题型十六 由线面角的大小求长度 题型十七 三垂线定理 知识点01：直线与平面平行 定义：直线与平面平行是指直线与平面内任何一条直线都不相交。在几何体中，这种位置关系表明直线与平面之间的距离处处相等且大于0。 判定定理：如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，并且不在那个平面内，则这条直线与该平面平行。 性质：平行于同一平面的两条直线也平行。 知识点02：直线与平面垂直 定义：当一条直线和一个平面相交，并且这条直线与平面内通过交点的任意一条直线都垂直时，称这条直线与该平面垂直。 判定定理：一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与该平面垂直。 性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 知识点03：三垂线定理 描述：一个点作垂线到平面内的三点，联结这三个点所构成的三角形，每个顶点到对边都垂直。 重点理解：此定理主要应用于证明与三点垂直的直线与通过这三点平面的关系。 知识点04：直线与平面所成的角 定义：直线和一个非平行平面所组成的两个相邻平面之间的夹角称为这条直线与该平面所成的角。 计算方法：通常利用向量的点积公式来计算直线和平面的夹角。 【经典例题一 判断图形中的线面关系】 【例1】（22-23高一下·全国·课后作业）直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（    ） A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在 1．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（    ） A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，几何体由正方体和正四棱锥组合而成，若该组合体内接于半径为的球(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥侧棱与正方体底面所成的角为，则 ． 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 【经典例题二 线面关系有关命题的判断】 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）若点M、直线l、平面α，则下列命题中正确的是（    ） A．若，l不在平面上，则； B．若，，则； C．若，，则； D．若，，则． 1．（2023·上海崇明·一模）已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 2．（24-25高二·上海·课堂例题）对两条异面直线a、b在同一平面上的投影，给出以下情形：①两条平行直线；②两条相交直线；③两个不同的点；④一条直线；⑤一条直线和这条直线外一点；⑥一个点．所有可能出现的情形的序号为 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若两直线a、b互相平行，则a平行于经过b的任何平面； (2)若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线； (3)若两直线a、b都与平面平行，则； (4)若直线a平行于平面，直线b在平面上，则或者a与b为异面直线. 【经典例题三 判断线面平行】 【例3】（23-24高三上·河北衡水·期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（22-23高一下·浙江温州·期末）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高二上·上海徐汇·期中）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线和平面的位置关系是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知下列四个命题： （1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； （2）直线上有两个点到平面的距离（不为0）相等，则直线与平面平行； （3）直线与平面上任意一条直线不相交，则直线与平面平行； （4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行. 指出其中正确的命题，并说明理由． 【经典例题四 证明线面平行】 【例4】（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 1．（2024·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体中，点P为线段上任意一点，则在正方体的所有棱中与平面ABP平行的共有 条． 3．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【经典例题五 补全线面平行的条件】 【例5】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 1．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 2．（23-24高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 3．（2023高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【经典例题六 线面平行的性质】 【例6】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，分别为线段，上一点，若，且平面，则的值为 ． 3．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 【经典例题七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例7】（22-23高一下·辽宁锦州·阶段练习）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·全国·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 . 3．（2023高一下·全国·专题练习）如图，已知，分别是菱形的边，的中点，与交于点，点在平面外，是线段上一动点，若平面，试确定点的位置．    【经典例题八 判断线面是否垂直】 【例8】（22-23高一下·全国·课后作业）已知是四边形ABCD所在平面外一点且在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（    ） A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形 1．（23-24高二上·上海静安·期中）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件； B．内有不共线三点到距离相等，则∥ C．若直线，，则∥； D．若∥，，则 2．（23-24高三·全国·对口高考）给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中真命题的序号是 ． 3．（23-24高三上·黑龙江·期中）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. （1）求证: 平面； （2）试问在棱上是否存在点，使平面？ 若存在,确定点的位置；若不存在,请说明理由. 【经典例题九 证明线面垂直】 【例9】（23-24高二上·上海·期中）已知点是正方形所在平面外一点，且，点是棱上异于点的一动点,则点在面上的射影落在（　　） A．的外部 B．的内部 C．的一边上 D．以上皆有可能 1．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（　　　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在正方体中，由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 . 3．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，底面ABCD是正方形，平面ABCD，.    (1)求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)若点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：平面. 【经典例题十 补全线面垂直的条件】 【例10】（23-24高一下·辽宁·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为 . 3．（2023高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【经典例题十一 求点面距离】 【例11】（24-25高一下·全国·随堂练习）线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 3．（2024·四川·模拟预测）如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【经典例题十二 线面垂直证明线线平行】 【例12】（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024高一·全国·专题练习）已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2023·广东梅州·三模）如图，在三棱锥中，是的中点，，分别为线段，上的动点，，平面，若，则的最小值为 .    3．（2023高三·全国·专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证： 【经典例题十三 线面垂直证明线线垂直】 【例13】（23-24高一下·四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．平面的斜线与平面所成的角的取值范围是 B．直线与平面所成的角的取值范围是 C．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D．若两条直线互相平行，则这两条直线与同一个平面所成的角相等 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知矩形中，，，平面，在线段上，在满足条件的点有两个时，的取值范围是 ；点有一个时的值为 ． 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，是的中点，为底面的中心，求证：． 【经典例题十四 线面角的概念及辨析】 【例14】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是两个平面，是两条直线，则下列四个命题中错误的命题是（    ） A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么与所成的角和与所成的角相等 1．（25-26高二上·上海·单元测试）在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．（22-23高二上·上海闵行·开学考试）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，与平面斜交，点为斜足，为在内的射影，为平面内过点的任一条直线．求证：． 【经典例题十五 求线面角】 【例15】（2024·辽宁沈阳·二模）正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 1．（2023·湖南·模拟预测）已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，，，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面交于R、S两点，R、S分别在下底面的边、上，，平面PSRQ与棱交于点T，则直线TS与侧面所成角的正切值为 ． 3．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【经典例题十六 由线面角的大小求长度】 【例16】（23-24高二下·江西上饶·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，若直线和平面所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（2024·全国·模拟预测）在正四棱台中，，且直线与平面所成角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    【经典例题十七 三垂线定理】 【例17】（2023·江西抚州·模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面说法中正确的序号是（    ）    ①是定值 ②存在某个位置，使 ③存在某个位置，使 ④不在底面上时，则平面 A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知直角三角形ABC中，，，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，PB与平面ABC所成角为45°，则∠BPC的大小为 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在平面内，平面，平面，，，平面，平面．求证：． 1．（24-25高二·上海·课堂例题）已知三条直线a、b、c及平面M，能推得的条件是（    ） A．且； B．且； C．且； D．a、b与平面M所成角相等． 2．（2023高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影． ①点P到的三个顶点的距离相等； ②点P到的三边的距离相等且O点在内； ③，，． 当点P分别满足以上条件时，点O一定是的（    ） A．外心、垂心、内心； B．垂心、内心、外心； C．内心、外心、垂心； D．外心、内心、垂心． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 5．（22-23高二上·上海·单元测试）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（       ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 6．（25-26高二上·上海·期末）设矩形的边长，，平面，，则P到矩形对角线BD的距离为 ． 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如果三棱锥的底面是等边三角形，侧棱与底面所成角都相等，且顶点S在底面的射影O在内，那么O是的 ． 8．（24-25高二上·上海·课前预习）最小角定理 （1）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的 的角． （2）如果直线、直线与平面所成的角相等，直线、的位置关系是 9．（2024高二·上海·专题练习）设是不同的直线，是不同的平面，则以下四个命题中错误的有 . ①若则； ②若，则； ③若则； ④若则. 10．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在矩形中，对角线分别与所成的角为、，则．在长方体中，对角线与棱、所成的角分别为、、，与平面、平面、平面所成的角分别为、、，则下列说法中正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③； ④． 11．（23-24高二·上海·课堂例题）证明：若不在给定平面上的两条平行直线中的一条平行于给定平面，则另一条直线也平行于给定平面. 12．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，P是平面外一点，直线PA与平面斜交于点A，从点P作平面上的一条直线OA的垂线PO，垂足为O．又设a是平面上的一条直线，且，．求证：平面，从而OA是PA在平面上的投影． 13．（24-25高二·上海·假期作业）如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知.求证：； 14．（24-25高二·上海·课堂例题）从平面M外一点P向平面引三条斜线PA、PB、PC，斜足分别为一直线上的A、B、C，且PA、PB、PC与平面M所成角分别为α、β、α，，，求P到平面M的距离． 15．（24-25高二·上海·假期作业）在棱长为1的正方体中， (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线和的距离； (3)求异面直线和的距离 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线与直线间的位置关系（22大题型+15道拓展培优） 题型一 判断图形中的线面关系 题型二 线面关系有关命题的判断 题型三 判断线面平行 题型四 证明线面平行 题型五 补全线面平行的条件 题型六 线面平行的性质 题型七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型八 判断线面是否垂直 题型九 证明线面垂直 题型十 补全线面垂直的条件 题型十一 求点面距离 题型十二 线面垂直证明线线平行 题型十三 线面垂直证明线线垂直 题型十四 线面角的概念及辨析 题型十五 求线面角 题型十六 由线面角的大小求长度 题型十七 三垂线定理 知识点01：直线与平面平行 定义：直线与平面平行是指直线与平面内任何一条直线都不相交。在几何体中，这种位置关系表明直线与平面之间的距离处处相等且大于0。 判定定理：如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，并且不在那个平面内，则这条直线与该平面平行。 性质：平行于同一平面的两条直线也平行。 知识点02：直线与平面垂直 定义：当一条直线和一个平面相交，并且这条直线与平面内通过交点的任意一条直线都垂直时，称这条直线与该平面垂直。 判定定理：一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与该平面垂直。 性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 知识点03：三垂线定理 描述：一个点作垂线到平面内的三点，联结这三个点所构成的三角形，每个顶点到对边都垂直。 重点理解：此定理主要应用于证明与三点垂直的直线与通过这三点平面的关系。 知识点04：直线与平面所成的角 定义：直线和一个非平行平面所组成的两个相邻平面之间的夹角称为这条直线与该平面所成的角。 计算方法：通常利用向量的点积公式来计算直线和平面的夹角。 【经典例题一 判断图形中的线面关系】 【例1】（22-23高一下·全国·课后作业）直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（    ） A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在 【答案】D 【分析】 根据异面直线的位置关系，结合已知找到一个反例：共面，即可判断各项正误. 【详解】如：且异面，均在面内时，如下图示，    此时，将平移至与相交，则与所在平面即为，    若要过点作与平行的平面，则过点可以作另一个平面与平行，而， 显然有矛盾，故上述情况不可能有过点A的平面同时平行于a，b，故A、B、C错，D对； 故选：D 1．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（    ） A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 【答案】C 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面， 又点C在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，几何体由正方体和正四棱锥组合而成，若该组合体内接于半径为的球(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥侧棱与正方体底面所成的角为，则 ． 【答案】 【分析】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，设正方体上底面的中心为，连接，，则在线段上，则，分别计算出，的长即可得到答案. 【详解】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，设正方体上底面的中心为，连接，， 则在线段上，则．设正方体的棱长为，该组合体外接球即为正方体外接球， 则， ，，因为面，则即为， 所以． 故答案为： 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 【答案】(1)相交； (2)异面； 【分析】（1）由线面关系的定义可得答案； （2）根据异面直线的判定定理可得结论. 【详解】（1）因为面，所以面，又面， 所以直线与平面的位置关系是相交； （2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面， 又面，，面， 所以直线与直线的位置关系是异面； 【经典例题二 线面关系有关命题的判断】 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）若点M、直线l、平面α，则下列命题中正确的是（    ） A．若，l不在平面上，则； B．若，，则； C．若，，则； D．若，，则． 【答案】D 【分析】根据点、线、面的位置关系逐个判断即可. 【详解】若，不在平面上，则或,故A错误； 若，，则或,故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，所以，故D正确. 故选：D. 1．（2023·上海崇明·一模）已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（     ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可. 【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为， 如图所示： 对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面 ，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题； 对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题. 故选：A. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）对两条异面直线a、b在同一平面上的投影，给出以下情形：①两条平行直线；②两条相交直线；③两个不同的点；④一条直线；⑤一条直线和这条直线外一点；⑥一个点．所有可能出现的情形的序号为 ． 【答案】①②⑤ 【分析】由线面关系结合长方体进行判断即可． 【详解】如图：    异面直线与在平面的投影是两条平行直线与， 异面直线与在平面的投影是两条相交直线与， 异面直线与在平面的投影是一条直线和这条直线外一点B， 故答案为：①②⑤ 3．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若两直线a、b互相平行，则a平行于经过b的任何平面； (2)若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线； (3)若两直线a、b都与平面平行，则； (4)若直线a平行于平面，直线b在平面上，则或者a与b为异面直线. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断即可得解. 【详解】（1）假命题，理由如下： 若两直线a、b互相平行，则与经过的平面平行或在经过的平面内. （2）假命题，理由如下： 若直线与平面平行，则与内的任何平行或异面， （3）假命题，理由如下： 若两直线a、b都与平面平行，则直线与相交、平行或异面； （4）真命题，理由如下： 若直线平行于平面，则直线与没有公共点， 又直线在平面内，所以与不可能相交，故与平行或者与异面. 【经典例题三 判断线面平行】 【例3】（23-24高三上·河北衡水·期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可． 【详解】对于A，如图，连接，则，   因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于B，如图连接，   因为，分别为，的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于C，如图，连接，则，   因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 对于D，如图取底面中心，连接，   由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交， 故选：D． 1．（22-23高一下·浙江温州·期末）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D. 【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；    对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接 则平面MNP和平面为同一平面，因为， 因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；        对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点， 所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；      对于D：分别是所在棱的中点，连接，， 平面与平面为同一平面， 取的中点为，连接，由中位线定理可知，， 因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；    故选：C 2．（23-24高二上·上海徐汇·期中）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线和平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若在平面的同侧，因为平面外有两点到平面的距离相等，所以直线和平面平行； 若在平面的两侧，因为平面外有两点到平面的距离相等，所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知下列四个命题： （1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； （2）直线上有两个点到平面的距离（不为0）相等，则直线与平面平行； （3）直线与平面上任意一条直线不相交，则直线与平面平行； （4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行. 指出其中正确的命题，并说明理由． 【答案】（1）（3）正确，（2）（4）错误，理由见解析. 【分析】根据直线与平面平行的定义判断（1）（3）（4）；举例说明判断（2）. 【详解】对于（1），当直线与平面没有公共点时，由直线与平面平行的定义，得直线与平面平行，（1）正确； 对于（2），当直线与平面相交时，若直线上的两个点的中点在平面上， 则这两个点到平面的距离（不为零）相等，（2）错误； 对于（3），直线与平面上任意一条直线不相交，说明直线与平面没有公共点，则直线与平面平行，（3）正确； 对于（4），当直线与平面内的无数条直线不相交时，直线可能在平面内，或与平面相交，或与平面平行，（4）错误， 【经典例题四 证明线面平行】 【例4】（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 【答案】D 【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可. 【详解】因为分别为的中点， 所以且， 因为分别为上的点，且， 所以且， 所以且， 所以四边形为梯形， 又平面，平面， 所以平面. 故选：D. 1．（2024·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面 即平面. 又， ，即的值为. 故选：C. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体中，点P为线段上任意一点，则在正方体的所有棱中与平面ABP平行的共有 条． 【答案】2或3或4． 【分析】由题意画出图形，再由线面平行的判定可得在正方体的12条棱中，与平面平行的条数． 【详解】如图，    ①是棱上任意一点（端点除外）， 、、均与平行， 而平面，、、都不在平面内， 、、与平面平行， 所以是棱上任意一点（端点除外），有3条，分别是与平面平行； ②当点P位于点D时，平面ABP即为平面，   ，均与平行，均与平行， 而平面，而平面， 、、都不在平面内， 所以、与平面平行， 所以点P位于点D时，有4条，分别是、与平面平行； ③当点P位于点时，平面即为平面， ，均与平行． 而平面，，都不在平面内， 所以、与平面平行， 所以点P位于点时，有2条，分别是、与平面平行；    故答案为：2或3或4． 3．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小. 【详解】（1） 证明：连接交于点，连接， 为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，， 所以，为直角三角形，而是的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 即， 所以，， 在中， 直线与所成的角即为， ， 所以直线与的所成角的大小为. 【经典例题五 补全线面平行的条件】 【例5】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 1．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【详解】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 2．（23-24高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【答案】 【分析】根据线面平行的判断，即可补全. 【详解】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即. 故答案为： 3．（2023高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理确定的值，使平面. 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    【经典例题六 线面平行的性质】 【例6】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】作出示意图，根据体积关系可得为的靠近的三等分点，再根据面面平行的判定定理及性质，可找到点位置，从而可求解. 【详解】如图所示： 因为，所以， 所以 所以，所以，则， 设三棱柱的侧棱长为6，则，， 又为的中点，取的中点，连接，则。 过作，且，连接，又， 所以平面平面，又平面， 所以平面，所以， 所以，所以，则， 故选：D 1．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质将平面转化为线线平行，然后集合位置关系求解即可； 【详解】   连接交于，连接， 因为平面，平面平面, 所以,又因为是的中点， 所以D是上的中点，即 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，分别为线段，上一点，若，且平面，则的值为 ． 【答案】2 【分析】运用线面平行的性质,结合平行线性质可解 【详解】如图，连接交于点，连接交于点，连接． 由平面，平面，平面平面，得． ，，为的中点． 作，交于点，． ，， ． 故答案为：2. 3．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，所以，即可求解； (2)先证明平面，又因为平面平面，面，所以，即可求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，且， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，有，则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平行四边形中，有， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 【经典例题七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例7】（22-23高一下·辽宁锦州·阶段练习）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，由线面平行的性质定理可得，再借助比例式可得答案. 【详解】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN， 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得， 因平面，平面，平面平面， 因此得，于是得，所以. 故选：C.    1．（2023·全国·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 【答案】A 【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理即可得到答案. 【详解】设平面平面， 因为，所以平面，由线面平行的性质定理知，； 又， 所以与重合， 即点E位于平面与平面的交线上. 故选：A． 2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 . 【答案】/ 【分析】根据线面平行的性质定理，平行线分线段成比例等知识求得正确答案. 【详解】设，连接交于，连接，， 由于平面，平面，平面平面， 则，由于是的中点，所以， 过作，交于， 则，由于，所以， 所以. 故答案为：    3．（2023高一下·全国·专题练习）如图，已知，分别是菱形的边，的中点，与交于点，点在平面外，是线段上一动点，若平面，试确定点的位置．    【答案】点为线段上靠近点的四等分点 【分析】利用线面平行的性质得到，再根据平行线的比例关系及已知条件即可得出结论. 【详解】解：点为线段上靠近点的四等分点，理由如下： 如图，连接交于点，连接，    因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 在菱形中，，分别为，的中点，即， 又，所以，则， 故点为线段上靠近点的四等分点. 【经典例题八 判断线面是否垂直】 【例8】（22-23高一下·全国·课后作业）已知是四边形ABCD所在平面外一点且在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（    ） A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】设在平面的投影为，确定到这四边形各边的距离相等，得到答案. 【详解】设在平面的投影为，到这四边形各边的距离相等， 则到这四边形各边的距离相等，故四边形为圆外切四边形. 故选：C 1．（23-24高二上·上海静安·期中）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件； B．内有不共线三点到距离相等，则∥ C．若直线，，则∥； D．若∥，，则 【答案】D 【分析】根据直线的位置关系判断A，由点面距离概念判断B，由特殊情况判断C，根据线面垂直的性质判断D. 【详解】因为直线a、b不相交，可得直线平行或异面，直线a、b为异面直线则直线a、b不相交，所以“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的必要非充分条件，故A错误； 因为内有不共线三点到距离相等，推不出∥，如两平面相交，交线两侧同一平面内两条与交线都平行且距离相等的直线上分别取2个点和一个点，三点可以到另一平面距离相等，故B错误； 因为直线，，则可能，故C错误； 若∥，，则由线面垂直的性质知，故D正确. 故选：D 2．（23-24高三·全国·对口高考）给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据线面垂直的定义与判定定理判断. 【详解】由线面垂直的定义知②正确，由线面垂直的判定定理知③正确，①④错误，因为其中平面内的两条直线不一定相交． 故答案为：②③ 3．（23-24高三上·黑龙江·期中）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. （1）求证: 平面； （2）试问在棱上是否存在点，使平面？ 若存在,确定点的位置；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 【分析】（1）取中点，连，由线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意可以为原点，所在直线分别为轴轴和轴建立如图所示的坐标系，写出相关点的坐标，再由线垂直面即可求出的位置 【详解】（1）取中点，连， 因为分别为的中点， 所以， 又， 所以， 所以为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， （2）在上存在点且，使得平面，证明如下： 由题意可以为原点，所在直线分别为轴轴和轴建立如图所示的坐标系， 则， 设，则， 若平面， 则，解得 所以在上取点使时，平面 【点睛】 【经典例题九 证明线面垂直】 【例9】（23-24高二上·上海·期中）已知点是正方形所在平面外一点，且，点是棱上异于点的一动点,则点在面上的射影落在（　　） A．的外部 B．的内部 C．的一边上 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】根据已知条件，把四棱锥放在四棱柱中，通过确定线在平面上的射影，即可判断在面上的射影为，即可判断在平面上的射影落在外部． 【详解】   因为四边形为正方形，且， 所以四棱锥是正四棱锥； 把正四棱锥放入正四棱柱中，则V是上底面的中心, 连接与的中点，由图可知，过作垂足为， 在正四棱柱中，有平面，平面， 所以， ，平面，所以平面，垂足为， 连接，可知在面上的射影落在上， 由此有点在平面上的射影落在线段上，所以在外部． 故选：A 1．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（　　　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【分析】先证明平面，平面，进而可证得，，即可得解. 【详解】如图，由题意可知平面， 因为平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以点是的垂心. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在正方体中，由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 . 【答案】44 【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果. 【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：    ①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个； ②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面）， 下面简单证明平面，因为平面， 平面，所以， 又因为，且平面，，所以平面. 每一条面对角线均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个. ③对于正方体的每一条体对角线，（如，则平面）， 由平面，平面，则，而， 又，于是平面，而平面，因此， 同理，又，故平面， 每一条体对角线都有两个面构成“正交线面对”，共有个， 综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，底面ABCD是正方形，平面ABCD，.    (1)求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)若点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据异面直线的定义求得或其补角是异面直线PC与AB所成角，从而在直角三角形中求解余弦值即可求解； （2）取中点M，连接，根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直. 【详解】（1）由题意得，所以或其补角是异面直线PC与AB所成角， 因为底面是正方形，所以， 因为平面ABCD，底面，所以， 又且都在面内，所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 又，，   故在中，，所以， 即异面直线PC与AB所成角为. （2）取中点M，连接，    又点E、F分别是棱AD和PC的中点，则，，，， 所以，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，且点是的中点，所以， 且，平面， 所以平面，又，所以平面. 【经典例题十 补全线面垂直的条件】 【例10】（23-24高一下·辽宁·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解 【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误； 同理可知，错误； 若，可知与交于一点，且，所以，即D正确. 故选：D 1．（23-24高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【详解】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C 2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据平面确定平面，进而在上，故当时，最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案. 【详解】与相交于，连接，，， ，，，故平面，， 故平面，P是内不包括边界的动点，故在上， 当时，最小 中，，， 根据等面积法：. 故答案为： 3．（2023高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)0. 【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行； （2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO． 在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥， 同理，在△BDⅠ中，有∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又平面ⅠFD， 所以∥平面CEG． （2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD． 因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE， 则GC＝GE， 又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG． 因为，平面ABD， 所以OC⊥平面ABD， 因为平面ABD， 所以OC⊥AG． 因为，， 所以， 则， 则，所以BG⊥OG． 又因为，平面CEG， 所以AG⊥平面CEG． 若AH⊥平面CEG，则H与B重合． 故． 【经典例题十一 求点面距离】 【例11】（24-25高一下·全国·随堂练习）线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 【答案】D 【分析】根据A，B是否在平面的同一侧分类讨论进行求解即可. 【详解】当A，B在平面同侧时，如图所示：设，， 显然，由梯形中位线定理可知：，    当A，B在平面异侧时，如图所示：设，，    则有，且， 由平行线成比例定理可知中： ， ，得， 故选：D. 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等体积法得出点到平面的距离. 【详解】由题意可知，， 设点到平面的距离为，因为， 所以. 故选：D 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 【答案】/ 【分析】证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，根据比例关系得到答案. 【详解】如图，设，又正方体棱长为1， 所以，平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 的长即为点到平面的距离，所以， 因为点O在线段上，且， 所以点O到平面的距离． 故答案为： 3．（2024·四川·模拟预测）如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由相似三角形可得，所以.，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得面，即,再由等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，由于，所以，且， 所以，又点为线段上靠近的三等分点， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）由题知且，，得， ，又， 所以由余弦定理得：， 所以，所以，所以. 面，所以面， 因为面，所以. 又知，设到面的距离为， 所以，即， 解得，即点到平面的距离为. 【经典例题十二 线面垂直证明线线平行】 【例12】（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故①不正确； 若，，则，故②正确； 若，，则，故③正确； 若，，则或，故④不正确； 正确命题的个数是. 故选：. 1．（2024高一·全国·专题练习）已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质得出AC∥BD，结合三角形相似得出BD. 【详解】因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD．连接OD， 所以．因为OA＝AB，所以．因为AC＝1，所以BD＝2． 故选：A． 2．（2023·广东梅州·三模）如图，在三棱锥中，是的中点，，分别为线段，上的动点，，平面，若，则的最小值为 .    【答案】8 【分析】当点固定，且时，的值最小，过点作，垂足为，连接，分析可知，且当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，此时的最小值为，由此得解． 【详解】因为平面，平面，所以 则，又，平面 所以平面，因为平面，所以 则在平面上，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：    则，设 因为，所以直线的方程为，设， 则 由于变量不具有等量关系，故时，有最小 即当时，最小； 过点作BD垂线，垂足为，连接，    因为平面，，，平面 所以，所以平面， 因为平面，所以 又，平面，所以平面 因为平面，所以，又， 所以，由平面，所以． 因为， 所以， 所以． 因为，，平面， 所以， 所以当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，    所以的最小值为， 即的最小值为8． 故答案为：8． 3．（2023高三·全国·专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证： 【答案】证明见解析 【分析】在中，求得，结合勾股定理证得，，从而证得平面，再在和中，分别证得和，从而证得平面，即可证得. 【详解】证明：在中，， 所以，， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以， 同理可得，在中，，且， 在中，，所以， 因为，，平面，所以平面， 在中，， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 所以. 【经典例题十三 线面垂直证明线线垂直】 【例13】（23-24高一下·四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】通过作辅助线构造平面，由线面垂直的判定以及定义逐一证明即可. 【详解】对于①：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面 ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故①正确； 对于②：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故②正确； 对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故③正确； 对于④：如下图所示，点为所在棱的中点，由③可知，， 由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面， ，从而由线面垂直的判定得出平面，则， 平面，，由线面垂直的判定可得平面， 则，故④正确； 故选：D 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．平面的斜线与平面所成的角的取值范围是 B．直线与平面所成的角的取值范围是 C．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D．若两条直线互相平行，则这两条直线与同一个平面所成的角相等 【答案】D 【分析】直线与平面所成的角的范围是；斜线与平面所成的角的范围是. 【详解】A中，平面的斜线与平面所成的角的取值范围是； B中，直线与平面所成的角的取值范围为； C中，这两条直线可能平行，也可能相交或异面； D中说法正确. 故应选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知矩形中，，，平面，在线段上，在满足条件的点有两个时，的取值范围是 ；点有一个时的值为 ． 【答案】 6 【分析】运用线面垂直性质和判定证明线面垂直和线性垂直，结合圆的性质可解. 【详解】平面，平面，， 又，，，平面， 平面， 又平面，． 由平面几何知识得，以为直径的圆与边有两个交点时，，则， 与边有一个交点时，． 故答案为：；6. 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，是的中点，为底面的中心，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，由得到； 方法二：由勾股定理得，由线面垂直的判定得到平面，进而，从而得到平面，再由线面垂直的性质得到. 【详解】方法一：设正方体的棱长为，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，， ，， 因为，所以，所以. 方法二：如图所示．      设正方体的棱长为， 则，，，，，， ，． 底面是正方形，， 又平面，平面，所以， 平面， 平面， 平面，， ，平面，平面， 平面，. 【经典例题十四 线面角的概念及辨析】 【例14】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是两个平面，是两条直线，则下列四个命题中错误的命题是（    ） A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】A 【分析】对于命题A，运用长方体举反例证明其错误： 对于B中命题，作辅助平面，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直； 由平面与平面平行的性质定理，可知C中命题正确； 由平行的传递性及线面角的定义知D中命题正确. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设为直线，为直线，所在的平面为. 所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立. 对于B，证明如下：如图：设过直线的平面与平面相交于直线，则， 由，有，从而可知结论正确. 由平面与平面平行的性质定理，可知C中命题正确. 由平行的传递性及线面角的定义知D中命题正确. 故选：A 1．（25-26高二上·上海·单元测试）在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】取取的中点，作出线面角，利用线面的定义求解即得. 【详解】取的中点，连接，由M为PB的中点，得，， 由PD⊥平面ABCD，得平面ABCD，则是AM与平面ABCD所成的角， 而，则， 在中，，， 所以AM与平面ABCD所成角的大小是. 故选：C 2．（22-23高二上·上海闵行·开学考试）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 . 【答案】2 【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数. 【详解】设立方体的棱长为1，过作直线， 若直线与平面中的直线所成角的最小值为， 即与平面所成角为， 为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 连接，由题意得，直线与直线所成角为， 直线与直线所成角为. 此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线. 故答案为：2 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，与平面斜交，点为斜足，为在内的射影，为平面内过点的任一条直线．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】在上取一点，它在平面上的射影为，作于，连接， 即可证明平面，从而得到，再由，即可得到，从而得证； 【详解】证明：如图，在上取一点，它在平面上的射影为，作于，连接． ∵，，∴， 又，，平面，∴平面， 又平面， ∴． ∵，∴， ∴， ∴． 【经典例题十五 求线面角】 【例15】（2024·辽宁沈阳·二模）正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据线面角的定义可得直线与直线所成角大小关系，再根据判断即可. 【详解】直线与平面所成角大小分别为， 等价于直线与直线成角大小分别为， 由，可知P在线段上，又，则与所成角更小， 则点P在线段上. 故选：B. 1．（2023·湖南·模拟预测）已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定平面，，计算，，，E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆，计算得到答案. 【详解】如图所示，连接交平面于O，连接EO， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 同理可得，，平面，故平面， 所以∠AEO是AE与平面所成的角，，所以， 在四面体中，，， 所以四面体为正三棱锥，O为的重心，如下图所示， 所以，， 因为，所以， 又E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆， 所以E在平面内的轨迹围成的图形面积． 故选：D 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，，，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面交于R、S两点，R、S分别在下底面的边、上，，平面PSRQ与棱交于点T，则直线TS与侧面所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】在线段上取一点R，使得，则，延长交于点K，连接，交线段于点T，则直线与平面所成的角为，即可求解． 【详解】如图： 因为，所以在线段上取一点R，使得，则， 延长交于点K，连接，交线段于点T， 则直线与平面所成的角为， 由得， 而， 由得，，得， 得， 则， 故答案为： 3．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积； （2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【详解】（1）正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 （2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 【经典例题十六 由线面角的大小求长度】 【例16】（23-24高二下·江西上饶·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，若直线和平面所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接，分析可知直线与平面所成角为，设，可求得，根据已知条件可得出关于的等式，即可求得的值，进而可得出的长. 【详解】连接，取的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则且， 因为平面，平面，平面，， 所以，直线与平面所成角为， 因为四边形是边长的正方形，则， 设，则，， 解得，故. 故选：D. 1．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证平面PBC，，，平面PAO，；同理可证，，即得点O是的垂心 【详解】连接OA、OB、OC， ∵，，平面PBC，，∴平面PBC， ∵平面PBC，∴． 由题意，平面ABC，平面ABC，∴， 又平面PAO，，∴平面PAO， 平面PAO，∴， 同理可证，，∴点O是的垂心． 故选：C 2．（2024·全国·模拟预测）在正四棱台中，，且直线与平面所成角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，由正棱锥的性质得到就是直线与平面所成角，即，在等腰梯形中，作于，求出的长度，再由是异面直线与所成的角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】将正四棱台的四条侧棱，延长交于点，得到正四棱锥． 由于平面平面，则就是直线与平面所成角，即． 在等腰梯形中，作于，则， ，． 又，则是异面直线与所成的角． 在等腰梯形中，作于， 则在中，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：    3．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    【答案】 【分析】 在上取点，使得，然后作出与平面所成的角，根据已知列方程求解即可. 【详解】设四面体的所有棱长的棱长为1， 因为，所以． 在上取点，使得，则， 故． 如图，过点A作平面于点，连接CO． 过点作于点，则平面， 所以为与平面所成的角，即， 所以为等腰直角三角形．    又正三棱锥性质可知，为正三角形的中心， 所以，所以， 所以； 在中，由余弦定理得． 在中，，即， 解得． 【经典例题十七 三垂线定理】 【例17】（2023·江西抚州·模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AC的中点F，连结BF，EF，根据等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理和线面垂直的判定和性质进而得到即可求解. 【详解】如图，取AC的中点F，连结BF，EF，因为△ACE为等边三角形，E是CD中点， 所以ED，所以， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得，因为，所以AC=2. 因为，所以AD⊥平面ABC，平面ABC，所以， 又，所以BC⊥平面ABD，平面ABD，所以. 在Rt△ABC中，，所以.所以. 又△ACE为等边三角形，所以，因为， 所以AC⊥平面BEF，平面BEF，所以，则直线AC与BE所成角为. 故选：C． 1．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面说法中正确的序号是（    ）    ①是定值 ②存在某个位置，使 ③存在某个位置，使 ④不在底面上时，则平面 A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】 取中点,连接，证明且，可判断①③④，取中点，连接，通过证明平面，得，可判断②． 【详解】取中点,连接，∵是中点，所以且， 又是矩形的边的中点，则且， ∴且，∴是平行四边形，∴且， 显然的长是定值，因此是定值，①, 而不在底面上时，平面，平面，∴平面，④正确； 在等腰直角中，，因此与不可能垂直，即与不可能垂直，③错误； 若，取中点，连接，显然，又，平面，∴平面，又平面，∴， 但在矩形中，可得，，即，∴不成立，③错误， 故选：B．    2．（23-24高二·全国·课后作业）已知直角三角形ABC中，，，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，PB与平面ABC所成角为45°，则∠BPC的大小为 ． 【答案】 【分析】由三垂线定理得，由线面垂直得是与平面所成的角，所以，设，求得，在直角三角形中求得∠BPC的正切值，可得角的大小． 【详解】平面，则是在平面上的射影，， 在平面内，，由三垂线定理得， 是与平面所成的角，所以， 设，则由，，得，， ，所以． 故答案为：． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在平面内，平面，平面，，，平面，平面．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作，交AE于B，作，交AF于C．连接DB、DC，由题意可证得，所以，，再根据三垂线定理可得，同理可得，所以. 【详解】证明：如图，作，交AE于B，作，交AF于C．连接DB、DC．由 ， ∴，∴． 又∵PA在平面上的射影为AD，，根据三垂线定理可得． 同理，． 根据平面几何知识（到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）知． 1．（24-25高二·上海·课堂例题）已知三条直线a、b、c及平面M，能推得的条件是（    ） A．且； B．且； C．且； D．a、b与平面M所成角相等． 【答案】C 【分析】对于A选项，在正方体中，若是，是可判断对错，对于B选项，在正方体中，若是，是可判断对错，对于C选项，根据“平行于同一直线的两直线平行”可判断，对于D选项，举例判断. 【详解】 对于A选项，若是，是，平面为平面， 此时与不平行，故A选项错误； 对于B选项，若是，是，是，此时， 此时与不平行，故B选项错误； 对于C选项，根据“平行于同一直线的两直线平行”可得C选项正确； 对于D选项，如图， 直线与平面所成的角相等， 此时与不平行，故D选项错误. 故选：C. 2．（2023高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影． ①点P到的三个顶点的距离相等； ②点P到的三边的距离相等且O点在内； ③，，． 当点P分别满足以上条件时，点O一定是的（    ） A．外心、垂心、内心； B．垂心、内心、外心； C．内心、外心、垂心； D．外心、内心、垂心． 【答案】D 【分析】对于①，利用推出，即得点是的外心；对于②，由通过证明线面垂直推得，，再证，推得点在的平分线上，同理即得点是的内心；对于③，利用线线垂直证得线面垂直，继而又得线线垂直，再证线面垂直，得线线垂直，即得垂心. 【详解】       当点P满足条件①时，如图1，平面，因是平面内的直线，故， 又，则，故得，即点是的外心； 当点P满足条件②时，如图2，因平面，平面，则， 因平面，故得平面，因平面，则， 同理可得，因，可得，即点在的平分线上， 同理，点也在的平分线上,故点是的内心；    当点P满足条件③时，如图3，因，，平面，故平面， 因平面，则，因平面，平面，则， 又平面，故平面，又平面，则， 同理得，即点O一定是的垂心. 故选：D. 4．（23-24高二上·上海·期末）已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对A、B、C选项，可通过找反例排除，对D选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到. 【详解】对A选项：若，，，则可能与平行或异面，故A错误； 对B选项：若，，则与可能平行或相交，故B错误； 对C选项：若，，，，可能， 此时与可能平行或相交，故C错误； 对D选项：若，则必存在直线，使， 又，则，又，则，故D正确. 故选：D. 5．（22-23高二上·上海·单元测试）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（       ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确； 假设平面，推出，矛盾，B错误； 由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误； 由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误. 【详解】对于A，在正方形中，，， 所以在四面体中，，， 又平面，，所以平面，故选项A正确； 对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误； 对于C，因为面，面，所以， 又，平面，，所以平面， 假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误； 对于D，因为面，面，所以， 若平面，平面，则， 平面，故，显然矛盾，故D错误； 故选：A. 6．（25-26高二上·上海·期末）设矩形的边长，，平面，，则P到矩形对角线BD的距离为 ． 【答案】4 【分析】利用线面垂直的判定性质作出点到直线的垂线段，再借助直角三角形计算得解. 【详解】在矩形中，，得， 过作于，连接，由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 因此，在中，，解得， 所以. 故答案为：4 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如果三棱锥的底面是等边三角形，侧棱与底面所成角都相等，且顶点S在底面的射影O在内，那么O是的 ． 【答案】外心 【分析】连接，设侧棱与底面所成角，则由可得，从而得解. 【详解】如图，三棱锥的底面是等边三角形，顶点S在底面的射影O在内， 连接，则底面， 所以分别是侧棱与底面所成角， 因为侧棱与底面所成角都相等，故可设， 则由， 所以O是的外心. 故答案为：外心. 8．（24-25高二上·上海·课前预习）最小角定理 （1）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的 的角． （2）如果直线、直线与平面所成的角相等，直线、的位置关系是 【答案】 最小 相交、平行、异面 【分析】根据线面角的概念及线线的位置关系即得. 【详解】由线面角的概念可知斜线与平面所成的角， 是这条斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角，该角的范围是， 若直线、直线与平面所成的角相等， 则直线可能平行，可能相交，也可能异面. 故答案为：①最小，②相交、平行、异面. 9．（2024高二·上海·专题练习）设是不同的直线，是不同的平面，则以下四个命题中错误的有 . ①若则； ②若，则； ③若则； ④若则. 【答案】②③ 【分析】①若则；④若则根据线面垂直的性质定理可得命题①④是正确的，命题②③举反例判断即可. 【详解】解：设是不同的直线，是不同的平面， ①若则； 根据线面垂直的性质定理可得命题是正确的. ②若，则；当平行与的交线时，∥，故②不正确. ③若则；有可能故③不正确. ④若则.根据线面垂直的性质定理可得命题是正确的 故答案为：②③ 10．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在矩形中，对角线分别与所成的角为、，则．在长方体中，对角线与棱、所成的角分别为、、，与平面、平面、平面所成的角分别为、、，则下列说法中正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③； ④． 【答案】②③④ 【分析】连接，可得，，，，，，求出可判断①②；求出可判断③；求出可判断④. 【详解】连接， 在长方体中，各棱与两端的底面垂直， 所以，，， ，，， ，， ， 所以，， ， ，故①错误，②正确； 对于③， ，故③正确； 对于④，， ，故④正确. 故答案为：②③④. 11．（23-24高二·上海·课堂例题）证明：若不在给定平面上的两条平行直线中的一条平行于给定平面，则另一条直线也平行于给定平面. 【答案】证明见解析 【分析】先将证明问题转化为数学语言，再利用线面平行的性质与判定定理即可得证. 【详解】将证明问题转化为数学语言，如下： 已知：， 求证：. 证明：过两条平行直线中的一条直线作平面，与平面交于直线， .， ， . 12．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，P是平面外一点，直线PA与平面斜交于点A，从点P作平面上的一条直线OA的垂线PO，垂足为O．又设a是平面上的一条直线，且，．求证：平面，从而OA是PA在平面上的投影． 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定与性质定理证明即可. 【详解】由题意知道，，又，平面， 则平面，又平面，则， 又，与a相交，且与a在平面内，则平面. 从而OA是PA在平面上的投影． 13．（24-25高二·上海·假期作业）如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】先证明平面，再利用线面垂直的性质可得证明. 【详解】连接， 易证，又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 在矩形中，是线段的中点， ，所以， 所以，所以， 又因为平面，所以平面， 而平面， 所以. 14．（24-25高二·上海·课堂例题）从平面M外一点P向平面引三条斜线PA、PB、PC，斜足分别为一直线上的A、B、C，且PA、PB、PC与平面M所成角分别为α、β、α，，，求P到平面M的距离． 【答案】 【详解】如图，设点P在平面M上的射影为O，， 在中，，，，， 由余弦定理得：， 即， 可解得. 15．（24-25高二·上海·假期作业）在棱长为1的正方体中， (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线和的距离； (3)求异面直线和的距离 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连结，过作于，在求出即可； （2）连接交于点，可得为异面直线和的公垂线段，从而可求得结果； （3）由题意可得‖平面，所以直线到平面的距离等于异面直线和的距离，从而可求得结果. 【详解】（1）连结，因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以 过作于，则为斜边上的高， 因为， 所以， 所以点到直线的距离为； （2）连接交于点，则， 因为平面，平面， 所以， 所以为异面直线和的公垂线段， 因为 所以异面直线和的距离为； （3）因为‖，平面，平面， 所以‖平面， 因为平面， 所以直线到平面的距离等于异面直线和的距离， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 所以为直线到平面的距离， 因为， 所以异面直线和的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$