专题02 直线与直线间的位置关系（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题02 直线与直线间的位置关系（11大题型+15道拓展培优） 题型一 空间的平行直线 题型二 异面直线的概念及辨析 题型三 异面直线的判定 题型四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型五 证明异面直线垂直 题型六 求异面直线所成的角 题型七 由异面直线所成的角求其他量 知识点01：空间的平行直线 定义和特征：直线与直线平行是指两直线在同一个平面内或平行平面中延伸且互不相交。在空间中，平行直线有相同的方向向量或平行平面中的直线具有相等的距离。 存在条件：两条直线平行的情况常发生在它们位于同一平面内或分别位于两个平行平面中。 知识点02：异面直线 定义：异面直线指的是既不相交也不平行，即存在于不同的平面内的两条直线。 特殊性质：这种直线的关系体现了空间中直线关系的复杂性，它们在空间中可以互相绕开，不在同一平面上。 知识点03：两条异面直线所成的角 概念理解：两条异面直线所成的角是通过这两条直线各自与一个共同垂线的夹角中锐角来定义的。这个角描述了两条直线在空间中的相对倾斜程度。 计算方法：可以通过向量的点积来计算这个角度，涉及到直线的方向向量的内积和外积。 知识点04：直线间的垂直关系 特殊情况：在空间中，两条直线如果垂直，即一条直线与另一条直线的任何线段所成的角都是90度，这种情况为直线间的一种特殊位置关系。 判断方法：利用向量的点积为零来判断两条直线是否垂直。 【经典例题一 空间的平行直线】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 2．（25-26高二上·上海·单元测试）若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，E，F，，分别是棱AB、AD、、的中点．求证：四边形为平行四边形． 【经典例题二 异面直线的概念及辨析】 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 1．（23-24高二·全国·单元测试）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 2．（22-23高二上·上海徐汇·开学考试）已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： . 3．（23-24高一下·山西朔州·期中）图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 【经典例题三 异面直线的判定】 【例3】（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（　　） A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交 B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面 C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线 D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【经典例题四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例4】（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）已知和是成角的两条直面直线，则过空间一点且与都成角的直线共有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在正方体中与成角的面对角线的条数是（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 【经典例题五 证明异面直线垂直】 【例5】（22-23高二上·上海虹口·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．12 1．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 3．（2023高三·全国·专题练习）若一个四面体的五条棱分别与另一四面体的对应棱的对棱垂直，则这个四面体的第六条棱也与另一四面体的对应棱的对棱垂直． 【经典例题六 求异面直线所成的角】 【例6】（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 1．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（        ）    A． B． C． D． 所以 2．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线，所成角80°，过空间定点与，成50°角的直线共有 条. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形中，且与所成的角为，分别是的中点，求与所成的角的大小． 【经典例题七 由异面直线所成的角求其他量】 【例7】（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25高二·上海·假期作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 3．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）两条异面直线在一个平面内的投影是（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．两条平行直线或两条相交直线 D．以上都不正确 3．（22-23高一下·山西运城·期中）在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．，，三点确定一个平面 B．，，三点共线 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（    ） ①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等； ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行； ④，若，，则或. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24高二上·上海浦东新·期末）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数），问质点走完的第2022段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 6．（23-24高二上·上海·期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 . 7．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 8．（24-25高二上·上海·单元测试）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知，是两个相交平面，空间两条直线、在上的射影是直线、，、在上的射影是直线，．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： ． 9．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 10．（23-24高二下·云南玉溪·期中）如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    11．（24-25高二·上海·课堂例题）已知直线是异面直线，点，．求证：直线是异面直线． 12．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，正方体中，求与所成角的大小． 13．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 14．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）不共面的四点、、、构成了空间四面体，，    (1)证明：直线与直线是异面直线 (2)求异面直线与所成角大小 15．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与直线间的位置关系（11大题型+15道拓展培优） 题型一 空间的平行直线 题型二 异面直线的概念及辨析 题型三 异面直线的判定 题型四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型五 证明异面直线垂直 题型六 求异面直线所成的角 题型七 由异面直线所成的角求其他量 知识点01：空间的平行直线 定义和特征：直线与直线平行是指两直线在同一个平面内或平行平面中延伸且互不相交。在空间中，平行直线有相同的方向向量或平行平面中的直线具有相等的距离。 存在条件：两条直线平行的情况常发生在它们位于同一平面内或分别位于两个平行平面中。 知识点02：异面直线 定义：异面直线指的是既不相交也不平行，即存在于不同的平面内的两条直线。 特殊性质：这种直线的关系体现了空间中直线关系的复杂性，它们在空间中可以互相绕开，不在同一平面上。 知识点03：两条异面直线所成的角 概念理解：两条异面直线所成的角是通过这两条直线各自与一个共同垂线的夹角中锐角来定义的。这个角描述了两条直线在空间中的相对倾斜程度。 计算方法：可以通过向量的点积来计算这个角度，涉及到直线的方向向量的内积和外积。 知识点04：直线间的垂直关系 特殊情况：在空间中，两条直线如果垂直，即一条直线与另一条直线的任何线段所成的角都是90度，这种情况为直线间的一种特殊位置关系。 判断方法：利用向量的点积为零来判断两条直线是否垂直。 【经典例题一 空间的平行直线】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据空间中两直线的位置关系判断即可. 【详解】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，   时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直， 其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行； ∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为. 故选：B． 2．（25-26高二上·上海·单元测试）若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则 ． 【答案】50 【分析】根据条件，得到四边形为平行四边形，且，，，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图连接， 因为顺次为空间四边形四条边的中点， 所以，，得到， 则四边形为平行四边形，且，， 在中，由余弦定理知①， 在中，由余弦定理知②， 又，由①②得到， 又，，得到， 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，E，F，，分别是棱AB、AD、、的中点．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】连接BD、，由中位线可得且，且，结合且，可得且，即可证明 【详解】证明：连接BD、． 因为E、F分别为AB、AD的中点， 所以且． 同理且． 在正方体中，四边形为平行四边形，故且， 故且， 故四边形为平行四边形． 【经典例题二 异面直线的概念及辨析】 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义及充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】因为，没有公共点，，可能平行也可能异面， 所以“，没有公共点”成立推不出“，是异面直线”， 反之，“，是异面直线”可以推出“，没有公共点”成立， 所以“，没有公共点”是“，是异面直线”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，异面直线的概念，属于中档题. 1．（23-24高二·全国·单元测试）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由质点的运动规则，可得质点走过4段后，又回到起点，可以看作以4为周期，由于，则质点走完的第2020段恰好回到起点，即可得解； 【详解】解：依题意可得质点运行路线为， 或， 或， 或， 或， 或， 即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期， 不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾； ， 则质点走完的第2020段恰好回到起点，则第段只能是， 即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为； 质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是． 故选：A 2．（22-23高二上·上海徐汇·开学考试）已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线在上的射影是直线.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： . 【答案】 ，并且与相交 【分析】由异面直线的定义、充要条件的判断结合空间中点线面的位置关系即可得出答案. 【详解】当异面时，在上的射影是直线，可能平行或相交： 过上的射影是直线，可能平行或相交： 但当直线与直线，同时成立时，则： 而当直线与､直线与，均相交时，则与可能相交； 故能确定与是异面直线的充分条件是，并且与相交 （或，并且与相交）. 故答案为：，并且与相交. 3．（23-24高一下·山西朔州·期中）图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 【答案】 【分析】根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停在的位置，进而确定距离. 【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为： ，回到A点后继续重复之前的路线. 同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2023段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为. 【经典例题三 异面直线的判定】 【例3】（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A，利用异面直线的判断定理可知选项A正确；对于选项B，当与重合时，有，从而判断出选项B的正误；对于选项C，当与重合时，有与相交，从而判断出选项C的正误；对于选项D，取中点，连交于，利用，可得到与相交，从而判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，面，面，面，所以直线与异面； 对于选项B，当与重合时，因为，又，，分别是棱，，的中点，所以，所以，选项B错误； 对于选项C，连接，在正方体中，易得且，所以与相交，即当与重合时，与相交，选项C错误； 对于选项D，取中点，连交于，连，因为且，所以且，故当与重合时，与相交，选项D错误. 故选：A. 1．（2023高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（　　） A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交 B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面 C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线 D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案． 【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A错误； 一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a∥b，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交，如下图l与a相交的情况，l与b异面，B错误； 一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C正确； 一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D错误． 故选：C 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对． 【答案】3 【分析】把展开图还原成正方体，观察几何体由异面直线的定义即可得到答案. 【详解】 如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内 不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有： AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对， 故答案为：3． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法结合分类讨论证明即可. 【详解】首先假设不是异面直线，即共面． 如果，因为，所以，这与已知矛盾； 如果直线a与b相交，设，因为，，所以， 同理可得，由公理3得，，得，这与已知矛盾． 综上，假设不成立，即是异面直线 【经典例题四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例4】（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）已知和是成角的两条直面直线，则过空间一点且与都成角的直线共有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】B 【分析】将直线平移，使两直线经过点，设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，结合图形，然后通过线线之间的关系进行分析求解，即可得到答案. 【详解】将直线平移，使两直线经过点，如图所示 设直线所成角的角平分线为， 过点垂直于直线所在平面的直线为， 因为所成角为，当直线经过点且直线 在直线所在平面内且垂直于直线， 此时与直线所成角均为； 当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋 转，此时与直线所成角相等，且所成角从 变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条， 综上所述，过空间定点与成角的直线共有条. 故选：B. 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在正方体中与成角的面对角线的条数是（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解析】找出与成的面对角线，分为两类，一类是与相交的，另一类是与异面的，将两类面对角线的条数相加即可得解. 【详解】如下图所示： 由图可知，和均为等边三角形， 与成且相交的面对角线有：、、、，共条； 由于，，，， 所以，与成且异面的对角线有：、、、，共条. 其中，面对角线、与垂直，. 综上所述，在正方体中与成角的面对角线的条数是. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，考查计算能力，属于基础题. 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 【答案】1 【分析】在空间取一点，经过分别作，，分析满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过分别作，，设直线确定平面， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与所成角为， 因为直线所成角为，得所成锐角为， ①当直线的射影在所成锐角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点有1条直线与所成角都是 ②当直线的射影在所成钝角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点不存在直线与所成角都是， 综上，过点且与所成的角都是的直线有且仅有1条. 故答案为：1. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度．如图，在正方体中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 【答案】答案见解析 【详解】平移转化成相交直线所成的角，由于，可用EF与HF的夹角来刻画． 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题． 【经典例题五 证明异面直线垂直】 【例5】（22-23高二上·上海虹口·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断． 【详解】∵3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直， ∴在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为2， 故选：B． 1．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【答案】B 【分析】 选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解. 【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；    对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确； 对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误； 对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。 【详解】取的中点，连接， ∵平面， ∴为在平面内的投影， 又，∴， 由三垂线定理得，， 又，∴. 故答案为:    3．（2023高三·全国·专题练习）若一个四面体的五条棱分别与另一四面体的对应棱的对棱垂直，则这个四面体的第六条棱也与另一四面体的对应棱的对棱垂直． 【答案】证明见解析 【分析】设出对应关系，根据勾股定理得出等式，根据对应等式运算往所证明的棱上靠，得出新等式关系，即可根据勾股定理证明. 【详解】证明： 设四面体和中，，，，，，则要证． ， ， ， ， ， 由，得 由，得 由式⑤⑥⑦，得 即， ． 【经典例题六 求异面直线所成的角】 【例6】（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：D. 1．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（        ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，将平移到即可知异面直线DN和CM所成的角的平面角即为，再利用余弦定理即可解得. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    M是的中点，的中点为，所以，且； 由N分别是AC的中点，所以，由正方体性质可得， 所以可得，即四边形是平行四边形， 则异面直线DN和CM所成的角的平面角即为， 易知， 所以 2．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线，所成角80°，过空间定点与，成50°角的直线共有 条. 【答案】3 【分析】将异面直线，平移经过，考虑两条直线的角平分线，夹角分别为和，通过旋转得到答案. 【详解】将异面直线，平移经过，得到和直线，， 如图所示：    的角平分线满足与，成角， 的角平分线满足与，成角，往上或者往下旋转一定角度， 可以有2两条直线满足条件， 综上所述：共有3条直线满足条件. 故答案为：. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形中，且与所成的角为，分别是的中点，求与所成的角的大小． 【答案】或 【分析】利用中位线定义结合线线角的定义求法求解即可. 【详解】 如图，作的中点，连接． 因为分别是的中点， 所以分别是的中位线， 所以，；，． 所以，与所成的角就是所成的角， 因为与所成的角为，所以或， 所以或， 因为，所以与所成的角就是与所成的角， 且设该角为，所以或. 【经典例题七 由异面直线所成的角求其他量】 【例7】（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 1．（24-25高二·上海·假期作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】平移法找出异面直线所成的角，后用直角三角形知识解决． 【详解】 取AD的中点P，连接PM，PN，则 ∴或其补角即异面直线AC与BD所成的角， ∴，，， ∴. 故选：C. 2．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 【答案】或 【分析】根据异面直线所成角为锐角或直角，且由等角定理可知与异面直线所成角相等或是其补角，从而求解. 【详解】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成的角或补角， 所以或. 故答案为：或. 3．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 【答案】(1)45°； (2)或 【分析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；利用中位线定理得到EG＝GF且EG⊥GF，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，进而求解； （2）根据题意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情况讨论即可求解. 【详解】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；    因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF； 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF； 在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°； 因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG， 即EF与AB所成的角的大小为45°； （2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1； 因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°； 在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1； 在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝， 综上，或 1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接，作出异面直线所成角或补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接， 由题意可得，则异面直线与所成角为或其补角， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 2．（23-24高二上·全国·课后作业）两条异面直线在一个平面内的投影是（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．两条平行直线或两条相交直线 D．以上都不正确 【答案】D 【分析】由投影的方位知，可能是两直线平行或相交外，还可能是一条直线及其外一点． 【详解】两条异面直线在一个平面内的投影：可能是两直线平行或相交外， 还可能是一条直线及其外一点． 故选：D. 3．（22-23高一下·山西运城·期中）在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（   ） A．，，三点确定一个平面 B．，，三点共线 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的判定定理，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示：    根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以面， 又，所以面， 又面，所以点在面与面的交线上面， 同理可得点在面与面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线判定定理可知C选项中为异面直线， 故C选项错误； 由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线， 故D选项错误. 故选：B. 4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（    ） ①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等； ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行； ④，若，，则或. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由等角定理判断①④，举反例判断②，根据空间直线位置关系判断③. 【详解】由等角定理知，①正确，④正确；对于②，如图正方体中， 对于和，显然有，， 但是，，故②错误； 当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内，则也可以平行，也可以异面，故③错误. 故正确的只有①④. 故选：B 5．（23-24高二上·上海浦东新·期末）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数），问质点走完的第2022段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】不妨设质点运行路线为，找到规律，即可得到第段与第段所在的直线所成的角. 【详解】解：依题意，不妨设质点运行路线为， 走过段后又回到起点，可以看作以为周期， 因为， 所以质点走完的第段与第段所在的直线分别为与， 连接，显然为等边三角形，所以与所成角为， 所以质点走完的第段与第段所在的直线所成的角是. 故选：C． 6．（23-24高二上·上海·期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 . 【答案】 【分析】根据条件先将直线得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】解：分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条， 所以，，解得. 所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 故答案为： 7．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·单元测试）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知，是两个相交平面，空间两条直线、在上的射影是直线、，、在上的射影是直线，．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： ． 【答案】，且与相交（或：，且与相交） 【分析】由异面直线的定义、充要条件的判断结合空间中点线面的位置关系即可得出答案. 【详解】当、是异面直线时，、在上的射影是直线、，可能平行或相交； 、在上的射影是直线、，可能平行或相交； 但当直线与直线，同时成立时，则可能平行； 而当直线与、直线与，均相交时，则与可能相交， 所以能确定与是异面直线的充分条件是，且与相交（或：，且与相交）． 故答案为：，且与相交（或：，且与相交） 9．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 【答案】①② 【分析】由平面的基本事实三即可判定选项①；由基本事实二及推论二即可判定选项②；在正方体中取反例，即可判定③④. 【详解】因为在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，    所以平面平面, 所以三点在平面与平面的交线上，即三点共线, 故①正确； 因为与平行，则可有由，确定一个平面，    又， 所以 所以平面，平面， 因为与平行，则可有由，确定一个平面， 同理可得，平面，平面， 又，而两条相交直线只能确定一个平面， 所以，为同一平面，即四线共面, 故②正确； 取正方体中为，为，为， 直线a、b异面，b、c异面，但a、c相交，不异面，故③错误； 取正方体中三直线，他们两两相交， 但不仅仅确定一个平面，故④错误. 故答案为：①②. 10．（23-24高二下·云南玉溪·期中）如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    【答案】/ 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 则其周长为.    故答案为：. 11．（24-25高二·上海·课堂例题）已知直线是异面直线，点，．求证：直线是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法证明即可. 【详解】假设直线不是异面直线，即共面， 设，因为，由公理1得， 同理可得，即直线共面， 这与已知直线是异面直线矛盾，所以假设不成立， 即直线是异面直线. 12．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，正方体中，求与所成角的大小． 【答案】 【详解】如图，连接， 由正方体性质得，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与所成角为与所成角， 由正方形性质得，且设与所成角为， 所以. 13．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理和正方体性质即可得证； （2）根据梯形的面积公式即可求解. 【详解】（1）如图①所示，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以， 又因为， 所以，， 所以四边形是一个梯形. （2）因为正方体的棱长为， 所以，，， 如图②所示，， 梯形的高， 所以梯形的面积为. 14．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）不共面的四点、、、构成了空间四面体，，    (1)证明：直线与直线是异面直线 (2)求异面直线与所成角大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）如图，因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）    如图：取的中点O，的中点F，的中点，连接FO，OE，EF， 所以， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以， 在中，， 所以有， 由余弦定理得， 所以异面直线与所成角大小为． 15．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据点与线和点与面的位置关系推出是平面和的公共点，结合平面平面，即可证明； （2）连接，作的中点，并连接，，利用中位线的性质可以得到异面直线与所成的角等于直线与所成角，再根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，，平面，平面， 所以平面， 因为，，平面，平面， 所以平面， 由于直线与直线相交于点， 即，平面，，平面， 又有平面平面，则， 所以，，三点共线. （2）连接，作的中点，并连接，，如图所示： 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角， 又，由余弦定理得：， 故异面直线与所成的角为. 学科网（北京）股份有限公司 $$